आर्कसाइन (y = आर्कसिन एक्स) sine (x =) का व्युत्क्रम फलन है पापी -1 ≤ एक्स ≤ 1और मानों का समुच्चय -π /2 ≤ य ≤ π/2.
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
आर्क्सिन(पाप x) = x

आर्क्साइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क्साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्कसिन एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है, तो साइन ग्राफ़ से आर्कसाइन ग्राफ़ प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को आर्क्साइन का प्रमुख मान कहा जाता है।

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

आर्क कोसाइन (y = आर्ककोस एक्स) कोज्या (x =) का व्युत्क्रम फलन है आरामदायक). इसका एक दायरा है -1 ≤ एक्स ≤ 1और कई अर्थ 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
आर्ककोस(cos x) = x

आर्ककोसाइन को कभी-कभी इस प्रकार दर्शाया जाता है:
.

आर्क कोसाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = आर्ककोस एक्स

यदि भुज और कोटि अक्षों की अदला-बदली की जाती है तो आर्क कोसाइन ग्राफ कोसाइन ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मूल्यों की सीमा उस अंतराल तक सीमित है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है। इस परिभाषा को चाप कोज्या का प्रमुख मान कहा जाता है।

समानता

आर्क्साइन फ़ंक्शन विषम है:
आर्क्सिन(- x) = आर्क्सिन(-sin आर्क्सिन x) = आर्क्सिन(पाप(-आर्क्सिन x)) = - आर्क्सिन एक्स

चाप कोज्या फलन सम या विषम नहीं है:
आर्ककोस(- x) = आर्ककोस(-कॉस आर्ककोस x) = आर्ककोस(cos(π-arccos x)) = π - आर्ककोस x ≠ ± आर्ककोस x

गुण-अधिकता, वृद्धि, ह्रास

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

	आप= आर्कसिन एक्स	आप= आर्ककोस एक्स
दायरा और निरंतरता	- 1 ≤ एक्स ≤ 1	- 1 ≤ एक्स ≤ 1
मूल्यों की श्रृंखला
आरोही अवरोही	नीरस रूप से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
उतार
न्यूनतम
शून्य, y = 0	एक्स = 0	एक्स = 1
कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0	आप= 0	y = π/ 2

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के मान प्रस्तुत करती है।

एक्स	आर्कसिन एक्स		आर्ककोस एक्स
	ओलों	खुश।	ओलों	खुश।
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

सूत्रों

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

पर और

पर या

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के माध्यम से व्यंजक

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

संजात

;
.
आर्क्साइन और आर्ककोसाइन डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च क्रम डेरिवेटिव:
,
घात का बहुपद कहाँ है? यह सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
;
.

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के उच्च क्रम व्युत्पन्नों की व्युत्पत्ति देखें > > >

अभिन्न

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं पाप टी. हम इसे ध्यान में रखते हुए भागों द्वारा एकीकृत करते हैं -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, क्योंकि टी ≥ 0:
.

आइए आर्क कोसाइन को आर्क साइन के माध्यम से व्यक्त करें:
.

शृंखला विस्तार

कब |x|< 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के व्युत्क्रम क्रमशः साइन और कोसाइन हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मान्य हैं:
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्स
cos(arccos x) = x .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्कसाइन और आर्ककोसाइन मानों के सेट पर मान्य हैं:
आर्क्सिन(पाप x) = xपर
आर्ककोस(cos x) = xपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

आर्कसाइन, आर्ककोसाइन क्या है? आर्कटैन्जेंट, आर्ककोटेंजेंट क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

अवधारणाओं को आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट, आर्ककोटेंजेंट छात्र आबादी सावधान है. वह इन शर्तों को नहीं समझता है और इसलिए, इस अच्छे परिवार पर भरोसा नहीं करता है।) लेकिन व्यर्थ। ये बहुत ही सरल अवधारणाएँ हैं। जो, वैसे, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय एक जानकार व्यक्ति के लिए जीवन को बेहद आसान बना देता है!

सादगी के बारे में संदेह? व्यर्थ में।) यहीं और अभी आप इसे देखेंगे।

बेशक, समझने के लिए, यह जानना अच्छा होगा कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं। हाँ, कुछ कोणों के लिए उनके सारणीबद्ध मान... कम से कम सबसे सामान्य शब्दों में। फिर यहां भी कोई दिक्कत नहीं होगी.

तो, हम आश्चर्यचकित हैं, लेकिन याद रखें: आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटेंजेंट केवल कुछ कोण हैं।ना ज्यादा ना कम। एक कोण है, मान लीजिए 30°। और एक कोना है आर्कसिन0.4. या आर्कटिक(-1.3). सभी प्रकार के कोण होते हैं।) आप कोणों को विभिन्न तरीकों से आसानी से लिख सकते हैं। आप कोण को डिग्री या रेडियन में लिख सकते हैं। या आप कर सकते हैं - इसकी ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के माध्यम से...

अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है

आर्क्सिन 0.4?

यह एक ऐसा कोण है जिसकी ज्या 0.4 है! हां हां। आर्क्साइन का यही अर्थ है. मैं विशेष रूप से दोहराऊंगा: आर्क्सिन 0.4 एक कोण है जिसकी ज्या 0.4 के बराबर है।

बस इतना ही।

इस सरल विचार को लंबे समय तक आपके दिमाग में बनाए रखने के लिए, मैं इस भयानक शब्द - आर्क्साइन का एक संक्षिप्त विवरण भी दूंगा:

आर्क पाप 0,4
कोना, जिसकी ज्या 0.4 के बराबर

जैसा लिखा जाता है, वैसा ही सुना जाता है।) लगभग। सांत्वना देना आर्कमतलब आर्क(शब्द मेहराबक्या आप जानते हैं?), क्योंकि प्राचीन लोग कोणों के स्थान पर चापों का उपयोग करते थे, लेकिन इससे मामले का सार नहीं बदलता। गणितीय शब्द की इस प्रारंभिक डिकोडिंग को याद रखें! इसके अलावा, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के लिए, डिकोडिंग केवल फ़ंक्शन के नाम में भिन्न होती है।

आर्ककोस 0.8 क्या है?
यह एक ऐसा कोण है जिसकी कोज्या 0.8 है।

आर्कटीजी(-1,3) क्या है?
यह एक ऐसा कोण है जिसकी स्पर्शरेखा -1.3 है.

आर्कसीटीजी 12 क्या है?
यह एक ऐसा कोण है जिसका कोटैंजेंट 12 है।

इस तरह की प्राथमिक डिकोडिंग, महाकाव्य भूलों से बचने की अनुमति देती है।) उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति arccos1,8 काफी सम्मानजनक लगती है। आइए डिकोड करना शुरू करें: आर्ककोस1.8 एक कोण है जिसकी कोज्या 1.8 के बराबर है... कूदो-कूदो!? 1.8!? कोज्या एक से बड़ी नहीं हो सकती!!!

सही। अभिव्यक्ति arccos1,8 का कोई मतलब नहीं है। और किसी उत्तर में ऐसी अभिव्यक्ति लिखने से इंस्पेक्टर को बहुत मजा आएगा।)

प्राथमिक, जैसा कि आप देख सकते हैं।) प्रत्येक कोण की अपनी व्यक्तिगत ज्या और कोज्या होती है। और लगभग हर किसी की अपनी स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट होती है। इसलिए, त्रिकोणमितीय फलन को जानकर, हम कोण को स्वयं लिख सकते हैं। आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का उद्देश्य यही है। अब से मैं इस पूरे परिवार को छोटे नाम से ही बुलाऊंगा - आरशेज़कम टाइप करने के लिए.)

ध्यान! प्राथमिक मौखिक और सचेतडिकोडिंग मेहराब आपको शांतिपूर्वक और आत्मविश्वास से विभिन्न प्रकार के कार्यों को हल करने की अनुमति देता है। और में असामान्यकेवल वह कार्य सहेजती है.

क्या आर्क से सामान्य डिग्री या रेडियन पर स्विच करना संभव है?- मैंने एक सतर्क प्रश्न सुना।)

क्यों नहीं!? आसानी से। आप वहां जा सकते हैं और वापस आ सकते हैं। इसके अलावा, कभी-कभी ऐसा करना ही पड़ता है। मेहराब एक साधारण चीज़ है, लेकिन यह उनके बिना किसी तरह शांत है, है ना?)

उदाहरण के लिए: आर्क्सिन 0.5 क्या है?

आइए डिकोडिंग याद रखें: आर्क्सिन 0.5 वह कोण है जिसकी ज्या 0.5 है।अब अपना सिर घुमाएं (या Google)) और याद रखें कि किस कोण की ज्या 0.5 है? साइन 0.5 y के बराबर है 30 डिग्री का कोण. इतना ही: आर्कसिन 0.5 30° का कोण है।आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

आर्क्सिन 0.5 = 30°

या, अधिक औपचारिक रूप से, रेडियन के संदर्भ में:

बस, आप आर्कसाइन के बारे में भूल सकते हैं और सामान्य डिग्री या रेडियन के साथ काम करना जारी रख सकते हैं।

अगर तुम्हें एहसास हुआ आर्कसाइन, आर्ककोसाइन क्या है... आर्कटैंजेंट, आर्ककोटैंजेंट क्या है...उदाहरण के लिए, आप ऐसे राक्षस से आसानी से निपट सकते हैं।)

एक अज्ञानी व्यक्ति भयभीत होकर पीछे हट जाएगा, हाँ...) लेकिन एक जानकार व्यक्ति डिकोडिंग याद रखें:आर्कसाइन एक ऐसा कोण है जिसकी साइन... इत्यादि। यदि कोई जानकार व्यक्ति ज्या की तालिका भी जानता है... कोज्या की तालिका। स्पर्शज्या और कोटैंजेंट की तालिका, तो कोई समस्या नहीं है!

यह एहसास करने के लिए पर्याप्त है कि:

मैं इसे समझूंगा, यानी। मुझे सूत्र का शब्दों में अनुवाद करने दीजिए: वह कोण जिसकी स्पर्शरेखा 1 है (arctg1)- यह 45° का कोण है. या, जो समान है, Pi/4. वैसे ही:

और बस इतना ही... हम सभी मेहराबों को रेडियन में मानों से बदल देते हैं, सब कुछ कम हो जाता है, जो कुछ बचा है वह गणना करना है कि 1+1 कितना है। यह 2 होगा.) कौन सा सही उत्तर है.

इस प्रकार आप आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटेंजेंट से सामान्य डिग्री और रेडियन की ओर बढ़ सकते हैं (और चाहिए)। यह डरावने उदाहरणों को बहुत सरल बनाता है!

अक्सर ऐसे उदाहरणों में अंदर मेहराबें होती हैं नकारात्मकअर्थ. जैसे, arctg(-1.3), या, उदाहरण के लिए, arccos(-0.8)... यह कोई समस्या नहीं है। नकारात्मक से सकारात्मक मूल्यों की ओर बढ़ने के लिए यहां सरल सूत्र दिए गए हैं:

मान लीजिए, आपको अभिव्यक्ति का मान निर्धारित करने की आवश्यकता है:

इसे त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन आप इसे बनाना नहीं चाहते। अच्छी तरह से ठीक है। हम वहां से आगे बढ़ते हैं नकारात्मक K की चाप कोज्या के अंदर मान सकारात्मकदूसरे सूत्र के अनुसार:

दाहिनी ओर आर्क कोसाइन के अंदर पहले से ही है सकारात्मकअर्थ। क्या

आपको बस जानना चाहिए. जो कुछ बचा है वह आर्क कोसाइन के स्थान पर रेडियन को प्रतिस्थापित करना और उत्तर की गणना करना है:

बस इतना ही।

आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट, आर्ककोटेंजेंट पर प्रतिबंध।

क्या उदाहरण 7-9 में कोई समस्या है? अच्छा, हाँ, वहाँ कुछ चाल है।)

इन सभी उदाहरणों, 1 से 9 तक, का धारा 555 में सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया गया है। क्या, कैसे और क्यों। सभी गुप्त जाल और चालों के साथ। साथ ही समाधान को नाटकीय रूप से सरल बनाने के तरीके। वैसे, इस अनुभाग में सामान्य रूप से त्रिकोणमिति पर बहुत सारी उपयोगी जानकारी और व्यावहारिक युक्तियाँ शामिल हैं। और केवल त्रिकोणमिति में ही नहीं। बहुत मदद करता है.

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी हमेशा आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटैंजेंट के साथ होते हैं। एक दूसरे का परिणाम है, और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए कार्यों के जोड़े समान रूप से महत्वपूर्ण हैं।

एक इकाई वृत्त के चित्र पर विचार करें, जो ग्राफिक रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को प्रदर्शित करता है।

यदि हम चाप OA, चाप OC, चाप DE और चाप MK की गणना करें, तो वे सभी कोण α के मान के बराबर होंगे। नीचे दिए गए सूत्र बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके संगत चापों के बीच संबंध को दर्शाते हैं।

आर्क्साइन के गुणों के बारे में अधिक समझने के लिए इसके कार्य पर विचार करना आवश्यक है। अनुसूची समन्वय केंद्र से गुजरने वाले एक असममित वक्र का रूप है।

आर्क्साइन के गुण:

यदि हम ग्राफ़ की तुलना करें पापऔर आर्कसिन, दो त्रिकोणमितीय कार्यों में सामान्य पैटर्न हो सकते हैं।

आर्क कोसाइन

किसी संख्या का आर्ककोस कोण α का मान होता है, जिसकी कोज्या a के बराबर होती है।

वक्र वाई = आर्कोस एक्सआर्क्सिन x ग्राफ़ को प्रतिबिंबित करता है, एकमात्र अंतर यह है कि यह ओए अक्ष पर बिंदु π/2 से होकर गुजरता है।

आइए आर्क कोसाइन फ़ंक्शन को अधिक विस्तार से देखें:

1. फ़ंक्शन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है [-1; 1].
2. आर्ककोस के लिए ओडीजेड -।
3. ग्राफ़ पूरी तरह से पहली और दूसरी तिमाही में स्थित है, और फ़ंक्शन स्वयं न तो सम है और न ही विषम है।
4. Y = 0 पर x = 1.
5. वक्र अपनी पूरी लंबाई के साथ घटता जाता है। आर्क कोसाइन के कुछ गुण कोसाइन फ़ंक्शन के साथ मेल खाते हैं।

आर्क कोसाइन के कुछ गुण कोसाइन फ़ंक्शन के साथ मेल खाते हैं।

शायद स्कूली बच्चों को "मेहराब" का ऐसा "विस्तृत" अध्ययन अनावश्यक लगेगा। हालाँकि, अन्यथा, कुछ प्रारंभिक मानक परीक्षा कार्य छात्रों को गतिरोध में ले जा सकते हैं।

अभ्यास 1।चित्र में दिखाए गए कार्यों को इंगित करें।

उत्तर:चावल। 1 - 4, चित्र 2 - 1.

इस उदाहरण में छोटी-छोटी बातों पर जोर दिया गया है। आमतौर पर, छात्र ग्राफ़ के निर्माण और फ़ंक्शंस की उपस्थिति के प्रति बहुत असावधान होते हैं। दरअसल, वक्र के प्रकार को क्यों याद रखें यदि इसे हमेशा परिकलित बिंदुओं का उपयोग करके प्लॉट किया जा सकता है। यह मत भूलिए कि परीक्षण परिस्थितियों में, एक साधारण कार्य के लिए ड्राइंग पर लगने वाला समय अधिक जटिल कार्यों को हल करने में लगेगा।

आर्कटिक

आर्कटिकसंख्याएँ a कोण α का मान हैं जैसे कि इसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है।

यदि हम चापस्पर्शरेखा ग्राफ़ पर विचार करें, तो हम निम्नलिखित गुणों पर प्रकाश डाल सकते हैं:

1. ग्राफ अनंत है और अंतराल (- ∞; + ∞) पर परिभाषित है।
2. आर्कटेंजेंट एक विषम फलन है, इसलिए, आर्कटैन (- x) = - आर्कटैन x।
3. Y = 0 पर x = 0.
4. संपूर्ण परिभाषा क्षेत्र में वक्र बढ़ता जाता है।

आइए हम एक तालिका के रूप में tg x और arctg x का संक्षिप्त तुलनात्मक विश्लेषण प्रस्तुत करें।

आर्कोटैन्जेंट

किसी संख्या का Arcctg - अंतराल (0; π) से एक मान α लेता है जैसे कि इसका कोटैंजेंट a के बराबर होता है।

चाप कोटैंजेंट फ़ंक्शन के गुण:

1. फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल अनंत है।
2. स्वीकार्य मानों की सीमा अंतराल (0; π) है।
3. F(x) न तो सम है और न ही विषम है।
4. इसकी पूरी लंबाई के दौरान, फ़ंक्शन का ग्राफ़ घटता जाता है।

ctg x और arctg x की तुलना करना बहुत सरल है; आपको बस दो चित्र बनाने और वक्रों के व्यवहार का वर्णन करने की आवश्यकता है।

कार्य 2.फ़ंक्शन के ग्राफ़ और नोटेशन फॉर्म का मिलान करें।

यदि हम तार्किक रूप से सोचें तो ग्राफ़ से स्पष्ट है कि दोनों फ़ंक्शन बढ़ रहे हैं। इसलिए, दोनों आंकड़े एक निश्चित आर्कटान फ़ंक्शन प्रदर्शित करते हैं। चापस्पर्शज्या के गुणों से यह ज्ञात होता है कि x = 0 पर y=0,

उत्तर:चावल। 1 - 1, अंजीर। 2 – 4.

त्रिकोणमितीय पहचान आर्क्सिन, आर्कोस, आर्कटीजी और आर्कसीटीजी

पहले, हम पहले ही मेहराब और त्रिकोणमिति के बुनियादी कार्यों के बीच संबंध की पहचान कर चुके हैं। इस निर्भरता को कई सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो किसी को व्यक्त करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, किसी तर्क की साइन को उसके आर्कसाइन, आर्ककोसाइन या इसके विपरीत के माध्यम से। विशिष्ट उदाहरणों को हल करते समय ऐसी पहचानों का ज्ञान उपयोगी हो सकता है।

आर्कटीजी और आर्कसीटीजी के लिए भी संबंध हैं:

सूत्रों की एक और उपयोगी जोड़ी आर्क्सिन और आर्कोस के योग के साथ-साथ एक ही कोण के आर्कसीटीजी और आर्कसीटीजी के लिए मान निर्धारित करती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

त्रिकोणमिति कार्यों को चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: किसी विशिष्ट अभिव्यक्ति के संख्यात्मक मान की गणना करें, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं, इसकी परिभाषा का डोमेन या ODZ ढूंढें और उदाहरण को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक परिवर्तन करें।

पहले प्रकार की समस्या को हल करते समय, आपको निम्नलिखित कार्य योजना का पालन करना होगा:

फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ काम करते समय, मुख्य बात उनके गुणों और वक्र की उपस्थिति का ज्ञान है। त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए पहचान तालिकाओं की आवश्यकता होती है। विद्यार्थी जितने अधिक सूत्र याद रखेगा, कार्य का उत्तर ढूंढना उतना ही आसान होगा।

मान लीजिए कि एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको एक समीकरण का उत्तर ढूंढना है जैसे:

यदि आप अभिव्यक्ति को सही ढंग से रूपांतरित करके वांछित रूप में लाते हैं, तो इसे हल करना बहुत सरल और त्वरित है। सबसे पहले, आइए आर्क्सिन x को समानता के दाईं ओर ले जाएँ।

अगर आपको फार्मूला याद है आर्क्सिन (पाप α) = α, तो हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए उत्तरों की खोज को कम कर सकते हैं:

मॉडल x पर प्रतिबंध फिर से आर्क्सिन के गुणों से उत्पन्न हुआ: x के लिए ODZ [-1; 1]. जब ≠0 होता है, तो सिस्टम का हिस्सा एक द्विघात समीकरण होता है जिसके मूल x1 = 1 और x2 = - 1/a होते हैं। जब a = 0, x 1 के बराबर होगा।

इससे पहले कार्यक्रम में, छात्रों ने त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का विचार प्राप्त किया, आर्क कोसाइन और आर्क साइन की अवधारणाओं से परिचित हुए, और समीकरणों कॉस टी = ए और पाप टी = ए के समाधान के उदाहरणों से परिचित हुए। इस वीडियो ट्यूटोरियल में हम समीकरण tg x = a और ctg x = a को हल करने पर विचार करेंगे।

इस विषय का अध्ययन शुरू करने के लिए, समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 पर विचार करें। यदि हम एक ग्राफ का उपयोग करके समीकरण tg x = 3 को हल करते हैं, तो हम देखेंगे कि फ़ंक्शन y = tg x और के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन y = 3 में अनंत संख्या में समाधान हैं, जहां x = x 1 + πk। मान x 1 फ़ंक्शन y = tan x और y = 3 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का x निर्देशांक है। लेखक आर्कटैंजेंट की अवधारणा का परिचय देता है: आर्कटैन 3 एक संख्या है जिसका tan 3 के बराबर है, और यह संख्या -π/2 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। आर्कटैन्जेंट की अवधारणा का उपयोग करते हुए, समीकरण tan x = 3 का समाधान x = arctan 3 + πk के रूप में लिखा जा सकता है।

सादृश्य द्वारा, समीकरण tg x = - 3 को हल किया जाता है। फ़ंक्शन y = tg x और y = - 3 के निर्मित ग्राफ़ से, यह स्पष्ट है कि ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, और इसलिए समीकरणों के समाधान होंगे। x = x 2 + πk हो। आर्कटैन्जेंट का उपयोग करके, समाधान को x = आर्कटैन (- 3) + πk के रूप में लिखा जा सकता है। अगले चित्र में हम देखते हैं कि आर्कटग (- 3) = - आर्कटग 3।

आर्कटेंजेंट की सामान्य परिभाषा इस प्रकार है: आर्कटेंजेंट ए -π/2 से π/2 के अंतराल की एक संख्या है जिसका स्पर्शरेखा ए के बराबर है। तब समीकरण tan x = a का हल x = arctan a + πk है।

लेखक उदाहरण 1 देता है। अभिव्यक्ति arctg का समाधान ढूंढें आइए नोटेशन का परिचय दें: किसी संख्या का आर्कटेन्जेंट x के बराबर है, तो tg x दिए गए नंबर के बराबर होगा, जहां x -π से सेगमेंट से संबंधित है। /2 से π/2. पिछले विषयों के उदाहरणों की तरह, हम मूल्यों की एक तालिका का उपयोग करेंगे। इस तालिका के अनुसार, इस संख्या का स्पर्शरेखा मान x = π/3 से मेल खाता है। आइए हम समीकरण का हल लिखें: किसी दी गई संख्या का चाप स्पर्शरेखा π/3 के बराबर है, π/3 भी -π/2 से π/2 के अंतराल से संबंधित है।

उदाहरण 2 - एक ऋणात्मक संख्या की चापस्पर्शरेखा की गणना करें। समानता arctg (- a) = - arctg a का उपयोग करके, हम x का मान दर्ज करते हैं। उदाहरण 2 के समान, हम x का मान लिखते हैं, जो -π/2 से π/2 तक के खंड से संबंधित है। मानों की तालिका से हम पाते हैं कि x = π/3, इसलिए, -- tg x = - π/3। समीकरण का उत्तर है - π/3.

आइए उदाहरण 3 पर विचार करें। समीकरण tg x = 1 को हल करें। लिखें कि x = arctan 1 + πk। तालिका में, मान tg 1, मान x = π/4 से मेल खाता है, इसलिए, arctg 1 = π/4। आइए इस मान को मूल सूत्र x में प्रतिस्थापित करें और उत्तर x = π/4 + πk लिखें।

उदाहरण 4: tan x = - 4.1 की गणना करें। इस स्थिति में x = आर्कटैन (- 4.1) + πk। क्योंकि इस मामले में आर्कटग का मान ज्ञात करना संभव नहीं है; उत्तर x = आर्कटग (- 4.1) + πk जैसा दिखेगा।

उदाहरण 5 में, असमानता tg x > 1 के समाधान पर विचार किया गया है। इसे हल करने के लिए, हम फ़ंक्शन y = tan x और y = 1 के ग्राफ़ बनाते हैं। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, ये ग्राफ़ बिंदु x = पर प्रतिच्छेद करते हैं। π/4 + πk. क्योंकि इस मामले में tg x > 1, ग्राफ़ पर हम स्पर्शरेखा क्षेत्र को हाइलाइट करते हैं, जो ग्राफ़ y = 1 के ऊपर स्थित है, जहां x π/4 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। हम उत्तर को π/4 + πk के रूप में लिखते हैं< x < π/2 + πk.

इसके बाद, समीकरण cot x = a पर विचार करें। चित्र फ़ंक्शन y = cot x, y = a, y = - a के ग्राफ़ दिखाता है, जिसमें कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। समाधानों को x = x 1 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 1 = arcctg a और x = x 2 + πk, जहाँ x 2 = arcctg (- a)। यह नोट किया गया है कि x 2 = π - x 1। इसका तात्पर्य समानता arcctg (- a) = π - arcctg a से है। आर्क कोटैंजेंट की परिभाषा निम्नलिखित है: आर्क कोटैंजेंट ए 0 से π के अंतराल की एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है। समीकरण сtg x = a का हल इस प्रकार लिखा गया है: x = arcctg a + πk।

वीडियो पाठ के अंत में, एक और महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला गया है - अभिव्यक्ति ctg x = a को tg x = 1/a के रूप में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि a शून्य के बराबर न हो।

पाठ डिकोडिंग:

आइए समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 को हल करने पर विचार करें। पहले समीकरण को ग्राफ़िक रूप से हल करने पर, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y = tg x और y = 3 के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, जिनमें से भुज होंगे फॉर्म में लिखा है

x = x 1 + πk, जहां x 1 स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम का आविष्कार किया गया था

आर्कटैन 3 (तीन का आर्कटैन्जेंट)।

आर्कटग 3 को कैसे समझें?

यह एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा 3 है और यह संख्या अंतराल (- ;) से संबंधित है। फिर समीकरण tg x = 3 के सभी मूल सूत्र x = arctan 3+πk द्वारा लिखे जा सकते हैं।

इसी प्रकार, समीकरण tg x = - 3 का हल x = x 2 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 2, सीधी रेखा y = - 3 की मुख्य शाखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। स्पर्शरेखा (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम arctg(- 3) (चाप स्पर्शरेखा शून्य से तीन)। फिर समीकरण के सभी मूल सूत्र द्वारा लिखे जा सकते हैं: x = arctan(-3)+ πk. चित्र से पता चलता है कि arctg(- 3)= - arctg 3.

आइए हम आर्कटेंजेंट की परिभाषा तैयार करें। चापस्पर्शरेखा a अंतराल (-;) से एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है।

समानता का अक्सर उपयोग किया जाता है: arctg(-a) = -arctg a, जो किसी भी a के लिए मान्य है।

आर्कटैन्जेंट की परिभाषा जानने के बाद, हम समीकरण के समाधान के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं

tg x= a: समीकरण tg x = a का हल x = arctan a + πk है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1. आर्कटान की गणना करें।

समाधान। माना arctg = x, फिर tgх = और xϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)।

तो, आर्कटान =।

उदाहरण 2. आर्कटैन (-) की गणना करें।

समाधान। समानता arctg(- a) = - arctg a का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

आर्कटीजी(-) = - आर्कटीजी। मान लीजिए - arctg = x, फिर - tgх = और xϵ (- ;)। इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ

इसका मतलब है - arctg=- tgх= - .

उदाहरण 3. समीकरण tgх = 1 को हल करें।

1. समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटैन 1 + πk।

2. चापस्पर्शज्या का मान ज्ञात कीजिए

चूँकि tg = . मानों की तालिका दिखाएँ

तो arctan1= .

3. पाए गए मान को समाधान सूत्र में डालें:

उदाहरण 4. समीकरण tgх = - 4.1 को हल करें (स्पर्शरेखा x शून्य से चार बिंदु एक के बराबर है)।

समाधान। आइए समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान (- 4.1) + πk।

हम चापस्पर्शज्या के मान की गणना नहीं कर सकते, इसलिए हम समीकरण के समाधान को उसके प्राप्त रूप में ही छोड़ देंगे।

उदाहरण 5. असमानता tgх 1 को हल करें।

समाधान। हम इसे ग्राफ़िक तरीके से हल करेंगे.

1. आइए एक स्पर्श रेखा बनाएं

y = tgх और सीधी रेखा y = 1 (चित्र 2)। वे x = + πk जैसे बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

2. आइए हम x-अक्ष के अंतराल का चयन करें जिसमें स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा सीधी रेखा y = 1 के ऊपर स्थित है, क्योंकि शर्त tgх 1 के अनुसार। यह अंतराल (;) है।

3. हम फ़ंक्शन की आवधिकता का उपयोग करते हैं।

संपत्ति 2. y=tg x मुख्य अवधि π के साथ एक आवधिक कार्य है।

फ़ंक्शन y = tgх की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं:

(;). उत्तर को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:

आइए समीकरण ctg x = a पर चलते हैं। आइए हम सकारात्मक और नकारात्मक ए के समीकरण के समाधान का एक चित्रमय चित्रण प्रस्तुत करें (चित्र 3)।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = ctg x और y = a और भी

y=ctg x और y=-a

इसमें अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, जिनके भुज इस प्रकार दिखते हैं:

x = x 1 +, जहां x 1 स्पर्श रेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = a के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और

x 1 = आर्कसीटीजी ए;

x = x 2 +, जहां x 2 रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है

y = - a स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ और x 2 = arcсtg (- a)।

ध्यान दें कि x 2 = π - x 1. तो, आइए एक महत्वपूर्ण समानता लिखें:

आर्कसीटीजी (-ए) = π - आर्कसीटीजी ए।

आइए परिभाषा तैयार करें: चाप कोटैंजेंट ए अंतराल (0;π) से एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है।

समीकरण ctg x = a का हल इस रूप में लिखा गया है: x = arcctg a +।

कृपया ध्यान दें कि समीकरण ctg x = a को रूप में बदला जा सकता है

tg x =, सिवाय इसके कि जब a = 0 हो।

यह आलेख निम्न से संबंधित है आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का मान ज्ञात करनादिया गया नंबर. सबसे पहले हम यह स्पष्ट करेंगे कि आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का अर्थ क्या कहा जाता है। इसके बाद, हम इन आर्क फ़ंक्शंस के मुख्य मान प्राप्त करेंगे, जिसके बाद हम समझेंगे कि साइन, कोसाइन, टैंगेंट और ब्रैडिस की तालिकाओं का उपयोग करके आर्क साइन, आर्क कोसाइन, आर्क टैंगेंट और आर्क कोटैंजेंट के मान कैसे पाए जाते हैं। कोटैंजेंट अंत में, आइए किसी संख्या की आर्कसाइन ज्ञात करने के बारे में बात करते हैं जब इस संख्या की आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट या आर्ककोटेंजेंट आदि ज्ञात हो।

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आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का मान

सबसे पहले, यह पता लगाना ज़रूरी है कि वास्तव में "यह" क्या है। आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट का अर्थ».

साइन और कोसाइन की ब्रैडिस तालिकाएँ, साथ ही स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, आपको एक मिनट की सटीकता के साथ डिग्री में एक सकारात्मक संख्या के आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट का मान खोजने की अनुमति देती हैं। यहां यह उल्लेख करने योग्य है कि ऋणात्मक संख्याओं के आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के मानों को खोजने के लिए सूत्र आर्क्सिन, आर्ककोस, आर्कटग और की ओर मुड़कर सकारात्मक संख्याओं के संबंधित आर्कफंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए कम किया जा सकता है। arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a और arcctg(−a)=π−arcctg a के रूप की विपरीत संख्याओं का arcctg।

आइए जानें कि ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करके आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैंजेंट और आर्ककोटेंजेंट के मान कैसे ज्ञात करें। हम इसे उदाहरणों के साथ करेंगे।

आइए हमें आर्क्साइन मान 0.2857 ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम यह मान साइन की तालिका में पाते हैं (ऐसे मामले जब यह मान तालिका में नहीं है, तो नीचे चर्चा की जाएगी)। यह साइन 16 डिग्री 36 मिनट के अनुरूप है। अत: संख्या 0.2857 की आर्कसाइन का वांछित मान 16 डिग्री 36 मिनट का कोण है।

अक्सर तालिका के दाईं ओर तीन स्तंभों से सुधारों को ध्यान में रखना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें 0.2863 की आर्कसाइन ज्ञात करनी है। साइन की तालिका के अनुसार, यह मान 0.2857 प्लस 0.0006 के सुधार के रूप में प्राप्त होता है, अर्थात 0.2863 का मान 16 डिग्री 38 मिनट (16 डिग्री 36 मिनट प्लस 2 मिनट का सुधार) की साइन से मेल खाता है।

यदि वह संख्या जिसकी आर्कसाइन में हमारी रुचि है वह तालिका में नहीं है और उसे सुधारों को ध्यान में रखते हुए भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है, तो तालिका में हमें उसके निकटतम साइन के दो मान खोजने होंगे, जिनके बीच यह संख्या संलग्न है। उदाहरण के लिए, हम 0.2861573 के आर्क्साइन मान की तलाश कर रहे हैं। यह संख्या तालिका में नहीं है, और यह संख्या संशोधनों का उपयोग करके भी प्राप्त नहीं की जा सकती है। फिर हमें दो निकटतम मान 0.2860 और 0.2863 मिलते हैं, जिनके बीच मूल संख्या संलग्न है, ये संख्याएँ 16 डिग्री 37 मिनट और 16 डिग्री 38 मिनट की ज्या के अनुरूप हैं; 0.2861573 का वांछित आर्क्साइन मान उनके बीच स्थित है, अर्थात, इनमें से किसी भी कोण मान को 1 मिनट की सटीकता के साथ अनुमानित आर्क्साइन मान के रूप में लिया जा सकता है।

चाप कोसाइन मान, चाप स्पर्शरेखा मान और चाप कोटैंजेंट मान बिल्कुल उसी तरह से पाए जाते हैं (इस मामले में, निश्चित रूप से, क्रमशः कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिकाओं का उपयोग किया जाता है)।

आर्ककोस, आर्कटीजी, आर्कसीटीजी, आदि का उपयोग करके आर्क्सिन का मान ज्ञात करना।

उदाहरण के लिए, आइए जानते हैं कि arcsin a=−π/12, और हमें arccos a का मान ज्ञात करना होगा। हम आवश्यक चाप कोज्या मान की गणना करते हैं: आर्ककोस a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

स्थिति तब और अधिक दिलचस्प हो जाती है, जब किसी संख्या a के आर्कटेंजेंट या आर्ककोसाइन के ज्ञात मान का उपयोग करके, आपको इस नंबर a के आर्कटेंजेंट या आर्ककोटेंजेंट का मान ज्ञात करना होता है या इसके विपरीत। दुर्भाग्यवश, हम ऐसे सूत्रों को नहीं जानते जो ऐसे कनेक्शनों को परिभाषित करते हैं। हो कैसे? आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं.

आइए जानते हैं कि किसी संख्या a की आर्ककोसाइन π/10 के बराबर है, और हमें इस संख्या a की आर्कटेंजेंट की गणना करने की आवश्यकता है। आप समस्या को इस प्रकार हल कर सकते हैं: चाप कोज्या के ज्ञात मान का उपयोग करके, संख्या a ज्ञात करें, और फिर इस संख्या की चाप स्पर्शरेखा ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हमें पहले कोसाइन की एक तालिका की आवश्यकता है, और फिर स्पर्शरेखाओं की एक तालिका की।

कोण π/10 रेडियन 18 डिग्री का कोण है, कोसाइन तालिका का उपयोग करके हम पाते हैं कि 18 डिग्री का कोसाइन लगभग 0.9511 के बराबर है, तो हमारे उदाहरण में संख्या a 0.9511 है।

यह स्पर्शरेखाओं की तालिका की ओर मुड़ना बाकी है, और इसकी सहायता से हमें 0.9511 की आवश्यकता वाले आर्कटेंजेंट मान को ढूंढें, यह लगभग 43 डिग्री 34 मिनट के बराबर है।

यह विषय लेख की सामग्री द्वारा तार्किक रूप से जारी है। आर्क्सिन, आर्ककोस, आर्कटीजी और आर्कसीटीजी युक्त अभिव्यक्तियों के मूल्यों का मूल्यांकन करना.

ग्रंथ सूची.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 9वीं कक्षा के लिए. औसत स्कूल/यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंडयुक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा; ईडी। एस. ए. तेल्याकोवस्की - एम.: शिक्षा, 1990. - 272 पीपी.: आईएसबीएन 5-09-002727-7
• बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए. औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 1993. - 351 पी.: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4.
• बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक. 10-11 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए. एन. कोलमोगोरोव - 14वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 2004. - 384 पीपी. - आईएसबीएन 5-09-013651-3।
• आई. वी. बॉयकोव, एल. डी. रोमानोवा। एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए समस्याओं का संग्रह, भाग 1, पेन्ज़ा 2003।
• ब्रैडिस वी.एम.चार अंकों की गणित तालिकाएँ: सामान्य शिक्षा के लिए। पाठयपुस्तक प्रतिष्ठान. - दूसरा संस्करण। - एम.: बस्टर्ड, 1999.- 96 पी.: बीमार। आईएसबीएन 5-7107-2667-2