Limity dávají všem studentům matematiky spoustu problémů. Chcete-li vyřešit limit, musíte někdy použít spoustu triků a vybrat si z různých metod řešení přesně tu, která se hodí pro konkrétní příklad.

V tomto článku vám nepomůžeme porozumět limitům vašich schopností nebo porozumět limitům kontroly, ale pokusíme se odpovědět na otázku: jak rozumět limitům ve vyšší matematice? Pochopení přichází se zkušeností, proto zároveň uvedeme několik podrobných příkladů řešení limit s vysvětlením.

Pojem limita v matematice

První otázka zní: co je tato hranice a hranice čeho? Můžeme mluvit o limitech číselných posloupností a funkcí. Zajímá nás pojem limita funkce, protože s tím se studenti nejčastěji setkávají. Nejprve však nejobecnější definice limity:

Řekněme, že existuje nějaká proměnná hodnota. Pokud se tato hodnota v procesu změny neomezeně blíží určitému číslu A , Že A – limit této hodnoty.

Pro funkci definovanou v určitém intervalu f(x)=y takové číslo se nazývá limit A , ke kterému funkce inklinuje, když X , směřující k určitému bodu A . Tečka A patří do intervalu, na kterém je funkce definována.

Zní to těžkopádně, ale je to napsáno velmi jednoduše:

Lim- z angličtiny omezit- limit.

Existuje také geometrické vysvětlení pro určení limity, ale zde se nebudeme pouštět do teorie, protože nás zajímá spíše praktická než teoretická stránka problému. Když to říkáme X inklinuje k nějaké hodnotě, to znamená, že proměnná nenabývá hodnoty čísla, ale blíží se k ní nekonečně blízko.

Uveďme konkrétní příklad. Úkolem je najít limit.

K vyřešení tohoto příkladu dosadíme hodnotu x=3 do funkce. Dostaneme:

Mimochodem, pokud vás to zajímá, přečtěte si na toto téma samostatný článek.

V příkladech X může mít libovolnou hodnotu. Může to být libovolné číslo nebo nekonečno. Zde je příklad, kdy X inklinuje k nekonečnu:

Intuitivně, čím větší číslo ve jmenovateli, tím menší hodnotu funkce nabude. Tedy s neomezeným růstem X význam 1/x bude klesat a blížit se k nule.

Jak vidíte, k vyřešení limity stačí do funkce dosadit hodnotu, o kterou se snažíme X . To je však ten nejjednodušší případ. Často není nalezení limitu tak zřejmé. V mezích jsou nejistoty typu 0/0 nebo nekonečno/nekonečno . Co dělat v takových případech? Uchylte se k trikům!

Nejistoty uvnitř

Nejistota tvaru nekonečno/nekonečno

Nechť existuje limit:

Pokusíme-li se do funkce dosadit nekonečno, dostaneme nekonečno v čitateli i ve jmenovateli. Obecně stojí za to říci, že v řešení takových nejistot je určitý prvek umění: musíte si všimnout, jak můžete transformovat funkci tak, aby nejistota zmizela. V našem případě dělíme čitatele a jmenovatele o X v seniorském stupni. Co se bude dít?

Z výše uvedeného příkladu víme, že členy obsahující x ve jmenovateli budou mít tendenci k nule. Pak řešení limitu je:

K vyřešení typových nejistot nekonečno/nekonečno vydělte čitatele a jmenovatele X na nejvyšší stupeň.

Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %.

Jiný typ nejistoty: 0/0

Jako vždy, dosazení hodnot do funkce x=-1 dává 0 v čitateli a jmenovateli. Podívejte se trochu pozorněji a všimnete si, že v čitateli máme kvadratickou rovnici. Pojďme najít kořeny a napsat:

Snížíme a dostaneme:

Pokud se tedy potýkáte s typovou nejistotou 0/0 – faktor čitatele a jmenovatele.

Abychom vám usnadnili řešení příkladů, uvádíme tabulku s limity některých funkcí:

L'Hopitalovo pravidlo uvnitř

Další účinný způsob, jak eliminovat oba typy nejistot. Co je podstatou metody?

Pokud je v limitě nejistota, berte derivaci čitatele a jmenovatele, dokud nejistota nezmizí.

L'Hopitalovo pravidlo vypadá takto:

Důležitý bod : musí existovat limita, ve které stojí derivace čitatele a jmenovatele místo čitatele a jmenovatele.

A teď - skutečný příklad:

Je tam typická nejistota 0/0 . Vezměme si deriváty čitatele a jmenovatele:

Voilá, nejistota je vyřešena rychle a elegantně.

Doufáme, že tyto informace dokážete užitečně aplikovat v praxi a najdete odpověď na otázku „jak řešit limity ve vyšší matematice“. Pokud potřebujete vypočítat limitu posloupnosti nebo limitu funkce v bodě a na tuto práci není absolutně čas, obraťte se na profesionální studentský servis pro rychlé a podrobné řešení.

Vězte, že každého bolí něco jiného
Vězte, že každý má jiné „strašidelné“.
Nesuďte podle své zvonice
Není známo, kolik je tam podlaží.

Nedívejte se na hranice
Nevymýšlejte limity svým mozkem.
O čem by se ti ani nesnilo v noční můře?
Pro někoho je to běžná věc.

Vězte, že každý má jiné „měl by“,
Vězte, že „obtížnost“ každého je jiná.
Nicméně myšlenka pekla
Nelze to paušalizovat a porovnávat.

Věz, že pravda je jiná,
A ne ten, který se podává na podnose.
Podívejte se blíže na ty, jejichž osudy jsou děsivé,
To jsou ti nejsilnější lidé.

Neříkej, že si tě nepamatuju...
Pamatuji si všechno, mnohokrát za den
Opakuji telefonní číslo
Ale nikdy ti nezavolám.
Měl jsem pocit, jako by mi mělo puknout srdce
A na hranici osamělých dnů

V mé duši překročily obzor.
Byla tam láska, byla tam láska, byla!
A k této větě není co dodat.
Náš kouzelný hrad shořel do základů
A nezanechal popel, abychom si ho pamatovali.
Pamatuji si všechno a pamatuji si kvetoucí zahradu,
A skrz listí - paprsky ze všech stran,
Jako z bílé, bílé zvonice
V duši tvé – slyšíš – se rozlévá tiché zvonění.
Láska je pryč a už se nikdy nevrátí,
A abych ji navždy nepostrádal,
Tvoje oči jsou jako dvě smutná slunce
V mé duši překročily obzor.

Honba za štěstím je opět neúspěšná...
A je deštivý večer, venku pošmourno...
A jako dítě... natírám housku marmeládou
A rozhodně šťastný, hloupě šťastný...

Glamour, etiketa, diamanty, jacuzzi...
Nyní, kromě štěstí, v osudu „All inclusive“,
A jako dítě jsem jedl slunečnicová semínka,
A zdálo se, že štěstí nemá hranic...

Stali jsme se velmi podobnými klaunům...
Všichni mají na sobě make-up, který se navenek směje...
A v dětství... z nebe se probilo jen slunce
A šťastné srdce se tolik usmívalo...

Vybíráme lidi jako pohanka v Popelce...
Obraťte se na každého, koho potřebujete... Kdo je nerentabilní, jde ke sporáku...
A v dětství v nás věřilo jasné nebe...
Kde je ta radost z vůně čerstvého chleba?

A teď se dá koupit i přátelství...
Dokázali jsme to... Žijeme ve světě kožešin a kůže...
A v dětství zachránili křížence před deštěm...
A tím, že dávali štěstí, je dostávali.

V průběhu let jsme ztratili upřímnost a citlivost...
Hranice a rámce jsme si vymysleli sami...
Máte housku a sklenici třešňového džemu?
Takže buďte pekelně šťastní!

Dívám se na tebe a uvědomuji si, že tě stále miluji. Tato láska je chronickou nemocí posledních let. Přináší to tak nesnesitelnou bolest, že se vrhám na úplně cizí lidi, snažím se jimi být oklamán, s nimi najednou v těchto objetích najdu právě ten lék proti bolesti, který podle majitelů vrásčitých srdcí vůbec neexistuje. Chápu, že jsem klamán, ale stále se objímám - jinak se zabít nemůžu, bolí to, trápí, v noci mi to nedá spát, tak sedím na parapetu a za další minutu budu srdceryvně křičet z mučení iluzí. Mám vás kontaktovat s žádostí o pomoc? Zbytečný. Víš o mé lásce, ale nepotřebuješ ji, "tvá ústa jsou plná nevyjádřených citů." Jsme ve stejné síti nezodpovědnosti, ale nemůžeme si pomoci. Omotáváte ruce kolem tenkých bílých nití a tyčinek a díváte se kamsi za hranice reality v naději, že bůh ví, čí pomoc. A mezi námi je jen jeden rozdíl: má láska k tobě mě málem srazila z nohou a tvá láska k někomu tě pohání a oživuje očekáváním, byť klamným. Už se na tebe nechci dívat, vyháním ze srdce možnost tebe, ale o to je to bolestnější. A tak šeptem prochází procesem utrpení a také doufá, že Bůh ví, čí pomoc. Čas?..

Váš život je úplná lež, porno, každodenní život, závislost na internetu a otroctví na mobilním telefonu. No, nemám pravdu? Řekni mi, udělal jsi někdy něco opravdu neobvyklého? Nikdy. A ty nemůžeš. Víš proč? Protože tohle všechno je mimo vaši zónu pohodlí. Jste do toho zabaleni. Jako v polypropylenovém sáčku. Jste kusy masa, stlačené hranicemi každodenního života a práce. Nebo se mýlím? Možná, že se mýlím? Oprav mě.
Můžete například dát svůj mobilní telefon první osobě, kterou potkáte? A? Záludná otázka. Můžete naformátovat šroub v počítači právě teď? Němý? Posral jsi se? Víš, proč to neuděláš? Protože se to rovná sebevraždě. Bez toho neexistuješ.

Je mu dlouhých dvacet osm let a kromě toho dvacet osm zim,

Jedno tajemství držel a v rodině byl vzorným manželem.
Všechno se zdálo být jako obvykle: moje žena připravovala večeři...
Ale najednou se stalo něco špatného: vzpomněl si na tajemství.
Na hluk a kyselou vůni zelné polévky, reptání mé snoubenky po ránu,
Pamatoval si vše do nejmenších detailů, jako by se to stalo včera...
...Seděla u okna a měkkého nádherného měsíčního svitu
Maloval její krásnou siluetu v bledých tónech...
Prameny splývaly přes ramena, klouzaly jako hadi na hruď...
A unáhleně si pomyslel: "Jednou si ji vezmu!"
Pamatoval si všechno do nejmenšího detailu: křivky linek, hebkost rtů...
A žár jejích jednoduchých řečí a obrovský dub za oknem.
Změť rukou... Splynutí těl... Kaskáda hnědých vlasů...
A jak ji chtěl k šílenství, k slzám!
Tok chvějících se přiznání, jak mi je šeptal do ucha!
Legrační kudrna nad uchem, která se chvěla dýcháním...
Dívala se na něj očima vlhkýma jako noc.
Slova byla opojná jako víno: „Miluji tě... Dej mi dceru...“
Ráno ztratil klid: rozčiloval se, pak se nudil...
Potom si zakryl obličej rukou, posadil se na židli a mlčel.
Manželka reptala jako vždy. Vyhubovala uprchlou polévku...
A poznamenal, že léta jí nesluší, jak stárla.
Stejně jako jí nesluší bílá barva a prameny obarvených vlasů.
A osmadvacet let nebylo všechno nějak vážné...
Najednou vyskočil, popadl kabát a zapomněl na čepici a ponožky.
Všech dvacet osm let není stejných... Všech dvacet osm zim je melancholických.
Našel ten dům. V domě je dub. Vyběhl po schodech jako šíp...
Kéž bych mohl zastavit chvění z chladných rtů a nechutnou zbabělost - pryč!
Nejspíš pije čaj a balí se do šátku...
A z jejích krásných očí proudí tichý smutek...
Nebo možná začala plést? Nebo snad tkát krajku?
Je toho tolik co jí říct! A hlavní věc je říct - omlouvám se...
Otevřela dveře... V jejích očích byla otázka. Bylo jí zase dvacet let...
Kaskáda hnědých vlasů... Silueta známá srdci...
Nad uchem je mírné zvlnění... Stejně jako před mnoha lety - úplně stejné...
"Nemýlíš se?" "Ne, nemohla jsem... jsi Anya?" Vera. Její dcera…"
"A Anya?" - "Máma už není... Kdo jsi?" Obrátil se:
"Chodil jsem k ní dvacet osm let..." - Čekala na tebe... Dvacet pět...
Jak závratě... Jak se mi srdce sevřelo v hrudi!
A vzpomněl si na její slova s modlitbou: "Neodcházej!"
Nahrbil se. Odplížil se pryč. Propletení rukou... Splynutí těl...
Miluji tě... Dej mi dceru... Ale on opravdu chtěl dceru.
Jak divné. Anya už není... Brečel jsem... Hodil jsem to do ticha: "Budu tě milovat mnoho, mnoho let... Ty sám..."

P.S. PÉČE O LÁSKU - to je základ vašeho štěstí...