Arksinus, arkkosin, arktangens və arkkotangentin qiymətlərinin tapılması. Arksinus, düstur, arksinus funksiyasının qrafiki, dərs və təqdimat Seriyanın genişləndirilməsi

Arksinüs (y = arcsin x) sinusun tərs funksiyasıdır (x = günahkar -1 ≤ x ≤ 1 və dəyərlər çoxluğu -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arcsine bəzən aşağıdakı kimi işarələnir:
.

Arksinus funksiyasının qrafiki

y = funksiyasının qrafiki arcsin x

Sinus qrafikindən absis və ordinat oxları dəyişdirilərsə, arksinus qrafiki alınır. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün dəyərlər diapazonu funksiyanın monoton olduğu intervalla məhdudlaşır. Bu tərif arcsinusun əsas dəyəri adlanır.

Arkkosin, arkkos

Qövs kosinusu (y = arccos x) kosinusun tərs funksiyasıdır (x = cos y). Onun əhatə dairəsi var -1 ≤ x ≤ 1 və bir çox mənalar 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos (cos x) = x

Arkkosin bəzən aşağıdakı kimi işarələnir:
.

Qövs kosinus funksiyasının qrafiki

y = funksiyasının qrafiki arccos x

Kosinus qrafikindən absis və ordinat oxları dəyişdirilərsə, qövs kosinus qrafiki alınır. Qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün dəyərlər diapazonu funksiyanın monoton olduğu intervalla məhdudlaşır. Bu tərif qövs kosinusunun əsas dəyəri adlanır.

Paritet

Arcsine funksiyası qəribədir:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Qövs kosinusu funksiyası cüt və ya tək deyil:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Xüsusiyyətlər - ekstremal, artım, azalma

Arksinüs və arkkosin funksiyaları tərif sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Arksin və arkkosinin əsas xassələri cədvəldə verilmişdir.

	y = arcsin x	y = arccos x
Əhatə dairəsi və davamlılıq	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Dəyərlər diapazonu
Artan, enən	monoton şəkildə artır	monoton şəkildə azalır
Yüksəklər
Minimumlar
Sıfırlar, y = 0	x = 0	x = 1
Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Arksinuslar və arksinuslar cədvəli

Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün arcsines və arccosines dəyərlərini dərəcə və radyanla təqdim edir.

x	arcsin x		arccos x
	dolu	sevindim.	dolu	sevindim.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulalar

Cəm və fərq düsturları

və ya

və

və

saat

saat

Loqarifmlər vasitəsilə ifadələr, kompleks ədədlər

Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

Törəmələri

;
.
Baxın: Arksin və arkkosin törəmələrinin törəməsi > > >

Daha yüksək dərəcəli törəmələr:
,
dərəcə polinomu haradadır. Düsturlarla müəyyən edilir:
;
;
.

Arksinus və arkkosinin yüksək dərəcəli törəmələrinin törəmələrinə baxın > > >

İnteqrallar

X = əvəzini edirik sint. -π/ olduğunu nəzərə alaraq hissələrə görə inteqrasiya edirik. 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Qövs kosinüsünü qövs sinüsü ilə ifadə edək:
.

Serialın genişləndirilməsi

Zaman |x|< 1 aşağıdakı parçalanma baş verir:
;
.

Tərs funksiyalar

Arksinus və arkkosinin tərsləri müvafiq olaraq sinus və kosinusdur.

Aşağıdakı düsturlar bütün tərif sahəsi üçün etibarlıdır:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Aşağıdakı düsturlar yalnız arksinüs və arkkosin dəyərlərinin çoxluğunda etibarlıdır:
arcsin(sin x) = x saat
arccos (cos x) = x at.

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

Arksinus, arksinus nədir? Arktangens, arktangens nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Konseptlərə arksinus, arkkosinus, arktangens, arkkotangent Tələbə kütləsi ehtiyatlıdır. O, bu şərtləri başa düşmür və buna görə də bu gözəl ailəyə inanmır.) Amma boş yerə. Bunlar çox sadə anlayışlardır. Bu, yeri gəlmişkən, triqonometrik tənlikləri həll edərkən bilikli bir insanın həyatını çox asanlaşdırır!

Sadəliyə şübhə edirsiniz? Boş yerə.) Elə burada və indi bunu görəcəksiniz.

Əlbəttə, anlamaq üçün sinus, kosinus, tangens və kotangensin nə olduğunu bilmək yaxşı olardı. Bəli, bəzi bucaqlar üçün cədvəl dəyərləri ... Ən azı ən ümumi mənada. Onda burada da problem olmayacaq.

Beləliklə, təəccüblənirik, amma unutmayın: arksinüs, arkkosinus, arktangens və arkkotangent bəzi bucaqlardır. Nə çox, nə də az. Bir bucaq var, deyək ki, 30°. Və bir künc var arcsin0.4. Və ya arctg(-1.3). Hər cür bucaq var.) Siz sadəcə olaraq bucaqları müxtəlif üsullarla yaza bilərsiniz. Bucağı dərəcə və ya radyanla yaza bilərsiniz. Ya da edə bilərsiniz - onun sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi ilə...

İfadə nə deməkdir

arcsin 0.4 ?

Bu, sinusu 0,4 olan bucaqdır! Hə hə. Bu arcsine mənasıdır. Xüsusilə təkrarlayacağam: arcsin 0.4 sinusu 0.4-ə bərabər olan bucaqdır.

Hamısı budur.

Bu sadə düşüncəni uzun müddət beyninizdə saxlamaq üçün hətta bu dəhşətli terminin - arcsine-nin parçalanmasını da verəcəm:

qövs günah 0,4
künc, hansının sinüsü 0,4-ə bərabərdir

Necə yazılıbsa, elə də eşidilir.) Demək olar ki. Konsol qövs deməkdir qövs(söz tağ bilirsinizmi?), çünki qədim insanlar bucaq əvəzinə qövslərdən istifadə edirdilər, lakin bu, məsələnin mahiyyətini dəyişmir. Riyazi terminin bu elementar deşifrəsini xatırlayın! Üstəlik, arkkosin, arktangens və arkkotangent üçün deşifrə yalnız funksiyanın adına görə fərqlənir.

Arccos 0.8 nədir?
Bu, kosinusu 0,8 olan bucaqdır.

arctg(-1,3) nədir?
Bu, tangensi -1,3 olan bucaqdır.

arcctg 12 nədir?
Bu, kotangensi 12 olan bucaqdır.

Belə elementar dekodlaşdırma, yeri gəlmişkən, epik səhvlərdən qaçmağa imkan verir.) Məsələn, arccos1,8 ifadəsi kifayət qədər möhkəm görünür. Deşifrə etməyə başlayaq: arccos1.8 kosinusu 1,8-ə bərabər olan bucaqdır... Tut-tulla!? 1.8!? Kosinus birdən böyük ola bilməz!!!

Sağ. arccos1,8 ifadəsinin mənası yoxdur. Bəzi cavabda belə bir ifadə yazmaq müfəttişi çox əyləndirəcək.)

Elementar, gördüyünüz kimi.) Hər bucağın öz şəxsi sinusu və kosinusu var. Və demək olar ki, hər kəsin öz tangensi və kotangensi var. Buna görə də triqonometrik funksiyanı bilməklə bucağın özünü yaza bilərik. Arksinüslər, arkkosinlər, arktangentlər və arkkotangentlər bunun üçün nəzərdə tutulub. Bundan sonra bütün ailəni kiçik bir adla çağıracağam - tağlar. Daha az yazmaq üçün.)

Diqqət! Elementar şifahi və şüurlu tağların deşifrə edilməsi müxtəlif tapşırıqları sakit və inamla həll etməyə imkan verir. Və içində qeyri-adi Yalnız o, tapşırıqları saxlayır.

Qövslərdən adi dərəcələrə və ya radianlara keçmək mümkündürmü?- Ehtiyatlı bir sual eşidirəm.)

Niyə də yox!? Asanlıqla. Oraya gedib geri qayıda bilərsiniz. Üstəlik, bəzən bunu etmək lazımdır. Tağlar sadə bir şeydir, amma onlarsız daha sakitdir, elə deyilmi?)

Məsələn: arcsin 0.5 nədir?

Deşifrəni xatırlayaq: arcsin 0,5 sinusu 0,5 olan bucaqdır.İndi başınızı (və ya Google) çevirin və hansı bucağın sinusunun 0,5 olduğunu xatırlayın? Sinus 0,5 y-ə bərabərdir 30 dərəcə bucaq. Bu belədir: arcsin 0.5 30° bucaqdır. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz:

qövs 0,5 = 30°

Və ya, daha rəsmi olaraq, radyan baxımından:

Budur, arksini unuda və adi dərəcələr və ya radyanlarla işləməyə davam edə bilərsiniz.

Anlasanız arksinus, arkkosinus nədir... Arktangens nədir, arkkotangent nədir... Məsələn, belə bir canavarla asanlıqla məşğul ola bilərsiniz.)

Cahil adam qorxudan geri çəkiləcək, hə...) Amma məlumatlı adam deşifrəni xatırlayın: arksinusu sinusu olan bucaqdır... Və s. Alim də sinus cədvəlini bilsə... Kosinus cədvəlini. Tangens və kotangens cədvəli, onda heç bir problem yoxdur!

Bunu başa düşmək kifayətdir:

Mən onu deşifrə edəcəm, yəni. İcazə verin formulanı sözlərə çevirim: tangensi 1 (arctg1) olan bucaq- bu 45° bucaqdır. Və ya eyni olan Pi/4. Eynilə:

və bu qədər... Biz bütün tağları radyandakı dəyərlərlə əvəz edirik, hər şey azaldılır, 1+1-in nə qədər olduğunu hesablamaq qalır. 2 olacaq.) Hansı düzgün cavabdır.

Arksinuslardan, arkkosinlərdən, arktangentlərdən və arkkotangentlərdən adi dərəcələrə və radianlara belə keçə bilərsiniz (və etməlisiniz). Bu, qorxulu nümunələri çox asanlaşdırır!

Tez-tez, belə nümunələrdə, tağların içərisində var mənfi mənalar. Məsələn, arctg(-1.3) və ya məsələn, arccos(-0.8)... Bu problem deyil. Mənfi dəyərlərdən müsbətə keçmək üçün sadə düsturlar bunlardır:

İfadənin dəyərini müəyyən etmək üçün sizə lazımdır:

Bu triqonometrik dairədən istifadə etməklə həll edilə bilər, lakin siz onu çəkmək istəmirsiniz. Yaxşı, tamam. -dən köçürük mənfi k-nin qövs kosinusu daxilindəki dəyərlər müsbət ikinci düstura görə:

İçəridə qövs kosinusu artıq sağdadır müsbət məna. Nə

sadəcə bilməlisən. Qövs kosinusu yerinə radyanları əvəz etmək və cavabı hesablamaq qalır:

Hamısı budur.

Arksinus, arkkosin, arktangens, arkkotangens üzrə məhdudiyyətlər.

7 - 9 nümunələrində problem varmı? Bəli, orada bir hiylə var.)

1-dən 9-a qədər bütün bu misallar 555-ci bölmədə diqqətlə təhlil edilir. Nə, necə və niyə. Bütün gizli tələlər və hiylələrlə. Üstəlik həlli dramatik şəkildə sadələşdirməyin yolları. Yeri gəlmişkən, bu bölmədə ümumiyyətlə triqonometriya ilə bağlı çoxlu faydalı məlumatlar və praktiki məsləhətlər var. Həm də təkcə triqonometriyada deyil. Çox kömək edir.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

sin, cos, tg və ctg funksiyaları həmişə arksinus, arkkosinus, arktangens və arkkotangens ilə müşayiət olunur. Biri digərinin nəticəsidir və cüt funksiyalar triqonometrik ifadələrlə işləmək üçün eyni dərəcədə vacibdir.

Triqonometrik funksiyaların dəyərlərini qrafik olaraq göstərən vahid dairənin rəsmini nəzərdən keçirək.

OA, arcos OC, arctg DE və arcctg MK qövslərini hesablasaq, onda onların hamısı α bucağının qiymətinə bərabər olacaqdır. Aşağıdakı düsturlar əsas triqonometrik funksiyalar və onlara uyğun qövslər arasındakı əlaqəni əks etdirir.

Arksinin xassələri haqqında daha çox başa düşmək üçün onun funksiyasını nəzərə almaq lazımdır. Cədvəl koordinat mərkəzindən keçən asimmetrik əyri formasına malikdir.

Arksinin xüsusiyyətləri:

Qrafikləri müqayisə etsək günah Və arcsin, iki triqonometrik funksiyanın ümumi prinsipləri ola bilər.

qövs kosinusu

Ədədin qövsləri kosinusu a-ya bərabər olan α bucağının qiymətidir.

Əyri y = arcos x arcsin x qrafikini əks etdirir, yeganə fərq OY oxunun π/2 nöqtəsindən keçməsidir.

Qövs kosinusu funksiyasına daha ətraflı baxaq:

Funksiya [-1 intervalında müəyyən edilir; 1].
Arccos üçün ODZ - .
Qrafik tamamilə birinci və ikinci rüblərdə yerləşir və funksiyanın özü nə cüt, nə də tək deyil.
x = 1-də Y = 0.
Döngə bütün uzunluğu boyunca azalır. Qövs kosinusunun bəzi xassələri kosinus funksiyası ilə üst-üstə düşür.

Qövs kosinusunun bəzi xassələri kosinus funksiyası ilə üst-üstə düşür.

Bəlkə də məktəblilər "tağların" belə "ətraflı" öyrənilməsini lazımsız tapacaqlar. Lakin, əks halda, bəzi elementar standart imtahan tapşırıqları tələbələri çıxılmaz vəziyyətə sala bilər.

Məşq 1.Şəkildə göstərilən funksiyaları göstərin.

Cavab: düyü. 1 – 4, Şəkil 2 – 1.

Bu nümunədə vurğu xırda şeylərə verilir. Tipik olaraq, tələbələr qrafiklərin qurulmasına və funksiyaların görünüşünə çox diqqətsiz yanaşırlar. Həqiqətən, əgər həmişə hesablanmış nöqtələrdən istifadə edərək qrafiki tərtib etmək olarsa, niyə əyrinin növünü xatırlayın. Unutmayın ki, sınaq şəraitində sadə bir tapşırıq üçün rəsm çəkməyə sərf olunan vaxt daha mürəkkəb tapşırıqları həll etmək üçün tələb olunacaq.

Arktangent

Arctg a ədədləri α bucağının qiymətidir ki, onun tangensi a-ya bərabər olsun.

Arktangens qrafikini nəzərdən keçirsək, aşağıdakı xüsusiyyətləri vurğulaya bilərik:

Qrafik sonsuzdur və (- ∞; + ∞) intervalında müəyyən edilmişdir.
Arktangent tək bir funksiyadır, buna görə də arktan (- x) = - arktan x.
x = 0-da Y = 0.
Əyri bütün tərif bölgəsində artır.

tg x və arctg x-in qısa müqayisəli təhlilini cədvəl şəklində təqdim edək.

Arkkotangent

Ədədin arcctg - (0; π) intervalından α qiymətini alır ki, onun kotangenti a-ya bərabər olsun.

Qövs kotangent funksiyasının xüsusiyyətləri:

Funksiya tərifi intervalı sonsuzdur.
Məqbul dəyərlər diapazonu intervaldır (0; π).
F(x) nə cüt, nə də tək deyil.
Bütün uzunluğu boyunca funksiyanın qrafiki azalır.

ctg x və arctg x-i müqayisə etmək çox sadədir, sadəcə olaraq iki rəsm çəkmək və əyrilərin davranışını təsvir etmək lazımdır.

Tapşırıq 2. Qrafiki və funksiyanın qeyd formasını uyğunlaşdırın.

Məntiqlə düşünsək, qrafiklərdən aydın olur ki, hər iki funksiya artır. Buna görə də, hər iki rəqəm müəyyən bir arktan funksiyasını göstərir. Arktangentin xassələrindən məlum olur ki, x = 0-da y=0,

Cavab: düyü. 1 – 1, şək. 2 – 4.

Arcsin, arcos, arctg və arcctg triqonometrik eynilikləri

Əvvəllər biz artıq tağlar və triqonometriyanın əsas funksiyaları arasındakı əlaqəni müəyyən etdik. Bu asılılıq, məsələn, arqumentin sinusunu arksinusu, arkkosinusu və ya əksinə ifadə etməyə imkan verən bir sıra düsturlarla ifadə edilə bilər. Bu cür şəxsiyyətlər haqqında biliklər konkret nümunələri həll edərkən faydalı ola bilər.

Arctg və arcctg üçün də əlaqələr var:

Başqa bir faydalı düstur cütü arcsin və arcos, həmçinin eyni bucağın arcctg və arcctg cəminin dəyərini təyin edir.

Problemin həlli nümunələri

Triqonometriya tapşırıqlarını dörd qrupa bölmək olar: konkret ifadənin ədədi qiymətini hesablamaq, verilmiş funksiyanın qrafikini qurmaq, onun təyinetmə sahəsini və ya ODZ-ni tapmaq və nümunəni həll etmək üçün analitik çevrilmələri yerinə yetirmək.

Birinci növ problemi həll edərkən aşağıdakı fəaliyyət planına əməl etməlisiniz:

Funksiya qrafikləri ilə işləyərkən əsas şey onların xassələri və əyrinin görünüşünü bilməkdir. Triqonometrik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli eynilik cədvəllərini tələb edir. Şagird nə qədər çox düstur yadda saxlasa, tapşırığın cavabını tapmaq bir o qədər asan olar.

Deyək ki, Vahid Dövlət İmtahanında belə bir tənliyin cavabını tapmalısınız:

Əgər ifadəni düzgün çevirib istədiyiniz formaya gətirsəniz, onu həll etmək çox sadə və tezdir. Əvvəlcə arcsin x-i bərabərliyin sağ tərəfinə keçirək.

Formulu xatırlayırsınızsa arcsin (sin α) = α, onda iki tənlik sisteminin həllinə cavab axtarışını azalda bilərik:

X modelinə məhdudiyyət yenə arcsinin xassələrindən yaranmışdır: x üçün ODZ [-1; 1]. a ≠0 olduqda sistemin bir hissəsi kökləri x1 = 1 və x2 = - 1/a olan kvadrat tənlikdir. a = 0 olduqda, x 1-ə bərabər olacaqdır.

Proqramın əvvəlində tələbələr triqonometrik tənliklərin həlli haqqında təsəvvür əldə etdilər, qövs kosinusu və qövs sinusu anlayışları, cos t = a və sin t = a tənliklərinin həlli nümunələri ilə tanış oldular. Bu video dərslikdə biz tg x = a və ctg x = a tənliklərinin həllinə baxacağıq.

Bu mövzunu öyrənməyə başlamaq üçün tg x = 3 və tg x = - 3 tənliklərini nəzərdən keçirək. Qrafikdən istifadə edərək tg x = 3 tənliyini həll etsək, y = tg x və funksiyalarının qrafiklərinin kəsişdiyini görərik. y = 3-ün sonsuz sayda həlli var, burada x = x 1 + πk. x 1 qiyməti y = tan x və y = 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsinin x koordinatıdır. Müəllif arktangens anlayışını təqdim edir: arktan 3 tanlığı 3-ə bərabər olan ədəddir və bu ədəd -π/2-dən π/2 intervalına aiddir. Arktangens anlayışından istifadə edərək tan x = 3 tənliyinin həllini x = arktan 3 + πk kimi yazmaq olar.

Bənzətmə ilə tg x = - 3 tənliyi həll edilir.y = tg x və y = - 3 funksiyalarının qurulmuş qrafiklərindən aydın olur ki, qrafiklərin kəsişmə nöqtələri, deməli, tənliklərin həlli də aşağıdakı kimi olacaq. x = x 2 + πk olsun. Arktangentdən istifadə edərək həlli x = arktan (- 3) + πk kimi yazmaq olar. Növbəti şəkildə arctg (- 3) = - arctg 3 olduğunu görürük.

Arktangensin ümumi tərifi belədir: a - π/2-dən π/2-yə qədər olan intervaldan tangensi a-ya bərabər olan ədəddir. Onda tan x = a tənliyinin həlli x = arctan a + πk olur.

Müəllif 1 misal göstərir.Arktan ifadəsinin həllini tapın.Qeyd yazısını təqdim edək: ədədin arktangensi x-ə bərabərdir, onda tg x verilmiş ədədə bərabər olacaq, burada x -π-dən olan seqmentə aiddir. /2 - π/2. Əvvəlki mövzulardakı nümunələrdə olduğu kimi, biz dəyərlər cədvəlindən istifadə edəcəyik. Bu cədvələ əsasən, bu ədədin tangensi x = π/3 dəyərinə uyğundur. Tənliyin həllini yazaq: verilmiş ədədin arktangensi π/3-ə bərabərdir, π/3 də -π/2-dən π/2-yə qədər olan intervala aiddir.

Nümunə 2 - mənfi ədədin arttangensini hesablayın. arctg (- a) = - arctg a bərabərliyindən istifadə edərək x-in qiymətini daxil edirik. 2-ci misal kimi, -π/2-dən π/2-yə qədər olan seqmentə aid olan x-in qiymətini yazırıq. Dəyərlər cədvəlindən tapırıq ki, x = π/3, buna görə də -- tg x = - π/3. Tənliyin cavabı - π/3-dür.

3-cü misalı nəzərdən keçirək. tg x = 1 tənliyini həll edin. X = arctan 1 + πk olduğunu yazın. Cədvəldə tg 1 dəyəri x = π/4 dəyərinə uyğundur, buna görə də arctg 1 = π/4. Gəlin bu dəyəri ilkin x düsturunda əvəz edək və cavabı x = π/4 + πk yazaq.

Nümunə 4: tan x = - hesablayın 4.1. Bu halda x = arktan (- 4.1) + πk. Çünki Bu halda arctg qiymətini tapmaq mümkün deyil, cavab x = arctg (- 4.1) + πk kimi görünəcək.

5-ci misalda tg x > 1 bərabərsizliyinin həlli nəzərdən keçirilir.Onu həll etmək üçün y = tan x və y = 1 funksiyalarının qrafiklərini qururuq.Şəkildən göründüyü kimi bu qrafiklər x = nöqtələrində kəsişir. π/4 + πk. Çünki bu halda tg x > 1, qrafikdə y = 1 qrafikindən yuxarıda yerləşən tangentoid bölgəni vurğulayırıq, burada x π/4-dən π/2-ə qədər olan intervala aiddir. Cavabı π/4 + πk kimi yazırıq< x < π/2 + πk.

Sonra, çarpayı x = a tənliyini nəzərdən keçirin. Şəkildə çoxlu kəsişmə nöqtələri olan y = cot x, y = a, y = - a funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir. Həllləri x = x 1 + πk kimi yazmaq olar, burada x 1 = arcctg a və x = x 2 + πk, burada x 2 = arcctg (- a). Qeyd olunur ki, x 2 = π - x 1 . Bu arcctg (- a) = π - arcctg a bərabərliyini nəzərdə tutur. Qövs kotangentinin tərifi aşağıdakı kimidir: a qövs kotangensi 0-dan π-ə qədər olan intervaldan kotangensi a-ya bərabər olan ədəddir. сtg x = a tənliyinin həlli belə yazılır: x = arcctg a + πk.

Video dərsin sonunda daha bir mühüm nəticə çıxarılır - ctg x = a ifadəsi a sıfıra bərabər olmamaq şərti ilə tg x = 1/a kimi yazıla bilər.

MƏTNİN KOD EDİLMƏSİ:

tg x = 3 və tg x = - 3 tənliklərinin həllini nəzərdən keçirək. Birinci tənliyi qrafik şəkildə həll etdikdə y = tg x və y = 3 funksiyalarının qrafiklərinin absislərini yazdığımız sonsuz sayda kəsişmə nöqtələrinin olduğunu görürük. şəklində

x = x 1 + πk, burada x 1 - y = 3 düz xəttinin tangentoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisidir (şəkil 1), onun üçün təyinat icad edilmişdir.

arktan 3 (üç qövs tangensi).

arctg 3-ü necə başa düşmək olar?

Bu, tangensi 3 olan və bu ədəd (- ;) intervalına aid olan ədəddir. Onda tg x = 3 tənliyinin bütün köklərini x = arctan 3+πk düsturu ilə yazmaq olar.

Eynilə, tg x = - 3 tənliyinin həllini x = x 2 + πk şəklində yazmaq olar, burada x 2 y = - 3 düz xəttinin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisidir. tangentoid (Şəkil 1), bunun üçün təyinat arctg(- 3) (qövs tangensi minus üç). Onda tənliyin bütün köklərini aşağıdakı düsturla yazmaq olar: x = arktan(-3)+ πk. Şəkildə göstərilir ki, arctg(- 3)= - arctg 3.

Arktangensin tərifini tərtib edək. Arktangens a, tangensi a-a bərabər olan (-;) intervalından gələn ədəddir.

Bərabərlik tez-tez istifadə olunur: arctg(-a) = -arctg a, istənilən a üçün etibarlıdır.

Arktangensin tərifini bilməklə tənliyin həlli haqqında ümumi nəticə çıxara bilərik

tg x= a: tg x = a tənliyinin x = arctan a + πk həlli var.

Nümunələrə baxaq.

NÜMUNƏ 1. Arktanı hesablayın.

Həll. arctg = x olsun, sonra tgх = və xϵ (- ;) olsun. Dəyərlər cədvəlini göstərin Buna görə də, x =, çünki tg = və ϵ (- ;).

Beləliklə, arktan =.

NÜMUNƏ 2. Arktan (-) hesablayın.

Həll. arctg(- a) = - arctg a bərabərliyindən istifadə edərək yazırıq:

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, onda - tgх = və xϵ (- ;) olsun. Deməli, x =, çünki tg = və ϵ (- ;). Dəyərlər cədvəlini göstərin

Bu, - arctg=- tgх= - deməkdir.

NÜMUNƏ 3. tgх = 1 tənliyini həll edin.

1. Həll formulunu yazın: x = arctan 1 + πk.

2. Arktangentin qiymətini tapın

tg = olduğundan. Dəyərlər cədvəlini göstərin

Beləliklə, arktan1=.

3. Tapılan dəyəri həll formuluna daxil edin:

NÜMUNƏ 4. tgх = - 4.1 tənliyini həll edin (tangens x mənfi dörd nöqtə birə bərabərdir).

Həll. Həll düsturunu yazaq: x = arktan (- 4.1) + πk.

Arktangensin qiymətini hesablaya bilmərik, ona görə də tənliyin həllini onun əldə edilmiş formasında buraxacağıq.

NÜMUNƏ 5. tgх 1 bərabərsizliyini həll edin.

Həll. Bunu qrafik olaraq həll edəcəyik.

Tangens quraq

y = tgx və düz xətt y = 1 (şək. 2). Onlar x = + πk kimi nöqtələrdə kəsişir.

2. Tangentoidin əsas qolunun y = 1 düz xəttinin üstündə yerləşdiyi x oxunun intervalını seçək, çünki tgх 1 şərtinə görə. Bu (;) intervalıdır.

3. Biz funksiyanın dövriliyindən istifadə edirik.

Xüsusiyyət 2. y=tg x əsas dövrü π olan dövri funksiyadır.

y = tgх funksiyasının dövriliyini nəzərə alaraq cavabı yazırıq:

(;). Cavab ikiqat bərabərsizlik kimi yazıla bilər:

ctg x = a tənliyinə keçək. Müsbət və mənfi a tənliyinin həllinin qrafik təsvirini təqdim edək (şək. 3).

y = ctg x və y = a funksiyalarının qrafikləri və həmçinin

y=ctg x və y=-a

sonsuz çoxlu ortaq nöqtələrə malikdir, onların absisləri belə görünür:

x = x 1 +, burada x 1 y = a düz xəttinin tangenoidin əsas qolu ilə kəsişmə nöqtəsinin absisidir və

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, burada x 2 xəttin kəsişmə nöqtəsinin absisidir

y = - a tangentoidin əsas qolu ilə və x 2 = arcсtg (- a).

Qeyd edək ki, x 2 = π - x 1. Beləliklə, vacib bir bərabərliyi yazaq:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Tərifi tərtib edək: a qövs kotangensi (0;π) intervalından olan ədəddir, kotangensi a-ya bərabərdir.

ctg x = a tənliyinin həlli aşağıdakı formada yazılır: x = arcctg a + .

Nəzərə alın ki, ctg x = a tənliyi formaya çevrilə bilər

tg x =, a = 0 olduğu istisna olmaqla.

Bu məqalə haqqındadır arksinus, arkkosin, arktangens və arkkotangentin qiymətlərinin tapılması verilmiş nömrə. Əvvəlcə arksinus, arkkosin, arktangens və arkkotangentin mənasını aydınlaşdıracağıq. Sonra, bu qövs funksiyalarının əsas dəyərlərini əldə edəcəyik, bundan sonra qövs sinüsü, qövs kosinusu, qövs tangensi və qövs kotangensi dəyərlərinin sinus, kosinus, tangens və Bradis cədvəllərindən istifadə edərək necə tapıldığını anlayacağıq. kotangentlər. Nəhayət, bu ədədin arkkosinusu, arktangensi və ya arkkotangensi və s. məlum olduqda ədədin arksinüsünü tapmaqdan danışaq.

Səhifə naviqasiyası.

Arksinus, arkkosin, arktangens və arkkotangentin dəyərləri

Əvvəla, "bunun" əslində nə olduğunu anlamağa dəyər. arksinus, arkkosin, arktangens və arkkotangentin mənası».

Sinusların və kosinusların, eləcə də tangenslərin və kotangenslərin Bradis cədvəlləri müsbət ədədin arksinusu, arkkosinusu, arktangensi və arkotangensinin qiymətini bir dəqiqəlik dəqiqliklə dərəcələrlə tapmağa imkan verir. Burada qeyd etmək lazımdır ki, arcsin, arccos, arctg və düsturlara müraciət edərək mənfi ədədlərin arksinusu, arkkosinusu, arktangensi və arktangenslərinin qiymətlərini tapmağı müsbət ədədlərin müvafiq qövs funksiyalarının qiymətlərini tapmağa endirmək olar. arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a və arcctg(−a)=π−arcctg a formasında əks ədədlərin arcctg.

Bradis cədvəllərindən istifadə edərək arksinus, arkkosin, arktangens və arktangens dəyərlərini necə tapacağımızı anlayaq. Bunu nümunələrlə edəcəyik.

0,2857 arcsine dəyərini tapmalıyıq. Bu dəyəri sinuslar cədvəlində tapırıq (bu dəyərin cədvəldə olmadığı hallar aşağıda müzakirə olunacaq). Sinus 16 dərəcə 36 dəqiqəyə uyğundur. Buna görə də, 0,2857 rəqəminin arksinüsünün istənilən dəyəri 16 dərəcə 36 dəqiqəlik bir açıdır.

Tez-tez cədvəlin sağındakı üç sütundan düzəlişləri nəzərə almaq lazımdır. Məsələn, 0.2863-ün arksinüsünü tapmaq lazımdırsa. Sinuslar cədvəlinə əsasən, bu dəyər 0,2857 üstəgəl 0,0006 düzəliş kimi alınır, yəni 0,2863 dəyəri 16 dərəcə 38 dəqiqəlik sinusa uyğun gəlir (16 dərəcə 36 dəqiqə üstəgəl 2 dəqiqə düzəliş).

Arksinusu bizi maraqlandıran nömrə cədvəldə deyilsə və hətta düzəlişləri nəzərə alaraq əldə edilə bilmirsə, cədvəldə bu nömrənin əlavə olunduğu ona ən yaxın olan sinusların iki dəyərini tapmalıyıq. Məsələn, 0,2861573 arcsine dəyərini axtarırıq. Bu nömrə cədvəldə yoxdur və bu rəqəmi düzəlişlərlə də əldə etmək mümkün deyil. Sonra iki ən yaxın dəyəri tapırıq 0,2860 və 0,2863, onların arasında orijinal nömrə verilir; bu nömrələr 16 dərəcə 37 dəqiqə və 16 dərəcə 38 dəqiqə sinuslarına uyğundur. İstədiyiniz 0,2861573 qövs dəyəri onların arasındadır, yəni bu bucaq dəyərlərindən hər hansı birini 1 dəqiqəlik dəqiqliklə təxmini qövs dəyəri kimi qəbul etmək olar.

Qövs kosinus dəyərləri, qövs tangens dəyərləri və qövs kotangens dəyərləri tamamilə eyni şəkildə tapılır (bu vəziyyətdə, əlbəttə ki, müvafiq olaraq kosinuslar, tangenslər və kotangentlər cədvəllərindən istifadə olunur).

arccos, arctg, arcctg və s.-dən istifadə edərək arcsin dəyərinin tapılması.

Məsələn, arcsin a=−π/12 olduğunu bilək və arccos a-nın qiymətini tapmalıyıq. Bizə lazım olan qövs kosinus dəyərini hesablayırıq: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Vəziyyət daha maraqlıdır ki, a rəqəminin arksinusu və ya arkkosinusunun məlum dəyərindən istifadə edərək, bu a ədədinin arktangens və ya arkkotangentinin qiymətini tapmaq lazımdır və ya əksinə. Təəssüf ki, bu cür əlaqələri müəyyən edən düsturları bilmirik. Necə olmaq? Bunu bir nümunə ilə başa düşək.

Bizə bildirək ki, a ədədinin arkkosinusu π/10-a bərabərdir və bu a ədədinin arktangensini hesablamalıyıq. Problemi aşağıdakı kimi həll edə bilərsiniz: qövs kosinusunun məlum dəyərindən istifadə edərək a rəqəmini tapın və sonra bu ədədin qövs tangensini tapın. Bunun üçün bizə əvvəlcə kosinuslar cədvəli, sonra isə tangenslər cədvəli lazımdır.

π/10 radyan bucağı 18 dərəcə bucaqdır; kosinus cədvəlindən biz tapırıq ki, 18 dərəcə kosinusu təxminən 0,9511-ə bərabərdir, onda nümunəmizdəki a sayı 0,9511-dir.

Tangens cədvəlinə müraciət etmək qalır və onun köməyi ilə bizə lazım olan 0,9511 arktangens dəyərini tapmaq, təxminən 43 dərəcə 34 dəqiqəyə bərabərdir.

Bu mövzu məntiqi olaraq məqalədəki materialla davam etdirilir. arcsin, arccos, arctg və arcctg ehtiva edən ifadələrin qiymətlərinin qiymətləndirilməsi.

Biblioqrafiya.

Cəbr: Dərs kitabı 9-cu sinif üçün. orta. məktəb/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovski.- M.: Təhsil, 1990. - 272 s.: xəstə. - ISBN 5-09-002727-7
Başmaqov M.I. Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Dərslik. 10-11 siniflər üçün. orta. məktəb - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 1993. - 351 s.: xəstə. - ISBN 5-09-004617-4.
Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 siniflər üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorov.- 14-cü nəşr - M.: Təhsil, 2004. - 384 s.: xəstə. - ISBN 5-09-013651-3.
I. V. Boykov, L. D. Romanova. Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün problemlər toplusu, 1-ci hissə, Penza 2003.
Bradis V. M. Dördrəqəmli riyaziyyat cədvəlləri: Ümumi təhsil üçün. dərs kitabı müəssisələr. - 2-ci nəşr. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: xəstə. ISBN 5-7107-2667-2