Limitlər bütün riyaziyyat tələbələrinə çoxlu problem yaradır. Məhdudiyyəti həll etmək üçün bəzən bir çox fəndlərdən istifadə etməli və müxtəlif həll üsulları arasından müəyyən bir nümunə üçün uyğun olanı seçməlisiniz.

Bu yazıda imkanlarınızın hüdudlarını anlamağa və ya nəzarətin hüdudlarını anlamağa kömək etməyəcəyik, lakin suala cavab verməyə çalışacağıq: ali riyaziyyatda məhdudiyyətləri necə başa düşmək olar? Anlayış təcrübə ilə gəlir, buna görə də eyni zamanda izahatlarla limitlərin həllinə dair bir neçə ətraflı nümunələr verəcəyik.

Riyaziyyatda limit anlayışı

Birinci sual budur: bu hədd nədir və nəyin həddi? Ədədi ardıcıllığın və funksiyaların hədləri haqqında danışmaq olar. Bizi funksiyanın həddi anlayışı maraqlandırır, çünki bu, tələbələrin ən çox rastlaşdığı şeydir. Ancaq əvvəlcə limitin ən ümumi tərifi:

Deyək ki, dəyişən dəyər var. Dəyişiklik prosesində bu dəyər qeyri-məhdud olaraq müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşırsa a , Bu a – bu dəyərin həddi.

Müəyyən intervalda müəyyən edilmiş funksiya üçün f(x)=y belə bir ədəd limit adlanır A , funksiya nə zaman meyl edir X , müəyyən bir nöqtəyə meyl edir A . Nöqtə A funksiyanın təyin olunduğu intervala aiddir.

Çətin səslənir, amma çox sadə yazılıb:

Lim- ingilis dilindən limit- limit.

Həddi müəyyənləşdirməyin həndəsi izahı da var, lakin burada biz nəzəriyyəyə dərindən girməyəcəyik, çünki bizi məsələnin nəzəri tərəfi deyil, praktiki tərəfi daha çox maraqlandırır. Bunu deyəndə X müəyyən dəyərə meyl edir, bu o deməkdir ki, dəyişən ədədin qiymətini almır, ona sonsuz yaxınlaşır.

Konkret bir misal verək. Vəzifə həddi tapmaqdır.

Bu nümunəni həll etmək üçün dəyəri əvəz edirik x=3 funksiyaya çevrilir. Biz əldə edirik:

Yeri gəlmişkən, əgər maraqlanırsınızsa, bu mövzuda ayrıca bir məqalə oxuyun.

Nümunələrdə X istənilən dəyərə meyl edə bilər. İstənilən rəqəm və ya sonsuzluq ola bilər. Budur bir nümunə zaman X sonsuzluğa meyl edir:

İntuitiv olaraq, məxrəcdəki ədəd nə qədər böyükdürsə, funksiya bir o qədər kiçik dəyər alacaq. Beləliklə, qeyri-məhdud böyümə ilə X məna 1/x azalacaq və sıfıra yaxınlaşacaq.

Gördüyünüz kimi, limiti həll etmək üçün sadəcə olaraq səy göstərdiyiniz dəyəri funksiyaya əvəz etməlisiniz. X . Ancaq bu, ən sadə haldır. Çox vaxt həddi tapmaq o qədər də aydın olmur. Məhdudiyyətlər daxilində növün qeyri-müəyyənlikləri var 0/0 və ya sonsuzluq/sonsuzluq . Belə hallarda nə etməli? Hiylələrə müraciət edin!

İçindəki qeyri-müəyyənliklər

Sonsuzluq/sonsuzluq formasının qeyri-müəyyənliyi

Bir məhdudiyyət olsun:

Funksiyada sonsuzluğu əvəz etməyə çalışsaq, həm payda, həm də məxrəcdə sonsuzluq əldə edəcəyik. Ümumiyyətlə, bu cür qeyri-müəyyənliklərin həllində müəyyən bir sənət elementinin olduğunu söyləmək lazımdır: qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması üçün funksiyanı necə çevirə biləcəyinizə diqqət yetirməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə pay və məxrəci bölürük X ali pillədə. Nə olacaq?

Yuxarıda müzakirə edilən nümunədən bilirik ki, məxrəcdə x olan terminlər sıfıra meyilli olacaq. Sonra limitin həlli belədir:

Tip qeyri-müəyyənliklərini həll etmək üçün sonsuzluq/sonsuzluq payı və məxrəci bölün Xən yüksək dərəcədə.

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var

Başqa bir qeyri-müəyyənlik növü: 0/0

Həmişə olduğu kimi, funksiyaya dəyərlərin dəyişdirilməsi x=-1 verir 0 say və məxrəcdə. Bir az daha yaxından baxın və paylayıcıda kvadrat tənliyin olduğunu görəcəksiniz. Kökləri tapıb yazaq:

Gəlin azaldıb əldə edək:

Beləliklə, qeyri-müəyyənlik növü ilə qarşılaşırsınızsa 0/0 – say və məxrəci amil.

Nümunələri həll etməyinizi asanlaşdırmaq üçün bəzi funksiyaların hədləri olan bir cədvəl təqdim edirik:

L'Hopital qaydası daxilində

Hər iki qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmağın başqa bir güclü yolu. Metodun mahiyyəti nədir?

Limitdə qeyri-müəyyənlik olarsa, qeyri-müəyyənlik aradan qalxana qədər pay və məxrəcdən törəmə götürün.

L'Hopital qaydası belə görünür:

Əhəmiyyətli məqam : payın və məxrəcin törəmələrinin say və məxrəcin yerinə durduğu hədd olmalıdır.

İndi - əsl nümunə:

Tipik qeyri-müəyyənlik var 0/0 . Gəlin say və məxrəcin törəmələrini götürək:

Voila, qeyri-müəyyənlik tez və zərif şəkildə həll olunur.

Ümid edirik ki, siz bu məlumatı praktikada faydalı şəkildə tətbiq edə və “ali riyaziyyatda hədləri necə həll etmək olar” sualına cavab tapa biləcəksiniz. Bir nöqtədə ardıcıllığın və ya funksiyanın limitini hesablamağınız lazımdırsa və bu iş üçün tamamilə vaxt yoxdursa, tez və ətraflı həll üçün peşəkar tələbə xidməti ilə əlaqə saxlayın.

Bilin ki, hər kəsin fərqli “incidi” var.
Bilin ki, hər kəsin fərqli “qorxulu”su var.
Zəng qüllənizdən mühakimə etməyin
Neçə mərtəbə olduğu məlum deyil.

Sərhədlərə baxmayın
Beyninizlə məhdudiyyətlər icad etməyin.
Heç vaxt kabusda nəyi xəyal etməzdiniz?
Bəziləri üçün bu adi bir şeydir.

Bilin ki, hər kəsin fərqli bir “lazımlığı” var.
Bilin ki, hər kəsin “çətinliyi” fərqlidir.
Ancaq cəhənnəm ideyası
Ümumiləşdirmək və müqayisə etmək mümkün deyil.

Bil ki, həqiqət başqadır,
Həm də boşqabda verilən yemək deyil.
Taleyi qorxulu olanlara daha yaxından baxın,
Bunlar ən güclü insanlardır.

Səni xatırlamıram demə...
Hər şeyi xatırlayıram, gündə dəfələrlə
Telefon nömrəsini təkrar edirəm
Amma heç vaxt sənə zəng etməyəcəyəm.
Elə bil ürəyim parçalanacaqdı
Və tənha günlərin hüdudunda

Onlar mənim ruhumdakı üfüqdən kənara çıxdılar.
Sevgi var idi, sevgi var idi, var idi!
Və bu ifadəyə əlavə ediləcək bir şey yoxdur.
Sehrli qalamız yanıb kül oldu
Və o, bizə xatırlamaq üçün kül qoymadı.
Hər şeyi xatırlayıram və çiçəklənən bağı xatırlayıram,
Və yarpaqlar vasitəsilə - hər tərəfdən şüalar,
Sanki ağ, ağ zəng qülləsindən
Ruhunuzda - eşidirsiniz - sakit bir zəng çalır.
Sevgi getdi ve geri qayıtmayacaq
Və onu əbədi darıxmamaq üçün,
Gözlərin iki qəmli günəş kimidir
Onlar mənim ruhumdakı üfüqdən kənara çıxdılar.

Xoşbəxtlik axtarışları yenə uğursuzdur...
Və yağışlı bir axşam, çöldə tutqun...
Uşaq vaxtı da... Çörəyin üzərinə mürəbbə səpirdim
Və mütləq xoşbəxt, axmaqcasına xoşbəxt...

Qlamur, etiket, brilyantlar, cakuzi...
İndi xoşbəxtliyə əlavə olaraq, "Hər şey daxil" taleyində
Uşaqlıqda günəbaxan toxumu yedim,
Və xoşbəxtliyin həddi-hüdudu yox idi...

Biz klounlara çox bənzədik...
Hamı çöldən gülən makiyajdadır...
Uşaqlıqda isə... göydən ancaq günəş çıxdı
Və xoşbəxt ürək o qədər güldü ki...

Zoluşkada qarabaşaq kimi adamları seçirik...
Ehtiyacınız olan hər kəs əlaqə saxlasın... Mənfəətsiz olanlar sobaya gedir...
Uşaqlıqda isə aydın səmalar bizə inanırdı...
Təzə çörəyin iyinin sevinci haradadır?

İndi dostluğu da almaq olar...
Biz bunu bacardıq... Kürk və dəri dünyasında yaşayırıq...
Və uşaq ikən leysan fırtınasından xilas etdilər...
Və xoşbəxtlik verməklə, onu aldılar.

İllər keçdikcə səmimiyyəti, həssaslığı itirdik...
Sərhədləri və çərçivələri özümüz tapdıq...
Çörək və bir banka albalı mürəbbəsi var?
Beləliklə, cəhənnəm kimi xoşbəxt olun!

Sənə baxıram və anlayıram ki, səni hələ də sevirəm. Bu sevgi son illərin xroniki xəstəliyidir. O qədər dözülməz ağrılar gətirir ki, özümü tamamilə yad adamların üstünə atıram, onlara aldanmağa çalışıram, onlarla bu qucaqlarda birdən-birə qırışmış ürək sahiblərinin dediyinə görə, ümumiyyətlə olmayan ağrıkəsicini tapacağam. Başa düşürəm ki, məni aldadırlar, amma yenə də qucaqlaşmağa davam edirəm - başqa cür özümü öldürə bilmirəm, ağrıyır, əzab verir, gecələr yatmağa qoymur, ona görə də pəncərənin kənarında otururam və, daha bir dəqiqədən sonra illüziyaların işgəncəsindən ürək parçalayan qışqıracağam. Kömək üçün sizinlə əlaqə saxlamalıyam? Yararsız. Sən mənim sevgimi bilirsən, amma buna ehtiyacın yoxdur, “ağzın ifadə olunmayan hisslərlə doludur”. Biz eyni məsuliyyətsizlik şəbəkəsindəyik, amma bir-birimizə kömək edə bilmərik. Əllərinizlə nazik ağ saplara, çubuqlara sarılarsınız və həqiqətin hüdudlarından kənara harasa baxırsınız, Allah bilir kimin köməyinə ümid edirsiniz. Aramızda bircə fərq var: sənə olan sevgim məni az qala ayağımdan yıxacaqdı, sənin kiməsə olan sevgin isə aldadıcı da olsa, səni intizarla alovlandırıb canlandırır. Artıq sənə baxmaq istəmirəm, sənin olma ehtimalını ürəyimdən çıxarıram, amma bu onu daha da ağrıdır. Beləliklə, o, pıçıltı ilə iztirab prosesini keçir, həm də Allah bilir kimin köməyinə ümid edir. Zaman?..

Sizin həyatınız tam yalan, porno, gündəlik həyat, internet asılılığı və mobil telefon köləliyidir. Yaxşı, mən haqlı deyiləm? Mənə deyin, heç həqiqətən qeyri-adi bir şey etmisinizmi? Heç vaxt. Və edə bilməzsən. Bilirsən niyə? Çünki bütün bunlar sizin rahatlıq zonanız xaricindədir. Siz onun içinə yığılmısınız. Polipropilen torbada olduğu kimi. Siz gündəlik həyatın və işin sərhədləri ilə sıxılmış ət parçalarısınız. Yoxsa mən səhv edirəm? Bəlkə səhv edirəm? Məni islah et.
Məsələn, ilk rastlaşdığınız şəxsə mobil telefonunuzu verə bilərsinizmi? A? Çətin sual. İndi kompüterinizdə vinti formatlaya bilərsinizmi? Axmaq? Özünü incitdin? Bilirsən niyə bunu etmirsən? Çünki bu, intihara bərabərdir. Onsuz mövcud deyilsən.

O, iyirmi səkkiz uzun il, iyirmi səkkiz qışdan başqa,

O, bir sirr saxlayıb, ailədə nümunəvi ər olub.
Hər şey həmişəki kimi görünürdü: arvadım nahar hazırlayırdı...
Ancaq birdən pis bir şey oldu: sirri xatırladı.
Kələm şorbasının səs-küyünə, turş qoxusuna, nişanlımın səhər nazına,
Hər şeyi xırda təfərrüatına qədər xatırlayırdı, elə bil dünən olmuşdu...
...Pəncərənin yanında oturdu və yumşaq gözəl ay işığı
Gözəl siluetini solğun tonlarda boyadı...
Tellər çiyinlərdən axırdı, ilan kimi sinəsinə sürüşürdü...
Və tələsik fikirləşdi: "Bir gün onunla evlənəcəyəm!"
Hər şeyi ən xırda təfərrüatına qədər xatırlayırdı: xətlərin əyriləri, dodaqların yumşaqlığı...
Və onun sadə nitqlərinin istisi və pəncərənin kənarında nəhəng palıd ağacı.
Əllərin qarışması... Bədənlərin birləşməsi... Qəhvəyi saçların şəlaləsi...
Və onu necə də çılğınlığa, göz yaşlarına qədər istəyirdi!
Dəhşətli etiraflar axını, qulağıma necə pıçıldadı!
Nəfəs alarkən titrəyən qulağın üstündəki məzəli qıvrım...
Gecə kimi yaş gözləri ilə ona baxdı.
Sözləri şərab kimi məstedici idi: “Mən səni sevirəm... Mənə bir qız ver...”
Səhər dincliyini itirdi: əsəbləşdi, sonra darıxdı...
Sonra əli ilə üzünü örtərək stulda oturdu və susdu.
Arvad həmişə olduğu kimi gileyləndi. Qaçan şorbanı danladı...
Və qeyd etdi ki, yaşları ona uyğun gəlmir.
Necə ki, ağ rəng və boyalı saç telləri ona yaraşmır.
Və iyirmi səkkiz il ərzində hər şey bir növ ciddi deyildi ...
Birdən yerindən sıçrayıb paltosunu götürdü, papağı və corabını unudub.
İyirmi səkkiz ilin hamısı eyni deyil... İyirmi səkkiz qışın hamısı həzindir.
O evi tapdı. Evin palıd ağacı var. Ox kimi pilləkənlərlə yuxarı qaçdı...
Kaş ki, soyuq dodaqların titrəyişini, iyrənc qorxaqlığı dayandıra biləydim!
Yəqin ki, indi çay içir, şalına bürünür...
Və onun gözəl gözlərindən sakit bir kədər axır...
Və ya bəlkə o toxuculuq etməyə başladı? Və ya bəlkə krujeva toxunur?
Ona deyəcək çox şey var! Əsas odur ki, - üzr istəyirəm...
Qapını açdı... Gözlərində bir sual vardı. Yenə iyirmi yaşı vardı...
Qəhvəyi saçlar şəlaləsi... Ürəyə tanış siluet...
Qulağın üstündə bir az qıvrım var... Neçə illər əvvəl olduğu kimi - tam eyni...
"Səhv etmirsən?" "Xeyr, bacarmadım... Sən Anyasan?" Vera. Onun qızı…"
“Bəs Anya?” - “Ana artıq yoxdur... Sən kimsən?” Geri döndü:
“İyirmi səkkiz il onun yanına getdim...” - Səni gözləyirdi... İyirmi beş...
Necə də başım dönür... Ürəyim sinəmə necə çökdü!
Və onun sözlərini bir dua ilə xatırladı: "Ayrılma!"
O, əyildi. O, uzaqlaşdı. Əllərin bir-birinə qarışması... Bədənlərin birləşməsi...
Mən səni sevirəm... Mənə bir qız ver... Amma o, çox istəyirdi ki, qızı olsun.
Necə də qəribədir. Anya artıq yoxdu... Ağladım... Səssizliyə atdım: “Səni uzun illər, uzun illər sevəcəyəm... Sən təksən...”

P.S. SEVGİYİN QAYĞINI OLSUN - bu, xoşbəxtliyinin təməlidir...