Kufijtë u japin shumë telashe të gjithë studentëve të matematikës. Për të zgjidhur një kufi, ndonjëherë ju duhet të përdorni shumë truke dhe të zgjidhni nga një shumëllojshmëri metodash zgjidhjeje pikërisht atë që është e përshtatshme për një shembull të veçantë.

Në këtë artikull ne nuk do t'ju ndihmojmë të kuptoni kufijtë e aftësive tuaja ose të kuptoni kufijtë e kontrollit, por do të përpiqemi t'i përgjigjemi pyetjes: si të kuptoni kufijtë në matematikën më të lartë? Kuptimi vjen me përvojën, ndaj në të njëjtën kohë do të japim disa shembuj të detajuar të zgjidhjes së limiteve me shpjegime.

Koncepti i kufirit në matematikë

Pyetja e parë është: cili është ky kufi dhe kufiri i çfarë? Mund të flasim për kufijtë e sekuencave dhe funksioneve numerike. Ne jemi të interesuar për konceptin e kufirit të një funksioni, pasi kjo është ajo që studentët hasin më shpesh. Por së pari, përkufizimi më i përgjithshëm i një kufiri:

Le të themi se ka një vlerë të ndryshueshme. Nëse kjo vlerë në procesin e ndryshimit i afrohet në mënyrë të pakufizuar një numri të caktuar a , Kjo a – kufiri i kësaj vlere.

Për një funksion të përcaktuar në një interval të caktuar f(x)=y një numër i tillë quhet limit A , që funksioni tenton kur X , duke u përpjekur në një pikë të caktuar A . Pika A i përket intervalit në të cilin është përcaktuar funksioni.

Tingëllon e rëndë, por shkruhet shumë thjeshtë:

Lim- nga anglishtja limit- limit.

Ekziston edhe një shpjegim gjeometrik për përcaktimin e kufirit, por këtu nuk do të thellohemi në teori, pasi na intereson më shumë ana praktike dhe jo teorike e çështjes. Kur themi se X priret në një vlerë, kjo do të thotë se ndryshorja nuk merr vlerën e një numri, por i afrohet atij pafundësisht afër.

Le të japim një shembull konkret. Detyra është të gjesh kufirin.

Për të zgjidhur këtë shembull, ne zëvendësojmë vlerën x=3 në një funksion. Ne marrim:

Nga rruga, nëse jeni të interesuar, lexoni një artikull të veçantë për këtë temë.

Në shembuj X mund të priren në çdo vlerë. Mund të jetë çdo numër ose pafundësi. Ja një shembull kur X priret në pafundësi:

Intuitivisht, sa më i madh të jetë numri në emërues, aq më e vogël do të jetë vlera e funksionit. Pra, me rritje të pakufizuar X kuptimi 1/x do të ulet dhe do t'i afrohet zeros.

Siç mund ta shihni, për të zgjidhur kufirin, thjesht duhet të zëvendësoni vlerën për të cilën përpiqeni në funksion X . Megjithatë, ky është rasti më i thjeshtë. Shpesh gjetja e kufirit nuk është aq e qartë. Brenda kufijve ka paqartësi të llojit 0/0 ose pafundësi/pafundësi . Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Përdorni truket!

Pasiguritë brenda

Pasiguria e formës pafundësi/pafundësi

Le të ketë një kufi:

Nëse përpiqemi të zëvendësojmë pafundësinë në funksion, do të marrim pafundësi si në numërues ashtu edhe në emërues. Në përgjithësi, vlen të thuhet se ekziston një element i caktuar i artit në zgjidhjen e pasigurive të tilla: duhet të vini re se si mund ta transformoni funksionin në atë mënyrë që pasiguria të largohet. Në rastin tonë, ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin me X në gradën e lartë. Çfarë do të ndodhë?

Nga shembulli i diskutuar tashmë më lart, ne e dimë se termat që përmbajnë x në emërues do të priren në zero. Atëherë zgjidhja e kufirit është:

Për të zgjidhur pasiguritë e tipit pafundësi/pafundësi pjesëtojeni numëruesin dhe emëruesin me X në shkallën më të lartë.

Meqe ra fjala! Për lexuesit tanë tani ka një zbritje prej 10%.

Një lloj tjetër pasigurie: 0/0

Si gjithmonë, duke zëvendësuar vlerat në funksion x=-1 jep 0 në numërues dhe emërues. Shikoni pak më nga afër dhe do të vini re se kemi një ekuacion kuadratik në numërues. Le të gjejmë rrënjët dhe të shkruajmë:

Le të zvogëlojmë dhe të marrim:

Pra, nëse përballeni me pasiguri të llojit 0/0 – faktorizoni numëruesin dhe emëruesin.

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e shembujve, ne paraqesim një tabelë me kufijtë e disa funksioneve:

Rregulli i L'Hopital brenda

Një mënyrë tjetër e fuqishme për të eliminuar të dy llojet e pasigurisë. Cili është thelbi i metodës?

Nëse ka pasiguri në kufi, merrni derivatin e numëruesit dhe emëruesit derisa pasiguria të zhduket.

Rregulli i L'Hopital duket si ky:

Pika e rëndësishme : duhet të ekzistojë kufiri në të cilin qëndrojnë derivatet e numëruesit dhe të emëruesit në vend të numëruesit dhe emëruesit.

Dhe tani - një shembull i vërtetë:

Ekziston një pasiguri tipike 0/0 . Le të marrim derivatet e numëruesit dhe të emëruesit:

Voila, pasiguria zgjidhet shpejt dhe me elegancë.

Shpresojmë që ju të jeni në gjendje ta zbatoni në mënyrë të dobishme këtë informacion në praktikë dhe të gjeni përgjigjen e pyetjes "si të zgjidhni kufijtë në matematikën më të lartë". Nëse keni nevojë të llogaritni kufirin e një sekuence ose kufirin e një funksioni në një pikë, dhe nuk ka absolutisht kohë për këtë punë, kontaktoni një shërbim profesional studentor për një zgjidhje të shpejtë dhe të detajuar.

Dije që të gjithë kanë një "lëndim" të ndryshëm,
Dije se të gjithë kanë një "të frikshme" të ndryshme.
Mos gjykoni nga kambanorja juaj
Nuk dihet se sa kate ka.

Mos shikoni kufijtë
Mos shpikni kufij me trurin tuaj.
Çfarë nuk do të ëndërronit kurrë në një makth?
Për disa është një gjë e zakonshme.

Dije se të gjithë kanë një "duhet" të ndryshme,
Dijeni se "vështirësia" e të gjithëve është e ndryshme.
Megjithatë, ideja e ferrit
Është e pamundur të përgjithësohet dhe të krahasohet.

Dije se e vërteta është ndryshe,
Dhe jo ai që serviret në pjatë.
Shikoni më nga afër ata, fatet e të cilëve janë të frikshëm,
Këta janë njerëzit më të fortë.

Mos thuaj qe nuk te mbaj mend...
Mbaj mend gjithçka, shumë herë në ditë
E përsëris numrin e telefonit
Por nuk do të të telefonoj kurrë.
Më dukej sikur zemra do të më thyhej
Dhe në kufirin e ditëve të vetmisë

Ata shkuan përtej horizontit në shpirtin tim.
Kishte dashuri, kishte dashuri, kishte!
Dhe nuk ka asgjë për të shtuar në këtë frazë.
Kalaja jonë magjike u dogj deri në themel
Dhe ai nuk na la hi për ta kujtuar.
Mbaj mend gjithçka dhe mbaj mend kopshtin e lulëzuar,
Dhe përmes gjethit - rrezet nga të gjitha anët,
Si nga një kambanore e bardhë, e bardhë
Në shpirtin tuaj - ju dëgjoni - një zile e qetë po derdhet.
Dashuria është zhdukur dhe nuk do të kthehet kurrë,
Dhe për të mos humbur përgjithmonë,
Sytë e tu janë si dy diej të trishtuar
Ata shkuan përtej horizontit në shpirtin tim.

Kërkimi i lumturisë është sërish i pasuksesshëm...
Dhe është një mbrëmje me shi, është e zymtë jashtë ...
Dhe si fëmijë... Unë shtroja reçel në një simite
Dhe padyshim i lumtur, marrëzi i lumtur ...

Glamour, etiketë, diamante, xhakuzi...
Tani, përveç lumturisë, në fatin e "All inclusive",
Dhe si fëmijë kam ngrënë fara luledielli,
Dhe lumturia dukej se nuk kishte kufij...

Jemi bërë shumë si klloun...
Të gjithë janë të veshur me grim që qeshin nga jashtë...
Dhe në fëmijëri... vetëm dielli shpërtheu nga qielli
Dhe zemra e lumtur buzëqeshi aq shumë ...

Ne zgjedhim njerëz si hikërror në Hirushja...
Kontaktoni me këdo që ju nevojitet... Ata që janë të padobishëm shkojnë në sobë...
Dhe në fëmijëri, qiejt e kthjellët besuan në ne ...
Ku është gëzimi nga aroma e bukës së freskët?

Dhe tani miqësia mund të blihet gjithashtu ...
Ne ia dolëm... Jetojmë në një botë me lesh dhe lëkurë...
Dhe si fëmijë, ata shpëtuan një përzier nga një stuhi shiu...
Dhe duke dhënë lumturinë, ata e morën atë.

Kemi humbur sinqeritetin dhe ndjeshmërinë ndër vite...
Ne dolëm me kufijtë dhe kornizat vetë...
Keni një simite dhe një kavanoz me reçel qershie?
Pra, ji i lumtur si ferr!

Unë të shikoj dhe kuptoj që të dua akoma. Kjo dashuri është një sëmundje kronike e viteve të fundit. Sjell një dhimbje kaq të padurueshme saqë i hedh veten krejt të panjohurve, duke u përpjekur të mashtrohem prej tyre, me ta befas në këto përqafime do të gjej vetë qetësuesin që, sipas pronarëve të zemrave të rrudhura, nuk ekziston fare. E kuptoj që po mashtroj, por vazhdoj të përqafohem - nuk mund të vras ​​veten ndryshe, më dhemb, më mundon, nuk më lë të fle natën, kështu që jam ulur në dritare dhe. në një minutë tjetër, unë do të bërtas zemërthyer nga torturat e iluzioneve. A duhet t'ju kontaktoj për ndihmë? E padobishme. Ti e di për dashurinë time, por nuk ke nevojë për të, "goja jote është plot me ndjenja të pashprehura". Jemi në të njëjtën rrjetë të papërgjegjshmërisë, por nuk mund ta ndihmojmë njëri-tjetrin. I mbështjell duart rreth fijeve dhe shufrave të holla të bardha dhe shikon diku përtej kufijve të realitetit, duke shpresuar se Zoti e di ndihmën e kujt. Dhe ka vetëm një ndryshim mes nesh: dashuria ime për ty për pak më rrëzoi nga këmbët dhe dashuria jote për dikë të ushqen dhe të ringjall me pritshmëri, ndonëse mashtruese. Nuk dua të të shikoj më, e nxjerr nga zemra mundësinë për ty, por kjo e bën edhe më të dhimbshme. Kështu ai kalon procesin e vuajtjes me pëshpëritje, duke shpresuar gjithashtu se Zoti e di ndihmën e kujt. Koha?..

Jeta juaj është një gënjeshtër e plotë, pornografi, jeta e përditshme, varësia nga interneti dhe skllavëri e celularëve. Epo, nuk kam të drejtë? Më thuaj, a ke bërë ndonjëherë diçka vërtet të pazakontë? kurrë. Dhe nuk mundesh. A e dini pse? Sepse e gjithë kjo është jashtë zonës suaj të rehatisë. Ju jeni të mbushur në të. Si në një qese polipropileni. Jeni copa mishi, të shtrydhura nga kufijtë e përditshmërisë dhe punës. Apo e kam gabim? Ndoshta e kam gabim? Me korrigjo.
Për shembull, a mund t'i jepni celularin tuaj personit të parë që takoni? A? Pyetje e ndërlikuar. A mund ta formatoni vidën në kompjuterin tuaj tani? Memece? E ke mashtruar veten? A e dini pse nuk e bëni këtë? Sepse është e barabartë me vetëvrasjen. Ti nuk ekziston pa të.



Ai ka qenë njëzet e tetë vjet të gjatë dhe njëzet e tetë dimra përveç kësaj,

Mbajti një sekret dhe ishte një bashkëshort shembullor në familje.
Gjithçka dukej se ishte si zakonisht: gruaja ime po përgatiste darkën...
Por befas ndodhi diçka e keqe: atij iu kujtua sekreti.
Ndaj zhurmës dhe erës së thartë të supës me lakër, ankimit të të fejuarës sime në mëngjes,
Gjithçka e mbante mend deri në imtësi, sikur të kishte ndodhur dje...
...Ajo u ul pranë dritares dhe drita e butë e mrekullueshme e hënës
Pikturoi siluetën e saj të bukur me tone të zbehta...
Fijet rrodhën mbi supe, rrëshqisnin si gjarpërinj mbi gjoks...
Dhe ai mendoi me nxitim: "Do të martohem me të një ditë!"
Ai mbante mend gjithçka deri në detajet më të vogla: kthesat e linjave, butësinë e buzëve...
Dhe nxehtësia e fjalimeve të saj të thjeshta dhe një lis i madh jashtë dritares.
Një lëmsh ​​duarsh... Një shkrirje trupash... Një kaskadë flokësh kafe...
Dhe sa e donte deri në furi, deri në lot!
Një rrjedhë rrëfimesh rrëqethëse, si më pëshpëriti në vesh!
Një kaçurrela qesharake sipër veshit që dridhej nga frymëmarrja...
Ajo e shikoi me sy te lagur si nata.
Fjalët ishin dehëse si vera: “Të dua... Më jep një vajzë...”
Në mëngjes ai humbi qetësinë: po rrëmbehej, pastaj u mërzit...
Pastaj, duke mbuluar fytyrën me dorë, u ul në një karrige dhe heshti.
Gruaja murmuriti, si gjithmonë. Ajo qortoi supën e arratisur...
Dhe ai vuri në dukje se vitet nuk i përshtateshin asaj ndërsa plakej.
Ashtu si ngjyra e bardhë dhe fijet e flokëve të lyer nuk i shkojnë asaj.
Dhe për njëzet e tetë vjet gjithçka nuk ishte disi serioze ...
Papritur ai u hodh lart, rrëmbeu pallton dhe harroi kapelën dhe çorapet e tij.
Të njëzet e tetë vitet nuk janë njësoj... Të njëzet e tetë dimrat janë melankolikë.
E gjeta atë shtëpi. Shtëpia ka një pemë lisi. Ai u ngjit shkallëve si një shigjetë ...
Do të doja të ndaloja dridhjen nga buzët e ftohta, dhe frikacakët e neveritshëm - larg!
Ajo ndoshta po pi çaj dhe po mbështillet me një shall...
Dhe një trishtim i qetë rrjedh nga sytë e saj të bukur...
Apo ndoshta ajo filloi të thur? Apo ndoshta endje dantella?
Ka kaq shumë për t'i thënë asaj! Dhe gjëja kryesore është të thuash - më vjen keq ...
Ajo hapi derën... Kishte një pyetje në sytë e saj. Ajo ishte përsëri njëzet vjeç ...
Një kaskadë flokësh gështenjë... Një siluetë e njohur për zemrën...
Ka një kaçurrela të lehtë mbi vesh... Ashtu si shumë vite më parë - saktësisht e njëjta gjë...
"Nuk e keni gabim?" "Jo, nuk munda... Jeni Anya?" Vera. Vajza e saj…"
"Dhe Anya?" - "Mami nuk është më ... Kush je ti?" Ai u kthye mbrapa:
"Unë shkova tek ajo për njëzet e tetë vjet ..." - Ajo po të priste ... Njëzet e pesë ...
Sa i trullosur... Si m'u zhyt zemra në gjoks!
Dhe ai i kujtoi fjalët e saj me një lutje: "Mos u largo!"
Ai u përkul. Ai u largua me vrap. Gërshetimi i duarve... Bashkimi i trupave...
Të dua... Më jep një vajzë... Por ai donte shumë një vajzë.
Sa e çuditshme. Anya nuk është më... Unë qava... E hodha në heshtje: “Do të të dua për shumë e shumë vite... Vetëm ti...”

P.S. KUJDESI PËR DASHURINË - është themeli i lumturisë suaj...



Një grua që fal shumë shpesh dhe duron për një kohë shumë të gjatë, shpesh largohet papritur dhe përgjithmonë!