Bu yazımızda ondalık sayıları çarpma işlemine bakacağız. Genel prensipleri belirterek başlayalım, ardından bir ondalık kesirin diğeriyle nasıl çarpılacağını gösterelim ve bir sütunla çarpma yöntemini ele alalım. Tüm tanımlar örneklerle gösterilecektir. Daha sonra ondalık kesirlerin sıradan, karma ve doğal sayılarla (100, 10 vb. dahil) nasıl doğru şekilde çarpılacağına bakacağız.
Bu materyalde sadece pozitif kesirlerle çarpma kurallarına değineceğiz. Negatif sayılarla ilgili durumlar, rasyonel ve reel sayıların çarpılmasıyla ilgili makalelerde ayrı ayrı ele alınmaktadır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Hadi formüle edelim genel prensipler Ondalık kesirlerin çarpılmasıyla ilgili problemleri çözerken takip edilmesi gereken.
Öncelikle ondalık kesirlerin bundan başka bir şey olmadığını hatırlayalım. özel şekil sıradan kesirlerin kayıtları, bu nedenle bunları çarpma işlemi sıradan kesirler için benzer bir işleme indirgenebilir. Bu kural hem sonlu hem de sonsuz kesirler için geçerlidir: Bunları sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra, daha önce öğrendiğimiz kurallara göre onlarla çarpmak kolaydır.
Bu tür sorunların nasıl çözüldüğünü görelim.
Örnek 1
1,5 ile 0,75'in çarpımını hesaplayın.
Çözüm: Öncelikle ondalık kesirleri sıradan kesirlerle değiştirelim. 0,75'in 75/100, 1,5'in ise 15/10 olduğunu biliyoruz. Kesri azaltıp tamamını seçebiliriz. Ortaya çıkan sonucu 125 1000 olarak 1, 125 olarak yazacağız.
Cevap: 1 , 125 .
Doğal sayılarda olduğu gibi sütun sayma yöntemini kullanabiliriz.
Örnek 2
Bir periyodik kesir olan 0, (3)'ü başka bir 2, (36) ile çarpın.
Öncelikle orijinal kesirleri sıradan kesirlere indirgeyelim. Alacağız:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Dolayısıyla 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
Ortaya çıkan ortak kesir payı paydaya bir sütuna bölerek ondalık biçime dönüştürülebilir:
Cevap: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
Problem ifadesinde sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, o zaman ön yuvarlama yapmamız gerekir (bunu nasıl yapacağınızı unuttuysanız sayıları yuvarlama hakkındaki makaleye bakın). Bundan sonra, zaten yuvarlatılmış ondalık kesirlerle çarpma işlemini gerçekleştirebilirsiniz. Bir örnek verelim.
Örnek 3
5, 382... ile 0, 2'nin çarpımını hesaplayın.
Çözüm
Problemimizde öncelikle yüzde birlere yuvarlanması gereken sonsuz bir kesir var. 5,382... ≈ 5,38 olduğu ortaya çıktı. İkinci faktörü yüzde birlere yuvarlamanın bir anlamı yok. Artık gerekli çarpımı hesaplayabilir ve cevabı yazabilirsiniz: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.
Cevap: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.
Sütun sayma yöntemi yalnızca doğal sayılar için kullanılamaz. Eğer ondalık sayılarımız varsa onları da aynı şekilde çarpabiliriz. Kuralı türetelim:
Tanım 1
Ondalık kesirlerin sütunla çarpılması 2 adımda gerçekleştirilir:
1. Virgüllere dikkat etmeden sütun çarpımını yapın.
2. Son sayıya, her iki faktörün de ondalık basamakları birlikte içermesi nedeniyle sağ taraftaki basamaklarla ayırarak bir ondalık nokta yerleştirin. Sonuç bunun için yeterli sayı değilse sola sıfır ekleyin.
Pratikte bu tür hesaplamaların örneklerine bakalım.
Örnek 4
63, 37 ve 0, 12 ondalık sayılarını sütunlarla çarpın.
Çözüm
Öncelikle ondalık noktaları göz ardı ederek sayıları çarpalım.
Şimdi virgülü doğru yere koymamız gerekiyor. Her iki faktördeki ondalık sayıların toplamı 4 olduğu için sağ taraftaki dört rakamı ayıracaktır. Sıfır eklemeye gerek yok çünkü yeterli işaret:
Cevap: 3,37 0,12 = 7,6044.
Örnek 5
3,2601 çarpı 0,0254'ün ne kadar olduğunu hesaplayın.
Çözüm
Virgülsüz sayıyoruz. Aşağıdaki sayıyı alıyoruz:
Orijinal kesirlerin toplamında 8 ondalık basamak olduğundan, sağ tarafa 8 rakamı ayıran virgül koyacağız. Ancak sonucumuzun yalnızca yedi rakamı var ve ek sıfırlar olmadan yapamayız:
Cevap: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.
Ondalık sayı 0,001, 0,01, 01 vb. ile nasıl çarpılır?
Ondalık sayıları bu tür sayılarla çarpmak yaygındır, bu nedenle bunu hızlı ve doğru bir şekilde yapabilmek önemlidir. Bu çarpma işleminde kullanacağımız özel bir kuralı yazalım:
Tanım 2
Bir ondalık sayıyı 0, 1, 0, 01 vb. ile çarparsak, orijinal kesre benzer bir sayı elde ederiz ve virgül sola kaydırılır. gerekli miktar işaretler. Aktarılacak yeterli numara yoksa sola sıfır eklemeniz gerekir.
Yani 45, 34'ü 0, 1 ile çarpmak için onu orijinaline aktarmanız gerekir. ondalık bir karakterle virgül. 4.534'e ulaşacağız.
Örnek 6
9,4'ü 0,0001 ile çarpın.
Çözüm
İkinci faktördeki sıfır sayısına göre virgülünü dört basamak kaydırmamız gerekecek ama birinci faktördeki sayılar bunun için yeterli değil. Gerekli sıfırları atarız ve 9,4 · 0,0001 = 0,00094 olduğunu buluruz.
Cevap: 0 , 00094 .
Sonsuz ondalık sayılar için aynı kuralı kullanırız. Yani, örneğin, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) veya 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... vesaire.
Bu tür çarpma işlemi, iki ondalık kesirin çarpılması eyleminden farklı değildir. Sorun cümlesi son ondalık kesir içeriyorsa sütun çarpma yöntemini kullanmak uygundur. Bu durumda bir önceki paragrafta bahsettiğimiz tüm kuralları dikkate almak gerekir.
Örnek 7
15 · 2,27'nin ne kadar olduğunu hesaplayın.
Çözüm
Orijinal sayıları bir sütunla çarpıp iki virgülle ayıralım.
Cevap: 15 · 2,27 = 34,05.
Periyodik bir ondalık kesri bir doğal sayıyla çarparsak, önce ondalık kesri sıradan bir kesirle değiştirmemiz gerekir.
Örnek 8
0, (42) ve 22'nin çarpımını hesaplayın.
Periyodik kesri sıradan forma indirgeyelim.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Periyodik ondalık kesir şeklinde nihai sonucu 9, (3) olarak yazabiliriz.
Cevap: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .
Sonsuz kesirler Hesaplamalar yapmadan önce ilk turu yapmalısınız.
Örnek 9
4 · 2, 145...'in ne kadar olacağını hesaplayın.
Çözüm
Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde birlere yuvarlayalım. Bundan sonra bir doğal sayıyı ve son ondalık kesri çarpmaya geliyoruz:
4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.
Cevap: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
Bir ondalık sayı 1000, 100, 10 vb. ile nasıl çarpılır?
Ondalık kesirlerin 10, 100 vb. ile çarpılması problemlerde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur, bu nedenle bu durumu ayrıca analiz edeceğiz. Çarpmanın temel kuralı şudur:
Tanım 3
Ondalık kesri 1000, 100, 10 vb. ile çarpmak için çarpana bağlı olarak virgülünü 3, 2, 1 hanelerine taşımanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir. Virgülün yerini değiştirecek kadar sayı yoksa sağa ihtiyacımız olduğu kadar sıfır ekleyin.
Bunun tam olarak nasıl yapılacağını bir örnekle gösterelim.
Örnek 10
100 ile 0,0783'ü çarpın.
Çözüm
Bunun için virgülü 2 basamak sağa kaydırmamız gerekiyor. Sonumuz 007, 83 olacak. Soldaki sıfırlar atılıp sonuç 7, 38 olarak yazılabilir.
Cevap: 0,0783 100 = 7,83.
Örnek 11
0,02'yi 10 bin ile çarpın.
Çözüm: Virgülün dört hanesini sağa kaydıracağız. Orijinal ondalık kesirde bunun için yeterli işaretimiz yok, bu yüzden sıfır eklememiz gerekecek. Bu durumda üç 0 yeterli olacaktır. Sonuç 0, 02000, virgülü hareket ettirin ve 00200, 0'ı elde edin. Soldaki sıfırları dikkate almazsak cevabı 200 olarak yazabiliriz.
Cevap: 0,02 · 10.000 = 200.
Verdiğimiz kural sonsuz ondalık kesirlerde de aynı şekilde çalışacaktır ancak burada son kesrin periyoduna çok dikkat etmelisiniz çünkü bunda hata yapmak kolaydır.
Örnek 12
5,32 (672) çarpı 1000'in çarpımını hesaplayın.
Çözüm: Öncelikle periyodik kesri 5, 32672672672... olarak yazacağız, dolayısıyla hata yapma olasılığı daha az olacaktır. Bundan sonra virgülü gerekli sayıda karaktere (üç) taşıyabiliriz. Sonuç 5326, 726726... Noktayı parantez içine alıp cevabı 5,326, (726) olarak yazalım.
Cevap: 5, 32 (672) · 1.000 = 5.326, (726) .
Sorun koşulları on, yüz, bin vb. ile çarpılması gereken sonsuz periyodik olmayan kesirler içeriyorsa, çarpmadan önce bunları yuvarlamayı unutmayın.
Bu tür çarpma işlemini gerçekleştirmek için, ondalık kesri sıradan bir kesir olarak temsil etmeniz ve ardından zaten bilinen kurallara göre ilerlemeniz gerekir.
Örnek 13
0, 4'ü 3 5 6 ile çarpın
Çözüm
Öncelikle ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürelim. Elimizde: 0, 4 = 4 10 = 2 5.
Cevabı karışık sayı şeklinde aldık. Bunu periyodik kesir 1, 5 (3) olarak yazabilirsiniz.
Cevap: 1 , 5 (3) .
Hesaplamaya sonsuz periyodik olmayan bir kesir dahilse, bunu belirli bir sayıya yuvarlamanız ve sonra çarpmanız gerekir.
Örnek 14
3, 5678 çarpımını hesaplayın. . . · 2 3
Çözüm
İkinci faktörü 2 3 = 0, 6666… şeklinde gösterebiliriz. Daha sonra her iki faktörü de bininci basamağa yuvarlayın. Bundan sonra, son iki ondalık kesir olan 3,568 ve 0,667'nin çarpımını hesaplamamız gerekecek. Bir sütunla sayalım ve cevabı alalım:
Orijinal sayıları bu rakama yuvarladığımız için nihai sonucun binde birlere yuvarlanması gerekir. 2,379856 ≈ 2,380 olduğu ortaya çıktı.
Cevap: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Ondalık sayı, tam sayı olmayan sayılarda işlem yapmanız gerektiğinde kullanılır. Bu mantıksız görünebilir. Ancak bu tür sayılar, onlarla yapılması gereken matematiksel işlemleri büyük ölçüde basitleştirir. Bu anlayış zamanla, bunları yazmak alışıldık hale geldiğinde, bunları okumak zorluğa neden olmadığında ve ondalık kesirlerin kuralları öğrenildiğinde gelir. Üstelik tüm eylemler, doğal sayılarla öğrenilen, önceden bilinen eylemlerin tekrarıdır. Sadece bazı özellikleri hatırlamanız gerekiyor.
Ondalık tanımı
Ondalık sayı, paydası 10'a bölünebilen ve cevabı bir ve muhtemelen sıfır olarak veren, tam sayı olmayan bir sayının özel bir temsilidir. Başka bir deyişle, payda 10, 100, 1000 vb. ise sayıyı virgül kullanarak yeniden yazmak daha uygundur. Daha sonra tüm kısım ondan önce ve ardından kesirli kısım yerleştirilecektir. Üstelik sayının ikinci yarısının kaydedilmesi paydaya bağlı olacaktır. Kesirli kısımdaki rakam sayısı paydanın rakamına eşit olmalıdır.
Yukarıdakiler şu sayılarla gösterilebilir:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Ondalık sayıları kullanmanın nedenleri
Matematikçiler çeşitli nedenlerden dolayı ondalık sayılara ihtiyaç duyuyordu:
Kaydı basitleştirme. Böyle bir kesir, payda ve pay arasında bir çizgi olmadan bir çizgi boyunca yer alırken, netlik zarar görmez.
Karşılaştırmada basitlik. Aynı konumdaki sayıları basitçe ilişkilendirmek yeterlidir, sıradan kesirlerde ise bunları ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir.
Hesaplamaları basitleştirin.
Hesap makineleri kesirleri kabul edecek şekilde tasarlanmamıştır; tüm işlemler için ondalık gösterim kullanırlar.
Bu sayılar nasıl doğru okunur?
Cevap basit: paydası 10'un katı olan sıradan bir karışık sayı gibi. Bunun tek istisnası, tam sayı değeri olmayan kesirlerdir, o zaman okurken "sıfır tamsayılar" şeklinde telaffuz etmeniz gerekir.
Örneğin 45/1000 şu şekilde telaffuz edilmelidir: kırk beş binde bir, aynı zamanda 0,045 gibi ses çıkaracak sıfır noktası kırk beş binde bir.
Tamsayı kısmı 7 ve kesri 17/100 olan ve 7,17 olarak yazılan karışık sayı, her iki durumda da şu şekilde okunur: yedi nokta on yedi.
Kesirlerin yazılmasında rakamların rolü
Sıralamayı doğru işaretlemek matematiğin gerektirdiği şeydir. Rakamı yanlış yere yazarsanız ondalık sayılar ve anlamları önemli ölçüde değişebilir. Ancak bu daha önce de geçerliydi.
Ondalık kesrin tam kısmının rakamlarını okumak için doğal sayılar için bilinen kuralları kullanmanız yeterlidir. Ve sağ tarafta yansıtılıyorlar ve farklı okunuyorlar. Parçanın tamamı "onlarca" gibi geliyorsa, ondalık noktadan sonra "onda biri" olacaktır.
Bu tabloda bunu açıkça görmek mümkündür.
| Sınıf | binlerce | birimler | , | kesirli kısım | |||||||
| deşarj | hücre | Aralık. | birimler | hücre | Aralık. | birimler | onuncu | yüzüncü | bininci | on bininci | |
Karışık bir sayı ondalık sayı olarak doğru şekilde nasıl yazılır?
Payda 10 veya 100'e eşit bir sayı ve diğerleri içeriyorsa, kesirin ondalık sayıya nasıl dönüştürüleceği sorusu zor değildir. Bunu yapmak için tüm bileşenlerini farklı şekilde yeniden yazmak yeterlidir. Aşağıdaki noktalar bu konuda yardımcı olacaktır:
kesrin payını biraz yana yazın, şu anda ondalık nokta son rakamdan sonra sağda bulunur;
virgülü sola hareket ettirin, buradaki en önemli şey sayıları doğru saymaktır - paydadaki sıfır sayısı kadar konum taşımanız gerekir;
yeterli sayıda yoksa boş konumlarda sıfırlar bulunmalıdır;
payın sonundaki sıfırlara artık gerek yoktur ve üzeri çizilebilir;
Virgülden önce kısmın tamamını ekleyin; orada değilse burada da sıfır olacaktır.
Dikkat. Başka sayılarla çevrelenmiş sıfırların üzerini çizemezsiniz.
Paydanın sadece birlerden ve sıfırlardan oluşmayan bir sayıya sahip olması durumunda ne yapılması gerektiğini ve kesirin ondalık sayıya nasıl dönüştürüleceğini aşağıda okuyabilirsiniz. Bu önemli bilgi kesinlikle kontrol etmeye değer.
Payda rastgele bir sayı ise kesiri ondalık sayıya nasıl dönüştürebilirim?
Burada iki seçenek var:
Paydanın herhangi bir üssü on'a eşit bir sayı olarak temsil edilebildiği zaman.
Eğer böyle bir işlem gerçekleştirilemiyorsa.
Bunu nasıl kontrol edebilirim? Paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir. Üründe yalnızca 2 ve 5 varsa, o zaman her şey yolunda demektir ve kesir kolayca son ondalık sayıya dönüştürülür. Aksi takdirde 3, 7 ve diğer asal sayılar ortaya çıkarsa sonuç sonsuz olacaktır. Matematiksel işlemlerde kullanım kolaylığı için bu tür bir ondalık kesirin yuvarlanması gelenekseldir. Bu, aşağıda biraz tartışılacaktır.
5.sınıf ondalık sayıların nasıl yapıldığını araştırıyor. Buradaki örnekler çok yardımcı olacaktır.
Paydaların 40, 24 ve 75 sayılarını içermesine izin verin. Bunların asal çarpanlarına ayrıştırılması şu şekilde olacaktır:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
Bu örneklerde yalnızca ilk kesir son kesir olarak temsil edilebilir.
Ortak bir kesri son ondalık sayıya dönüştürmek için algoritma
Paydanın asal çarpanlara ayrılmasını kontrol edin ve 2 ve 5'ten oluşacağından emin olun.
Bu sayılara eşit sayıda olacak şekilde 2'ler ve 5'ler ekleyin. Ek çarpanın değerini verecekler.
Paydayı ve payı bu sayıyla çarpın. Sonuç, çizgisinin altında bir dereceye kadar 10 olan sıradan bir kesir olacaktır.
Problemde bu eylemler karışık bir sayı ile gerçekleştiriliyorsa, öncelikle bunun uygunsuz bir kesir olarak temsil edilmesi gerekir. Ve ancak o zaman açıklanan senaryoya göre hareket edin.
Bir kesri yuvarlatılmış ondalık sayı olarak gösterme
Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmenin bu yöntemi bazılarına daha da kolay görünebilir. Çünkü çok fazla aksiyon yok. Payı paydaya bölmeniz yeterlidir.
Ondalık kısmı sağında olan herhangi bir sayıya sonsuz sayıda sıfır atanabilir. Bu özellik, faydalanmanız gereken şeydir.
Öncelikle bölümün tamamını yazın ve arkasına virgül koyun. Kesir doğruysa sıfır yazın.
Daha sonra payı paydaya bölmeniz gerekir. Böylece aynı sayıda rakama sahip olurlar. Yani payın sağına gerekli sayıda sıfır ekleyin.
Gerekli basamak sayısına ulaşılana kadar uzun bölme işlemi yapın. Örneğin yüzde birliğe yuvarlamanız gerekiyorsa cevap 3 olmalıdır. Genel olarak sonunda almanız gerekenden bir sayı daha fazla olması gerekir.
Ara cevabı virgülden sonra yazın ve kurallara göre yuvarlayın. Son rakam 0'dan 4'e kadarsa, onu atmanız yeterlidir. Ve 5-9'a eşit olduğunda, sonuncusu atılarak önündekinin bir artırılması gerekir.
Ondalık sayıdan ortak kesire dönüş
Matematikte, ondalık kesirleri paydalı bir payın bulunduğu sıradan kesirler biçiminde temsil etmenin daha uygun olduğu durumlarda sorunlar vardır. Rahat bir nefes alabilirsiniz: Bu operasyon her zaman mümkündür.
Bu prosedür için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
tamamını yazın, sıfıra eşitse hiçbir şey yazmaya gerek yoktur;
bir kesir çizgisi çizin;
sağ taraftaki sayıları üstüne yazın; eğer sıfırlar önce gelirse, bunların üzerinin çizilmesi gerekir;
Çizginin altına, orijinal kesirdeki virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren bir tane yazın.
Ondalık sayıyı kesire dönüştürmek için yapmanız gereken tek şey budur.
Ondalık sayılarla ne yapabilirsiniz?
Matematikte bunlar daha önce diğer sayılar için yapılmış olan ondalık sayılarla yapılan belirli işlemler olacaktır.
Bunlar:
karşılaştırmak;
toplama ve çıkarma;
çarpma ve bölme.
İlk eylem olan karşılaştırma, doğal sayılar için yapıldığına benzer. Hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için tüm parçanın rakamlarını karşılaştırmanız gerekir. Eşit çıkarlarsa kesirliye geçerler ve bunları rakamlarla karşılaştırırlar. En anlamlı rakamdaki rakamı en büyük olan sayı cevap olacaktır.
Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması
Bunlar belki de en basit adımlar. Çünkü doğal sayılar kurallarına göre yapılıyorlar.
Bu nedenle, ondalık kesirleri eklemek için, bunların alt üste yazılması ve bir sütuna virgül konulması gerekir. Bu gösterimle virgülün solunda tam kısımlar, sağında ise kesirli kısımlar görünür. Ve şimdi, doğal sayılarda yapıldığı gibi, virgülü aşağıya doğru hareket ettirerek sayıları azar azar eklemeniz gerekiyor. Sayının kesirli kısmının en küçük rakamından eklemeye başlamanız gerekir. Sağ yarıda yeterli sayı yoksa sıfırlar eklenir.
Aynı şey çıkarma işlemi için de geçerlidir. Ve burada en yüksek rütbeden bir birim alma olasılığını açıklayan bir kural var. İndirgenen kesirin virgülden sonra çıkarılan kesirden daha az rakamı varsa, ona basitçe sıfırlar eklenir.
Ondalık kesirleri çarpmanız ve bölmeniz gereken görevlerde durum biraz daha karmaşıktır.
Farklı örneklerde ondalık kesir nasıl çarpılır?
Ondalık kesirleri bir doğal sayıyla çarpmanın kuralı şudur:
virgülleri göz ardı ederek bunları bir sütuna yazın;
sanki doğalmış gibi çoğalırlar;
Orijinal sayının kesirli kısmındaki rakam sayısı kadar virgülle ayırın.
Özel bir durum, bir doğal sayının herhangi bir üssünün 10'a eşit olduğu örnektir. Daha sonra cevabı almak için virgülünü diğer faktördeki sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız yeterlidir. Başka bir deyişle, 10 ile çarpıldığında, virgül bir basamak, 100 ile hareket eder - iki tane olacak vb. Kesirli kısımda yeterli sayı yoksa boş yerlere sıfır yazmanız gerekir.
Bir görev, ondalık kesirlerin aynı sayıyla çarpılmasını gerektirdiğinde kullanılan kural:
virgüllere dikkat etmeden bunları birbiri ardına yazın;
sanki doğalmış gibi çoğalırlar;
Her iki orijinal kesrin kesirli kısımlarında bulunan rakam sayısı kadar virgülle ayırın.
Özel bir durum, çarpanlardan birinin 0,1 veya 0,01'e eşit olduğu örneklerdir. Bunlarda, sunulan faktörlerdeki basamak sayısına göre virgülünü sola kaydırmanız gerekir. Yani 0,1 ile çarpılırsa virgül bir konum kaydırılır.
Ondalık kesir farklı görevlere nasıl bölünür?
Ondalık kesirlerin doğal sayıya bölünmesi aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilir:
bunları sanki doğalmış gibi bir sütuna bölmek için yazın;
tüm kısım bitene kadar olağan kurala göre bölün;
cevaba virgül koyun;
kalan sıfır olana kadar kesirli bileşeni bölmeye devam edin;
gerekirse gerekli sayıda sıfır ekleyebilirsiniz.
Tamsayı kısmı sıfıra eşitse cevapta da olmayacaktır.
Ayrı ayrı on, yüz vb. sayılara bölünme vardır. Bu tür problemlerde virgülü bölendeki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir. Bir bütün olarak yeterli sayı olmadığında bunun yerine sıfırlar kullanılır. Bu işlemin 0,1 ve benzeri sayılarla çarpma işlemine benzer olduğunu görebilirsiniz.
Ondalık sayıları bölmek için bu kuralı kullanmanız gerekir:
böleni doğal sayıya çevirin ve bunu yapmak için içindeki virgülleri sağa sonuna kadar hareket ettirin;
temettüdeki ondalık noktayı aynı sayıda basamakla hareket ettirin;
Önceki senaryoya göre hareket edin.
0,1'e bölünme vurgulanmıştır; 0,01 ve diğer benzer sayılar. Bu tür örneklerde virgül, kesirli kısımdaki basamak sayısı kadar sağa kaydırılır. Eğer biterse, eksik olan sıfır sayısını eklemeniz gerekir. Bu eylemin 10'a ve benzeri sayılara bölmeyi tekrarladığını belirtmekte fayda var.
Sonuç: Her şey pratikle ilgili
Öğrenmede hiçbir şey kolay veya çaba harcamadan gerçekleşmez. Yeni materyallere güvenilir bir şekilde hakim olmak zaman ve pratik gerektirir. Matematik bir istisna değildir.
Ondalık kesirlerle ilgili konunun zorluk yaratmamasını sağlamak için onlarla mümkün olduğunca çok örnek çözmeniz gerekir. Sonuçta, doğal sayıları toplamanın çıkmaz bir yol olduğu bir zaman vardı. Ve şimdi her şey yolunda.
Bu nedenle, iyi bilinen bir cümleyi yeniden ifade etmek gerekirse: Karar ver, karar ver ve tekrar karar ver. Daha sonra bu tür sayılara sahip görevler, başka bir bulmaca gibi kolayca ve doğal bir şekilde tamamlanacaktır.
Bu arada, bulmacaları ilk başta çözmek zordur ve daha sonra olağan hareketleri yapmanız gerekir. Matematiksel örneklerde de durum aynıdır: Aynı yolu birkaç kez yürüdükten sonra artık nereye döneceğinizi düşünmeyeceksiniz.
1 ders
1. Organizasyon anı
Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol edin.
(Ders için eğitim malzemelerinin bulunması)
BEN .Bilginin güncellenmesi
Sözlü çalışma.
Hedef: Yeni materyal öğrenirken gerekli olan önceki bilgileri sistemleştirin.
Öğrenciler ondalık kesirleri doğal sayılarla çarpma ve sıradan kesirleri çarpma konusunda sözlü olarak görevler gerçekleştirirler.
Hesaplamak:
Daha sonra öğretmen şu soruyu sorar: Ondalık kesirin doğal sayıyla nasıl çarpılacağını formüle edin? Öğrenciler dersin konusunu ve dersin hedeflerini hatırlar.
II .Gruplara ve çiftlere eşzamanlı bölünme.
Öğrenciler öğretmenin masasından bir kart seçerler. Bazıları sıradan kesirlerle işlem örneklerini içerirken, diğerleri karşılık gelen cevapları içerir. Eşleşmeler bulmaları gerekecek ve çiftlere ayrılacaklar. Grup halinde çalışıyorlarsa şu şekilde bölünecekler:
Grup 1 örneklerle karşılaşan öğrenciler, Grup 2 ise uygun cevapları veren öğrencilerdir (Bkz. Ek No. 1).
III .Yeni materyaller öğrenmek
Hedef:Öğrencileri yeni materyallerle tanıştırın.
Öğretmenin açıklaması:
3.1.Grup çalışması.
Hedef: Sorunu bağımsız olarak iki şekilde çözdükten sonra, ondalık kesirin ondalık kesirle çarpılması kuralını formüle edin.
Öğrencilere aşağıdaki görev verilir:
Dikdörtgenin uzunluğu 6,3 cm, genişliği 2,8 cm'dir. Alanı bulun.
Her grup bu görevi kendisine gösterilen önerilen yönteme göre tamamlar.
Yöntem 1: Dikdörtgenin boyutlarının sayısal değerlerini milimetre cinsinden ifade edilen doğal sayılar biçiminde yazın. Alanı hesaplayın ve ortaya çıkan cevabı santimetre kare cinsinden ifade edin.
Yöntem 2: Bir dikdörtgenin boyutlarını sıradan kesirler olarak temsil edin, sıradan kesirleri çarparak ve ondalık sayıya dönüştürerek alanı bulun.
Daha sonra her gruptan bir temsilci bu örneğin çözümünü tahtada diğer grubun öğrencilerine anlatır. Öğrenciler fikir alışverişinde bulunur ve problem çözmenin sonuçlarından sonuçlar çıkarır:
Faktörlerdeki ondalık basamak sayısı, çarpımlarındaki ondalık basamak sayısıyla aynıdır.
Daha sonra öğretmen grupların çalışmaları hakkında yorum yapar, sonuçları özetler ve bir sonuca varır.
Öğrenciler defterlerine yazıyorlar.
Sonuç: Ondalık kesirleri çarpmak için yapmanız gerekenler:
1) virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemi yapın;
2) Ortaya çıkan çarpımı, her iki faktörde de ondalık noktadan sonra sağdaki basamak sayısı kadar virgülle ayırın.
3.2 Çeşitli örneklerin analizi.
Hedef: Ondalık kesirleri çarpma becerilerinin daha da geliştirilmesi.
Bu sayıları virgüllere dikkat etmeden çarpalım ve çarpımda 20.496 sayısını elde edelim. Virgülden sonraki iki faktörde toplam üç virgül var. Bu nedenle çarpımda sağdaki üç rakamı ayırmanız gerekiyor Yani çarpım 20.496'ya eşit oluyor.
VI .Problem çözme
Hedef: Problem çözerken ondalık kesirlerle çarpma kuralını uygulama becerisinin uygulanması.
Öğrenciler çiftler halinde çalışırlar.
Görevleri gerçekleştirin: No. 812, No. 814
VII . Dersi özetlemek. Refleks
Hedef: Bir sonraki dersi planlarken dikkate alınabilmeleri için öğrencilerin ders hedeflerine ulaşıp ulaşmadıklarını öğrenin.
Öğrenci eylemleri : Bilginizi özetleme , soruları yanıtlayın.
Bilgilendirme Soruları .(Sözlü olarak).
1. Bugün sınıfta ne öğrendik?
2. Bugün sınıfta hangi hedefi inceledik?
3. Ondalık kesirlerle çarpma kuralını tekrarlayalım.
Dersin sonunda öğrenciler şöyle düşünür:
Dersi beğendim/beğenmedim
Dersin amacı anlaşıldı/anlaşılmadı
Ne öğrendim, ne öğrendim______________________________
Tam olarak anlayamadığım şey ________________________________
Üzerinde çalışılması gerekenler______________________________
Derecelendirme: Öğretmen öğrencilerin cevaplarını ve çalışmalarını teşvik eder.
Ev ödevi:№813 № 815
Tıpkı normal sayılar gibi.
2. 1. ondalık kesir ve 2. kesir için ondalık basamak sayısını sayarız. Sayılarını topluyoruz.
3. Nihai sonuçta, yukarıdaki paragrafta olduğu gibi sağdan sola aynı sayıda rakamı sayın ve virgül koyun.
Ondalık kesirlerle çarpma kuralları.
1. Virgüllere dikkat etmeden çarpın.
2. Çarpmada, her iki faktörde de virgülden sonra olduğu gibi aynı sayıda rakamı virgülden sonra ayırıyoruz.
Ondalık kesri doğal bir sayıyla çarparken şunları yapmanız gerekir:
1. Virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpın;
2. Sonuç olarak virgülü, sağında ondalık kesirdeki rakam sayısı kadar rakam olacak şekilde yerleştiriyoruz.
Ondalık kesirlerin sütunla çarpılması.
Bir örneğe bakalım:
Ondalık kesirleri bir sütuna yazıp virgüllere dikkat etmeden doğal sayılar olarak çarpıyoruz. Onlar. 3,11'i 311, 0,01'i ise 1 olarak kabul ediyoruz.
Sonuç 311. Daha sonra her iki kesir için de virgülden sonraki işaret (rakam) sayısını sayıyoruz. İlk ondalık sayı 2 basamaklı, ikinci ondalık sayı ise 2 basamaklıdır. Toplam sayı virgülden sonraki rakamlar:
2 + 2 = 4
Sonucun sağdan sola dört hanesini sayıyoruz. Nihai sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az sayı içeriyor. Bu durumda eksik olan sıfır sayısını sola eklemeniz gerekir.
Bizim durumumuzda ilk rakam eksik olduğundan sola 1 sıfır ekliyoruz.
Lütfen aklınızda bulundurun:
Herhangi bir ondalık kesir 10, 100, 1000 vb. ile çarpıldığında, ondalık kesirdeki ondalık nokta, birden sonra sıfır sayısı kadar sağa kaydırılır.
Örneğin:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Lütfen aklınızda bulundurun:
Bir ondalık sayıyı 0,1 ile çarpmak için; 0,01; 0,001; vb., bu kesirdeki ondalık noktayı birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir.
Sıfırı bile sayıyoruz!
Örneğin:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
Ortaokul ve lise derslerinde öğrenciler “Kesirler” konusunu işliyorlardı. Ancak bu kavram öğrenme sürecinde verilenden çok daha geniştir. Günümüzde kesir kavramıyla oldukça sık karşılaşılmaktadır ve herkes herhangi bir ifadeyi, örneğin kesirleri çarpmayı hesaplayamaz.
Kesir nedir?
Tarihsel olarak kesirli sayılar ölçme ihtiyacından doğmuştur. Uygulamada görüldüğü gibi, genellikle bir parçanın uzunluğunu ve dikdörtgen bir dikdörtgenin hacmini belirleme örnekleri vardır.
Başlangıçta öğrencilere pay kavramı tanıtılır. Mesela bir karpuzu 8 parçaya bölerseniz her kişiye karpuzun sekizde biri düşer. Sekizin bu bir kısmına hisse denir.
Herhangi bir değerin ½'sine eşit olan paya yarım denir; ⅓ - üçüncü; ¼ - çeyrek. 5/8, 4/5, 2/4 formundaki kayıtlara sıradan kesirler denir. Ortak bir kesir pay ve paydaya bölünür. Aralarında kesir çubuğu veya kesir çubuğu bulunur. Kesirli çizgi yatay veya eğik bir çizgi olarak çizilebilir. Bu durumda bölme işaretini belirtir.
Payda, miktarın veya nesnenin kaç eşit parçaya bölündüğünü temsil eder; pay ise kaç adet aynı hissenin alındığıdır. Kesir çizgisinin üstüne pay, altına ise payda yazılır.
Sıradan kesirleri bir koordinat ışınında göstermek en uygunudur. Tek bir parça 4 eşit parçaya bölünürse ve her parça Latin harfiyle gösterilirse sonuç mükemmel olabilir görsel yardım. Yani A noktası tüm birim parçanın 1/4'üne eşit bir payı gösterirken, B noktası belirli bir parçanın 2/8'ini işaret eder.
Kesir türleri
Kesirler sıradan, ondalık ve karışık sayılar olabilir. Ayrıca kesirler doğru ve yanlış olarak ikiye ayrılabilir. Bu sınıflandırma sıradan kesirler için daha uygundur.
Uygun kesir, payı şu şekilde olan bir sayıdır: paydadan daha az. Sırasıyla, uygunsuz kesir- Payı paydasından büyük olan bir sayı. İkinci tür genellikle karışık sayı olarak yazılır. Bu ifade bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Örneğin 1½. 1 tam sayı, ½ ise kesirli kısımdır. Ancak ifadeyle bazı manipülasyonlar yapmanız gerekiyorsa (kesirleri bölme veya çarpma, azaltma veya dönüştürme), karışık sayı uygunsuz bir kesire dönüştürülür.
Doğru bir kesirli ifade her zaman birden küçüktür ve yanlış bir kesirli ifade her zaman 1'den büyük veya 1'e eşittir.
Bu ifadeye gelince, kesirli ifadesinin paydası birkaç sıfırlı bir cinsinden ifade edilebilen herhangi bir sayının temsil edildiği bir kaydı kastediyoruz. Kesir uygunsa ondalık gösterimdeki tam sayı kısmı sıfıra eşit olacaktır.
Ondalık kesir yazmak için öncelikle kısmın tamamını yazmalı, virgül kullanarak kesirden ayırdıktan sonra kesir ifadesini yazmalısınız. Ondalık noktadan sonra payın, paydadaki sıfırlarla aynı sayıda dijital karakter içermesi gerektiği unutulmamalıdır.
Örnek. 7 21/1000 kesrini ondalık gösterimle ifade edin.
Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya (veya tam tersi) dönüştürmek için algoritma
Bir problemin cevabına uygunsuz bir kesir yazmak yanlıştır, bu nedenle tam sayıya dönüştürülmesi gerekir:
- payı mevcut paydaya bölün;
- spesifik bir örnekte, tamamlanmamış bir bölüm bir bütündür;
- ve kalan kısım, payda değişmeden kalacak şekilde kesirli kısmın payıdır.
Örnek. Uygunsuz kesri karışık sayıya dönüştürün: 47/5.
Çözüm. 47: 5. Kısmi bölüm 9, kalan = 2. Yani 47/5 = 9 2/5.
Bazen karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz gerekir. O zaman aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:
- tamsayı kısmı kesirli ifadenin paydası ile çarpılır;
- elde edilen ürün paya eklenir;
- sonuç paya yazılır, payda değişmeden kalır.
Örnek. Sayıyı temsil et karışık biçim uygunsuz kesir olarak: 9 8 / 10.
Çözüm. Pay 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98'dir.
Cevap: 98 / 10.
Kesirlerin Çarpılması
Adi kesirler üzerinde çeşitli cebirsel işlemler yapılabilir. İki sayıyı çarpmak için payı payla, paydayı da paydayla çarpmanız gerekir. Üstelik paydaları farklı olan kesirlerle çarpmanın çarpımdan hiçbir farkı yoktur. kesirli sayılar aynı paydalarla.
Sonucu bulduktan sonra kesri azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmek zorunludur. Elbette bir cevaptaki uygunsuz kesrin hata olduğu söylenemez ama buna doğru cevap demek de zordur.
Örnek. İki sıradan kesrin çarpımını bulun: ½ ve 20/18.
Örnekte görüldüğü gibi çarpım bulunduktan sonra indirgenebilir kesirli notasyon elde edilmektedir. Bu durumda hem pay hem de payda 4'e bölünür ve sonuç 5/9 cevabıdır.
Ondalık Kesirlerin Çarpılması
Ondalık kesirlerin çarpımı, prensip olarak sıradan kesirlerin çarpımından oldukça farklıdır. Yani kesirlerin çarpılması aşağıdaki gibidir:
- en sağdaki rakamlar birbirinin altında olacak şekilde iki ondalık kesir üst üste yazılmalıdır;
- Yazılı sayıları virgüllere rağmen yani doğal sayılar olarak çarpmanız gerekiyor;
- her sayıdaki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını sayın;
- çarpma işleminden sonra elde edilen sonuçta, ondalık noktadan sonra her iki faktörün toplamında bulunan sayıda dijital sembolü sağdan saymanız ve bir ayırma işareti koymanız gerekir;
- Üründe daha az sayı varsa, bu sayıyı kapatacak kadar önlerine sıfır yazmanız, virgül koymanız ve sıfıra eşit olan kısmın tamamını eklemeniz gerekir.
Örnek. İki ondalık kesrin çarpımını hesaplayın: 2,25 ve 3,6.
Çözüm.
Karışık Kesirlerin Çarpılması
İkinin çarpımını hesaplamak için karışık kesirler kesirleri çarpmak için kuralı kullanmanız gerekir:
- karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürmek;
- payların çarpımını bulun;
- paydaların çarpımını bulun;
- sonucu yazın;
- ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirin.
Örnek. 4½ ile 6 2/5'in çarpımını bulun.
Bir sayıyı kesirle çarpmak (bir sayıyla kesir)
İki kesirin ve karışık sayıların çarpımını bulmanın yanı sıra, kesirle çarpmanız gereken görevler de vardır.
Yani, ondalık kesir ile doğal sayının çarpımını bulmak için ihtiyacınız olan:
- sayıyı kesrin altına, en sağdaki rakamlar üst üste gelecek şekilde yazın;
- virgüllere rağmen ürünü bulun;
- sonuçta, kesirdeki ondalık noktadan sonra yer alan basamak sayısını sağdan sayarak, tamsayı kısmını kesirli kısımdan virgül kullanarak ayırın.
Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmak için payın ve doğal faktörün çarpımını bulmanız gerekir. Cevap azaltılabilecek bir kesir üretiyorsa dönüştürülmelidir.
Örnek. 5/8 ile 12'nin çarpımını hesaplayın.
Çözüm. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Cevap: 7 1 / 2.
Önceki örnekte de görebileceğiniz gibi, ortaya çıkan sonucu azaltmak ve hatalı kesirli ifadeyi tam sayılı sayıya dönüştürmek gerekiyordu.
Kesirlerin çarpımı aynı zamanda karışık formdaki bir sayı ile bir doğal faktörün çarpımının bulunmasıyla da ilgilidir. Bu iki sayıyı çarpmak için, karma faktörün tamamını sayıyla çarpmanız, payı aynı değerle çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Gerekirse ortaya çıkan sonucu mümkün olduğunca basitleştirmeniz gerekir.
Örnek. 9 5/6 ile 9'un çarpımını bulun.
Çözüm. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3/6 = 88 1 / 2.
Cevap: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 veya 0,1'in katlarıyla çarpma; 0,01; 0,001
Aşağıdaki kural önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir ondalık kesri 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpmak için, ondalık noktayı, faktördeki sıfırlardan sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.
Örnek 1. 0,065 ile 1000'in çarpımını bulun.
Çözüm. 0,065x1000 = 0065 = 65.
Cevap: 65.
Örnek 2. 3,9 ile 1000'in çarpımını bulun.
Çözüm. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Cevap: 3900.
Bir doğal sayı ile 0,1'i çarpmanız gerekirse; 0,01; 0,001; 0.0001 vb. gibi durumlarda, ortaya çıkan çarpımda virgülü, birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmalısınız. Gerektiğinde doğal sayıdan önce yeterli sayıda sıfır yazılır.
Örnek 1. 56 ile 0,01'in çarpımını bulun.
Çözüm. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Cevap: 0,56.
Örnek 2. 4 ile 0,001'in çarpımını bulun.
Çözüm. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Cevap: 0,004.
Dolayısıyla farklı kesirlerin çarpımını bulmak belki sonucu hesaplamak dışında zorluk yaratmamalı; bu durumda hesap makinesi olmadan yapamazsınız.
