Handlinger med brøker. I denne artikkelen vil vi se på eksempler, alt i detalj med forklaringer. Vi vil vurdere vanlige brøker. Vi skal se på desimaler senere. Jeg anbefaler å se hele greia og studere den sekvensielt.

1. Sum av brøker, differanse av brøker.

Regel: når du legger til brøker med like nevnere, er resultatet en brøk - hvis nevner forblir den samme, og telleren vil være lik summen av tellerne til brøkene.

Regel: ved beregning av forskjellen på brøker med samme nevnere vi får en brøk - nevneren forblir den samme, og telleren til den andre trekkes fra telleren til den første brøken.

Formell notasjon for summen og differansen av brøker med like nevnere:

Eksempler (1):

Det er klart at når vanlige brøker er gitt, så er alt enkelt, men hva om de er blandet? Ikke noe komplisert...

Alternativ 1– du kan konvertere dem til vanlige og deretter beregne dem.

Alternativ 2– du kan "arbeide" separat med heltalls- og brøkdelene.

Eksempler (2):

Flere:

Og hvis forskjellen på to er gitt blandede fraksjoner og telleren til den første brøken vil være mindre enn telleren til den andre? Du kan også handle på to måter.

Eksempler (3):

*Omregnet til vanlige brøker, beregnet differansen, konvertert den resulterende uekte brøken til en blandet brøk.

*Vi delte det opp i heltalls- og brøkdeler, fikk en treer, presenterte så 3 som summen av 2 og 1, med en representert som 11/11, fant deretter forskjellen mellom 11/11 og 7/11 og beregnet resultatet . Meningen med transformasjonene ovenfor er å ta (velge) en enhet og presentere den i form av en brøk med den nevneren vi trenger, så kan vi trekke en annen fra denne brøken.

Et annet eksempel:

Konklusjon: det er en universell tilnærming - for å beregne summen (forskjellen) av blandede brøker med like nevnere, kan de alltid konverteres til upassende, og deretter utføre den nødvendige handlingen. Etter dette, hvis resultatet er en uekte brøk, konverterer vi den til en blandet brøk.

Ovenfor så vi på eksempler med brøker som har like nevnere. Hva om nevnerne er forskjellige? I dette tilfellet reduseres brøkene til samme nevner og den angitte handlingen utføres. For å endre (transformere) en brøk, brukes den grunnleggende egenskapen til brøken.

La oss se på enkle eksempler:

I disse eksemplene ser vi umiddelbart hvordan en av brøkene kan transformeres for å få like nevnere.

Hvis vi utpeker måter å redusere brøker til samme nevner på, vil vi kalle denne METODE EN.

Det vil si at umiddelbart når du "evaluerer" en brøkdel, må du finne ut om denne tilnærmingen vil fungere - vi sjekker om den større nevneren er delelig med den mindre. Og hvis den er delelig, så utfører vi transformasjonen - vi multipliserer telleren og nevneren slik at nevnerne til begge brøkene blir like.

Se nå på disse eksemplene:

Denne tilnærmingen gjelder ikke for dem. Det er også måter å redusere brøker til en fellesnevner; la oss vurdere dem.

Metode TO.

Vi multipliserer telleren og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre, og telleren og nevneren til den andre brøken med nevneren til den første:

*Vi reduserer faktisk brøker til formen når nevnerne blir like. Deretter bruker vi regelen for å legge til brøker med like nevnere.

Eksempel:

*Denne metoden kan kalles universell, og den fungerer alltid. Den eneste ulempen er at du etter beregningene kan ende opp med en brøkdel som må reduseres ytterligere.

La oss se på et eksempel:

Det kan sees at telleren og nevneren er delelig med 5:

Metode TRE.

Du må finne det minste felles multiplum (LCM) av nevnerne. Dette er hva som vil skje fellesnevner. Hva slags tall er dette? Dette er det minste naturlige tallet som er delelig med hvert av tallene.

Se, her er to tall: 3 og 4, det er mange tall som er delbare med dem - disse er 12, 24, 36, ... Det minste av dem er 12. Eller 6 og 15, 30, 60, 90 er delelig på dem.... Den minste er 30. Spørsmålet er - hvordan bestemme dette minste felles multiplum?

Det er en klar algoritme, men ofte kan dette gjøres umiddelbart uten beregninger. For eksempel, i henhold til eksemplene ovenfor (3 og 4, 6 og 15) er ingen algoritme nødvendig, vi tok store tall (4 og 15), doblet dem og så at de er delbare med det andre tallet, men tallpar kan være andre, for eksempel 51 og 119.

Algoritme. For å bestemme minste felles multiplum av flere tall, må du:

- dekomponer hvert tall i ENKLE faktorer

- skriv ned nedbrytningen av den STØRRE av dem

- multipliser det med MANGLER faktorene til andre tall

La oss se på eksempler:

50 og 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

i nedbrytning flere en fem mangler

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 og 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

i utvidelsen av et større nummer to og tre mangler

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Det minste felles multiplum av to primtall er produktet deres

Spørsmål! Hvorfor er det nyttig å finne det minste felles multiplumet, siden du kan bruke den andre metoden og ganske enkelt redusere den resulterende brøken? Ja, det er mulig, men det er ikke alltid praktisk. Se på nevneren for tallene 48 og 72 hvis du bare multipliserer dem 48∙72 = 3456. Du er enig i at det er mer behagelig å jobbe med mindre tall.

La oss se på eksempler:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

utvidelsen av et større antall mangler en trippel

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

La oss nå bruke den første metoden:

*Se på forskjellen i beregningene, i det første tilfellet er det et minimum av dem, men i det andre må du jobbe separat på et stykke papir, og til og med brøkdelen du mottok må reduseres. Å finne LOC forenkler arbeidet betydelig.

Flere eksempler:

*I det andre eksemplet er det tydelig at minste antall som er delelig med 40 og 60 er lik 120.

RESULTAT! GENERELL DATAALGORITME!

— vi reduserer brøker til vanlige hvis det er en heltallsdel.

- vi bringer brøker til en fellesnevner (først ser vi på om en nevner er delelig med en annen; hvis den er delelig, multipliserer vi telleren og nevneren til denne andre brøken; hvis den ikke er delelig, handler vi ved å bruke de andre metodene angitt ovenfor).

- Etter å ha mottatt brøker med like nevnere, utfører vi operasjoner (addisjon, subtraksjon).

– om nødvendig reduserer vi resultatet.

- om nødvendig, velg hele delen.

2. Produkt av fraksjoner.

Regelen er enkel. Når du multipliserer brøker, multipliseres deres tellere og nevnere:

Eksempler:

Tenk på brøken $\frac63$. Verdien er 2, siden $\frac63 =6:3 = 2$. Hva skjer hvis telleren og nevneren multipliseres med 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Det er klart at verdien av brøken ikke har endret seg, så $\frac(12)(6)$ som y er også lik 2. Du kan multipliser teller og nevner med 3 og få $\frac(18)(9)$, eller med 27 og få $\frac(162)(81)$, eller med 101 og få $\frac(606)(303)$. I hvert av disse tilfellene er verdien av brøken som vi får ved å dele telleren med nevneren 2. Dette betyr at den ikke har endret seg.

Det samme mønsteret er observert for andre fraksjoner. Hvis telleren og nevneren til brøken $\frac(120)(60)$ (lik 2) deles på 2 (resultatet er $\frac(60)(30)$), eller med 3 (resultatet er $\frac(40)(20) $), eller med 4 (resultat $\frac(30)(15)$) og så videre, så i hvert tilfelle forblir verdien av brøken uendret og lik 2.

Denne regelen gjelder også for brøker som ikke er like hele tall.

Hvis telleren og nevneren til brøken $\frac(1)(3)$ multipliseres med 2, får vi $\frac(2)(6)$, det vil si at verdien av brøken ikke har endret seg. Og faktisk, hvis du deler paien i 3 deler og tar en av dem, eller deler den i 6 deler og tar 2 deler, får du like mye pai i begge tilfeller. Derfor er tallene $\frac(1)(3)$ og $\frac(2)(6)$ identiske. La oss formulere en generell regel.

Telleren og nevneren til enhver brøk kan multipliseres eller divideres med samme tall uten å endre verdien av brøken.

Denne regelen viser seg å være veldig nyttig. For eksempel lar den i noen tilfeller, men ikke alltid, unngå operasjoner med store antall.

For eksempel kan vi dele telleren og nevneren til brøken $\frac(126)(189)$ med 63 og få brøken $\frac(2)(3)$, som er mye lettere å regne med. Et annet eksempel. Vi kan dele telleren og nevneren til brøken $\frac(155)(31)$ med 31 og få brøken $\frac(5)(1)$ eller 5, siden 5:1=5.

I dette eksemplet møtte vi først en brøk med nevneren 1. Slike brøker spiller en viktig rolle i beregninger. Det bør huskes at et hvilket som helst tall kan deles med 1 og verdien vil ikke endres. Det vil si at $\frac(273)(1)$ er lik 273; $\frac(509993)(1)$ er lik 509993 og så videre. Derfor trenger vi ikke å dele tall med , siden hvert heltall kan representeres som en brøk med nevneren 1.

Med slike brøker, hvis nevner er 1, kan du utføre de samme aritmetiske operasjonene som med alle andre brøker: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1) ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Du kan spørre hva det hjelper om vi representerer et heltall som en brøk med en enhet under linjen, siden det er mer praktisk å jobbe med et heltall. Men poenget er at å representere et heltall som en brøk gir oss muligheten til å utføre ulike operasjoner mer effektivt når vi har å gjøre med både heltall og brøker samtidig. For eksempel å lære legg til brøker med forskjellige nevnere. Anta at vi må legge til $\frac(1)(3)$ og $\frac(1)(5)$.

Vi vet at vi bare kan legge til brøker hvis nevnere er like. Dette betyr at vi må lære å redusere brøker til en form der nevnerne er like. I dette tilfellet vil vi igjen trenge det faktum at vi kan multiplisere telleren og nevneren til en brøk med samme tall uten å endre verdien.

Først multipliserer du telleren og nevneren til brøken $\frac(1)(3)$ med 5. Vi får $\frac(5)(15)$, verdien av brøken har ikke endret seg. Deretter multipliserer vi telleren og nevneren til brøken $\frac(1)(5)$ med 3. Vi får $\frac(3)(15)$, igjen er verdien av brøken ikke endret. Derfor er $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

La oss nå prøve å bruke dette systemet til å legge til tall som inneholder både heltalls- og brøkdeler.

Vi må legge til $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Først, la oss konvertere alle leddene til brøker og få: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Nå må vi bringe alle brøkene til en fellesnevner, for dette multipliserer vi telleren og nevneren til den første brøken med 12, den andre med 4 og den tredje med 3. Som et resultat får vi $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, som er lik $\frac(55)(12)$. Hvis du vil bli kvitt feil brøkdel, kan det gjøres om til et tall som består av et heltall og en brøk: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ eller $4\frac(7) )(12)$.

Alle reglene som tillater det operasjoner med brøker, som vi nettopp studerte, er også gyldige når det gjelder negative tall. Så -1: 3 kan skrives som $\frac(-1)(3)$, og 1: (-3) som $\frac(1)(-3)$.

Siden både å dele et negativt tall med et positivt tall og å dele et positivt tall med et negativt gir negative tall, vil svaret i begge tilfeller være et negativt tall. Det vil si

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ eller $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Minustegnet når det skrives på denne måten refererer til hele brøken, og ikke separat til telleren eller nevneren.

På den annen side kan (-1) : (-3) skrives som $\frac(-1)(-3)$, og siden å dele et negativt tall med et negativt tall gir et positivt tall, så er $\frac (-1 )(-3)$ kan skrives som $+\frac(1)(3)$.

Addisjon og subtraksjon av negative brøker utføres etter samme skjema som addisjon og subtraksjon av positive brøker. Hva er for eksempel $1- 1\frac13$? La oss representere begge tallene som brøker og få $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. La oss bringe brøkene til en fellesnevner og få $\frac(1 \ ganger 3)(1 \ ganger 3)-\frac(4)(3)$, det vil si $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, eller $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Addisjon av brøker.

Å legge til brøker har mange likheter med å legge til hele tall. Addisjon av brøker er en handling som består i at flere gitte tall (ledd) kombineres til ett tall (sum), som inneholder alle enhetene og brøkene av enhetene til leddene.

Vi vil vurdere tre saker sekvensielt:

1. Addisjon av brøker med like nevnere.
2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.
3. Addisjon av blandede tall.

1. Addisjon av brøker med like nevnere.

Tenk på et eksempel: 1/5 + 2/5.

La oss ta segment AB (fig. 17), ta det som ett og dele det i 5 like deler, så vil del AC av dette segmentet være lik 1/5 av segment AB, og en del av samme segment CD vil være lik 2/5 AB.

Fra tegningen er det klart at hvis vi tar segmentet AD, vil det være lik 3/5 AB; men segmentet AD er nøyaktig summen av segmentene AC og CD. Så vi kan skrive:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Med tanke på disse begrepene og den resulterende summen, ser vi at telleren av summen ble oppnådd ved å legge til tellerne til begrepene, og nevneren forble uendret.

Fra dette får vi følgende regel: For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la den samme nevneren være igjen.

La oss se på et eksempel:

2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.

La oss legge til brøkene: 3 / 4 + 3 / 8 Først må de reduseres til laveste fellesnevner:

Mellomlenken 6/8 + 3/8 kunne ikke skrives; vi har skrevet det her for klarhet.

For å legge til brøker med ulike nevnere, må du derfor først redusere dem til laveste fellesnevner, legge til tellerne og merke fellesnevneren.

La oss vurdere et eksempel (vi vil skrive tilleggsfaktorer over de tilsvarende brøkene):

3. Addisjon av blandede tall.

La oss legge til tallene: 2 3/8 + 3 5/6.

La oss først bringe brøkdelene av tallene våre til en fellesnevner og skrive dem om igjen:

Nå legger vi til heltalls- og brøkdelene sekvensielt:

§ 88. Subtraksjon av brøker.

Å subtrahere brøker er definert på samme måte som å trekke fra hele tall. Dette er en handling som, gitt summen av to ledd og ett av dem, finner et annet ledd. La oss vurdere tre saker etter hverandre:

1. Trekk fra brøker med like nevnere.
2. Subtrahere brøker med ulike nevnere.
3. Subtraksjon av blandede tall.

1. Trekk fra brøker med like nevnere.

La oss se på et eksempel:

13 / 15 - 4 / 15

La oss ta segmentet AB (fig. 18), ta det som en enhet og dele det i 15 like deler; da vil del AC av dette segmentet representere 1/15 av AB, og del AD av samme segment vil tilsvare 13/15 AB. La oss sette til side et annet segment ED lik 4/15 AB.

Vi må trekke fra brøken 4/15 fra 13/15. På tegningen betyr dette at segment ED må trekkes fra segment AD. Som et resultat vil segment AE forbli, som er 9/15 av segment AB. Så vi kan skrive:

Eksemplet vi laget viser at telleren til forskjellen ble oppnådd ved å trekke fra tellerne, men nevneren forble den samme.

Derfor, for å trekke fra brøker med like nevnere, må du trekke fra telleren til subtrahenden fra telleren til minuenden og la den samme nevneren være igjen.

2. Subtrahere brøker med ulike nevnere.

Eksempel. 3/4 - 5/8

La oss først redusere disse brøkene til laveste fellesnevner:

Mellomlenken 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhet, men kan hoppes over fra nå av.

For å trekke en brøk fra en brøk, må du derfor først redusere dem til laveste fellesnevner, deretter trekke fra telleren til minuenden fra telleren til minuenden og signere fellesnevneren under deres differanse.

La oss se på et eksempel:

3. Subtraksjon av blandede tall.

Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.

La oss redusere brøkdelene av minuend og subtrahend til laveste fellesnevner:

Vi trakk en helhet fra en helhet og en brøk fra en brøk. Men det er tilfeller der brøkdelen av subtrahenden er større enn brøkdelen av minuenden. I slike tilfeller må du ta en enhet fra hele delen av minuenden, dele den opp i de delene der brøkdelen er uttrykt, og legge den til brøkdelen av minuenden. Og så vil subtraksjonen utføres på samme måte som i forrige eksempel:

§ 89. Multiplikasjon av brøker.

Når vi studerer brøkmultiplikasjon, vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Multiplisere en brøk med et helt tall.
2. Finne brøkdelen av et gitt tall.
3. Multiplisere et helt tall med en brøk.
4. Multiplisere en brøk med en brøk.
5. Multiplikasjon av blandede tall.
6. Rentebegrepet.
7. Finne prosentandelen av et gitt tall. La oss vurdere dem sekvensielt.

1. Multiplisere en brøk med et helt tall.

Å multiplisere en brøk med et helt tall har samme betydning som å multiplisere et helt tall med et heltall. Å multiplisere en brøk (multiplikand) med et heltall (faktor) betyr å lage en sum av identiske ledd, der hvert ledd er lik multiplikanden, og antall ledd er lik multiplikatoren.

Dette betyr at hvis du trenger å multiplisere 1/9 med 7, kan det gjøres slik:

Vi fikk enkelt resultatet, siden handlingen ble redusert til å legge til brøker med samme nevnere. Derfor,

Betraktning av denne handlingen viser at å multiplisere en brøk med et helt tall tilsvarer å øke denne brøken med så mange ganger som det er enheter i hele tallet. Og siden økende en brøk oppnås enten ved å øke telleren

eller ved å redusere nevneren , så kan vi enten multiplisere telleren med et heltall eller dele nevneren på det, hvis slik divisjon er mulig.

Herfra får vi regelen:

For å multiplisere en brøk med et helt tall, multipliserer du telleren med det hele tallet og lar nevneren være den samme, eller, hvis mulig, deler du nevneren på det tallet, og lar telleren være uendret.

Når du multipliserer, er forkortelser mulig, for eksempel:

2. Finne brøkdelen av et gitt tall. Det er mange problemer der du må finne, eller beregne, en del av et gitt tall. Forskjellen mellom disse problemene og andre er at de gir antall objekter eller måleenheter, og du må finne en del av dette tallet, som også er angitt her med en viss brøkdel. For å lette forståelsen vil vi først gi eksempler på slike problemer, og deretter introdusere en metode for å løse dem.

Oppgave 1. Jeg hadde 60 rubler; Jeg brukte 1/3 av disse pengene på å kjøpe bøker. Hvor mye kostet bøkene?

Oppgave 2. Toget skal kjøre en avstand mellom byer A og B lik 300 km. Han har allerede tilbakelagt 2/3 av denne distansen. Hvor mange kilometer er dette?

Oppgave 3. Det er 400 hus i landsbyen, 3/4 av dem er murstein, resten er av tre. Hvor mye totalt murhus?

Her er noen av dem mange oppgaverå finne deler av et gitt tall som vi møter. De kalles vanligvis problemer for å finne brøkdelen av et gitt tall.

Løsning på oppgave 1. Fra 60 gni. Jeg brukte 1/3 på bøker; Dette betyr at for å finne prisen på bøker må du dele tallet 60 på 3:

Løse oppgave 2. Poenget med problemet er at du må finne 2/3 av 300 km. La oss først beregne 1/3 av 300; dette oppnås ved å dele 300 km med 3:

300: 3 = 100 (det er 1/3 av 300).

For å finne to tredjedeler av 300, må du doble den resulterende kvotienten, dvs. multiplisere med 2:

100 x 2 = 200 (det er 2/3 av 300).

Løse problem 3. Her må du bestemme antall murhus som utgjør 3/4 av 400. La oss først finne 1/4 av 400,

400: 4 = 100 (det er 1/4 av 400).

For å beregne tre fjerdedeler av 400, må den resulterende kvotienten tredobles, dvs. multiplisert med 3:

100 x 3 = 300 (det er 3/4 av 400).

Basert på løsningen på disse problemene kan vi utlede følgende regel:

For å finne verdien av en brøk fra et gitt tall, må du dele dette tallet med nevneren til brøken og multiplisere den resulterende kvotienten med telleren.

3. Multiplisere et helt tall med en brøk.

Tidligere (§ 26) ble det slått fast at multiplikasjon av heltall skulle forstås som addisjon av identiske ledd (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). I dette avsnittet (punkt 1) ble det fastslått at å multiplisere en brøk med et heltall betyr å finne summen av identiske ledd lik denne brøken.

I begge tilfeller besto multiplikasjon i å finne summen av identiske ledd.

Nå går vi videre til å multiplisere et helt tall med en brøk. Her vil vi for eksempel møte multiplikasjon: 9 2 / 3. Det er klart at den tidligere definisjonen av multiplikasjon ikke gjelder for dette tilfellet. Dette fremgår av det faktum at vi ikke kan erstatte en slik multiplikasjon ved å legge til like tall.

På grunn av dette må vi gi en ny definisjon av multiplikasjon, det vil si, med andre ord, svare på spørsmålet om hva som skal forstås ved multiplikasjon med en brøk, hvordan denne handlingen skal forstås.

Betydningen av å multiplisere et helt tall med en brøk er tydelig fra følgende definisjon: å multiplisere et heltall (multiplikand) med en brøk (multiplikand) betyr å finne denne brøkdelen av multiplikanden.

Å multiplisere 9 med 2/3 betyr nemlig å finne 2/3 av ni enheter. I forrige avsnitt ble slike problemer løst; så det er lett å finne ut at vi ender opp med 6.

Men nå oppstår et interessant og viktig spørsmål: hvorfor kalles slike tilsynelatende forskjellige operasjoner, som å finne summen av like tall og finne brøkdelen av et tall, i aritmetikk med det samme ordet "multiplikasjon"?

Dette skjer fordi den forrige handlingen (gjenta tallet med termer flere ganger) og den nye handlingen (finne brøkdelen av tallet) gir svar på homogene spørsmål. Det betyr at vi her går ut fra betraktningene om at homogene spørsmål eller oppgaver løses ved samme handling.

For å forstå dette, vurder følgende problem: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 4 m slikt tøy koste?

Dette problemet løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).

La oss ta det samme problemet, men i det vil mengden tøy bli uttrykt som en brøkdel: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 3/4 m av et slikt tøy koste?"

Dette problemet må også løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (3/4).

Du kan endre tallene i den flere ganger, uten å endre betydningen av problemet, for eksempel ta 9/10 m eller 2 3/10 m, etc.

Siden disse problemene har samme innhold og bare er forskjellige i tall, kaller vi handlingene som brukes for å løse dem det samme ordet - multiplikasjon.

Hvordan multipliserer du et helt tall med en brøk?

La oss ta tallene som ble funnet i den siste oppgaven:

I følge definisjonen må vi finne 3/4 av 50. La oss først finne 1/4 av 50, og deretter 3/4.

1/4 av 50 er 50/4;

3/4 av tallet 50 er .

Derfor.

La oss se på et annet eksempel: 12 5 / 8 =?

1/8 av tallet 12 er 12/8,

5/8 av tallet 12 er .

Derfor,

Herfra får vi regelen:

For å multiplisere et helt tall med en brøk, må du multiplisere hele tallet med telleren til brøken og gjøre dette produktet til telleren, og signere nevneren til denne brøken som nevneren.

La oss skrive denne regelen med bokstaver:

For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å multiplisere et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38

Det er viktig å huske at før du utfører multiplikasjon, bør du gjøre (hvis mulig) reduksjoner, For eksempel:

4. Multiplisere en brøk med en brøk.Å multiplisere en brøk med en brøk har samme betydning som å multiplisere et helt tall med en brøk, det vil si at når du multipliserer en brøk med en brøk, må du finne brøken som er i faktoren fra den første brøken (multipikanet).

Å multiplisere 3/4 med 1/2 (halvparten) betyr nemlig å finne halvparten av 3/4.

Hvordan multipliserer du en brøk med en brøk?

La oss ta et eksempel: 3/4 multiplisert med 5/7. Dette betyr at du må finne 5/7 av 3/4. La oss først finne 1/7 av 3/4, og deretter 5/7

1/7 av tallet 3/4 vil bli uttrykt som følger:

5/7 tall 3/4 vil bli uttrykt som følger:

Slik,

Et annet eksempel: 5/8 multiplisert med 4/9.

1/9 av 5/8 er ,

4/9 av tallet 5/8 er .

Slik,

Fra disse eksemplene kan følgende regel utledes:

For å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren med telleren, og nevneren med nevneren, og gjøre det første produktet til telleren, og det andre produktet til nevneren av produktet.

Dette er regelen i generelt syn kan skrives slik:

Ved multiplikasjon er det nødvendig å foreta (om mulig) reduksjoner. La oss se på eksempler:

5. Multiplikasjon av blandede tall. Siden blandede tall lett kan erstattes med uekte brøker, brukes denne omstendigheten vanligvis når man multipliserer blandede tall. Dette betyr at i tilfeller der multiplikatoren, eller multiplikatoren, eller begge faktorene er uttrykt som blandede tall, erstattes de med uekte brøker. La oss multiplisere, for eksempel, blandede tall: 2 1/2 og 3 1/5. La oss gjøre hver av dem til en uekte brøk og deretter multiplisere de resulterende brøkene i henhold til regelen for å multiplisere en brøk med en brøk:

Regel. For å multiplisere blandede tall, må du først konvertere dem til uekte brøker og multipliser deretter i henhold til regelen for å multiplisere brøker med brøker.

Note. Hvis en av faktorene er et heltall, kan multiplikasjonen utføres basert på fordelingsloven som følger:

6. Rentebegrepet. Når vi løser oppgaver og utfører ulike praktiske beregninger, bruker vi alle slags brøker. Men det må huskes at mange mengder tillater ikke bare noen, men naturlige inndelinger for dem. For eksempel kan du ta en hundredel (1/100) av en rubel, det vil være en kopek, to hundredeler er 2 kopek, tre hundredeler er 3 kopek. Du kan ta 1/10 av en rubel, det vil være "10 kopek, eller en ti-kopek-bit. Du kan ta en fjerdedel av en rubel, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (femti kopek). Men de tar det praktisk talt ikke, for eksempel 2/7 av en rubel fordi rubelen ikke er delt inn i syvendedeler.

Vektenheten, det vil si kilogrammet, tillater først og fremst desimaldelinger, for eksempel 1/10 kg, eller 100 g. Og slike brøkdeler av et kilo som 1/6, 1/11, 1/13 er ikke vanlige.

Generelt er våre (metriske) mål desimaler og tillater desimalinndelinger.

Det skal imidlertid bemerkes at det er ekstremt nyttig og praktisk i en lang rekke tilfeller å bruke den samme (uniforme) metoden for å dele opp mengder. Mange års erfaring har vist at en så godt begrunnet deling er den "hundrede" divisjonen. La oss se på flere eksempler knyttet til de mest forskjellige områdene av menneskelig praksis.

1. Prisen på bøker har gått ned med 12/100 av forrige pris.

Eksempel. Den forrige prisen på boken var 10 rubler. Det gikk ned med 1 rubel. 20 kopek

2. Sparebanker betaler innskytere 2/100 av innskuddsbeløpet for sparing i løpet av året.

Eksempel. 500 rubler er satt inn i kassaapparatet, inntekten fra dette beløpet for året er 10 rubler.

3. Antall uteksaminerte fra én skole var 5/100 av totalt antall elever.

EKSEMPEL Det var bare 1200 elever ved skolen, hvorav 60 ble uteksaminert.

Hundredelen av et tall kalles en prosentandel.

Ordet "prosent" er lånt fra latinsk språk og roten "cent" betyr hundre. Sammen med preposisjonen (pro centum) betyr dette ordet "for hundre." Betydningen av et slikt uttrykk følger av det faktum at innledningsvis i det gamle Roma renter var pengene som skyldneren betalte til utlåneren «for hvert hundre». Ordet "cent" høres i slike kjente ord: centner (hundre kilo), centimeter (si centimeter).

For eksempel, i stedet for å si at i løpet av den siste måneden produserte anlegget 1/100 av alle produkter produsert av det var defekte, vil vi si dette: I løpet av den siste måneden produserte anlegget én prosent av defektene. I stedet for å si: anlegget produserte 4/100 flere produkter enn den fastsatte planen, vil vi si: anlegget overskred planen med 4 prosent.

Eksemplene ovenfor kan uttrykkes annerledes:

1. Prisen på bøker har gått ned med 12 prosent av forrige pris.

2. Sparebanker betaler innskytere 2 prosent per år av innskuddsbeløpet på sparepenger.

3. Antall uteksaminerte fra én skole var 5 prosent av alle skoleelever.

For å forkorte bokstaven er det vanlig å skrive %-symbolet i stedet for ordet "prosent".

Du må imidlertid huske at i beregninger er %-tegnet vanligvis ikke skrevet det kan skrives i problemstillingen og i sluttresultatet. Når du utfører beregninger, må du skrive en brøk med en nevner på 100 i stedet for et helt tall med dette symbolet.

Du må kunne erstatte et heltall med det angitte ikonet med en brøkdel med en nevner på 100:

Motsatt må du venne deg til å skrive et heltall med det angitte symbolet i stedet for en brøk med en nevner på 100:

7. Finne prosentandelen av et gitt tall.

Oppgave 1. Skolen fikk 200 kubikkmeter. m ved, med bjørkeved som utgjør 30 %. Hvor mye bjørkeved var det?

Meningen med denne oppgaven er at bjørkeved bare utgjorde en del av veden som ble levert til skolen, og denne delen er uttrykt i brøken 30/100. Det betyr at vi har en oppgave å finne en brøkdel av et tall. For å løse det må vi multiplisere 200 med 30/100 (problemer med å finne brøken av et tall løses ved å multiplisere tallet med brøken.).

Dette betyr at 30 % av 200 tilsvarer 60.

Fraksjonen 30/100 som oppstår i denne oppgaven kan reduseres med 10. Det ville være mulig å gjøre denne reduksjonen helt fra begynnelsen; løsningen på problemet ville ikke ha endret seg.

Oppgave 2. Det var 300 barn i ulike aldre i leiren. Barn 11 år utgjorde 21 %, barn 12 år utgjorde 61 % og til slutt 13 år gamle barn utgjorde 18 %. Hvor mange barn i hver alder var det i leiren?

I denne oppgaven må du utføre tre beregninger, dvs. finne antall barn 11 år gamle, deretter 12 år og til slutt 13 år gamle.

Dette betyr at her må du finne brøkdelen av tallet tre ganger. La oss gjøre dette:

1) Hvor mange 11 år gamle barn var det?

2) Hvor mange 12 år gamle barn var det?

3) Hvor mange 13 år gamle barn var det?

Etter å ha løst problemet, er det nyttig å legge til tallene som er funnet; summen deres skal være 300:

63 + 183 + 54 = 300

Det bør også bemerkes at summen av prosentene gitt i problemstillingen er 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Dette tyder på det totalt antall barn i leiren ble tatt som 100 %.

3 a d a h a 3. Arbeideren mottok 1200 rubler per måned. Av dette brukte han 65 % på mat, 6 % på leiligheter og oppvarming, 4 % på gass, elektrisitet og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % spart. Hvor mye penger ble brukt på behovene angitt i oppgaven?

For å løse dette problemet må du finne brøkdelen av 1200 5 ganger.

1) Hvor mye penger ble brukt på mat? Problemet sier at denne utgiften er 65 % av den totale inntekten, dvs. 65/100 av tallet 1200. La oss regne ut:

2) Hvor mye betalte du for en leilighet med oppvarming? På samme måte som den forrige, kommer vi til følgende beregning:

3) Hvor mye betalte du for gass, strøm og radio?

4) Hvor mye penger ble brukt på kulturelle behov?

5) Hvor mye penger sparte arbeideren?

For å sjekke er det nyttig å legge sammen tallene som finnes i disse 5 spørsmålene. Beløpet skal være 1200 rubler. All inntjening tas som 100 %, noe som er enkelt å sjekke ved å legge sammen prosenttallene som er gitt i problemstillingen.

Vi løste tre problemer. Til tross for at disse problemene handlet om forskjellige ting (levering av ved til skolen, antall barn i ulike aldre, arbeiderens utgifter), ble de løst på samme måte. Dette skjedde fordi det i alle problemer var nødvendig å finne flere prosent av gitte tall.

§ 90. Brøkdeling.

Når vi studerer brøkdeling, vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Del et heltall med et heltall.
2. Å dele en brøk på et helt tall
3. Å dele et helt tall på en brøk.
4. Å dele en brøk med en brøk.
5. Deling av blandede tall.
6. Finne et tall fra den gitte brøken.
7. Finne et tall etter prosentandelen.

La oss vurdere dem sekvensielt.

1. Del et heltall med et heltall.

Som det ble indikert i avsnittet om heltall, er divisjon en handling som består i det faktum at gitt produktet av to faktorer (dividende) og en av disse faktorene (divisor), finnes en annen faktor.

Vi så på å dele et heltall med et heltall i delen om heltall. Vi møtte to tilfeller av deling der: divisjon uten en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og divisjon med en rest (100: 9 = 11 og 1 rest). Vi kan derfor si at når det gjelder heltall, er nøyaktig deling ikke alltid mulig, fordi utbyttet ikke alltid er produktet av divisor med heltall. Etter å ha introdusert multiplikasjon med en brøk, kan vi vurdere ethvert tilfelle av å dele heltall mulig (bare divisjon med null er ekskludert).

For eksempel betyr å dele 7 med 12 å finne et tall hvis produkt med 12 vil være lik 7. Et slikt tall er brøken 7 / 12 fordi 7 / 12 12 = 7. Et annet eksempel: 14: 25 = 14 / 25, fordi 14 / 25 25 = 14.

For å dele et helt tall med et helt tall, må du derfor lage en brøk hvis teller er lik utbyttet og nevneren er lik divisor.

2. Å dele en brøk på et helt tall.

Del brøken 6 / 7 med 3. I henhold til definisjonen av divisjon gitt ovenfor, har vi her produktet (6 / 7) og en av faktorene (3); det kreves å finne en andre faktor som, multiplisert med 3, vil gi det gitte produktet 6/7. Det skal selvsagt være tre ganger mindre enn dette produktet. Dette betyr at oppgaven som ble lagt foran oss var å redusere brøken 6/7 med 3 ganger.

Vi vet allerede at å redusere en brøk kan gjøres enten ved å redusere telleren eller øke nevneren. Derfor kan du skrive:

I dette tilfellet er telleren 6 delelig med 3, så telleren bør reduseres med 3 ganger.

La oss ta et annet eksempel: 5 / 8 delt på 2. Her er ikke telleren 5 delelig med 2, noe som betyr at nevneren må multipliseres med dette tallet:

Basert på dette kan en regel lages: For å dele en brøk med et helt tall, må du dele telleren til brøken på det hele tallet.(hvis mulig), forlater den samme nevneren, eller multipliser nevneren til brøken med dette tallet, og forlater den samme telleren.

3. Å dele et helt tall på en brøk.

La det være nødvendig å dele 5 på 1/2, dvs. finne et tall som etter å ha multiplisert med 1/2 vil gi produktet 5. Dette tallet må selvsagt være større enn 5, siden 1/2 er en egen brøk. , og når du multipliserer et tall, må produktet av en egenbrøk være mindre enn produktet som multipliseres. For å gjøre dette klarere, la oss skrive handlingene våre som følger: 5: 1 / 2 = X , som betyr x 1/2 = 5.

Vi må finne et slikt tall X , som, hvis multiplisert med 1/2, ville gi 5. Siden å multiplisere et bestemt tall med 1/2 betyr å finne 1/2 av dette tallet, så derfor 1/2 av det ukjente tallet X er lik 5, og hele tallet X dobbelt så mye, dvs. 5 2 = 10.

Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

La oss sjekke:

La oss se på et annet eksempel. La oss si at du vil dele 6 med 2/3. La oss først prøve å finne ønsket resultat ved hjelp av tegningen (fig. 19).

Fig.19

La oss tegne et segment AB lik 6 enheter og dele hver enhet i 3 like deler. I hver enhet er tre tredjedeler (3/3) av hele segmentet AB 6 ganger større, dvs. e. 18/3. Ved hjelp av små parentes kobler vi sammen de 18 resulterende segmentene på 2; Det vil bare være 9 segmenter. Dette betyr at brøken 2/3 er inneholdt i 6 enheter 9 ganger, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 ganger mindre enn 6 hele enheter. Derfor,

Hvordan få dette resultatet uten en tegning ved å bruke beregninger alene? La oss resonnere slik: vi må dele 6 med 2/3, det vil si at vi må svare på spørsmålet hvor mange ganger 2/3 er inneholdt i 6. La oss først finne ut: hvor mange ganger 1/3 er inneholdt i 6? I en hel enhet er det 3 tredjedeler, og i 6 enheter er det 6 ganger mer, dvs. 18 tredjedeler; for å finne dette tallet må vi gange 6 med 3. Dette betyr at 1/3 er inneholdt i b enheter 18 ganger, og 2/3 er inneholdt i b enheter ikke 18 ganger, men halvparten så mange ganger, dvs. 18: 2 = 9 Derfor gjorde vi følgende når vi delte 6 med 2/3:

Herfra får vi regelen for å dele et helt tall med en brøk. For å dele et helt tall med en brøk, må du multiplisere hele tallet med nevneren til den gitte brøken, og for å gjøre dette produktet til telleren, dele det med telleren til den gitte brøken.

La oss skrive regelen med bokstaver:

For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å dele et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38. Vær oppmerksom på at den samme formelen ble oppnådd der.

Ved deling er forkortelser mulig, for eksempel:

4. Å dele en brøk med en brøk.

La oss si at vi må dele 3/4 på 3/8. Hva vil tallet som resulterer fra divisjon bety? Det vil svare på spørsmålet hvor mange ganger brøken 3/8 er inneholdt i brøken 3/4. For å forstå dette problemet, la oss lage en tegning (fig. 20).

La oss ta et segment AB, ta det som ett, dele det i 4 like deler og merke 3 slike deler. Segment AC vil være lik 3/4 av segment AB. La oss nå dele hvert av de fire opprinnelige segmentene i to, så vil segmentet AB deles i 8 like deler og hver slik del vil være lik 1/8 av segmentet AB. La oss koble 3 slike segmenter med buer, da vil hvert av segmentene AD og DC være lik 3/8 av segmentet AB. Tegningen viser at et segment lik 3/8 er inneholdt i et segment lik 3/4 nøyaktig 2 ganger; Dette betyr at resultatet av divisjon kan skrives som følger:

3 / 4: 3 / 8 = 2

La oss se på et annet eksempel. La oss si at vi må dele 15/16 med 3/32:

Vi kan resonnere slik: vi må finne et tall som, etter å ha multiplisert med 3/32, vil gi et produkt lik 15/16. La oss skrive beregningene slik:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ukjent nummer X er 15/16

1/32 av et ukjent antall X er,

32 / 32 tall X sminke.

Derfor,

For å dele en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med nevneren til den andre, og multiplisere nevneren til den første brøken med telleren til den andre, og gjøre det første produktet til telleren, og den andre nevneren.

La oss skrive regelen med bokstaver:

Ved deling er forkortelser mulig, for eksempel:

5. Deling av blandede tall.

Når du deler blandede tall, må du først konvertere dem til uekte brøker, og deretter dele de resulterende brøkene i henhold til delingsreglene brøktall. La oss se på et eksempel:

La oss konvertere blandede tall til uekte brøker:

La oss nå dele:

Derfor, for å dele blandede tall, må du konvertere dem til uekte brøker og deretter dele ved å bruke regelen for å dele brøker.

6. Finne et tall fra den gitte brøken.

Mellom ulike oppgaver på brøker, noen ganger er det de der verdien av en brøkdel av et ukjent tall er gitt, og du må finne dette tallet. Denne typen problemer vil være det motsatte av problemet med å finne brøkdelen av et gitt tall; der ble det gitt et tall og det var påkrevd å finne en brøkdel av dette tallet, her ble det gitt en brøkdel av et tall og det ble påkrevd å finne dette tallet selv. Denne ideen vil bli enda tydeligere hvis vi går over til å løse denne typen problemer.

Oppgave 1. Den første dagen glaserte glassmestrene 50 vinduer, som er 1/3 av alle vinduene i det bygde huset. Hvor mange vinduer er det i dette huset?

Løsning. Problemstillingen sier at 50 glassvinduer utgjør 1/3 av alle vinduene i huset, noe som betyr at det er 3 ganger flere vinduer totalt, dvs.

Huset hadde 150 vinduer.

Oppgave 2. Butikken solgte 1500 kg mel, som er 3/8 av det totale mellageret butikken hadde. Hva var butikkens opprinnelige tilførsel av mel?

Løsning. Fra forholdene i problemet er det klart at 1500 kg solgt mel utgjør 3/8 av det totale lageret; dette betyr at 1/8 av denne reserven vil være 3 ganger mindre, dvs. for å beregne den må du redusere 1500 med 3 ganger:

1.500:3 = 500 (dette er 1/8 av reserven).

Helt klart vil hele tilbudet være 8 ganger større. Derfor,

500 8 = 4000 (kg).

Opprinnelig lager av mel i butikken var 4000 kg.

Fra vurdering av dette problemet kan følgende regel utledes.

For å finne et tall fra en gitt verdi av brøken, er det nok å dele denne verdien med telleren til brøken og multiplisere resultatet med nevneren til brøken.

Vi løste to problemer ved å finne et tall gitt brøken. Slike problemer, som er spesielt tydelig fra den siste, løses ved to handlinger: divisjon (når en del er funnet) og multiplikasjon (når hele tallet er funnet).

Men etter at vi har lært deling av brøker, kan oppgavene ovenfor løses med én handling, nemlig: divisjon med brøk.

For eksempel kan den siste oppgaven løses i en handling som dette:

I fremtiden vil vi løse problemer med å finne et tall fra brøken med én handling - divisjon.

7. Finne et tall etter prosentandelen.

I disse problemene må du finne et tall som kjenner noen få prosent av det tallet.

Oppgave 1. I begynnelsen av dette året mottok jeg 60 rubler fra sparebanken. inntekt fra beløpet jeg la inn i sparing for ett år siden. Hvor mye penger har jeg lagt i sparebanken? (Kassediskene gir innskytere 2 % avkastning per år.)

Meningen med problemet er at jeg la en viss sum penger i en sparebank og ble der i ett år. Etter et år mottok jeg 60 rubler fra henne. inntekt, som er 2/100 av pengene jeg satt inn. Hvor mye penger la jeg inn?

Følgelig, når vi kjenner en del av disse pengene, uttrykt på to måter (i rubler og brøker), må vi finne hele, foreløpig ukjente, beløp. Dette er et vanlig problem med å finne et tall gitt brøken. Følgende problemer løses ved deling:

Dette betyr at 3000 rubler ble satt inn i sparebanken.

Oppgave 2. Fiskere oppfylte månedsplanen med 64 % på to uker, og høstet 512 tonn fisk. Hva var planen deres?

Fra forholdene til problemet er det kjent at fiskerne fullførte en del av planen. Denne delen er lik 512 tonn, som er 64 % av planen. Vi vet ikke hvor mange tonn fisk som må tilberedes i henhold til planen. Å finne dette nummeret vil være løsningen på problemet.

Slike problemer løses ved divisjon:

Det betyr at det etter planen skal tilberedes 800 tonn fisk.

Oppgave 3. Toget gikk fra Riga til Moskva. Da han passerte den 276. kilometeren spurte en av passasjerene en forbipasserende konduktør hvor mye av reisen de allerede hadde tilbakelagt. Til dette svarte konduktøren: "Vi har allerede dekket 30 % av hele reisen." Hva er avstanden fra Moskva til Riga?

Fra problemforholdene er det klart at 30 % av ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi må finne hele avstanden mellom disse byene, dvs. for denne delen, finne helheten:

§ 91. Gjensidige tall. Erstatte divisjon med multiplikasjon.

La oss ta brøken 2/3 og erstatte telleren i stedet for nevneren, vi får 3/2. Vi har det motsatte av denne brøken.

For å få inversen til en gitt brøk, må du sette telleren i stedet for nevneren, og nevneren i stedet for telleren. På denne måten kan vi få gjensidigheten til enhver brøk. For eksempel:

3/4, revers 4/3; 5/6, omvendt 6/5

To brøker som har egenskapen at telleren til den første er nevneren til den andre, og nevneren til den første er telleren til den andre, kalles gjensidig omvendt.

La oss nå tenke på hvilken brøk som vil være den gjensidige av 1/2. Åpenbart vil det være 2/1, eller bare 2. Ved å se etter den inverse brøkdelen av den gitte, fikk vi et heltall. Og denne saken er ikke isolert; tvert imot, for alle brøker med en teller på 1 (en), vil de gjensidige være heltall, for eksempel:

1/3, revers 3; 1/5, omvendt 5

Siden vi ved å finne gjensidige brøker også møtte heltall, vil vi i det følgende ikke snakke om gjensidige brøker, men om gjensidige tall.

La oss finne ut hvordan du skriver det inverse av et heltall. For brøker kan dette løses enkelt: du må sette nevneren i stedet for telleren. På samme måte kan du få det inverse tallet for et heltall, siden et hvilket som helst heltall kan ha en nevner på 1. Dette betyr at det inverse tallet på 7 blir 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil inversen være 1/10, siden 10 = 10/1

Denne ideen kan uttrykkes annerledes: gjensidigheten til et gitt tall oppnås ved å dele en på et gitt tall. Dette utsagnet gjelder ikke bare for hele tall, men også for brøker. Faktisk, hvis vi trenger å skrive inversen av brøken 5/9, kan vi ta 1 og dele den på 5/9, dvs.

La oss nå påpeke én ting eiendom gjensidige tall, som vil være nyttige for oss: produktet av gjensidige tall er lik en. Faktisk:

Ved å bruke denne egenskapen kan vi finne gjensidige tall på følgende måte. La oss si at vi må finne inversen av 8.

La oss betegne det med bokstaven X , deretter 8 X = 1, derfor X = 1/8. La oss finne et annet tall som er inversen av 7/12 og angi det med bokstaven X , deretter 7/12 X = 1, derfor X = 1: 7 / 12 eller X = 12 / 7 .

Vi introduserte her konseptet med gjensidige tall for litt å supplere informasjonen om å dele brøker.

Når vi deler tallet 6 med 3/5, gjør vi følgende:

Vennligst betal spesiell oppmerksomhet til uttrykket og sammenlign det med det gitte: .

Hvis vi tar uttrykket separat, uten sammenheng med det forrige, er det umulig å løse spørsmålet om hvor det kom fra: fra å dele 6 med 3/5 eller fra å multiplisere 6 med 5/3. I begge tilfeller skjer det samme. Derfor kan vi si at å dele ett tall med et annet kan erstattes ved å multiplisere utbyttet med inversen av divisor.

Eksemplene vi gir nedenfor bekrefter denne konklusjonen fullt ut.

Brøkkalkulator designet for raskt å beregne operasjoner med brøker, vil det hjelpe deg enkelt å legge til, multiplisere, dele eller subtrahere brøker.

Moderne skolebarn begynner å studere brøker allerede i 5. klasse, og øvelser med dem blir mer kompliserte for hvert år. Matematiske termer og mengder som vi lærer på skolen kan sjelden være nyttige for oss i livet. voksenlivet. Imidlertid finnes brøker, i motsetning til logaritmer og potenser, ganske ofte i hverdagen (måling av avstander, veiing av varer osv.). Vår kalkulator er designet for raske operasjoner med brøker.

La oss først definere hva brøker er og hva de er. Brøker er forholdet mellom ett tall og et annet, det er et tall som består av et heltall av brøker av en enhet.

Typer brøker:

• Vanlig
• Desimal
• Blandet

Eksempel vanlige brøker:

Den øverste verdien er telleren, den nederste er nevneren. Bindestreken viser oss at det øverste tallet er delelig med det nederste. I stedet for dette skriveformatet, når bindestreken er vannrett, kan du skrive annerledes. Du kan sette en skrå linje, for eksempel:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Desimaler er den mest populære typen brøker. De består av en heltallsdel og en brøkdel, atskilt med komma.

Eksempel på desimalbrøker:

0,2 eller 6,71 eller 0,125

Består av et helt tall og en brøkdel. For å finne ut verdien av denne brøken, må du legge til hele tallet og brøken.

Eksempel på blandede fraksjoner:

Brøkkalkulatoren på nettstedet vårt er i stand til raskt å utføre alle matematiske operasjoner med brøker online:

• Addisjon
• Subtraksjon
• Multiplikasjon
• Inndeling

For å utføre beregningen må du skrive inn tall i feltene og velge en handling. For brøker må du fylle ut teller og nevner, det kan hende at hele tallet ikke skrives (hvis brøken er vanlig). Ikke glem å klikke på "lik"-knappen.

Det er praktisk at kalkulatoren umiddelbart gir prosessen for å løse et eksempel med brøker, og ikke bare et ferdig svar. Det er takket være den detaljerte løsningen at du kan bruke dette materialet til å løse skoleproblemer og for bedre å mestre materialet som dekkes.

Du må utføre eksempelberegningen:

Etter å ha lagt inn indikatorene i skjemafeltene, får vi:

For å lage din egen beregning, skriv inn dataene i skjemaet.

Brøkkalkulator

Skriv inn to brøker:

		+ - * :

Relaterte seksjoner.

Denne leksjonen vil dekke addisjon og subtraksjon. algebraiske brøker med ulike nevnere. Vi vet allerede hvordan vi legger til og subtraherer vanlige brøker med forskjellige nevnere. For å gjøre dette må brøkene reduseres til en fellesnevner. Det viser seg at algebraiske brøker følger de samme reglene. Samtidig vet vi allerede hvordan vi reduserer algebraiske brøker til en fellesnevner. Å legge til og trekke fra brøker med ulike nevnere er et av de viktigste og vanskeligste temaene i 8. klassekurset. Dessuten vil dette emnet dukke opp i mange emner i algebrakurset som du skal studere i fremtiden. Som en del av leksjonen skal vi studere reglene for å addere og subtrahere algebraiske brøker med ulike nevnere, og også analysere en rekke typiske eksempler.

La oss vurdere enkleste eksempelet for vanlige brøker.

Eksempel 1. Legg til brøker:.

Løsning:

La oss huske regelen for å legge til brøker. Til å begynne med må brøker reduseres til en fellesnevner. Fellesnevneren for vanlige brøker er minste felles multiplum(LCM) av de opprinnelige nevnerne.

Definisjon

Det minste naturlige tallet som er delelig med både tall og .

For å finne LCM må du faktorisere nevnerne til primfaktorer, og deretter velge alle primfaktorene som er inkludert i utvidelsen av begge nevnerne.

; . Da må LCM for tall inkludere to toere og to treere: .

Etter å ha funnet fellesnevneren, må du finne en ekstra faktor for hver brøk (faktisk dele fellesnevneren med nevneren til den tilsvarende brøken).

Hver brøk multipliseres deretter med den resulterende tilleggsfaktoren. Vi får brøker med de samme nevnerne, som vi lærte å addere og trekke fra i tidligere leksjoner.

Vi får: .

Svare:.

La oss nå vurdere addisjonen av algebraiske brøker med forskjellige nevnere. La oss først se på brøker hvis nevnere er tall.

Eksempel 2. Legg til brøker:.

Løsning:

Løsningsalgoritmen er helt lik det forrige eksempelet. Det er lett å finne fellesnevneren for disse brøkene: og tilleggsfaktorer for hver av dem.

.

Svare:.

Så, la oss formulere algoritme for å addere og subtrahere algebraiske brøker med forskjellige nevnere:

1. Finn laveste fellesnevner for brøker.

2. Finn tilleggsfaktorer for hver av brøkene (ved å dele fellesnevneren med nevneren til den gitte brøken).

3. Multipliser tellerne med de tilsvarende tilleggsfaktorene.

4. Legg til eller trekk fra brøker ved å bruke reglene for å addere og subtrahere brøker med like nevnere.

La oss nå se på et eksempel med brøker hvis nevner inneholder bokstavuttrykk.

Eksempel 3. Legg til brøker:.

Løsning:

Siden bokstavuttrykkene i begge nevnerne er like, bør du finne en fellesnevner for tallene. Den endelige fellesnevneren vil se slik ut: . Dermed ser løsningen på dette eksemplet slik ut:.

Svare:.

Eksempel 4. Trekk fra brøker:.

Løsning:

Hvis du ikke kan "jukse" når du velger en fellesnevner (du kan ikke faktorisere den eller bruke forkortede multiplikasjonsformler), så må du ta produktet av nevnerne til begge brøkene som fellesnevner.

Svare:.

Generelt, når man løser slike eksempler, er den vanskeligste oppgaven å finne en fellesnevner.

La oss se på et mer komplekst eksempel.

Eksempel 5. Forenkle: .

Løsning:

Når du skal finne en fellesnevner, må du først prøve å faktorisere nevnerne til de opprinnelige brøkene (for å forenkle fellesnevneren).

I dette spesielle tilfellet:

Da er det lett å bestemme fellesnevneren: .

Vi bestemmer tilleggsfaktorer og løser dette eksemplet:

Svare:.

La oss nå etablere reglene for å addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere.

Eksempel 6. Forenkle: .

Løsning:

Svare:.

Eksempel 7. Forenkle: .

Løsning:

.

Svare:.

La oss nå vurdere et eksempel der ikke to, men tre brøker legges til (tross alt forblir reglene for addisjon og subtraksjon for et større antall brøker de samme).

Eksempel 8. Forenkle: .