Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme - si të përdorni një integral të caktuar për të llogaritur sipërfaqen e një figure të rrafshët. Më në fund, ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë - le ta gjejnë atë. Ju kurrë nuk e dini. Ne do të duhet ta afrojmë atë në jetë zona vilë e vendit funksionet elementare dhe gjeni sipërfaqen e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Vendoseni të ngrohtë marrëdhënie miqësore me integrale të përcaktuara mund të gjenden në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, shumë më tepër çështje aktuale do të jenë njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni memorien tuaj për grafikët e funksioneve themelore elementare dhe, së paku, të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë. Kjo mund të bëhet (për shumë, është e nevojshme) duke përdorur material metodologjik dhe artikuj mbi transformimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, të gjithë kanë qenë të njohur me detyrën e gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar që në shkollë, dhe ne nuk do të shkojmë shumë më larg se programi shkollor. Ky artikull mund të mos kishte ekzistuar fare, por fakti është se problemi shfaqet në 99 raste nga 100, kur një student vuan nga një shkollë e urryer dhe zotëron me entuziazëm një kurs për matematikën e lartë.

Materialet e këtij seminari janë paraqitur thjesht, në detaje dhe me një minimum teorie.

Le të fillojmë me një trapezoid të lakuar.

Trapezoid lakorështë një figurë e sheshtë e kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një interval që nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më pak boshti x:

Pastaj sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësim Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh Thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të thënë një tjetër fakt i dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo eshte, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Së pari dhe momenti më i rëndësishëm zgjidhje - vizatim. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: ne fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë, teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Unë nuk do ta hijesh trapezin e lakuar; këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz , referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është plotësisht e qartë se nëse marrim, le të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza nuk përshtaten qartë në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija, , dhe bosht

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse gjendet një trapez i lakuar nën bosht(ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast:

Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhje: Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.
Nëse është e mundur, është më mirë të mos përdorni këtë metodë..

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit pikë për pikë për grafikë të ndryshëm është diskutuar në detaje në ndihmë Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës: Nëse ka ndonjë funksion të vazhdueshëm në segment më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme, atëherë zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe linjat , , mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment, sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) është një rast i veçantë i formulës . Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni, dhe grafiku i funksionit është i vendosur jo me lart sëpata, atëherë

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar, kjo është pikërisht mënyra se si shërbëtori yt i përulur e ka prishur disa herë. Këtu rast real nga jeta:

Shembulli 7

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Zgjidhje: Së pari, le të bëjmë një vizatim:

...Eh, vizatimi doli katrahurë, por gjithçka duket se është e lexueshme.

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh lind një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar jeshile!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Le të kalojmë në një detyrë tjetër kuptimplote.

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Ndoshta ? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënjën. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla duhet të shpenzoni Kohe shtese dhe të qartësojë në mënyrë analitike kufijtë e integrimit.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:


,

Vërtet,.

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërrohemi në zëvendësime dhe shenja; llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.

Në segmentin , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,

Zgjidhje: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Dreqin, harrova të firmosa orarin dhe, më falni, nuk doja ta ribëja foton. Jo një ditë vizatimi, me pak fjalë, sot është dita =)

Për ndërtimin pikë për pikë duhet të dini pamjen sinusoidet (dhe përgjithësisht të dobishme për t'u njohur grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera sinus, ato mund të gjenden në tabelë trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.

Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit; ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

Shembull 1 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 dhe x = 2

Le të ndërtojmë një figurë (shih figurën) Ndërtojmë një drejtëz x + 2y – 4 = 0 duke përdorur dy pika A(4;0) dhe B(0;2). Duke shprehur y përmes x, marrim y = -0.5x + 2. Duke përdorur formulën (1), ku f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, gjejmë

S = = [-0,25=11,25 sq. njësi

Shembulli 2. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 dhe y = 0.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë figurën.

Le të ndërtojmë një drejtëz x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Le të ndërtojmë një drejtëz x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Le të gjejmë pikën e prerjes së drejtëzave duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Për të llogaritur sipërfaqen e kërkuar, ne e ndajmë trekëndëshin AMC në dy trekëndësha AMN dhe NMC, pasi kur x ndryshon nga A në N, zona kufizohet nga një vijë e drejtë dhe kur x ndryshon nga N në C - me një vijë të drejtë.

Për trekëndëshin AMN kemi: ; y = 0,5x + 2, pra f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Për trekëndëshin NMC kemi: y = - x + 5, pra f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Duke llogaritur sipërfaqen e secilit trekëndësh dhe duke shtuar rezultatet, gjejmë:

sq. njësi

sq. njësi

9 + 4, 5 = 13,5 sq. njësi Kontrollo: = 0,5AC = 0,5 sq. njësi

Shembulli 3. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Në këtë rast, duhet të llogaritni sipërfaqen e një trapezi të lakuar të kufizuar nga parabola y = x 2 , vijat e drejta x = 2 dhe x = 3 dhe boshti Ox (shih figurën) Duke përdorur formulën (1) gjejmë sipërfaqen e trapezit lakor

= = 6 sq. njësi

Shembulli 4. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - x 2 + 4 dhe y = 0

Le të ndërtojmë figurën. Zona e kërkuar është e mbyllur midis parabolës y = - x 2 + 4 dhe boshti Ox.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin Ox. Duke supozuar y = 0, gjejmë x = Meqenëse kjo shifër është simetrike në lidhje me boshtin Oy, ne llogarisim sipërfaqen e figurës që ndodhet në të djathtë të boshtit Oy dhe dyfishojmë rezultatin e marrë: = +4x]sq. njësi 2 = 2 sq. njësi

Shembulli 5. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Këtu ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga dega e sipërme e parabolës 2 = x, boshti Ox dhe drejtëza x = 1 dhe x = 4 (shih figurën)

Sipas formulës (1), ku f(x) = a = 1 dhe b = 4, kemi = (= njësi katrore.

Shembulli 6 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona e kërkuar është e kufizuar nga gjysma e valës së sinusoidit dhe boshtit Ox (shih figurën).

Ne kemi - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. njësi

Shembulli 7. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - 6x, y = 0 dhe x = 4.

Figura ndodhet nën boshtin Ox (shih figurën).

Prandaj, ne gjejmë zonën e saj duke përdorur formulën (3)

= =

Shembulli 8. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = dhe x = 2. Ndërtoni lakoren y = nga pikat (shih figurën). Kështu, ne gjejmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën (4)

Shembulli 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Këtu ju duhet të llogarisni zonën e mbyllur nga rrethi x 2 + y 2 = r 2 , pra zona e një rrethi me rreze r me qendër në origjinë. Le të gjejmë pjesën e katërt të kësaj zone duke marrë kufijtë e integrimit nga 0

para; ne kemi: 1 = = [

Prandaj, 1 =

Shembulli 10. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y= x 2 dhe y = 2x

Kjo shifër kufizohet nga parabola y = x 2 dhe drejtëza y = 2x (shih figurën) Për të përcaktuar pikat e kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, zgjidhim sistemin e ekuacioneve: x 2 – 2x = 0 x = 0 dhe x = 2

Duke përdorur formulën (5) për të gjetur zonën, marrim

= grafiku i një funksioni y=x 2 +2 e vendosur mbi bosht kau , Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje: S =9 njësi katrore

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, "me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht Oh?

b) Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y=-e x , x=1 dhe boshtet koordinative.

Zgjidhje.

Le të bëjmë një vizatim.

Nëse një trapez i lakuar të vendosura plotësisht nën bosht Oh , atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Përgjigje: S=(e-1) njësi katrore" 1.72 njësi katrore

Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmën e sipërme dhe të poshtme.

Me) Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y=2x-x 2, y=-x.

Zgjidhje.

Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe drejt Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike.

Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a=0 , kufiri i sipërm i integrimit b=3 .

Ndërtojmë vijat e dhëna: 1. Parabola - kulmi në pikën (1;1); kryqëzimi i akseve Oh - pikë (0;0) dhe (0;2). 2. Drejtëza - përgjysmues i këndit të koordinatave 2 dhe 4. Dhe tani Kujdes! Nëse në segmentin [ a;b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën: . Dhe nuk ka rëndësi se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por ajo që ka rëndësi është se cili grafik është më i LARTË (në raport me një grafik tjetër), dhe cili është MËPOSHT. Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Ju mund të ndërtoni linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qartë "vetëvetiu". Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm).

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.

Në segmentin , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje: S =4.5 njësi katrore

Problemi 1(në lidhje me llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi të lakuar).

Në sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian xOy, jepet një figurë (shih figurën) e kufizuar nga boshti x, drejtëza x = a, x = b (a nga një trapez lakor. Kërkohet të llogaritet sipërfaqja e një lakor trapezoid.
Zgjidhje. Gjeometria na jep receta për llogaritjen e sipërfaqeve të shumëkëndëshave dhe të disa pjesëve të një rrethi (sektori, segmenti). Duke përdorur konsiderata gjeometrike, ne mund të gjejmë vetëm një vlerë të përafërt të zonës së kërkuar, duke arsyetuar si më poshtë.

Le të ndajmë segmentin [a; b] (baza e një trapezi të lakuar) në n pjesë të barabarta; kjo ndarje kryhet duke përdorur pikat x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Le të vizatojmë vija të drejta nëpër këto pika paralele me boshtin y. Atëherë trapezi lakor i dhënë do të ndahet në n pjesë, në n kolona të ngushta. Sipërfaqja e të gjithë trapezit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të kolonave.

Le të shqyrtojmë kolonën k-të veçmas, d.m.th. një trapez i lakuar, baza e të cilit është një segment. Le ta zëvendësojmë me një drejtkëndësh me të njëjtën bazë dhe lartësi të barabartë me f(x k) (shih figurën). Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), ku \(\Delta x_k \) është gjatësia e segmentit; Është e natyrshme të konsiderohet produkti që rezulton si një vlerë e përafërt e sipërfaqes së kolonës k-të.

Nëse tani bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha kolonat e tjera, do të arrijmë në rezultatin e mëposhtëm: sipërfaqja S e një trapezi të caktuar lakor është afërsisht e barabartë me sipërfaqen S n të një figure me shkallë të përbërë nga n drejtkëndësha (shih figurën):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pika + f(x_k)\Delta x_k + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Këtu, për hir të uniformitetit të shënimit, supozojmë se a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - gjatësia e segmentit, \(\Delta x_1 \) - gjatësia e segmentit, etj.; në këtë rast, siç ramë dakord më lart, \(\Delta x_0 = \pika = \Delta x_(n-1) \)

Pra, \(S \përafërsisht S_n \), dhe kjo barazi e përafërt është më e saktë, sa më e madhe n.
Sipas përkufizimit, besohet se zona e kërkuar e një trapezi lakor është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ S = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Problemi 2(në lidhje me lëvizjen e një pike)
Një pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë. Varësia e shpejtësisë nga koha shprehet me formulën v = v(t). Gjeni lëvizjen e një pike gjatë një periudhe kohe [a; b].
Zgjidhje. Nëse lëvizja do të ishte uniforme, atëherë problemi do të zgjidhej shumë thjesht: s = vt, d.m.th. s = v(b-a). Për lëvizje të pabarabartë, duhet të përdorni të njëjtat ide mbi të cilat u bazua zgjidhja e problemit të mëparshëm.
1) Ndani intervalin kohor [a; b] në n pjesë të barabarta.
2) Konsideroni një periudhë kohore dhe supozoni se gjatë kësaj periudhe kohore shpejtësia ishte konstante, e njëjtë si në kohën t k. Pra supozojmë se v = v(t k).
3) Le të gjejmë vlerën e përafërt të lëvizjes së pikës gjatë një periudhe kohe; këtë vlerë të përafërt do ta shënojmë si s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Gjeni vlerën e përafërt të zhvendosjes s:
\(s \përafërsisht S_n \) ku
\(S_n = s_0 + \pika + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pika + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Zhvendosja e kërkuar është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ s = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Le të përmbledhim. Zgjidhjet detyra të ndryshme reduktuar në të njëjtin model matematikor. Shumë probleme nga fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë çojnë në të njëjtin model në procesin e zgjidhjes. Pra kjo modeli matematik duhet të studiohen posaçërisht.

Koncepti i një integrali të caktuar

Le të japim një përshkrim matematikor të modelit që u ndërtua në tre problemat e konsideruara për funksionin y = f(x), i vazhdueshëm (por jo domosdoshmërisht jo negativ, siç u supozua në problemat e shqyrtuara) në intervalin [a; b]:
1) ndani segmentin [a; b] në n pjesë të barabarta;
2) përbëjnë shumën $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) llogarit $$ \lim_(n \në \infty) S_n $$

e di analiza matematikoreështë vërtetuar se ky kufi ekziston në rastin e një funksioni të vazhdueshëm (ose pjesërisht të vazhdueshëm). Ai quhet një integral i caktuar i funksionit y = f(x) mbi segmentin [a; b] dhe shënohet si më poshtë:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numrat a dhe b quhen kufijtë e integrimit (përkatësisht i poshtëm dhe i sipërm).

Le të kthehemi te detyrat e diskutuara më sipër. Përkufizimi i zonës i dhënë në problemin 1 tani mund të rishkruhet si më poshtë:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
këtu S është zona e trapezit të lakuar të paraqitur në figurën e mësipërme. Kjo është kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.

Përkufizimi i zhvendosjes s të një pike që lëviz në një vijë të drejtë me një shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b, të dhëna në problemin 2, mund të rishkruhet si më poshtë:

Formula Njuton-Leibniz

Së pari, le t'i përgjigjemi pyetjes: cila është lidhja midis integralit të caktuar dhe antiderivativit?

Përgjigja gjendet në problemin 2. Nga njëra anë, zhvendosja s e një pike që lëviz në vijë të drejtë me shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b llogaritet me formulën
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Nga ana tjetër, koordinata e një pike lëvizëse është një antiderivativ për shpejtësinë - le ta shënojmë atë s(t); kjo do të thotë se zhvendosja s shprehet me formulën s = s(b) - s(a). Si rezultat marrim:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ku s(t) është antiderivati ​​i v(t).

Teorema e mëposhtme u vërtetua gjatë analizës matematikore.
Teorema. Nëse funksioni y = f(x) është i vazhdueshëm në intervalin [a; b], atëherë formula është e vlefshme
\(S = \int\ limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ku F(x) është antiderivati ​​i f(x).

Formula e dhënë zakonisht quhet Formula Njuton-Leibniz për nder të fizikanit anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofit gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716), të cilët e morën atë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri dhe pothuajse njëkohësisht.

Në praktikë, në vend që të shkruajnë F(b) - F(a), ata përdorin shënimin \(\left. F(x)\right|_a^b \) (nganjëherë quhet zëvendësim i dyfishtë) dhe, në përputhje me rrethanat, rishkruani formulën Newton-Leibniz në këtë formë:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \majtas. F(x)\djathtas|_a^b \)

Kur llogaritni një integral të caktuar, së pari gjeni antiderivativin dhe më pas kryeni një zëvendësim të dyfishtë.

Bazuar në formulën Njuton-Leibniz, mund të marrim dy veti të integralit të caktuar.

Prona 1. Integrali i shumës së funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar

Duke përdorur integralin, ju mund të llogaritni zonat jo vetëm të trapezoidëve lakor, por edhe të figurave të sheshta më shumë. lloj kompleks, për shembull ai i paraqitur në figurë. Figura P kufizohet nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve të vazhdueshme y = f(x), y = g(x), dhe në segmentin [a; b] vlen pabarazia \(g(x) \leq f(x) \). Për të llogaritur sipërfaqen S të një figure të tillë, do të veprojmë si më poshtë:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\ limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Pra, zona S e një figure të kufizuar nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve y = f(x), y = g(x), e vazhdueshme në segment dhe e tillë që për çdo x nga segmenti [a; b] pabarazia \(g(x) \leq f(x) \) është e plotësuar, e llogaritur me formulën
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Le të jetë funksioni jo negativ dhe i vazhdueshëm në interval. Më pas, sipas kuptimi gjeometrik e një integrali të caktuar, sipërfaqja e një trapezi lakor të kufizuar nga grafiku i këtij funksioni, më poshtë me boshtin, majtas dhe djathtas me vija të drejta dhe (shih Fig. 2) llogaritet me formulën

Shembulli 9. Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga një vijë dhe boshti.

Zgjidhje. Grafiku i funksionit është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë. Le ta ndërtojmë atë (Fig. 3). Për të përcaktuar kufijtë e integrimit, gjejmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës (parabolës) me boshtin (vijë e drejtë). Për ta bërë këtë, ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve

Ne marrim: , ku , ; prandaj, , .

Oriz. 3

Ne gjejmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën (5):

Nëse funksioni është jopozitiv dhe i vazhdueshëm në segment, atëherë sipërfaqja e trapezit kurvilinear të kufizuar më poshtë nga grafiku i këtij funksioni, sipër me boshtin, majtas dhe djathtas me vija të drejta dhe , llogaritet me formulë

. (6)

Nëse funksioni është i vazhdueshëm në një segment dhe ndryshon shenjën në një numër të fundëm pikash, atëherë sipërfaqja e figurës së hijezuar (Fig. 4) është e barabartë me shumën algjebrike të integraleve të përcaktuara përkatëse:

Oriz. 4

Shembulli 10. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga boshti dhe grafiku i funksionit në .

Oriz. 5

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 5). Sipërfaqja e kërkuar është shuma e sipërfaqeve dhe . Le të gjejmë secilën nga këto zona. Së pari, ne përcaktojmë kufijtë e integrimit duke zgjidhur sistemin Ne marrim,. Prandaj:

;

.

Kështu, zona e figurës së hijezuar është

(njësi katrore).

Oriz. 6

Së fundi, le të kufizohet trapezi lakor sipër dhe poshtë nga grafikët e funksioneve të vazhdueshme në segmentin dhe ,
dhe në të majtë dhe të djathtë - vija të drejta dhe (Fig. 6). Pastaj sipërfaqja e saj llogaritet me formulë

. (8)

Shembulli 11. Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe.

Zgjidhje. Kjo shifër është paraqitur në Fig. 7. Le të llogarisim sipërfaqen e tij duke përdorur formulën (8). Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve gjejmë, ; prandaj, , . Mbi segmentin kemi: . Kjo do të thotë se në formulën (8) marrim si x, dhe si cilësi – . Ne marrim:

(njësi katrore).

Problemet më komplekse të llogaritjes së sipërfaqeve zgjidhen duke e ndarë figurën në pjesë që nuk mbivendosen dhe duke llogaritur sipërfaqen e të gjithë figurës si shuma e sipërfaqeve të këtyre pjesëve.

Oriz. 7

Shembulli 12. Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat , , .

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 8). Kjo figurë mund të konsiderohet si një trapez lakor, i kufizuar nga poshtë nga boshti, majtas dhe djathtas - me vija të drejta dhe, nga lart - nga grafikët e funksioneve dhe. Meqenëse figura kufizohet nga lart nga grafikët e dy funksioneve, për të llogaritur sipërfaqen e saj, e ndajmë këtë figurë të drejtë në dy pjesë (1 është abshisa e pikës së kryqëzimit të drejtëzave dhe ). Zona e secilës prej këtyre pjesëve gjendet duke përdorur formulën (4):

(njësi katrore); (njësi katrore). Prandaj:

(njësi katrore).

Oriz. 8

X= j ( në)

Oriz. 9

Si përfundim, vërejmë se nëse një trapez lakor kufizohet me vija të drejta dhe , bosht dhe i vazhdueshëm në kurbë (Fig. 9), atëherë sipërfaqja e tij gjendet me formulën

Vëllimi i një trupi revolucioni

Le të rrotullohet rreth boshtit një trapez lakor, i kufizuar nga grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një segment, nga një bosht, nga vija të drejta dhe , (Fig. 10). Pastaj vëllimi i trupit që rezulton i rrotullimit llogaritet me formulë

. (9)

Shembulli 13. Llogaritni vëllimin e një trupi të marrë duke rrotulluar rreth boshtit të një trapezi lakor të kufizuar nga një hiperbolë, vija të drejta dhe bosht.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 11).

Nga kushtet e problemit del se , . Nga formula (9) marrim

.

Oriz. 10

Oriz. njëmbëdhjetë

Vëllimi i një trupi i marrë nga rrotullimi rreth një boshti OU trapezi lakor i kufizuar me vija të drejta y = c Dhe y = d, boshti OU dhe një grafik të një funksioni të vazhdueshëm në një segment (Fig. 12), i përcaktuar nga formula

. (10)

X= j ( në)

Oriz. 12

Shembulli 14. Llogaritni vëllimin e një trupi që fitohet duke u rrotulluar rreth një boshti OU trapezoid lakor i kufizuar me vija X 2 = 4në, y = 4, x = 0 (Fig. 13).

Zgjidhje. Në përputhje me kushtet e problemit gjejmë kufijtë e integrimit: , . Duke përdorur formulën (10) marrim:

Oriz. 13

Gjatësia e harkut të një lakore të rrafshët

Lëreni kurbën e dhënë nga ekuacioni , ku , shtrihet në rrafsh (Fig. 14).

Oriz. 14

Përkufizimi. Gjatësia e një harku kuptohet si kufiri në të cilin priret gjatësia e vijës së thyer të gdhendur në këtë hark, kur numri i lidhjeve të vijës së thyer priret në pafundësi dhe gjatësia e lidhjes më të madhe tenton në zero.

Nëse një funksion dhe derivati ​​i tij janë të vazhdueshëm në segment, atëherë gjatësia e harkut të kurbës llogaritet me formulën

. (11)

Shembulli 15. Llogaritni gjatësinë e harkut të lakores së mbyllur midis pikave për të cilat .

Zgjidhje. Nga kushtet problematike që kemi . Duke përdorur formulën (11) marrim:

.

4. Integrale jo të duhura
me kufij të pafund integrimi

Gjatë prezantimit të konceptit të një integrali të caktuar, u supozua se plotësoheshin dy kushtet e mëposhtme:

a) kufijtë e integrimit A dhe janë të fundme;

b) integrandi është i kufizuar në interval.

Nëse të paktën një nga këto kushte nuk plotësohet, atëherë thirret integrali jo e juaja.

Le të shqyrtojmë së pari integrale të pahijshme me kufij të pafund integrimi.

Përkufizimi. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval, atëherë dhe e pakufizuar në të djathtë (Fig. 15).

Nëse integrali i papërshtatshëm konvergjon, atëherë kjo zonë është e fundme; nëse integrali i papërshtatshëm ndryshon, atëherë kjo zonë është e pafundme.

Oriz. 15

Një integral i papërshtatshëm me një kufi të poshtëm të pafund të integrimit përcaktohet në mënyrë të ngjashme:

. (13)

Ky integral konvergon nëse kufiri në anën e djathtë të barazisë (13) ekziston dhe është i kufizuar; përndryshe integrali thuhet se është divergjent.

Një integral i papërshtatshëm me dy kufij të pafund të integrimit përcaktohet si më poshtë:

, (14)

ku c është çdo pikë e intervalit. Integrali konvergjon vetëm nëse të dy integralet në anën e djathtë të barazisë (14) konvergojnë.

;

G) = [zgjidh një katror të plotë në emërues: ] = [zëvendësim:

] =

Kjo do të thotë se integrali i papërshtatshëm konvergon dhe vlera e tij është e barabartë me .