Ενέργειες με κλάσματα. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε παραδείγματα, τα πάντα λεπτομερώς με επεξηγήσεις. Θα εξετάσουμε συνηθισμένα κλάσματα. Θα δούμε τα δεκαδικά ψηφία αργότερα. Συνιστώ να παρακολουθήσετε ολόκληρο το θέμα και να το μελετήσετε διαδοχικά.

1. Άθροισμα κλασμάτων, διαφορά κλασμάτων.

Κανόνας: όταν προσθέτουμε κλάσματα με ίσους παρονομαστές, το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα - ο παρονομαστής του οποίου παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του θα είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητών των κλασμάτων.

Κανόνας: κατά τον υπολογισμό της διαφοράς των κλασμάτων με ίδιοι παρονομαστέςπαίρνουμε ένα κλάσμα - ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του δεύτερου αφαιρείται από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος.

Επίσημος συμβολισμός για το άθροισμα και τη διαφορά κλασμάτων με ίσους παρονομαστές:

Παραδείγματα (1):

Είναι σαφές ότι όταν δίνονται συνηθισμένα κλάσματα, τότε όλα είναι απλά, αλλά τι γίνεται αν αναμειχθούν; Τίποτα περίπλοκο...

Επιλογή 1– μπορείτε να τα μετατρέψετε σε συνηθισμένα και μετά να τα υπολογίσετε.

Επιλογή 2– μπορείτε να «δουλέψετε» χωριστά με τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη.

Παραδείγματα (2):

Περισσότερο:

Και αν δοθεί η διαφορά των δύο μικτά κλάσματακαι ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος θα είναι μικρότερος από τον αριθμητή του δεύτερου; Μπορείτε επίσης να ενεργήσετε με δύο τρόπους.

Παραδείγματα (3):

*Μετατράπηκε σε συνηθισμένα κλάσματα, υπολόγισε τη διαφορά, μετέτρεψε το ακατάλληλο κλάσμα που προέκυψε σε μικτό κλάσμα.

*Το χωρίσαμε σε ακέραια και κλασματικά μέρη, πήραμε ένα τρία, μετά παρουσιάσαμε το 3 ως άθροισμα 2 και 1, με το ένα να αντιπροσωπεύεται ως 11/11, μετά βρήκαμε τη διαφορά μεταξύ 11/11 και 7/11 και υπολογίσαμε το αποτέλεσμα . Το νόημα των παραπάνω μετασχηματισμών είναι να πάρουμε (επιλέξουμε) μια μονάδα και να την παρουσιάσουμε σε μορφή κλάσματος με τον παρονομαστή που χρειαζόμαστε, τότε μπορούμε να αφαιρέσουμε μια άλλη από αυτό το κλάσμα.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Συμπέρασμα: υπάρχει μια καθολική προσέγγιση - για να υπολογίσετε το άθροισμα (διαφορά) μικτών κλασμάτων με ίσους παρονομαστές, μπορούν πάντα να μετατραπούν σε ακατάλληλα και στη συνέχεια να εκτελέσετε την απαραίτητη ενέργεια. Μετά από αυτό, εάν το αποτέλεσμα είναι ακατάλληλο κλάσμα, το μετατρέπουμε σε μικτό κλάσμα.

Παραπάνω εξετάσαμε παραδείγματα με κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές. Τι γίνεται αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί; Στην περίπτωση αυτή, τα κλάσματα μειώνονται στον ίδιο παρονομαστή και εκτελείται η καθορισμένη ενέργεια. Για την αλλαγή (μετατροπή) ενός κλάσματος χρησιμοποιείται η βασική ιδιότητα του κλάσματος.

Ας δούμε απλά παραδείγματα:

Σε αυτά τα παραδείγματα, βλέπουμε αμέσως πώς ένα από τα κλάσματα μπορεί να μετασχηματιστεί για να πάρει ίσους παρονομαστές.

Αν ορίσουμε τρόπους μείωσης των κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή, τότε θα τον ονομάσουμε αυτόν ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΩΤΗ.

Δηλαδή, αμέσως όταν "αξιολογείτε" ένα κλάσμα, πρέπει να καταλάβετε εάν αυτή η προσέγγιση θα λειτουργήσει - ελέγχουμε αν ο μεγαλύτερος παρονομαστής διαιρείται με τον μικρότερο. Και αν διαιρείται, τότε εκτελούμε έναν μετασχηματισμό - πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή έτσι ώστε οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να γίνουν ίσοι.

Δείτε τώρα αυτά τα παραδείγματα:

Αυτή η προσέγγιση δεν ισχύει για αυτούς. Υπάρχουν επίσης τρόποι για να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή· ας τους εξετάσουμε.

Μέθοδος ΔΕΥΤΕΡΗ.

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου:

*Στην πραγματικότητα, μειώνουμε τα κλάσματα για να σχηματιστούν όταν οι παρονομαστές γίνουν ίσοι. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τον κανόνα για την προσθήκη κλασμάτων με ίσους παρονομαστές.

Παράδειγμα:

*Αυτή η μέθοδος μπορεί να ονομαστεί καθολική και λειτουργεί πάντα. Το μόνο μειονέκτημα είναι ότι μετά τους υπολογισμούς μπορεί να καταλήξετε με ένα κλάσμα που θα χρειαστεί περαιτέρω μείωση.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Φαίνεται ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 5:

Μέθοδος ΤΡΙΤΗ.

Πρέπει να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των παρονομαστών. Αυτό θα γίνει κοινό παρονομαστή. Τι είδους αριθμός είναι αυτός; Αυτό είναι το λιγότερο φυσικός αριθμός, που διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς.

Κοιτάξτε, εδώ είναι δύο αριθμοί: 3 και 4, υπάρχουν πολλοί αριθμοί που διαιρούνται με αυτούς - αυτοί είναι 12, 24, 36, ... Ο μικρότερος από αυτούς είναι 12. Ή 6 και 15, διαιρούνται με το 30, 60, 90 .... Το λιγότερο είναι 30. Το ερώτημα είναι - πώς να προσδιορίσετε αυτό το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο;

Υπάρχει ένας σαφής αλγόριθμος, αλλά συχνά αυτό μπορεί να γίνει αμέσως χωρίς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τα παραπάνω παραδείγματα (3 και 4, 6 και 15) δεν χρειάζεται αλγόριθμος, πήραμε μεγάλους αριθμούς (4 και 15), τους διπλασιάσαμε και είδαμε ότι διαιρούνται με τον δεύτερο αριθμό, αλλά τα ζεύγη αριθμών μπορούν να είστε άλλοι, για παράδειγμα 51 και 119.

Αλγόριθμος. Για να προσδιορίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών, πρέπει:

- να αποσυνθέσετε κάθε αριθμό σε ΑΠΛΟΥΣ παράγοντες

— γράψτε την αποσύνθεση των ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ από αυτά

- πολλαπλασιάστε το με τους συντελεστές που λείπουν άλλων αριθμών

Ας δούμε παραδείγματα:

50 και 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

σε αποσύνθεση περισσότερολείπει ένα πέντε

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 και 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού δύο και τρία λείπουν

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο πρώτων αριθμών είναι το γινόμενο τους

Ερώτηση! Γιατί είναι χρήσιμο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, αφού μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο και απλώς να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει; Ναι, είναι δυνατό, αλλά δεν είναι πάντα βολικό. Κοιτάξτε τον παρονομαστή για τους αριθμούς 48 και 72 αν απλώς τους πολλαπλασιάσετε 48∙72 = 3456. Θα συμφωνήσετε ότι είναι πιο ευχάριστο να δουλεύετε με μικρότερους αριθμούς.

Ας δούμε παραδείγματα:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

από την επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού λείπει ένα τριπλό

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο:

*Κοιτάξτε τη διαφορά στους υπολογισμούς, στην πρώτη περίπτωση υπάρχουν ένα ελάχιστο από αυτά, αλλά στη δεύτερη πρέπει να εργαστείτε ξεχωριστά σε ένα κομμάτι χαρτί και ακόμη και το κλάσμα που λάβατε πρέπει να μειωθεί. Η εύρεση του LOC απλοποιεί σημαντικά την εργασία.

Περισσότερα παραδείγματα:

*Στο δεύτερο παράδειγμα είναι ξεκάθαρο ότι μικρότερος αριθμόςπου διαιρείται με το 40 και το 60 ισούται με 120.

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ! ΓΕΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ!

— ανάγουμε τα κλάσματα σε συνηθισμένα αν υπάρχει ακέραιο μέρος.

- φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή (πρώτα εξετάζουμε αν ένας παρονομαστής διαιρείται με έναν άλλον, αν διαιρείται, τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του άλλου κλάσματος, εάν δεν διαιρείται, ενεργούμε χρησιμοποιώντας τις άλλες μεθόδους που αναφέρεται παραπάνω).

- Έχοντας λάβει κλάσματα με ίσους παρονομαστές, εκτελούμε πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση).

- αν χρειαστεί, μειώνουμε το αποτέλεσμα.

- εάν είναι απαραίτητο, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα.

2. Γινόμενο κλασμάτων.

Ο κανόνας είναι απλός. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές τους πολλαπλασιάζονται:

Παραδείγματα:

Θεωρήστε το κλάσμα $\frac63$. Η τιμή του είναι 2, αφού $\frac63 =6:3 = 2$. Τι συμβαίνει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιαστούν επί 2; $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Προφανώς, η τιμή του κλάσματος δεν έχει αλλάξει, επομένως το $\frac(12)(6)$ ως y είναι επίσης ίσο με 2. Μπορείτε να πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστήκατά 3 και πάρτε $\frac(18)(9)$ ή κατά 27 και λάβετε $\frac(162)(81)$ ή κατά 101 και λάβετε $\frac(606)(303)$. Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, η τιμή του κλάσματος που παίρνουμε διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή είναι 2. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχει αλλάξει.

Το ίδιο μοτίβο παρατηρείται και στην περίπτωση άλλων κλασμάτων. Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος $\frac(120)(60)$ (ίσο με 2) διαιρούνται με το 2 (το αποτέλεσμα είναι $\frac(60)(30)$) ή με το 3 (το αποτέλεσμα είναι $\frac(40)(20) $), ή κατά 4 (αποτέλεσμα $\frac(30)(15)$) και ούτω καθεξής, τότε σε κάθε περίπτωση η τιμή του κλάσματος παραμένει αμετάβλητη και ίση με 2.

Αυτός ο κανόνας ισχύει και για κλάσματα που δεν είναι ίσα ολόκληρος ο αριθμός.

Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος $\frac(1)(3)$ πολλαπλασιαστούν επί 2, παίρνουμε $\frac(2)(6)$, δηλαδή η τιμή του κλάσματος δεν έχει αλλάξει. Και μάλιστα, αν χωρίσεις την πίτα σε 3 μέρη και πάρεις ένα από αυτά ή τη χωρίσεις σε 6 μέρη και πάρεις 2 μέρη, θα πάρεις την ίδια ποσότητα πίτας και στις δύο περιπτώσεις. Επομένως, οι αριθμοί $\frac(1)(3)$ και $\frac(2)(6)$ είναι πανομοιότυποι. Ας διατυπώσουμε έναν γενικό κανόνα.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής οποιουδήποτε κλάσματος μπορούν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό χωρίς να αλλάξει η τιμή του κλάσματος.

Αυτός ο κανόνας αποδεικνύεται πολύ χρήσιμος. Για παράδειγμα, επιτρέπει σε ορισμένες περιπτώσεις, αλλά όχι πάντα, την αποφυγή λειτουργιών με μεγάλους αριθμούς.

Για παράδειγμα, μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος $\frac(126)(189)$ με το 63 και να πάρουμε το κλάσμα $\frac(2)(3)$, με το οποίο είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί. Ένα ακόμη παράδειγμα. Μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος $\frac(155)(31)$ με το 31 και να πάρουμε το κλάσμα $\frac(5)(1)$ ή 5, αφού 5:1=5.

Σε αυτό το παράδειγμα, συναντήσαμε για πρώτη φορά ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι 1. Τέτοια κλάσματα παίζουν σημαντικό ρόλο στους υπολογισμούς. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με το 1 και η τιμή του δεν θα αλλάξει. Δηλαδή, το $\frac(273)(1)$ είναι ίσο με 273. $\frac(509993)(1)$ ισούται με 509993 και ούτω καθεξής. Επομένως, δεν χρειάζεται να διαιρούμε τους αριθμούς με , αφού κάθε ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1.

Με τέτοια κλάσματα, ο παρονομαστής των οποίων είναι 1, μπορείτε να εκτελέσετε τις ίδιες αριθμητικές πράξεις όπως και με όλα τα άλλα κλάσματα: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Μπορείτε να ρωτήσετε τι ωφελεί εάν αντιπροσωπεύουμε έναν ακέραιο ως κλάσμα με μια μονάδα κάτω από τη γραμμή, καθώς είναι πιο βολικό να δουλεύουμε με έναν ακέραιο. Αλλά το θέμα είναι ότι η αναπαράσταση ενός ακέραιου ως κλάσματος μας δίνει την ευκαιρία να εκτελούμε διάφορες πράξεις πιο αποτελεσματικά όταν έχουμε να κάνουμε και με ακέραιους και με κλάσματα ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, για να μάθετε προσθέστε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσουμε $\frac(1)(3)$ και $\frac(1)(5)$.

Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να προσθέσουμε μόνο κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι ίσοι. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μάθουμε πώς να μειώνουμε τα κλάσματα σε μια μορφή όπου οι παρονομαστές τους είναι ίσοι. Σε αυτή την περίπτωση, θα χρειαστούμε και πάλι το γεγονός ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό χωρίς να αλλάξουμε την τιμή του.

Αρχικά, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος $\frac(1)(3)$ επί 5. Παίρνουμε $\frac(5)(15)$, η τιμή του κλάσματος δεν έχει αλλάξει. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος $\frac(1)(5)$ επί 3. Παίρνουμε $\frac(3)(15)$, και πάλι η τιμή του κλάσματος δεν έχει αλλάξει. Επομένως, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτό το σύστημα στην πρόσθεση αριθμών που περιέχουν τόσο ακέραια όσο και κλασματικά μέρη.

Πρέπει να προσθέσουμε $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Αρχικά, ας μετατρέψουμε όλους τους όρους σε κλάσματα και πάρουμε: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Τώρα πρέπει να φέρουμε όλα τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, γι' αυτό πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος επί 12, του δεύτερου κατά 4 και του τρίτου κατά 3. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, που ισούται με $\frac(55)(12)$. Αν θέλετε να απαλλαγείτε από ακατάλληλο κλάσμα, μπορεί να μετατραπεί σε έναν αριθμό που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλάσμα: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ή $4\frac(7 )( 12)$.

Όλοι οι κανόνες που επιτρέπουν πράξεις με κλάσματα, που μόλις μελετήσαμε, ισχύουν και στην περίπτωση των αρνητικών αριθμών. Άρα, το -1: 3 μπορεί να γραφτεί ως $\frac(-1)(3)$, και το 1: (-3) ως $\frac(1)(-3)$.

Δεδομένου ότι και η διαίρεση ενός αρνητικού αριθμού με έναν θετικό αριθμό και η διαίρεση ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό προκύπτει σε αρνητικούς αριθμούς, και στις δύο περιπτώσεις η απάντηση θα είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ή $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Το σύμβολο μείον όταν γράφεται με αυτόν τον τρόπο αναφέρεται σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι χωριστά στον αριθμητή ή στον παρονομαστή.

Από την άλλη πλευρά, το (-1) : (-3) μπορεί να γραφτεί ως $\frac(-1)(-3)$, και εφόσον η διαίρεση ενός αρνητικού αριθμού με έναν αρνητικό αριθμό δίνει έναν θετικό αριθμό, τότε $\frac Το (-1 )(-3)$ μπορεί να γραφτεί ως $+\frac(1)(3)$.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με την πρόσθεση και αφαίρεση θετικών κλασμάτων. Για παράδειγμα, τι είναι το $1- 1\frac13$; Ας αναπαραστήσουμε και τους δύο αριθμούς ως κλάσματα και πάρουμε $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Ας φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και πάρουμε $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, δηλαδή $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ ή $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Πρόσθεση κλασμάτων.

Η πρόσθεση κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την πρόσθεση ακέραιων αριθμών. Η πρόσθεση κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), που περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα των μονάδων των όρων.

Θα εξετάσουμε διαδοχικά τρεις περιπτώσεις:

1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1/5 + 2/5.

Ας πάρουμε το τμήμα AB (Εικ. 17), το πάρουμε ως ένα και το διαιρέσουμε σε 5 ίσα μέρη, τότε το μέρος AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος ΑΒ και μέρος του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.

Από το σχέδιο είναι σαφές ότι αν πάρουμε το τμήμα AD, θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το άθροισμα που προκύπτει, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος προέκυψε προσθέτοντας τους αριθμητές των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.

Από αυτό παίρνουμε τον ακόλουθο κανόνα: Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Ας προσθέσουμε τα κλάσματα: 3 / 4 + 3 / 8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6/8 + 3/8 δεν μπόρεσε να γραφτεί. το γράψαμε εδώ για σαφήνεια.

Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να επισημάνετε τον κοινό παρονομαστή.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες πάνω από τα αντίστοιχα κλάσματα):

3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς: 2 3/8 + 3 5/6.

Ας φέρουμε πρώτα τα κλασματικά μέρη των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ας τα ξαναγράψουμε:

Τώρα προσθέτουμε διαδοχικά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη:

§ 88. Αφαίρεση κλασμάτων.

Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση ακέραιων αριθμών. Αυτή είναι μια ενέργεια με τη βοήθεια της οποίας, δεδομένου του αθροίσματος δύο όρων και ενός από αυτούς, βρίσκουμε έναν άλλο όρο. Ας εξετάσουμε τρεις διαδοχικές περιπτώσεις:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

13 / 15 - 4 / 15

Ας πάρουμε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 18), το πάρουμε ως μονάδα και το χωρίσουμε σε 15 ίσα μέρη. τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα αντιπροσωπεύει το 1/15 του AB και το μέρος AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Ας αφήσουμε στην άκρη ένα άλλο τμήμα ED ίσο με 4/15 AB.

Πρέπει να αφαιρέσουμε το κλάσμα 4/15 από το 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι τα 9/15 του τμήματος ΑΒ. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

Το παράδειγμα που κάναμε δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς προέκυψε αφαιρώντας τους αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παρέμεινε ο ίδιος.

Επομένως, για να αφαιρέσετε κλάσματα με όμοιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του minuend και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Παράδειγμα. 3/4 - 5/8

Αρχικά, ας μειώσουμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Το ενδιάμεσο 6 / 8 - 5 / 8 είναι γραμμένο εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορεί να παραλειφθεί αργότερα.

Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, θα πρέπει πρώτα να το μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον αριθμητή του minuend από τον αριθμητή του minuend και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

Παράδειγμα. 10 3/4 - 7 2/3.

Ας μειώσουμε τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Αφαιρέσαμε ένα σύνολο από ένα σύνολο και ένα κλάσμα από ένα κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που το κλασματικό μέρος του subtrahend είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από ολόκληρο το μέρος του minuend, να τη χωρίσετε σε εκείνα τα μέρη στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να την προσθέσετε στο κλασματικό μέρος του minuend. Και τότε η αφαίρεση θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:

§ 89. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού. Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.

Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με έναν ακέραιο. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει να δημιουργηθεί ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Αυτό σημαίνει ότι εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 1/9 επί 7, τότε μπορεί να γίνει ως εξής:

Λάβαμε εύκολα το αποτέλεσμα, αφού η ενέργεια περιορίστηκε στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Ως εκ τούτου,

Η εξέταση αυτής της ενέργειας δείχνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό ισοδυναμεί με αύξηση αυτού του κλάσματος κατά τόσες φορές όσο ο αριθμός των μονάδων που περιέχονται στον ακέραιο αριθμό. Και αφού η αύξηση ενός κλάσματος επιτυγχάνεται είτε αυξάνοντας τον αριθμητή του

είτε με μείωση του παρονομαστή του , τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με έναν ακέραιο είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με αυτόν, αν είναι δυνατή μια τέτοια διαίρεση.

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο αριθμό και αφήνετε τον παρονομαστή ίδιο ή, αν είναι δυνατόν, διαιρείτε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε ή να υπολογίσετε μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των προβλημάτων και άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό ορισμένων αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, το οποίο υποδεικνύεται επίσης εδώ με ένα συγκεκριμένο κλάσμα. Για να διευκολυνθεί η κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε μια μέθοδο για την επίλυσή τους.

Εργασία 1.Είχα 60 ρούβλια. Ξόδεψα το 1/3 αυτών των χρημάτων για την αγορά βιβλίων. Πόσο κόστισαν τα βιβλία;

Εργασία 2.Το τρένο πρέπει να διανύσει απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β ίση με 300 km. Έχει ήδη διανύσει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;

Εργασία 3.Στο χωριό υπάρχουν 400 σπίτια, τα 3/4 από τούβλα, τα υπόλοιπα ξύλινα. Πόσο συνολικά σπίτια από τούβλα?

Εδώ είναι μερικά από αυτά πολυάριθμες εργασίεςνα βρούμε μέρη ενός δεδομένου αριθμού που συναντάμε. Συνήθως ονομάζονται προβλήματα για την εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.

Λύση στο πρόβλημα 1.Από 60 τρίψτε. Ξόδεψα το 1/3 σε βιβλία. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε το κόστος των βιβλίων πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 με το 3:

Επίλυση προβλήματος 2.Το θέμα του προβλήματος είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 km. Ας υπολογίσουμε πρώτα το 1/3 του 300. Αυτό επιτυγχάνεται με διαίρεση 300 km με 3:

300: 3 = 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).

Για να βρείτε τα δύο τρίτα του 300, πρέπει να διπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε με το 2:

100 x 2 = 200 (δηλαδή τα 2/3 των 300).

Επίλυση προβλήματος 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα που αποτελούν τα 3/4 των 400. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 των 400,

400: 4 = 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).

Για να υπολογίσουμε τρία τέταρτα του 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί επί 3:

100 x 3 = 300 (δηλαδή τα 3/4 των 400).

Με βάση τη λύση σε αυτά τα προβλήματα, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο κανόνα:

Για να βρείτε την τιμή ενός κλάσματος από έναν δεδομένο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει με τον αριθμητή του.

3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.

Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων θα πρέπει να νοείται ως η πρόσθεση πανομοιότυπων όρων (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Σε αυτή την παράγραφο (σημείο 1) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο σημαίνει την εύρεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων ίσου με αυτό το κλάσμα.

Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στην εύρεση του αθροίσματος των πανομοιότυπων όρων.

Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμό: 9 2 / 3. Είναι σαφές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει για αυτήν την περίπτωση. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.

Εξαιτίας αυτού, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, με άλλα λόγια, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να γίνει κατανοητό από τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, πώς θα πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η ενέργεια.

Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα είναι ξεκάθαρη από τον ακόλουθο ορισμό: πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει την εύρεση αυτού του κλάσματος του πολλαπλασιαστή.

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 9 με 2/3 σημαίνει ότι βρίσκουμε τα 2/3 των εννέα μονάδων. Στην προηγούμενη παράγραφο, τέτοια προβλήματα επιλύθηκαν. οπότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι θα καταλήξουμε με 6.

Αλλά τώρα τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί τέτοιες φαινομενικά διαφορετικές πράξεις, όπως η εύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού, καλούνται αριθμητικά με την ίδια λέξη «πολλαπλασιασμός»;

Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επανάληψη ενός αριθμού με όρους πολλές φορές) και η νέα ενέργεια (εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού) δίνουν απαντήσεις σε ομοιογενείς ερωτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι προχωράμε εδώ από το σκεπτικό ότι ομοιογενείς ερωτήσεις ή εργασίες επιλύονται με την ίδια ενέργεια.

Για να το κατανοήσετε αυτό, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (4), δηλαδή 50 x 4 = 200 (τρίψτε).

Ας πάρουμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε αυτό η ποσότητα του υφάσματος θα εκφραστεί ως κλάσμα: «1 μέτρο υφάσματος κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν τα 3/4 m τέτοιου υφάσματος;»

Αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (3/4).

Μπορείτε να αλλάξετε τους αριθμούς σε αυτό αρκετές φορές, χωρίς να αλλάξετε την έννοια του προβλήματος, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κ.λπ.

Δεδομένου ότι αυτά τα προβλήματα έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο σε αριθμούς, ονομάζουμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους ίδια λέξη - πολλαπλασιασμός.

Πώς πολλαπλασιάζεις έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε τους αριθμούς που συναντήθηκαν στο τελευταίο πρόβλημα:

Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να βρούμε τα 3/4 του 50. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 του 50 και μετά το 3/4.

Το 1/4 του 50 είναι 50/4.

Τα 3/4 του αριθμού 50 είναι .

Ως εκ τούτου.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5 / 8 =?

Το 1/8 του αριθμού 12 είναι 12/8,

Τα 5/8 του αριθμού 12 είναι .

Ως εκ τούτου,

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως παρονομαστή.

Ας γράψουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38

Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) μειώσεις, Για παράδειγμα:

4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα, δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε το κλάσμα που βρίσκεται στον παράγοντα από το πρώτο κλάσμα (ο πολλαπλασιαστής).

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 3/4 με το 1/2 (μισό) σημαίνει ότι βρίσκουμε το μισό του 3/4.

Πώς πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 3/4 πολλαπλασιασμένο επί 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τα 5/7 των 3/4. Ας βρούμε πρώτα το 1/7 του 3/4 και μετά το 5/7

Το 1/7 του αριθμού 3/4 θα εκφράζεται ως εξής:

Οι αριθμοί 5/7 3/4 θα εκφραστούν ως εξής:

Ετσι,

Ένα άλλο παράδειγμα: 5/8 πολλαπλασιασμένο επί 4/9.

Το 1/9 της 5/8 είναι ,

Τα 4/9 του αριθμού 5/8 είναι .

Ετσι,

Από αυτά τα παραδείγματα μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο γινόμενο παρονομαστή του γινομένου.

Αυτός είναι ο κανόνας σε γενική εικόναμπορεί να γραφτεί ως εξής:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (αν είναι δυνατόν) μειώσεις. Ας δούμε παραδείγματα:

5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα, αυτή η περίσταση χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι σε περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστής ή και οι δύο συντελεστές εκφράζονται ως μικτοί αριθμοί, αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Ας πολλαπλασιάσουμε, για παράδειγμα, μεικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Ας μετατρέψουμε καθένα από αυτά σε ένα ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:

Κανόνας.Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματακαι στη συνέχεια πολλαπλασιάστε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων με τα κλάσματα.

Σημείωση.Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τον νόμο κατανομής ως εξής:

6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.Όταν λύνουμε προβλήματα και εκτελούμε διάφορους πρακτικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε όλα τα είδη κλασμάτων. Αλλά πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι πολλές ποσότητες επιτρέπουν όχι οποιεσδήποτε, αλλά φυσικές διαιρέσεις γι 'αυτούς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε το ένα εκατοστό (1/100) του ρουβλίου, θα είναι καπίκια, τα δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τα τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή ένα κομμάτι δέκα καπίκων. Μπορείτε να πάρετε το ένα τέταρτο του ρουβλίου, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλ. 50 καπίκια (πενήντα καπίκια). Αλλά πρακτικά δεν το παίρνουν, για παράδειγμα, τα 2/7 του ρούβλι επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομα.

Η μονάδα βάρους, δηλαδή το κιλό, επιτρέπει πρωτίστως τις δεκαδικές διαιρέσεις, για παράδειγμα 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού όπως 1/6, 1/11, 1/13 δεν είναι κοινά.

Γενικά, τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές διαιρέσεις.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό σε μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων να χρησιμοποιείται η ίδια (ομοιόμορφη) μέθοδος υποδιαίρεσης ποσοτήτων. Η πολυετής πείρα έχει δείξει ότι μια τόσο δικαιολογημένη διαίρεση είναι η «εκατοστή». Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.

Παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου ήταν 10 ρούβλια. Μειώθηκε κατά 1 ρούβλι. 20 καπίκια

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν στους καταθέτες τα 2/100 του ποσού που κατατέθηκε για αποταμίευση κατά τη διάρκεια του έτους.

Παράδειγμα. 500 ρούβλια κατατίθενται στο ταμείο, το εισόδημα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5/100 του συνόλου των μαθητών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο σχολείο φοιτούσαν μόνο 1.200 μαθητές, εκ των οποίων οι 60 αποφοίτησαν.

Το εκατοστό μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό.

Η λέξη «ποσοστό» είναι δανεισμένη από Λατινική γλώσσακαι η ρίζα του «cent» σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (pro centum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Το νόημα μιας τέτοιας έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στο αρχαία Ρώμητόκοι ήταν τα χρήματα που πλήρωνε ο οφειλέτης στον δανειστή «για κάθε εκατό». Η λέξη "cent" ακούγεται με τόσο γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (ας πούμε εκατοστό).

Για παράδειγμα, αντί να πούμε ότι τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το 1/100 όλων των προϊόντων που παρήγαγε ήταν ελαττωματικά, θα πούμε το εξής: τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το ένα τοις εκατό των ελαττωμάτων. Αντί να πούμε: το εργοστάσιο παρήγαγε 4/100 περισσότερα προϊόντα από το καθορισμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο υπερέβη το σχέδιο κατά 4 τοις εκατό.

Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να εκφραστούν διαφορετικά:

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.

2. Τα ταμιευτήρια πληρώνουν στους καταθέτες 2 τοις εκατό ετησίως επί του ποσού που κατατίθεται σε ταμιευτήριο.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5 τοις εκατό όλων των μαθητών του σχολείου.

Για να συντομεύσετε το γράμμα, είναι συνηθισμένο να γράφετε το σύμβολο % αντί της λέξης "ποσοστό".

Ωστόσο, πρέπει να θυμάστε ότι στους υπολογισμούς το σύμβολο % συνήθως δεν γράφεται· μπορεί να γραφτεί στη δήλωση προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο αριθμό με αυτό το σύμβολο.

Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο εικονίδιο με ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

Αντίθετα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο σύμβολο αντί για ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού.

Εργασία 1.Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με τα καυσόξυλα σημύδας να αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσα καυσόξυλα σημύδας υπήρχαν;

Το νόημα αυτού του προβλήματος είναι ότι τα καυσόξυλα σημύδας αποτελούσαν μόνο μέρος των καυσόξυλων που παραδόθηκαν στο σχολείο και αυτό το μέρος εκφράζεται στο κλάσμα 30/100. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε καθήκον να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 200 με το 30/100 (τα προβλήματα εύρεσης του κλάσματος ενός αριθμού λύνονται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με το κλάσμα.).

Αυτό σημαίνει ότι το 30% των 200 ισούται με 60.

Το κλάσμα 30/100 που συναντάται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Θα ήταν δυνατό να γίνει αυτή η μείωση από την αρχή. η λύση του προβλήματος δεν θα είχε αλλάξει.

Εργασία 2.Στην κατασκήνωση βρίσκονταν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών. Τα παιδιά 11 ετών αποτελούσαν το 21%, τα παιδιά 12 ετών το 61% και τέλος τα παιδιά 13 ετών το 18%. Πόσα παιδιά κάθε ηλικίας υπήρχαν στην κατασκήνωση;

Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να εκτελέσετε τρεις υπολογισμούς, δηλαδή να βρείτε διαδοχικά τον αριθμό των παιδιών ηλικίας 11 ετών, μετά 12 ετών και τέλος 13 ετών.

Αυτό σημαίνει ότι εδώ θα χρειαστεί να βρείτε το κλάσμα του αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:

1) Πόσα παιδιά 11 ετών ήταν εκεί;

2) Πόσα παιδιά 12 ετών ήταν εκεί;

3) Πόσα παιδιά 13 ετών ήταν εκεί;

Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. Το άθροισμά τους πρέπει να είναι 300:

63 + 183 + 54 = 300

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι το άθροισμα των ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος είναι 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Αυτό υποδηλώνει ότι συνολικός αριθμόςτα παιδιά στην κατασκήνωση θεωρήθηκαν ως 100%.

3 η η και η ώρα 3.Ο εργαζόμενος λάμβανε 1.200 ρούβλια το μήνα. Από αυτό ξόδεψε το 65% σε τρόφιμα, το 6% σε διαμερίσματα και θέρμανση, το 4% σε φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο, 10% σε πολιτιστικές ανάγκες και 15% εξοικονόμησε. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρονται στο πρόβλημα;

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε το κλάσμα του 1.200 5 φορές. Ας το κάνουμε αυτό.

1) Πόσα χρήματα ξοδεύτηκαν για φαγητό; Το πρόβλημα λέει ότι αυτή η δαπάνη είναι το 65% των συνολικών κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:

2) Πόσα χρήματα πλήρωσες για ένα διαμέρισμα με θέρμανση; Συλλογίζοντας παρόμοια με την προηγούμενη, καταλήγουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:

3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο;

4) Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για πολιτιστικές ανάγκες;

5) Πόσα χρήματα εξοικονόμησε ο εργάτης;

Για να ελέγξετε, είναι χρήσιμο να αθροίσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί αθροίζοντας τους αριθμούς ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Επιλύσαμε τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι αυτά τα προβλήματα αντιμετώπιζαν διαφορετικά πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφορετικών ηλικιών, έξοδα του εργάτη), λύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη επειδή σε όλα τα προβλήματα ήταν απαραίτητο να βρούμε αρκετά τοις εκατό των δεδομένων αριθμών.

§ 90. Διαίρεση κλασμάτων.

Καθώς μελετάμε τη διαίρεση των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό
3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.
4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.

Όπως αναφέρθηκε στο τμήμα των ακεραίων, διαίρεση είναι η ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι, δεδομένου του γινόμενου δύο παραγόντων (μέρισμα) και ενός από αυτούς τους παράγοντες (διαιρέτης), βρίσκεται ένας άλλος παράγοντας.

Εξετάσαμε τη διαίρεση ενός ακέραιου με έναν ακέραιο στην ενότητα για τους ακέραιους αριθμούς. Συναντήσαμε δύο περιπτώσεις διαίρεσης εκεί: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο ή «εν όλω» (150: 10 = 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 = 11 και 1 υπόλοιπο). Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι στο πεδίο των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή, γιατί το μέρισμα δεν είναι πάντα το γινόμενο του διαιρέτη με τον ακέραιο. Αφού εισαγάγουμε τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε πιθανή οποιαδήποτε περίπτωση διαίρεσης ακεραίων (αποκλείεται μόνο η διαίρεση με το μηδέν).

Για παράδειγμα, η διαίρεση του 7 με το 12 σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού του οποίου το γινόμενο με το 12 θα ήταν ίσο με 7. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το κλάσμα 7 / 12 επειδή 7 / 12 12 = 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 = 14 / 25, επειδή 14 / 25 25 = 14.

Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να δημιουργήσετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το μέρισμα και ο παρονομαστής ίσος με τον διαιρέτη.

2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό.

Διαιρέστε το κλάσμα 6 / 7 με 3. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης που δόθηκε παραπάνω, έχουμε εδώ το γινόμενο (6 / 7) και έναν από τους παράγοντες (3). απαιτείται να βρεθεί ένας δεύτερος παράγοντας που, πολλαπλασιαζόμενος με το 3, θα έδινε στο δεδομένο γινόμενο 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό το προϊόν. Αυτό σημαίνει ότι το καθήκον που τέθηκε μπροστά μας ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να γίνει είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Επομένως, μπορείτε να γράψετε:

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής 6 διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5 / 8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με το 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:

Με βάση αυτό, μπορεί να γίνει ένας κανόνας: Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον ακέραιο αριθμό.(αν είναι δυνατόν), αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.

3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.

Ας είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το 5 με το 1/2, δηλ. να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 1/2, θα δώσει το γινόμενο 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 5, αφού το 1/2 είναι σωστό κλάσμα , και κατά τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού το γινόμενο ενός σωστού κλάσματος πρέπει να είναι μικρότερο από το γινόμενο που πολλαπλασιάζεται. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, ας γράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1 / 2 = Χ , που σημαίνει x 1 / 2 = 5.

Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό Χ , το οποίο, αν πολλαπλασιαζόταν με το 1/2, θα έδινε 5. Εφόσον πολλαπλασιάζοντας έναν ορισμένο αριθμό με το 1/2 σημαίνει βρίσκοντας το 1/2 αυτού του αριθμού, τότε, επομένως, το 1/2 του αγνώστου αριθμού Χ ισούται με 5 και ακέραιος αριθμός Χ διπλάσια, δηλαδή 5 2 = 10.

Άρα 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Ας ελέγξουμε:

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε το 6 με τα 2/3. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).

Εικ.19

Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα ΑΒ ίσο με 6 μονάδες και διαιρούμε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3/3) ολόκληρου του τμήματος ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Χρησιμοποιώντας μικρές αγκύλες, συνδέουμε τα 18 προκύπτοντα τμήματα των 2. Θα υπάρχουν μόνο 9 τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 2/3 περιέχεται σε 6 μονάδες 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ολόκληρες μονάδες. Ως εκ τούτου,

Πώς να πάρετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχέδιο χρησιμοποιώντας μόνο υπολογισμούς; Ας σκεφτούμε ως εξής: πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με τα 2/3, δηλαδή πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση πόσες φορές το 2/3 περιέχεται στο 6. Ας μάθουμε πρώτα: πόσες φορές το 1/3 περιέχεται στο 6; Σε μια ολόκληρη μονάδα υπάρχουν 3 τρίτα, και σε 6 μονάδες υπάρχουν 6 φορές περισσότερα, δηλαδή 18 τρίτα. για να βρούμε αυτόν τον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 6 με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 περιέχεται σε μονάδες b 18 φορές, και το 2/3 περιέχεται σε μονάδες b όχι 18 φορές, αλλά το μισό φορές, δηλαδή 18: 2 = 9 Επομένως, κατά τη διαίρεση του 6 με τα 2/3 κάναμε τα εξής:

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον ακέραιο αριθμό με τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος και, κάνοντας αυτό το γινόμενο αριθμητή, να τον διαιρέσετε με τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος ελήφθη εκεί.

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 3/4 με το 3/8. Τι θα σημαίνει ο αριθμός που προκύπτει από τη διαίρεση; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).

Ας πάρουμε ένα τμήμα ΑΒ, το πάρουμε ως ένα, το χωρίσουμε σε 4 ίσα μέρη και σημαδέψουμε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος AB. Ας διαιρέσουμε τώρα καθένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ θα χωριστεί σε 8 ίσα μέρη και κάθε τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Ας συνδέσουμε 3 τέτοια τμήματα με τόξα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με τα 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι ένα τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται σε ένα τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 15/16 με το 3/32:

Μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 3/32, θα δώσει γινόμενο ίσο με 15/16. Ας γράψουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

15 / 16: 3 / 32 = Χ

3 / 32 Χ = 15 / 16

3/32 άγνωστος αριθμός Χ είναι 15/16

1/32 άγνωστου αριθμού Χ είναι ,

32 / 32 αριθμοί Χ μακιγιάζ .

Ως εκ τούτου,

Έτσι, για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή, και το δεύτερο ο παρονομαστής.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

5. Διαίρεση μικτών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση μικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τους κανόνες διαίρεσης κλασματικοί αριθμοί. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας μετατρέψουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Τώρα ας χωρίσουμε:

Έτσι, για να διαιρέσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων.

6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.

Αναμεταξύ διάφορα καθήκονταστα κλάσματα, μερικές φορές υπάρχουν εκείνα στα οποία δίνεται η τιμή κάποιου κλάσματος ενός άγνωστου αριθμού και πρέπει να βρείτε αυτόν τον αριθμό. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι το αντίστροφο του προβλήματος της εύρεσης του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. εκεί δόθηκε ένας αριθμός και απαιτήθηκε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, εδώ δόθηκε ένα κλάσμα ενός αριθμού και έπρεπε να βρεθεί αυτός ο ίδιος ο αριθμός. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμη πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε στην επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος.

Εργασία 1.Την πρώτη μέρα οι υαλοπίνακες τζάμιασαν 50 παράθυρα, δηλαδή το 1/3 όλων των παραθύρων του χτισμένου σπιτιού. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;

Λύση.Το πρόβλημα λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 όλων των παραθύρων του σπιτιού, που σημαίνει ότι υπάρχουν 3 φορές περισσότερα παράθυρα συνολικά, δηλ.

Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.

Εργασία 2.Το κατάστημα πούλησε 1.500 κιλά αλεύρι, δηλαδή τα 3/8 του συνολικού αποθέματος αλευριού που είχε το κατάστημα. Ποια ήταν η αρχική προσφορά του μαγαζιού σε αλεύρι;

Λύση.Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι τα 1.500 κιλά αλεύρι που πωλούνται αποτελούν τα 3/8 του συνολικού αποθέματος. Αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθεματικού θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή για να το υπολογίσετε πρέπει να μειώσετε το 1500 κατά 3 φορές:

1.500: 3 = 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθεματικού).

Προφανώς, ολόκληρη η προσφορά θα είναι 8 φορές μεγαλύτερη. Ως εκ τούτου,

500 8 = 4.000 (κιλά).

Το αρχικό απόθεμα αλευριού στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.

Από την εξέταση αυτού του προβλήματος, μπορεί να προκύψει ο ακόλουθος κανόνας.

Για να βρείτε έναν αριθμό από μια δεδομένη τιμή του κλάσματός του, αρκεί να διαιρέσετε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.

Επιλύσαμε δύο προβλήματα σχετικά με την εύρεση ενός αριθμού με βάση το κλάσμα του. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ξεκάθαρα από το τελευταίο, λύνονται με δύο ενέργειες: διαίρεση (όταν βρεθεί ένα μέρος) και πολλαπλασιασμός (όταν βρεθεί ο ακέραιος αριθμός).

Ωστόσο, αφού μάθουμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν με μία ενέργεια, δηλαδή: διαίρεση με κλάσμα.

Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί με μια ενέργεια ως εξής:

Στο μέλλον, θα λύσουμε προβλήματα εύρεσης ενός αριθμού από το κλάσμα του με μία ενέργεια - διαίρεση.

7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Σε αυτά τα προβλήματα θα χρειαστεί να βρείτε έναν αριθμό που γνωρίζει μερικά τοις εκατό αυτού του αριθμού.

Εργασία 1.Στις αρχές αυτού του έτους έλαβα 60 ρούβλια από το ταμιευτήριο. εισόδημα από το ποσό που έβαλα σε αποταμιεύσεις πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έχω βάλει στο ταμιευτήριο; (Τα ταμεία δίνουν στους καταθέτες απόδοση 2% ετησίως.)

Το θέμα του προβλήματος είναι ότι έβαλα ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό σε ένα ταμιευτήριο και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, έλαβα 60 ρούβλια από αυτήν. εισόδημα, που είναι τα 2/100 των χρημάτων που κατέθεσα. Πόσα χρήματα έβαλα;

Κατά συνέπεια, γνωρίζοντας μέρος αυτών των χρημάτων, που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και κλάσματα), πρέπει να βρούμε ολόκληρο το, άγνωστο ακόμη, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο πρόβλημα εύρεσης ενός αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του. Τα παρακάτω προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:

Αυτό σημαίνει ότι κατατέθηκαν 3.000 ρούβλια στο ταμιευτήριο.

Εργασία 2.Οι ψαράδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο πρόγραμμα κατά 64% σε δύο εβδομάδες, συγκομίζοντας 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιό τους;

Από τις συνθήκες του προβλήματος γίνεται γνωστό ότι οι ψαράδες ολοκλήρωσαν μέρος του σχεδίου. Το τμήμα αυτό ισούται με 512 τόνους, που είναι το 64% του σχεδίου. Δεν γνωρίζουμε πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να προετοιμαστούν σύμφωνα με το σχέδιο. Η εύρεση αυτού του αριθμού θα είναι η λύση στο πρόβλημα.

Τέτοια προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:

Αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με το σχέδιο πρέπει να προετοιμαστούν 800 τόνοι ψαριών.

Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ρώτησε έναν διερχόμενο αγωγό πόσο από το ταξίδι είχαν ήδη διανύσει. Σε αυτό ο μαέστρος απάντησε: «Έχουμε ήδη καλύψει το 30% ολόκληρου του ταξιδιού». Ποια είναι η απόσταση Μόσχα - Ρίγα;

Από τις προβληματικές συνθήκες είναι σαφές ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χλμ. Πρέπει να βρούμε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλ., για αυτό το μέρος, βρείτε το σύνολο:

§ 91. Αριθμοί αμοιβαίοι. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.

Ας πάρουμε το κλάσμα 2/3 και αντικαταστήσουμε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε το αντίστροφο αυτού του κλάσματος.

Για να λάβετε το αντίστροφο ενός δεδομένου κλάσματος, πρέπει να βάλετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε το αντίστροφο οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:

3/4, αντίστροφη 4/3; 5/6, αντίστροφη 6/5

Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου, λέγονται αμοιβαία αντίστροφα.

Ας σκεφτούμε τώρα ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, θα είναι 2 / 1, ή απλώς 2. Αναζητώντας το αντίστροφο κλάσμα του δεδομένου, πήραμε έναν ακέραιο. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι μεμονωμένη. Αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), οι αντίστροφοι θα είναι ακέραιοι, για παράδειγμα:

1/3, αντίστροφη 3; 1/5, αντίστροφη 5

Εφόσον στην εύρεση των αμοιβαίων κλασμάτων συναντήσαμε και ακέραιους αριθμούς, στη συνέχεια θα μιλήσουμε όχι για αντίστροφα κλάσματα, αλλά για αντίστροφους αριθμούς.

Ας μάθουμε πώς να γράψουμε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού. Για τα κλάσματα, αυτό μπορεί να λυθεί απλά: πρέπει να βάλετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε το αντίστροφο ενός ακέραιου, αφού οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να έχει παρονομαστή 1. Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του 7 θα είναι 1/7, επειδή 7 = 7/1. για τον αριθμό 10 το αντίστροφο θα είναι 1/10, αφού 10 = 10/1

Αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού προκύπτει με διαίρεση του ενός με έναν δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αν χρειαστεί να γράψουμε το αντίστροφο του κλάσματος 5/9, τότε μπορούμε να πάρουμε το 1 και να το διαιρέσουμε με το 5/9, δηλ.

Τώρα ας επισημάνουμε ένα πράγμα ιδιοκτησίααμοιβαίοι αριθμοί, που θα μας φανούν χρήσιμοι: το γινόμενο των αντίστροφων αριθμών είναι ίσο με ένα.Πράγματι:

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε αμοιβαίους αριθμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Ας πούμε ότι πρέπει να βρούμε το αντίστροφο του 8.

Ας το χαρακτηρίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 8 Χ = 1, επομένως Χ = 1/8. Ας βρούμε έναν άλλο αριθμό που είναι αντίστροφος του 7/12 και ας τον συμβολίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 7/12 Χ = 1, επομένως Χ = 1: 7 / 12 ή Χ = 12 / 7 .

Εισαγάγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαίων αριθμών προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.

Όταν διαιρέσουμε τον αριθμό 6 με τα 3/5, κάνουμε τα εξής:

Παρακαλώ πληρώστε Ιδιαίτερη προσοχήστην έκφραση και σύγκρινε με τη δεδομένη: .

Εάν πάρουμε την έκφραση χωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε είναι αδύνατο να λύσουμε το ερώτημα από πού προήλθε: από τη διαίρεση του 6 με 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό του 6 με το 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις συμβαίνει το ίδιο. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω επιβεβαιώνουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.

Αριθμομηχανή κλασμάτωνΣχεδιασμένο για γρήγορο υπολογισμό πράξεων με κλάσματα, θα σας βοηθήσει εύκολα να προσθέσετε, να πολλαπλασιάσετε, να διαιρέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα.

Οι σύγχρονοι μαθητές αρχίζουν να μελετούν κλάσματα ήδη στην 5η τάξη και οι ασκήσεις με αυτά γίνονται πιο περίπλοκες κάθε χρόνο. Οι μαθηματικοί όροι και οι ποσότητες που μαθαίνουμε στο σχολείο σπάνια μπορούν να μας φανούν χρήσιμοι στη ζωή. ενήλικη ζωή. Ωστόσο, τα κλάσματα, σε αντίθεση με τους λογάριθμους και τις δυνάμεις, βρίσκονται αρκετά συχνά στην καθημερινή ζωή (μέτρηση αποστάσεων, ζύγιση αγαθών κ.λπ.). Η αριθμομηχανή μας έχει σχεδιαστεί για γρήγορες λειτουργίες με κλάσματα.

Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι και τι είναι τα κλάσματα. Τα κλάσματα είναι ο λόγος ενός αριθμού προς έναν άλλο· είναι ένας αριθμός που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό κλασμάτων μιας μονάδας.

Τύποι κλασμάτων:

• Συνήθης
• Δεκαδικός
• Μικτός

Παράδειγμα συνηθισμένα κλάσματα:

Η πάνω τιμή είναι ο αριθμητής, η κάτω είναι ο παρονομαστής. Η παύλα μας δείχνει ότι ο επάνω αριθμός διαιρείται με τον κάτω. Αντί για αυτήν τη μορφή γραφής, όταν η παύλα είναι οριζόντια, μπορείτε να γράψετε διαφορετικά. Μπορείτε να βάλετε μια κεκλιμένη γραμμή, για παράδειγμα:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Δεκαδικάείναι ο πιο δημοφιλής τύπος κλασμάτων. Αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος, που χωρίζονται με κόμμα.

Παράδειγμα δεκαδικών κλασμάτων:

0,2 ή 6,71 ή 0,125

Αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλασματικό μέρος. Για να μάθετε την τιμή αυτού του κλάσματος, πρέπει να προσθέσετε ολόκληρο τον αριθμό και το κλάσμα.

Παράδειγμα μικτών κλασμάτων:

Η αριθμομηχανή κλασμάτων στον ιστότοπό μας είναι σε θέση να εκτελεί γρήγορα οποιεσδήποτε μαθηματικές πράξεις με κλάσματα ηλεκτρονικά:

• Πρόσθεση
• Αφαίρεση
• Πολλαπλασιασμός
• Διαίρεση

Για να πραγματοποιήσετε τον υπολογισμό, πρέπει να εισαγάγετε αριθμούς στα πεδία και να επιλέξετε μια ενέργεια. Για τα κλάσματα, πρέπει να συμπληρώσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή· μπορεί να μην γραφτεί ολόκληρος ο αριθμός (αν το κλάσμα είναι συνηθισμένο). Μην ξεχάσετε να κάνετε κλικ στο κουμπί "ίσο".

Είναι βολικό η αριθμομηχανή να παρέχει αμέσως τη διαδικασία για την επίλυση ενός παραδείγματος με κλάσματα και όχι απλώς μια έτοιμη απάντηση. Χάρη στη λεπτομερή λύση που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το υλικό για να λύσετε σχολικά προβλήματα και να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό που καλύπτεται.

Πρέπει να εκτελέσετε το παράδειγμα υπολογισμού:

Αφού εισάγουμε τους δείκτες στα πεδία της φόρμας, παίρνουμε:

Για να κάνετε τον δικό σας υπολογισμό, εισάγετε τα δεδομένα στη φόρμα.

Αριθμομηχανή κλασμάτων

Εισαγάγετε δύο κλάσματα:

		+ - * :

Σχετικές ενότητες.

Αυτό το μάθημα θα καλύπτει την πρόσθεση και την αφαίρεση. αλγεβρικά κλάσματαμε διαφορετικούς παρονομαστές. Γνωρίζουμε ήδη πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κοινά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Για να γίνει αυτό, τα κλάσματα πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Αποδεικνύεται ότι τα αλγεβρικά κλάσματα ακολουθούν τους ίδιους κανόνες. Ταυτόχρονα, γνωρίζουμε ήδη πώς να ανάγουμε τα αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές είναι ένα από τα πιο σημαντικά και δύσκολα θέματα του μαθήματος της 8ης τάξης. Επιπλέον, αυτό το θέμα θα εμφανίζεται σε πολλά θέματα του μαθήματος της άλγεβρας που θα μελετήσετε στο μέλλον. Ως μέρος του μαθήματος, θα μελετήσουμε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και θα αναλύσουμε επίσης ορισμένα τυπικά παραδείγματα.

Ας σκεφτούμε απλούστερο παράδειγμαγια συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα 1.Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση:

Ας θυμηθούμε τον κανόνα για την πρόσθεση κλασμάτων. Αρχικά, τα κλάσματα πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Ο κοινός παρονομαστής για τα συνηθισμένα κλάσματα είναι ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο(LCM) των αρχικών παρονομαστών.

Ορισμός

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται και με τους αριθμούς και με .

Για να βρείτε το LCM, πρέπει να συνυπολογίσετε τους παρονομαστές σε πρώτους παράγοντες και, στη συνέχεια, να επιλέξετε όλους τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση και των δύο παρονομαστών.

; . Τότε το LCM των αριθμών πρέπει να περιλαμβάνει δύο δύο και δύο τρία: .

Αφού βρείτε τον κοινό παρονομαστή, πρέπει να βρείτε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα (στην πραγματικότητα, διαιρέστε τον κοινό παρονομαστή με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος).

Στη συνέχεια, κάθε κλάσμα πολλαπλασιάζεται με τον πρόσθετο παράγοντα που προκύπτει. Παίρνουμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, που μάθαμε να προσθέτουμε και να αφαιρούμε στα προηγούμενα μαθήματα.

Παίρνουμε: .

Απάντηση:.

Ας εξετάσουμε τώρα την πρόσθεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Αρχικά, ας δούμε τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι αριθμοί.

Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση:

Ο αλγόριθμος λύσης είναι απολύτως παρόμοιος με το προηγούμενο παράδειγμα. Είναι εύκολο να βρεθεί ο κοινός παρονομαστής αυτών των κλασμάτων: και πρόσθετοι παράγοντες για καθένα από αυτά.

.

Απάντηση:.

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε αλγόριθμος για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:

1. Να βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων.

2. Βρείτε πρόσθετους παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα (διαιρώντας τον κοινό παρονομαστή με τον παρονομαστή του δοσμένου κλάσματος).

3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές με τους αντίστοιχους πρόσθετους συντελεστές.

4. Προσθέστε ή αφαιρέστε κλάσματα χρησιμοποιώντας τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Ας εξετάσουμε τώρα ένα παράδειγμα με κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής περιέχει εκφράσεις γραμμάτων.

Παράδειγμα 3.Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση:

Επειδή οι εκφράσεις των γραμμάτων και στους δύο παρονομαστές είναι ίδιες, θα πρέπει να βρείτε έναν κοινό παρονομαστή για τους αριθμούς. Ο τελικός κοινός παρονομαστής θα μοιάζει με: . Έτσι, η λύση σε αυτό το παράδειγμα μοιάζει με:.

Απάντηση:.

Παράδειγμα 4.Αφαίρεση κλασμάτων: .

Λύση:

Εάν δεν μπορείτε να «εξαπατήσετε» όταν επιλέγετε έναν κοινό παρονομαστή (δεν μπορείτε να τον συνυπολογίσετε ή να χρησιμοποιήσετε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού), τότε πρέπει να πάρετε το γινόμενο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων ως κοινό παρονομαστή.

Απάντηση:.

Γενικά, κατά την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, το πιο δύσκολο έργο είναι να βρεθεί ένας κοινός παρονομαστής.

Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.

Παράδειγμα 5.Απλοποίηση: .

Λύση:

Όταν βρίσκετε έναν κοινό παρονομαστή, πρέπει πρώτα να προσπαθήσετε να συνυπολογίσετε τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων (για να απλοποιήσετε τον κοινό παρονομαστή).

Στη συγκεκριμένη περίπτωση:

Τότε είναι εύκολο να προσδιοριστεί ο κοινός παρονομαστής: .

Καθορίζουμε πρόσθετους παράγοντες και λύνουμε αυτό το παράδειγμα:

Απάντηση:.

Τώρα ας καθορίσουμε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Παράδειγμα 6.Απλοποίηση: .

Λύση:

Απάντηση:.

Παράδειγμα 7.Απλοποίηση: .

Λύση:

.

Απάντηση:.

Ας εξετάσουμε τώρα ένα παράδειγμα στο οποίο προστίθενται όχι δύο, αλλά τρία κλάσματα (εξάλλου, οι κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης για μεγαλύτερο αριθμό κλασμάτων παραμένουν οι ίδιοι).

Παράδειγμα 8.Απλοποίηση: .