भिन्नों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में हम उदाहरणों, हर चीज़ को स्पष्टीकरण के साथ विस्तार से देखेंगे। हम साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे। हम दशमलव को बाद में देखेंगे। मैं पूरी चीज़ को देखने और उसका क्रमिक रूप से अध्ययन करने की सलाह देता हूं।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम एक भिन्न होता है - जिसका हर समान रहता है, और इसका अंश भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होगा।

नियम: भिन्नों के अंतर की गणना करते समय समान भाजकहमें एक भिन्न मिलती है - हर वही रहता है, और दूसरे का अंश पहले भिन्न के अंश से घटा दिया जाता है।

समान हर वाले भिन्नों के योग और अंतर के लिए औपचारिक संकेतन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण भिन्न दिए जाते हैं तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि उन्हें मिश्रित कर दिया जाए तो क्या होगा? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में बदल सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग-अलग "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और यदि दो का अंतर दिया गया है मिश्रित अंशऔर पहले अंश का अंश दूसरे के अंश से कम होगा? आप भी दो तरह से कार्य कर सकते हैं.

उदाहरण (3):

*सामान्य भिन्नों में परिवर्तित किया गया, अंतर की गणना की गई, परिणामी अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित किया गया।

*हमने इसे पूर्णांक और आंशिक भागों में तोड़ दिया, तीन प्राप्त किया, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, एक को 11/11 के रूप में दर्शाया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच अंतर पाया और परिणाम की गणना की। . उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ यह है कि एक इकाई लें (चयन करें) और उसे हमारे लिए आवश्यक हर के साथ एक भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें, फिर हम इस भिन्न से दूसरा अंश घटा सकते हैं।

एक और उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान हर वाले मिश्रित भिन्नों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित अंशों में बदला जा सकता है, फिर आवश्यक कार्रवाई की जा सकती है। इसके बाद, यदि परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो हम इसे मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ऊपर हमने उन भिन्नों के उदाहरण देखे जिनका हर समान है। यदि हर भिन्न हों तो क्या होगा? इस मामले में, भिन्नों को एक ही हर में घटा दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। किसी भिन्न को बदलने (बदलने) के लिए भिन्न के मूल गुण का उपयोग किया जाता है।

आइए सरल उदाहरण देखें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि समान हर प्राप्त करने के लिए भिन्नों में से किसी एक को कैसे रूपांतरित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक ही हर में कम करने के तरीकों को निर्दिष्ट करते हैं, तो हम इसे कहेंगे विधि एक.

अर्थात्, किसी भिन्न का "मूल्यांकन" करते समय, आपको तुरंत यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या यह दृष्टिकोण काम करेगा - हम जाँचते हैं कि क्या बड़ा हर छोटे से विभाज्य है। और यदि यह विभाज्य है, तो हम एक परिवर्तन करते हैं - हम अंश और हर को गुणा करते हैं ताकि दोनों भिन्नों के हर बराबर हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह दृष्टिकोण उन पर लागू नहीं होता. भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के भी तरीके हैं, आइए उन पर विचार करें।

विधि दो.

हम पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं:

*वास्तव में, जब हर बराबर हो जाते हैं तो हम भिन्नों को छोटा कर देते हैं। इसके बाद, हम समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। एकमात्र नकारात्मक पक्ष यह है कि गणना के बाद आपके पास एक अंश रह सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

आइए एक उदाहरण देखें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तीन.

आपको हरों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना होगा। यही होगा आम विभाजक. यह किस प्रकार की संख्या है? ये सबसे कम है प्राकृतिक संख्या, जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहां दो संख्याएं हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएं हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये 12, 24, 36 हैं, ... उनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, वे 30 से विभाज्य हैं, 60, 90 .... न्यूनतम 30 है। प्रश्न यह है कि इस लघुत्तम समापवर्त्य को कैसे ज्ञात किया जाए?

एक स्पष्ट एल्गोरिदम है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार किसी एल्गोरिदम की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े हो सकते हैं अन्य बनें, उदाहरण के लिए 51 और 119।

कलन विधि। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल गुणनखंडों में विघटित करें

- उनमें से बड़े का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के लुप्त गुणनखंडों से गुणा करें

आइए उदाहरण देखें:

50 और 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

विघटन में अधिकएक पांच गायब है

=> एलसीएम(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

बड़ी संख्या के विस्तार में दो और तीन गायब हैं

=> एलसीएम(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक उनका गुणनफल है

सवाल! लघुत्तम समापवर्त्य ढूँढना क्यों उपयोगी है, चूँकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी भिन्न को आसानी से कम कर सकते हैं? हां, यह संभव है, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। संख्याओं 48 और 72 के हर को देखें यदि आप उन्हें केवल 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। आप सहमत होंगे कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

आइए उदाहरण देखें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

बड़ी संख्या के विस्तार में त्रिगुण का अभाव है

=> एनओसी(51,119) = 3∙7∙17

आइए अब पहली विधि का उपयोग करें:

*गणनाओं में अंतर देखें, पहले मामले में वे न्यूनतम हैं, लेकिन दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की आवश्यकता है, और यहां तक ​​कि आपको प्राप्त अंश को भी कम करने की आवश्यकता है। एलओसी ढूंढने से काम काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

*दूसरे उदाहरण में यह स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्याजो 40 और 60 से विभाज्य है वह 120 के बराबर है।

परिणाम! सामान्य कंप्यूटिंग एल्गोरिदम!

— यदि कोई पूर्णांक भाग है तो हम भिन्नों को घटाकर सामान्य कर देते हैं।

- हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (पहले हम देखते हैं कि क्या एक हर दूसरे से विभाज्य है; यदि यह विभाज्य है, तो हम इस अन्य भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम अन्य तरीकों का उपयोग करके कार्य करते हैं ऊपर दर्शाया गया है)।

- समान हर वाले भिन्न प्राप्त करने के बाद, हम संक्रियाएँ (जोड़, घटाव) करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो हम परिणाम कम कर देते हैं।

- यदि आवश्यक हो तो संपूर्ण भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है. भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण:

अंश $\frac63$ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $\frac63 =6:3 = 2$. यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, इसलिए $\frac(12)(6)$ क्योंकि y भी 2 के बराबर है। आप यह कर सकते हैं अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\frac(18)(9)$ प्राप्त करें, या 27 से और $\frac(162)(81)$ प्राप्त करें, या 101 से और $\frac(606)(303)$ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक मामले में, अंश को हर से विभाजित करने पर हमें भिन्न का मान 2 मिलता है। इसका मतलब है कि यह नहीं बदला है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $\frac(120)(60)$ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जाता है (परिणाम $\frac(60)(30)$ होता है), या 3 से (परिणाम होता है) $\frac(40)(20) $), या 4 से (परिणाम $\frac(30)(15)$) और इसी तरह, तो प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं पूरा नंबर.

यदि भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाता है, तो हमें $\frac(2)(6)$ मिलता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। और वास्तव में, यदि आप पाई को 3 भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 भागों में विभाजित करते हैं और 2 भाग लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में पाई की समान मात्रा मिलेगी। इसलिए, संख्याएं $\frac(1)(3)$ और $\frac(2)(6)$ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम बनाएं।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को भिन्न का मान बदले बिना उसी संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है।

यह नियम बहुत उपयोगी साबित होता है. उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या वाले संचालन से बचने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न $\frac(126)(189)$ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और भिन्न $\frac(2)(3)$ प्राप्त कर सकते हैं, जिसकी गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण. हम भिन्न $\frac(155)(31)$ के अंश और हर को 31 से विभाजित कर सकते हैं और भिन्न $\frac(5)(1)$ या 5 प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि 5:1=5।

इस उदाहरण में, हमारा पहली बार सामना हुआ एक भिन्न जिसका हर 1 है. ऐसे भिन्न भिन्न गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित किया जा सकता है और उसका मान नहीं बदलेगा। अर्थात्, $\frac(273)(1)$ 273 के बराबर है; $\frac(509993)(1)$ 509993 के बराबर है इत्यादि। इसलिए, हमें संख्याओं को से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसे भिन्नों के साथ, जिनका हर 1 है, आप अन्य सभी भिन्नों के समान ही अंकगणितीय परिचालन कर सकते हैं: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

आप पूछ सकते हैं कि यदि हम एक पूर्णांक को रेखा के नीचे एक इकाई के साथ भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं तो इसमें क्या फायदा है, क्योंकि पूर्णांक के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है। लेकिन मुद्दा यह है कि एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने से हमें विभिन्न कार्यों को अधिक कुशलता से करने का अवसर मिलता है जब हम एक ही समय में पूर्णांक और भिन्न दोनों के साथ काम कर रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, सीखना विभिन्न हरों वाली भिन्नों को जोड़ें. मान लीजिए हमें $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(5)$ जोड़ने की जरूरत है।

हम जानते हैं कि हम केवल उन्हीं भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हों। इसका मतलब यह है कि हमें यह सीखने की ज़रूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे घटाया जाए जहां उनके हर बराबर हों। इस मामले में, हमें फिर से इस तथ्य की आवश्यकता होगी कि हम भिन्न का मान बदले बिना उसके अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा कर सकें।

सबसे पहले, भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 5 से गुणा करें। हमें $\frac(5)(15)$ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $\frac(1)(5)$ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(3)(15)$ मिलता है, फिर भी भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं के योग पर लागू करने का प्रयास करें।

हमें $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ जोड़ने की जरूरत है। सबसे पहले, आइए सभी पदों को भिन्नों में बदलें और प्राप्त करें: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. अब हमें सभी भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने की आवश्यकता है, इसके लिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 12 से गुणा करते हैं, दूसरे को 4 से और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\frac(36) मिलता है )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, जो $\frac(55)(12)$ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं अनुचित अंश, इसे एक पूर्णांक और एक भिन्न से युक्त संख्या में बदला जा सकता है: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ या $4\frac(7) )(12)$.

सभी नियम जो अनुमति देते हैं भिन्नों के साथ संचालन, जिसका हमने अभी अध्ययन किया, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी मान्य हैं। तो, -1: 3 को $\frac(-1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और 1: (-3) को $\frac(1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से विभाजित करने और एक धनात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर परिणाम ऋणात्मक होता है, दोनों ही मामलों में उत्तर एक ऋणात्मक संख्या होगी। वह है

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ या $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. इस प्रकार लिखे जाने पर ऋण चिह्न संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1) : (-3) को $\frac(-1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और चूँकि एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, तो $\frac (-1 )(-3)$ को $+\frac(1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी योजना के अनुसार किया जाता है जिस प्रकार धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है। उदाहरण के लिए, $1- 1\frac13$ क्या है? आइए दोनों संख्याओं को भिन्न के रूप में निरूपित करें और $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं और $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें, यानी, $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, या $-\frac(1)(3)$.

§ 87. भिन्नों का योग.

भिन्नों को जोड़ने में पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याओं (पदों) को एक संख्या (योग) में संयोजित किया जाता है, जिसमें पदों की इकाइयों की सभी इकाइयाँ और भिन्न शामिल होते हैं।

हम क्रमिक रूप से तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग.

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5।

आइए खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक मानें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग बराबर होगा 2/5 एबी.

चित्र से यह स्पष्ट है कि यदि हम खंड AD लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD बिल्कुल खंड AC और CD का योग है। तो हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन पदों और परिणामी योग पर विचार करने पर, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।

आइए भिन्नों को जोड़ें: 3 / 4 + 3 / 8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य विभाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सका; हमने इसे स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर तक कम करना होगा, उनके अंश जोड़ना होगा और सामान्य हर को लेबल करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें (हम संगत भिन्नों के ऊपर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग.

आइए संख्याएँ जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब हम पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रमिक रूप से जोड़ते हैं:

§ 88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों को घटाना पूर्ण संख्याओं को घटाने की तरह ही परिभाषित किया गया है। यह एक ऐसी क्रिया है जिसकी सहायता से दो पदों और उनमें से एक का योग करने पर दूसरा पद ज्ञात किया जाता है। आइए लगातार तीन मामलों पर विचार करें:

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना।

आइए एक उदाहरण देखें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का भाग AC, AB के 1/15 का प्रतिनिधित्व करेगा, और उसी खंड का भाग AD 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए हम 4/15 एबी के बराबर एक और खंड ईडी को अलग रखें।

हमें भिन्न 4/15 को 13/15 से घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया, उससे पता चलता है कि अंशों को घटाकर अंतर का अंश प्राप्त किया गया था, लेकिन हर वही रहा।

इसलिए, समान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको लघुअंत के अंश से सबट्रेंड के अंश को घटाना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाएँ:

मध्यवर्ती लिंक 6 / 8 - 5 / 8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन बाद में इसे छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, किसी भिन्न में से भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें न्यूनतम सामान्य हर तक कम करना होगा, फिर लघुअंत के अंश को लघुअंक के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3/4 - 7 2/3.

आइए हम न्यूनतम के भिन्नात्मक भागों को कम करें और निम्नतम सामान्य हर को घटाएँ:

हमने पूर्ण में से पूर्ण और भिन्न में से भिन्न को घटा दिया। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब जो घटाया जा रहा है उसका भिन्नात्मक भाग जो घटाया जा रहा है उसका भिन्नात्मक भाग अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको मीनूएंड के पूरे भाग से एक इकाई लेने की ज़रूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और इसे मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. भिन्नों का गुणन।

भिन्न गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. रुचि की अवधारणा.
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइये इन पर क्रमवार विचार करें।

1. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्ण संख्या को पूर्णांक से गुणा करने का होता है। किसी भिन्न (गुणक) को पूर्णांक (कारक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर होता है, और पदों की संख्या गुणक के बराबर होती है।

इसका मतलब यह है कि यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमने आसानी से परिणाम प्राप्त कर लिया, क्योंकि कार्रवाई को समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने तक सीमित कर दिया गया था। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करना इस भिन्न को उतनी बार बढ़ाने के बराबर है जितनी पूर्ण संख्या में इकाइयाँ हों। और चूंकि भिन्न को बढ़ाना या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं या हर को उससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने के लिए, आप अंश को उस पूर्ण संख्या से गुणा करें और हर को वही छोड़ दें, या, यदि संभव हो, तो हर को उस संख्या से विभाजित करें, अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

गुणा करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएं हैं जिनमें आपको किसी दी गई संख्या का भाग ढूंढना या गणना करना होता है। इन समस्याओं और अन्य समस्याओं के बीच अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं के उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की एक विधि पेश करेंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; मैंने इस पैसे का 1/3 हिस्सा किताबें खरीदने पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहर A और B के बीच 300 किमी के बराबर दूरी तय करनी होगी। वह इस दूरी का 2/3 भाग पहले ही तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गाँव में 400 घर हैं, उनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कुल कितना ईंट के मकान?

यहाँ उनमें से कुछ हैं असंख्य कार्यकिसी दी गई संख्या के उन भागों को ढूँढ़ने के लिए जिनका हम सामना करते हैं। इन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसका मतलब यह है कि किताबों की कीमत जानने के लिए आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या का समाधान 2.समस्या की बात यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 खोजने की आवश्यकता है। आइए पहले 300 में से 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (अर्थात् 300 का 1/3)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (अर्थात 300 का 2/3)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के मकानों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है जो 400 में से 3/4 बनाते हैं। आइए पहले 400 में से 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (अर्थात् 400 का 1/4)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना करना होगा, यानी 3 से गुणा करना होगा:

100 x 3 = 300 (अर्थात् 400 का 3/4)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या से भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)। इस पैराग्राफ (बिंदु 1) में यह स्थापित किया गया था कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने की ओर बढ़ते हैं। यहां हमारा सामना होगा, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2 / 3। यह स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम ऐसे गुणन को समान संख्याएँ जोड़कर प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस कारण हमें गुणन की एक नयी परिभाषा देनी होगी अर्थात् दूसरे शब्दों में इस प्रश्न का उत्तर देना होगा कि भिन्न से गुणा करने पर क्या समझा जाना चाहिए, इस क्रिया को किस प्रकार समझा जाना चाहिए।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: एक पूर्णांक (गुणक) को एक भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों में से 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 पर समाप्त होंगे।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण प्रश्न उठता है: समान संख्याओं का योग ज्ञात करना और किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना जैसे अलग-अलग प्रतीत होने वाले कार्यों को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को पदों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों के उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4) से गुणा करके हल किया जाता है, यानी 50 x 4 = 200 (रूबल)।

आइए वही समस्या लें, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?”

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (3/4) से गुणा करके भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना इसमें संख्याओं को कई बार बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषय-वस्तु समान है और केवल संख्याओं में अंतर है, इसलिए इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को हम एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

आप किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए अंतिम समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। आइए पहले 50 का 1/4 निकालें, और फिर 3/4।

50 का 1/4, 50/4 है;

संख्या 50 का 3/4 है।

इस तरह।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें: 12 5 / 8 =?

संख्या 12 का 1/8, 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और इस भिन्न के हर पर हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

आइए इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि गुणा करने से पहले आपको (यदि संभव हो तो) करना चाहिए। कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को किसी भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का होता है, यानी, किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करते समय, आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणनखंड में मौजूद भिन्न को ढूंढना होगा।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लें: 3/4 को 5/7 से गुणा करें। इसका मतलब है कि आपको 3/4 में से 5/7 ढूंढना होगा। आइए पहले 3/4 का 1/7 निकालें, और फिर 5/7 निकालें

संख्या 3/4 का 1/7 भाग इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 को 4/9 से गुणा किया गया।

5/8 का 1/9 है,

संख्या 5/8 का 4/9 है।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा, और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

में यही नियम है सामान्य रूप से देखेंइस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय (यदि संभव हो तो) कटौती करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देखें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, उन्हें अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याओं को गुणा करें: 2 1/2 और 3 1/5। आइए उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदलें और फिर परिणामी भिन्न को भिन्न से भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करें:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें परिवर्तित करना होगा अनुचित भिन्नऔर फिर भिन्नों को भिन्नों से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करें।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. रुचि की अवधारणा.समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणनाएँ करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएँ किसी भी प्रकार की नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक विभाजन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां हिस्सा (1/100) ले सकते हैं, यह एक कोपेक होगा, दो सौवां हिस्सा 2 कोपेक है, तीन सौवां हिस्सा 3 कोपेक है। आप एक रूबल का 1/10 हिस्सा ले सकते हैं, यह "10 कोपेक, या दस-कोपेक का टुकड़ा होगा। आप एक चौथाई रूबल, यानी 25 कोपेक, आधा रूबल, यानी 50 कोपेक (पचास कोपेक) ले सकते हैं। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से इसे नहीं लेते हैं, उदाहरण के लिए, रूबल का 2/7 क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन की इकाई, यानी किलोग्राम, मुख्य रूप से दशमलव विभाजन की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/13 आम नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव विभाजन की अनुमति देते हैं।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में मात्राओं को उप-विभाजित करने की एक ही (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इतना उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कई उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल थी. इसमें 1 रूबल की कमी आई। 20 कोप्पेक

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को वर्ष के दौरान बचत के लिए जमा की गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। कैश रजिस्टर में 500 रूबल जमा किए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल से स्नातकों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र थे, जिनमें से 60 ने स्नातक की उपाधि प्राप्त की।

किसी संख्या का सौवाँ भाग प्रतिशत कहलाता है.

"प्रतिशत" शब्द उधार लिया गया है लैटिन भाषाऔर इसके मूल "सेंट" का अर्थ है एक सौ। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" ऐसी अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से निकलता है कि प्रारंभ में प्राचीन रोमब्याज वह धन था जो देनदार ऋणदाता को "प्रत्येक सौ के लिए" चुकाता था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (सेंटीमीटर कहें)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि पिछले महीने में संयंत्र ने उत्पादित सभी उत्पादों में से 1/100 उत्पाद ख़राब थे, हम यह कहेंगे: पिछले महीने में संयंत्र ने एक प्रतिशत ख़राब उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पाद तैयार किए।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12 फीसदी कम हो गई है.

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में जमा राशि पर प्रति वर्ष 2 प्रतिशत का भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल से स्नातक करने वालों की संख्या सभी स्कूली छात्रों की 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, आपको यह याद रखना होगा कि गणना में % चिह्न आमतौर पर नहीं लिखा जाता है; इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस प्रतीक के साथ पूर्ण संख्या के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको संकेतित चिह्न वाले पूर्णांक को 100 के हर वाले भिन्न से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले भिन्न के बजाय संकेतित प्रतीक के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 घन मीटर पानी मिला। मी जलाऊ लकड़ी, जिसमें बर्च जलाऊ लकड़ी 30% है। वहां कितनी बर्च जलाऊ लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी स्कूल में पहुंचाई गई जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा है, और यह हिस्सा अंश 30/100 में व्यक्त किया गया है। इसका मतलब है कि हमारे पास किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ उस संख्या को भिन्न से गुणा करने से हल हो जाती हैं।)

इसका मतलब है कि 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। यह कमी शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदला होता.

कार्य 2.शिविर में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 साल के बच्चे 21%, 12 साल के बच्चे 61% और अंततः 13 साल के बच्चे 18% हैं। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमिक रूप से 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

इसका मतलब है कि यहां आपको किसी संख्या का भिन्न तीन बार निकालना होगा। चलो यह करते हैं:

1) वहां 11 साल के कितने बच्चे थे?

2) वहां 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) वहां 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, पाए गए नंबरों को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कुल गणनाशिविर में बच्चों का शत-प्रतिशत मूल्यांकन किया गया।

3 ए डी ए एच ए 3.कर्मचारी को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इसमें से उन्होंने 65% भोजन पर, 6% अपार्टमेंट और हीटिंग पर, 4% गैस, बिजली और रेडियो पर, 10% सांस्कृतिक जरूरतों पर और 15% बचाया। समस्या में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना पैसा खर्च किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए आपको 1,200 का भिन्न 5 बार ज्ञात करना होगा।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च हुआ? समस्या कहती है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100 आइए गणना करें:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए आपने कितना पैसा चुकाया? पिछले वाले के समान तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) गैस, बिजली और रेडियो के लिए आपने कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

5) कर्मचारी ने कितना पैसा बचाया?

जाँच करने के लिए, इन 5 प्रश्नों में पाए गए अंकों को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% माना जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत संख्याओं को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया. इस तथ्य के बावजूद कि ये समस्याएं अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) से संबंधित थीं, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी समस्याओं में दी गई संख्याओं का कई प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

जब हम भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते हैं, तो हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग देना
3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से भाग देना।
4. भिन्न को भिन्न से भाग देना।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.
6. किसी संख्या को उसके दिए गए भिन्न से ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइये इन पर क्रमवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के विभाग में संकेत दिया गया था, विभाजन वह क्रिया है जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

हमने पूर्णांक वाले अनुभाग में एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने पर विचार किया। हमें वहां विभाजन के दो मामलों का सामना करना पड़ा: बिना किसी शेषफल के विभाजन, या "संपूर्ण" (150: 10 = 15), और शेषफल के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और 1 शेष)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के क्षेत्र में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा पूर्णांक द्वारा भाजक का उत्पाद नहीं होता है। भिन्न से गुणा शुरू करने के बाद, हम पूर्णांकों को विभाजित करने के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका 12 से गुणनफल 7 के बराबर होगा। ऐसी संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7. दूसरा उदाहरण: 14: 25 = 14 / 25, क्योंकि 14 / 25 25 = 14।

इस प्रकार, किसी पूर्ण संख्या को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाना होगा जिसका अंश लाभांश के बराबर हो और हर भाजक के बराबर हो।

2. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग देना।

भिन्न 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और गुणनखंड (3) में से एक है; दूसरा गुणनखंड खोजना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिया गया उत्पाद 6/7 प्राप्त होगा। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने रखा गया कार्य भिन्न 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न को कम करना या तो उसके अंश को कम करके या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए आप लिख सकते हैं:

इस स्थिति में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें: 5/8 को 2 से विभाजित किया गया है। यहां अंश 5, 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर एक नियम बनाया जा सकता है: किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस पूर्ण संख्या से विभाजित करना होगा।(अगर संभव हो तो), एक ही हर छोड़कर, या एक ही अंश छोड़कर भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से भाग देना।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या खोजें, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 आए। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है , और किसी संख्या को गुणा करते समय उचित भिन्न का गुणनफल गुणा किए जाने वाले गुणनफल से कम होना चाहिए। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1 / 2 = एक्स , जिसका अर्थ है x 1/2 = 5.

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे यदि 1/2 से गुणा किया जाए, तो 5 प्राप्त होगा। चूँकि किसी निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 के बराबर है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 = 10.

तो 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण देखें. मान लीजिए कि आप 6 को 2/3 से विभाजित करना चाहते हैं। आइए सबसे पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

आइए हम 6 इकाइयों के बराबर एक खंड एबी बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, संपूर्ण खंड AB का तीन तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3. छोटे कोष्ठकों का उपयोग करके, हम 2 के 18 परिणामी खंडों को जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 6 इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्ण इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

अकेले गणनाओं का उपयोग करके बिना ड्राइंग के यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? आइए इस प्रकार तर्क करें: हमें 6 को 2/3 से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले जानें: 6 में 1/3 कितनी बार समाहित है? एक पूरी इकाई में 3 तिहाई होते हैं, और 6 इकाइयों में 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई होते हैं; इस संख्या को खोजने के लिए हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसका मतलब है कि 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि आधी बार समाहित है, यानी 18: 2 = 9 इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित कार्य किया:

यहां से हमें किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से विभाजित करने का नियम मिलता है। किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्ण संख्या को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और, इस उत्पाद को अंश बनाकर, इसे दिए गए भिन्न के अंश से विभाजित करना होगा।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था। कृपया ध्यान दें कि वहां भी वही सूत्र प्राप्त हुआ था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से भाग देना।

मान लीजिए कि हमें 3/4 को 3/8 से विभाजित करना है। विभाजन से प्राप्त संख्या का क्या अर्थ होगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित होता है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 20)।

आइए एक खंड AB लें, इसे एक मानें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चारों मूल खंडों में से प्रत्येक को आधा-आधा विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। आइए ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ें, फिर प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर एक खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 गुना समाहित है; इसका मतलब यह है कि विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण देखें. मान लीजिए कि हमें 15/16 को 3/32 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या ढूंढनी होगी, जिसे 3/32 से गुणा करने पर 15/16 के बराबर गुणनफल मिलेगा। आइए गणनाएँ इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15/16 हैं

अज्ञात संख्या का 1/32 एक्स है ,

32 / 32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा, और पहले गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दूसरा हर.

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा, और फिर परिणामी भिन्नों को विभाजन नियमों के अनुसार विभाजित करना होगा भिन्नात्मक संख्याएँ. आइए एक उदाहरण देखें:

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम का उपयोग करके विभाजित करना होगा।

6. किसी संख्या को उसके दिए गए भिन्न से ज्ञात करना।

के बीच विभिन्न कार्यभिन्नों पर, कभी-कभी ऐसे भी होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी भिन्न का मान दिया जाता है और आपको यह संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार की समस्या किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या का उलटा होगा; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया था और इस संख्या का कुछ अंश स्वयं खोजना आवश्यक था। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियाँ घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका मतलब है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियाँ थीं।

कार्य 2.स्टोर ने 1,500 किलोग्राम आटा बेचा, जो स्टोर के कुल आटे के स्टॉक का 3/8 हिस्सा है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थितियों से यह स्पष्ट है कि बेचा गया 1,500 किलोग्राम आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस रिजर्व का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह रिजर्व का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरी सप्लाई 8 गुना ज्यादा होगी. इस तरह,

500 8 = 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे का शुरुआती स्टॉक 4,000 किलोग्राम था।

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके भिन्न के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की दो समस्याएं हल कीं। ऐसी समस्याएं, जैसा कि विशेष रूप से पिछले एक से स्पष्ट रूप से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, जब हमने भिन्नों का विभाजन सीख लिया, तो उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया से हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न से विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस प्रकार एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की समस्याओं को एक क्रिया - विभाजन से हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन समस्याओं में आपको उस संख्या का कुछ प्रतिशत जानकर एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस वर्ष की शुरुआत में मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक वर्ष पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा रखा है? (कैश डेस्क जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष 2% रिटर्न देते हैं।)

समस्या की बात यह है कि मैंने एक निश्चित राशि बचत बैंक में डाल दी और एक साल तक वहीं रहा। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा जमा किए गए धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा लगाया?

नतीजतन, इस पैसे का हिस्सा जानने के बाद, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया जाता है, हमें पूरी, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। विभाजन द्वारा निम्नलिखित समस्याओं का समाधान किया जाता है:

इसका मतलब है कि बचत बैंक में 3,000 रूबल जमा किए गए थे।

कार्य 2.मछुआरों ने दो सप्ताह में 64% तक मासिक योजना पूरी की, 512 टन मछली का उत्पादन किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा कर लिया है। यह भाग 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। हमें नहीं पता कि योजना के मुताबिक कितनी टन मछली तैयार करने की जरूरत है. इस नंबर को ढूंढना ही समस्या का समाधान होगा.

ऐसी समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है:

इसका मतलब है कि योजना के मुताबिक 800 टन मछली तैयार करने की जरूरत है.

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मॉस्को तक गई. जब वह 276वां किलोमीटर पार कर गया, तो यात्रियों में से एक ने पास से गुजर रहे कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा तय कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही तय कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी कितनी है?

समस्या की स्थिति से यह स्पष्ट है कि रीगा से मॉस्को तक का 30% मार्ग 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी ज्ञात करनी होगी, यानी, इस भाग के लिए, संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी होगी:

§ 91. पारस्परिक संख्याएँ। भाग को गुणन से बदलना।

आइए भिन्न 2/3 लें और हर के स्थान पर अंश बदलें, हमें 3/2 मिलता है। हमें इस भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त हुआ।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार हम किसी भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

3/4, उल्टा 4/3; 5/6, उलटा 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर है और पहले का हर दूसरे का अंश है, कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

अब आइए विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। दिए गए अंश के व्युत्क्रम भिन्न को खोजने पर, हमें एक पूर्णांक प्राप्त हुआ। और यह मामला अलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी भिन्नों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उल्टा 3; 1/5, उलटा 5

चूँकि व्युत्क्रम भिन्न ज्ञात करते समय हमें पूर्णांकों का भी सामना करना पड़ा, इसलिए आगे हम व्युत्क्रम भिन्नों के बारे में नहीं, बल्कि व्युत्क्रम संख्याओं के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि पूर्णांक का व्युत्क्रम कैसे लिखें। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जा सकता है: आपको अंश के स्थान पर हर लगाना होगा। उसी तरह, आप किसी पूर्णांक के लिए व्युत्क्रम संख्या प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक का हर 1 हो सकता है। इसका मतलब है कि 7 की व्युत्क्रम संख्या 1/7 होगी, क्योंकि 7 = 7/1; संख्या 10 के लिए व्युत्क्रम 1/10 होगा, क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्ण संख्याओं के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, अगर हमें भिन्न का व्युत्क्रम 5/9 लिखना हो तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब एक बात बता दें संपत्तिपारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का उपयोग करके हम निम्नलिखित प्रकार से व्युत्क्रम संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं। मान लीजिए कि हमें 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।

आइए इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, अत: एक्स = 1/8. आइए एक अन्य संख्या खोजें जो 7/12 का व्युत्क्रम है और इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, अत: एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों को विभाजित करने के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा प्रस्तुत की है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

भुगतान करें विशेष ध्यानअभिव्यक्ति के लिए और इसकी तुलना दिए गए अभिव्यक्ति से करें: .

यदि हम पिछले एक से संबंध के बिना, अभिव्यक्ति को अलग से लेते हैं, तो इस प्रश्न को हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में एक ही बात होती है. इसलिए हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

भिन्न कैलकुलेटरभिन्नों के साथ त्वरित गणना संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया, यह आपको भिन्नों को आसानी से जोड़ने, गुणा करने, विभाजित करने या घटाने में मदद करेगा।

आधुनिक स्कूली बच्चे 5वीं कक्षा से ही भिन्नों का अध्ययन शुरू कर देते हैं, और उनके साथ अभ्यास हर साल अधिक जटिल होता जाता है। गणितीय नियम और मात्राएँ जो हम स्कूल में सीखते हैं, वे शायद ही कभी जीवन में हमारे लिए उपयोगी हो सकते हैं। वयस्क जीवन. हालाँकि, लघुगणक और घातों के विपरीत भिन्न, रोजमर्रा की जिंदगी (दूरियां मापना, सामान तौलना आदि) में अक्सर पाए जाते हैं। हमारा कैलकुलेटर भिन्नों के साथ त्वरित संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि भिन्न क्या हैं और वे क्या हैं। भिन्न एक संख्या से दूसरी संख्या का अनुपात है; यह एक इकाई के भिन्नों की पूर्णांक संख्या से बनी संख्या है।

भिन्नों के प्रकार:

• साधारण
• दशमलव
• मिश्रित

उदाहरण साधारण भिन्न:

शीर्ष मान अंश है, निचला मान हर है। डैश हमें दिखाता है कि शीर्ष संख्या नीचे से विभाज्य है। इस लेखन प्रारूप के बजाय, जब डैश क्षैतिज होता है, तो आप अलग तरीके से लिख सकते हैं। आप एक झुकी हुई रेखा लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

दशमलवभिन्नों के सबसे लोकप्रिय प्रकार हैं। उनमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जो अल्पविराम से अलग होता है।

दशमलव भिन्नों का उदाहरण:

0.2 या 6.71 या 0.125

एक पूर्ण संख्या और एक भिन्नात्मक भाग से मिलकर बनता है। इस भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए आपको पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़ना होगा।

मिश्रित भिन्नों का उदाहरण:

हमारी वेबसाइट पर भिन्न कैलकुलेटर ऑनलाइन भिन्नों के साथ किसी भी गणितीय कार्य को शीघ्रता से करने में सक्षम है:

• जोड़ना
• घटाव
• गुणा
• विभाजन

गणना करने के लिए, आपको फ़ील्ड में संख्याएँ दर्ज करनी होंगी और एक क्रिया का चयन करना होगा। भिन्नों के लिए, आपको अंश और हर भरना होगा; पूरी संख्या नहीं लिखी जा सकती (यदि भिन्न साधारण है)। "बराबर" बटन पर क्लिक करना न भूलें।

यह सुविधाजनक है कि कैलकुलेटर तुरंत भिन्नों के साथ एक उदाहरण को हल करने की प्रक्रिया प्रदान करता है, न कि केवल एक तैयार उत्तर। यह विस्तृत समाधान के लिए धन्यवाद है कि आप इस सामग्री का उपयोग स्कूल की समस्याओं को हल करने और कवर की गई सामग्री को बेहतर ढंग से सीखने के लिए कर सकते हैं।

आपको उदाहरण गणना करने की आवश्यकता है:

प्रपत्र फ़ील्ड में संकेतक दर्ज करने के बाद, हमें यह मिलता है:

अपनी स्वयं की गणना करने के लिए, फॉर्म में डेटा दर्ज करें।

भिन्न कैलकुलेटर

दो भिन्न दर्ज करें:

		+ - * :

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यह पाठ जोड़ और घटाव को कवर करेगा। बीजीय भिन्नविभिन्न भाजक के साथ. हम पहले से ही जानते हैं कि विभिन्न हरों के साथ सामान्य भिन्नों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए। यह पता चला है कि बीजगणितीय भिन्न समान नियमों का पालन करते हैं। साथ ही, हम पहले से ही जानते हैं कि बीजीय भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए। विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना 8वीं कक्षा के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण और कठिन विषयों में से एक है। इसके अलावा, यह विषय बीजगणित पाठ्यक्रम के कई विषयों में दिखाई देगा जिनका आप भविष्य में अध्ययन करेंगे। पाठ के भाग के रूप में, हम विभिन्न हर के साथ बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का अध्ययन करेंगे, और कई विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण भी करेंगे।

चलो गौर करते हैं सबसे सरल उदाहरणसाधारण भिन्नों के लिए.

उदाहरण 1।भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

आइए भिन्नों को जोड़ने का नियम याद रखें। आरंभ करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए। साधारण भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है न्यूनतम समापवर्तक(एलसीएम) मूल हर का।

परिभाषा

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या जो दोनों संख्याओं से विभाज्य है।

एलसीएम खोजने के लिए, आपको हरों को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा, और फिर उन सभी अभाज्य कारकों का चयन करना होगा जो दोनों हरों के विस्तार में शामिल हैं।

; . फिर संख्याओं के एलसीएम में दो दो और दो तीन शामिल होने चाहिए:।

उभयनिष्ठ हर खोजने के बाद, आपको प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढना होगा (वास्तव में, उभयनिष्ठ हर को संबंधित भिन्न के हर से विभाजित करें)।

फिर प्रत्येक अंश को परिणामी अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है। हमें समान हर वाली भिन्नें मिलती हैं, जिन्हें हमने पिछले पाठों में जोड़ना और घटाना सीखा था।

हम पाते हैं: .

उत्तर:.

आइए अब विभिन्न हर वाले बीजगणितीय भिन्नों के योग पर विचार करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को देखें जिनके हर संख्याएँ हैं।

उदाहरण 2.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल पिछले उदाहरण के समान है। इन भिन्नों का सामान्य हर ज्ञात करना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त गुणनखंड।

.

उत्तर:.

तो, आइए तैयार करें विभिन्न हर वाले बीजगणितीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए एल्गोरिदम:

1. भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड खोजें (सामान्य हर को दिए गए भिन्न के हर से विभाजित करके)।

3. अंशों को संगत अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें।

4. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या घटाएँ।

आइए अब भिन्नों के एक उदाहरण पर विचार करें जिनके हर में अक्षर भाव हैं।

उदाहरण 3.भिन्न जोड़ें: .

समाधान:

चूँकि दोनों हर में अक्षर के भाव समान हैं, इसलिए आपको संख्याओं के लिए एक सामान्य हर ढूंढना चाहिए। अंतिम सामान्य भाजक इस प्रकार दिखेगा:। इस प्रकार, इस उदाहरण का समाधान इस प्रकार दिखता है:.

उत्तर:.

उदाहरण 4.भिन्न घटाएँ: .

समाधान:

यदि आप एक सामान्य हर को चुनते समय "धोखा" नहीं दे सकते हैं (आप इसका गुणनखंड नहीं कर सकते हैं या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग नहीं कर सकते हैं), तो आपको दोनों भिन्नों के हर के उत्पाद को सामान्य हर के रूप में लेना होगा।

उत्तर:.

सामान्य तौर पर, ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, सबसे कठिन कार्य एक सामान्य हर ढूंढना है।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.सरल करें: .

समाधान:

एक सामान्य हर ढूँढ़ते समय, आपको पहले मूल भिन्नों के हरों का गुणनखंड करने का प्रयास करना चाहिए (सामान्य हर को सरल बनाने के लिए)।

इस विशेष मामले में:

फिर सामान्य विभाजक निर्धारित करना आसान है: .

हम अतिरिक्त कारक निर्धारित करते हैं और इस उदाहरण को हल करते हैं:

उत्तर:.

आइए अब विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियम स्थापित करें।

उदाहरण 6.सरल करें: .

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 7.सरल करें: .

समाधान:

.

उत्तर:.

आइए अब एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें दो नहीं, बल्कि तीन भिन्न जोड़े जाते हैं (आखिरकार, बड़ी संख्या में भिन्नों के लिए जोड़ और घटाने के नियम समान रहते हैं)।

उदाहरण 8.सरल करें: .