Lekce a prezentace na téma: "Arcsine. Tabulka arcsinus. Vzorec y=arcsin(x)"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Softwarové prostředí "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru

Co budeme studovat:
1. Co je arcsinus?
2. Arcsina zápis.
3. Trochu historie.
4. Definice.

6. Příklady.

Co je arcsinus?

Kluci, už jsme se naučili, jak řešit rovnice pro kosinus, pojďme se nyní naučit, jak řešit podobné rovnice pro sinus. Uvažujme sin(x)= √3/2. K vyřešení této rovnice je třeba sestrojit přímku y= √3/2 a zjistit, v jakých bodech protíná číselnou kružnici. Je vidět, že přímka protíná kružnici ve dvou bodech F a G. Tyto body budou řešením naší rovnice. Přejmenujme F na x1 a G na x2. Již jsme našli řešení této rovnice a dostali jsme: x1= π/3 + 2πk,
a x2= 2π/3 + 2πk.

Řešení této rovnice je celkem jednoduché, ale jak vyřešit např. rovnici
sin(x)= 5/6. Je zřejmé, že tato rovnice bude mít také dva kořeny, ale jaké hodnoty budou odpovídat řešení na číselném kruhu? Podívejme se blíže na naši rovnici sin(x)= 5/6.
Řešením naší rovnice budou dva body: F= x1 + 2πk a G= x2 ​​​​+ 2πk,
kde x1 je délka oblouku AF, x2 je délka oblouku AG.
Poznámka: x2= π - x1, protože AF= AC - FC, ale FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Ale jaké jsou tyto body?

Tváří v tvář podobné situaci přišli matematici s novým symbolem - arcsin(x). Čtěte jako arcsinus.

Pak bude řešení naší rovnice zapsáno takto: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

A řešení v obecném tvaru: x= arcsin(5/6) + 2πk a x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinus je úhel (délka oblouku AF, AG) sinus, který se rovná 5/6.

Trochu historie arcsine

Historie vzniku našeho symbolu je přesně stejná jako historie arccos. Symbol arcsinu se poprvé objevuje v dílech matematika Scherfera a slavného francouzského vědce J.L. Lagrange. O něco dříve se konceptem arcsinus zabýval D. Bernouli, i když jej psal s různými symboly.

Tyto symboly se staly obecně uznávanými až na konci 18. století. Předpona „arc“ pochází z latinského „arcus“ (luk, oblouk). To je zcela v souladu s významem tohoto konceptu: arcsin x je úhel (nebo by se dalo říci oblouk), jehož sinus je roven x.

Definice arcsinus

Jestliže |a|≤ 1, pak arcsin(a) je číslo ze segmentu [- π/2; π/2], jehož sinus je roven a.

Pokud |a|≤ 1, pak rovnice sin(x)= a má řešení: x= arcsin(a) + 2πk a
x= π - arcsin(a) + 2πk

Pojďme přepsat:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Chlapi, podívejte se pozorně na naše dvě řešení. Co myslíte: lze je zapsat pomocí obecného vzorce? Všimněte si, že pokud je před arcsinus znaménko plus, pak se π násobí sudým číslem 2πk, a pokud je znaménko mínus, pak je násobitel lichý 2k+1.
S ohledem na to zapíšeme obecný vzorec pro řešení rovnice sin(x)=a:

Existují tři případy, kdy je lepší zapsat řešení jednodušším způsobem:

sin(x)=0, pak x= πk,

sin(x)=1, pak x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, pak x= -π/2 + 2πk.

Pro libovolné -1 ≤ a ≤ 1 platí rovnost: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Napišme tabulku hodnot kosinus obráceně a získáme tabulku pro arkussinus.

Příklady

1. Vypočítejte: arcsin(√3/2).
Řešení: Nechť arcsin(√3/2)= x, pak sin(x)= √3/2. Podle definice: - π/2 ≤x≤ π/2. Podívejme se na sinusové hodnoty v tabulce: x= π/3, protože sin(π/3)= √3/2 a –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Odpověď: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Vypočítejte: arcsin(-1/2).
Řešení: Nechť arcsin(-1/2)= x, pak sin(x)= -1/2. Podle definice: - π/2 ≤x≤ π/2. Podívejme se na sinusové hodnoty v tabulce: x= -π/6, protože sin(-π/6)= -1/2 a -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Odpověď: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Vypočítejte: arcsin(0).
Řešení: Nechť arcsin(0)= x, pak sin(x)= 0. Podle definice: - π/2 ≤x≤ π/2. Podívejme se na hodnoty sinusu v tabulce: znamená to x= 0, protože sin(0)= 0 a - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Odpověď: arcsin(0)=0.

4. Řešte rovnici: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk a x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Podívejme se na hodnotu v tabulce: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Odpověď: x= -π/4 + 2πk a x= 5π/4 + 2πk.

5. Řešte rovnici: sin(x) = 0.
Řešení: Použijme definici, pak bude řešení zapsáno ve tvaru:
x= arcsin(0) + 2πk a x= π - arcsin(0) + 2πk. Podívejme se na hodnotu v tabulce: arcsin(0)= 0.
Odpověď: x= 2πk a x= π + 2πk

6. Řešte rovnici: sin(x) = 3/5.
Řešení: Použijme definici, pak bude řešení zapsáno ve tvaru:
x= arcsin(3/5) + 2πk a x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Odpověď: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Vyřešte nerovnost sin(x) Řešení: Sinus je pořadnicí bodu na číselném kruhu. To znamená: potřebujeme najít body, jejichž pořadnice je menší než 0,7. Nakreslíme přímku y=0,7. Protíná číselný kruh ve dvou bodech. Nerovnice y Pak řešení nerovnosti bude: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arcsine úlohy pro nezávislé řešení

1) Vypočítejte: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Řešte rovnici: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Vyřešte nerovnici: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Arcsine (y = arcsin x) je inverzní funkce sinus (x = hříšný -1 ≤ x ≤ 1 a množina hodnot -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arcsine je někdy označován následovně:
.

Graf funkce arcsinus

Graf funkce y = arcsin x

Arkussinusový graf se získá ze sinusového grafu, pokud jsou prohozeny osy úsečky a pořadnice. Pro odstranění nejednoznačnosti je rozsah hodnot omezen na interval, ve kterém je funkce monotónní. Tato definice se nazývá hlavní hodnota arcsinus.

Arccosine, arccos

Arc cosinus (y = arccos x) je inverzní funkce kosinus (x = cos y). Má to rozsah -1 ≤ x ≤ 1 a mnoho významů 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arccosine je někdy označován takto:
.

Graf funkce arc cosinus

Graf funkce y = arccos x

Obloukový kosinusový graf se získá z kosinusového grafu, pokud jsou prohozeny osy úsečky a pořadnice. Pro odstranění nejednoznačnosti je rozsah hodnot omezen na interval, ve kterém je funkce monotónní. Tato definice se nazývá hlavní hodnota arc cosinus.

Parita

Funkce arcsinus je lichá:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Funkce arc cosinus není sudá ani lichá:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Vlastnosti - extrémy, zvýšení, snížení

Funkce arcsinus a arckosinus jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti arcsinu a arckosinu jsou uvedeny v tabulce.

	y = arcsin x	y = arccos x
Rozsah a kontinuita	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Rozsah hodnot
Stoupající klesající	monotónně narůstá	monotónně klesá
Highs
Minima
Nuly, y = 0	x = 0	x = 1
Průsečík bodů se souřadnicovou osou x = 0	y = 0	y = π/ 2

Tabulka arcsinus a arckosinus

Tato tabulka uvádí hodnoty arcsinus a arckosinus ve stupních a radiánech pro určité hodnoty argumentu.

X	arcsin x		arccos x
	kroupy	rád.	kroupy	rád.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Vzorce

Součtové a rozdílové vzorce

na nebo

v a

v a

na nebo

v a

v a

na

na

na

na

Výrazy pomocí logaritmů, komplexní čísla

Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí

Deriváty

;
.
Viz Odvození arcsinu a derivátů arkkosinu > > >

Deriváty vyššího řádu:
,
kde je polynom stupně . Určuje se podle vzorců:
;
;
.

Viz Odvození derivací vyšších řádů arcsinusu a arkkosinu > > >

Integrály

Provedeme substituci x = hřích t. Integrujeme po částech, přičemž bereme v úvahu, že -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Vyjádřeme arkus cosinus přes arkus sinus:
.

Rozšíření řady

Když |x|< 1 probíhá následující rozklad:
;
.

Inverzní funkce

Převrácené hodnoty arkussinu a arkosinu jsou sinus a kosinus.

Následující vzorce jsou platné v celé oblasti definice:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Následující vzorce jsou platné pouze pro sadu hodnot arcsinus a arckosinus:
arcsin(sin x) = x na
arccos(cos x) = x na .

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.

Co je arcsinus, arckosin? Co je arkustangens, arkustangens?

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)

Ke konceptům arcsinus, arkkosinus, arktangens, arkkotangens Studentská populace je ostražitá. Nerozumí těmto termínům, a proto této milé rodině nedůvěřuje.) Ale marně. To jsou velmi jednoduché koncepty. Což mimochodem znalému člověku při řešení goniometrických rovnic nesmírně usnadňuje život!

Pochybnosti o jednoduchosti? Marně.) Právě tady a teď tohle uvidíš.

Samozřejmě pro pochopení by bylo fajn vědět, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens. Ano, jejich tabulkové hodnoty pro některé úhly... Alespoň v nejobecnějších podmínkách. Pak ani zde nebudou žádné problémy.

Takže jsme překvapeni, ale pamatujte: arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens jsou jen některé úhly. Nic víc, nic míň. Je tam úhel, řekněme 30°. A je tu roh arcsin0.4. Nebo arctg(-1,3). Existují všechny druhy úhlů.) Úhly můžete jednoduše zapsat různými způsoby. Úhel můžete zapsat ve stupních nebo radiánech. Nebo můžete - přes jeho sinus, kosinus, tangens a kotangens...

Co znamená výraz

arcsin 0,4?

Jedná se o úhel, jehož sinus je 0,4! Ano ano. To je význam arcsinus. Budu konkrétně opakovat: arcsin 0,4 je úhel, jehož sinus se rovná 0,4.

To je vše.

Abyste si tuto jednoduchou myšlenku udrželi v hlavě po dlouhou dobu, uvedu dokonce rozpis tohoto hrozného termínu - arcsine:

oblouk hřích 0,4
roh, jehož sinus rovná 0,4

Jak se píše, tak se slyší.) Skoro. Řídicí panel oblouk prostředek oblouk(slovo oblouk víš?), protože starověcí lidé používali místo úhlů oblouky, ale to nic nemění na podstatě věci. Pamatujte na toto základní dekódování matematického pojmu! Navíc pro arkkosinus, arkustangens a arkotangens se dekódování liší pouze v názvu funkce.

Co je arccos 0,8?
Toto je úhel, jehož kosinus je 0,8.

Co je arctg(-1,3)?
Jedná se o úhel, jehož tečna je -1,3.

Co je arcctg 12?
Toto je úhel, jehož kotangens je 12.

Takové elementární dekódování mimochodem umožňuje vyhnout se epickým chybám.) Například výraz arccos1,8 vypadá docela slušně. Začněme dekódovat: arccos1,8 je úhel, jehož kosinus je roven 1,8... Skok-skok!? 1.8!? Kosinus nemůže být větší než jedna!!!

Že jo. Výraz arccos1,8 nedává smysl. A napsat takový výraz do nějaké odpovědi inspektora velmi pobaví.)

Elementární, jak vidíte.) Každý úhel má svůj vlastní osobní sinus a kosinus. A téměř každý má svou tečnu a kotangens. Proto, když známe goniometrickou funkci, můžeme zapsat samotný úhel. K tomu jsou určeny arkussiny, arkosiny, arkustangenty a arkotangensy. Od této chvíle budu celou tuto rodinu nazývat zdrobnělinami - oblouky. Chcete-li méně psát.)

Pozornost! Elementární verbální a při vědomí dešifrování oblouků vám umožní klidně a sebevědomě řešit různé úkoly. A dovnitř neobvyklý Jen ona ukládá úkoly.

Je možné přepnout z oblouků na běžné stupně nebo radiány?- Slyšel jsem opatrnou otázku.)

Proč ne!? Snadno. Můžete jít tam a zpět. Navíc se to někdy musí udělat. Oblouky jsou jednoduchá věc, ale bez nich je to nějak klidnější, že?)

Například: co je arcsin 0,5?

Připomeňme si dekódování: arcsin 0,5 je úhel, jehož sinus je 0,5. Nyní zapněte hlavu (nebo Google) a zapamatujte si, který úhel má sinus 0,5? Sinus je roven 0,5 y úhel 30 stupňů. A je to: arcsin 0,5 je úhel 30°. Můžete klidně napsat:

arcsin 0,5 = 30°

Nebo formálněji, pokud jde o radiány:

To je vše, na arkussinus můžete zapomenout a pokračovat v práci s obvyklými stupni nebo radiány.

Pokud jste si uvědomili co je arkussinus, arkkosinus... Co je arkustangens, arkotangens... Snadno si poradíte třeba s takovým monstrem.)

Neznalý člověk zděšeně ucukne, to ano...) Ale informovaný člověk zapamatujte si dekódování: arcsinus je úhel, jehož sinus... A tak dále. Pokud znalý člověk zná i tabulku sinus... Tabulku kosinus. Tabulka tečen a kotangens, pak nejsou vůbec žádné problémy!

Stačí si uvědomit, že:

Já to rozluštím, tzn. Dovolte mi přeložit vzorec do slov: úhel, jehož tečna je 1 (arctg1)- to je úhel 45°. Nebo, což je totéž, Pi/4. Rovněž:

a je to... Všechny oblouky nahradíme hodnotami v radiánech, vše se zredukuje, zbývá jen spočítat, kolik je 1+1. Bude to 2.) Což je správná odpověď.

Takto můžete (a měli byste) přejít z arcsinus, arckosinů, arktangens a arkkotangens k obyčejným stupňům a radiánům. To značně zjednodušuje odstrašující příklady!

V takových příkladech jsou často uvnitř oblouky negativní významy. Jako arctg(-1.3), nebo například arccos(-0.8)... To není problém. Zde jsou jednoduché vzorce pro přechod ze záporných na kladné hodnoty:

Řekněme, že potřebujete určit hodnotu výrazu:

To lze vyřešit pomocí trigonometrické kružnice, ale nechcete ji kreslit. Dobře. Přesouváme se z negativní hodnoty uvnitř arc cosinus k pozitivní podle druhého vzorce:

Uvnitř arc cosinus vpravo už je pozitivní význam. Co

prostě musíte vědět. Zbývá pouze dosadit místo arkuskosinus radiány a vypočítat odpověď:

To je vše.

Omezení pro arkussinus, arkosinus, arkustangens, arkotangens.

Je problém s příklady 7 - 9? No ano, je tam nějaký trik.)

Všechny tyto příklady, od 1 do 9, jsou pečlivě analyzovány v oddíle 555. Co, jak a proč. Se všemi tajnými pastmi a triky. Plus způsoby, jak dramaticky zjednodušit řešení. Mimochodem, tato část obsahuje mnoho užitečných informací a praktických tipů o trigonometrii obecně. A to nejen v trigonometrii. Hodně pomáhá.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Funkce sin, cos, tg a ctg jsou vždy doprovázeny arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens. Jedna je důsledkem druhé a dvojice funkcí jsou pro práci s goniometrickými výrazy stejně důležité.

Zvažte výkres jednotkového kruhu, který graficky zobrazuje hodnoty goniometrických funkcí.

Pokud spočítáme oblouky OA, arcos OC, arctg DE a arcctg MK, pak se všechny budou rovnat hodnotě úhlu α. Níže uvedené vzorce odrážejí vztah mezi základními goniometrickými funkcemi a jejich odpovídajícími oblouky.

Abychom porozuměli více vlastnostem arcsinusu, je nutné zvážit jeho funkci. Plán má tvar asymetrické křivky procházející středem souřadnic.

Vlastnosti arcsinu:

Pokud porovnáme grafy hřích A arcsin, dvě goniometrické funkce mohou mít společné vzory.

oblouk kosinus

Arccos čísla je hodnota úhlu α, jehož kosinus je roven a.

Křivka y = arcos x zrcadlí arcsin x graf, jen s tím rozdílem, že prochází bodem π/2 na ose OY.

Podívejme se na funkci arc cosinus podrobněji:

1. Funkce je definována na intervalu [-1; 1].
2. ODZ pro arccos - .
3. Graf je celý umístěn v první a druhé čtvrtině a samotná funkce není ani sudá, ani lichá.
4. Y = 0 při x = 1.
5. Křivka se po celé délce zmenšuje. Některé vlastnosti arc cosinus se shodují s funkcí kosinus.

Některé vlastnosti arc cosinus se shodují s funkcí kosinus.

Možná bude školákům připadat takové „podrobné“ studium „oblouků“ zbytečné. V opačném případě však některé základní standardní zkouškové úkoly mohou studenty zavést do slepé uličky.

Cvičení 1. Označte funkce zobrazené na obrázku.

Odpovědět: rýže. 1 – 4, obr. 2 – 1.

V tomto příkladu je kladen důraz na maličkosti. Studenti jsou obvykle velmi nepozorní ke konstrukci grafů a vzhledu funkcí. Proč si pamatovat typ křivky, když ji lze vždy vykreslit pomocí vypočítaných bodů. Nezapomeňte, že za testovacích podmínek bude čas strávený kreslením jednoduché úlohy vyžadovat řešení složitějších úloh.

Arktangens

Arctgčísla a jsou hodnotami úhlu α tak, že jeho tečna je rovna a.

Pokud vezmeme v úvahu graf arctangens, můžeme zvýraznit následující vlastnosti:

1. Graf je nekonečný a definovaný na intervalu (- ∞; + ∞).
2. Arktangens je lichá funkce, proto arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 při x = 0.
4. Křivka se zvětšuje v celé oblasti definice.

Uveďme stručnou srovnávací analýzu tg x a arctg x ve formě tabulky.

Arckotangens

Arcctg čísla - nabývá hodnoty α z intervalu (0; π) takovou, že jeho kotangens je roven a.

Vlastnosti funkce arkotangens:

1. Interval definice funkce je nekonečno.
2. Rozsah přijatelných hodnot je interval (0; π).
3. F(x) není sudá ani lichá.
4. Po celé její délce se graf funkce zmenšuje.

Porovnat ctg x a arctg x je velmi jednoduché, stačí udělat dva nákresy a popsat chování křivek.

Úkol 2. Porovnejte graf a formu zápisu funkce.

Pokud uvažujeme logicky, je z grafů zřejmé, že obě funkce rostou. Proto obě postavy vykazují určitou arktanovou funkci. Z vlastností arkustangens je známo, že y=0 v x=0,

Odpovědět: rýže. 1 - 1, Obr. 2 – 4.

Trigonometrické identity arcsin, arcos, arctg a arcctg

Dříve jsme již identifikovali vztah mezi oblouky a základními funkcemi trigonometrie. Tato závislost může být vyjádřena řadou vzorců, které umožňují vyjádřit například sinus argumentu prostřednictvím jeho arcsinus, arckosinus nebo naopak. Znalost takových identit může být užitečná při řešení konkrétních příkladů.

Existují také vztahy pro arctg a arcctg:

Další užitečná dvojice vzorců nastavuje hodnotu pro součet arcsin a arcos, stejně jako arcctg a arcctg stejného úhlu.

Příklady řešení problémů

Úlohy trigonometrie lze rozdělit do čtyř skupin: vypočítat číselnou hodnotu konkrétního výrazu, sestrojit graf dané funkce, najít její definiční obor nebo ODZ a provést analytické transformace k vyřešení příkladu.

Při řešení prvního typu problému musíte dodržovat následující akční plán:

Při práci s funkčními grafy jde především o znalost jejich vlastností a vzhledu křivky. Řešení goniometrických rovnic a nerovnic vyžaduje identifikační tabulky. Čím více vzorců si student zapamatuje, tím snáze najde odpověď na úkol.

Řekněme, že v Unified State Examination potřebujete najít odpověď na rovnici, jako je:

Pokud výraz správně transformujete a dovedete do požadované podoby, pak je jeho řešení velmi jednoduché a rychlé. Nejprve přesuneme arcsin x na pravou stranu rovnosti.

Pokud si pamatujete vzorec arcsin (sin α) = α, pak můžeme omezit hledání odpovědí na řešení soustavy dvou rovnic:

Omezení na modelu x vzniklo opět z vlastností arcsin: ODZ pro x [-1; 1]. Když a ≠0, součástí systému je kvadratická rovnice s kořeny x1 = 1 a x2 = - 1/a. Když a = 0, x se bude rovnat 1.

Tento článek je o zjištění hodnot arkussinus, arkosinus, arkustangens a arkotangens dané číslo. Nejprve si ujasníme, co se nazývá význam arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens. Dále získáme hlavní hodnoty těchto obloukových funkcí, načež pochopíme, jak se pomocí tabulek sinů, kosinů, tečen a Bradis nalézají hodnoty arkus sinus, arkus kosinus, arkus tangens a arkotagent. kotangens. Nakonec si promluvme o nalezení arkussinusu čísla, když je znám arkussinus, arkustangens nebo arkustangens tohoto čísla atd.

Navigace na stránce.

Hodnoty arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens

V první řadě stojí za to zjistit, co to vlastně „toto“ je. význam arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens».

Bradisovy tabulky sinus a kosinus, stejně jako tečen a kotangens, vám umožní najít hodnotu arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens kladného čísla ve stupních s přesností na jednu minutu. Zde stojí za zmínku, že hledání hodnot arcsinus, arckosinus, arctangens a arckotangens záporných čísel lze redukovat na nalezení hodnot odpovídajících arcfunkcí kladných čísel pomocí vzorců arcsin, arccos, arctg a arcctg opačných čísel ve tvaru arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a a arcctg(−a)=π−arcctg a .

Pojďme zjistit, jak najít hodnoty arcsinus, arckosinus, arctangens a arckotangens pomocí tabulek Bradis. Uděláme to na příkladech.

Potřebujeme najít arcsine hodnotu 0,2857. Tuto hodnotu najdeme v tabulce sinusů (případy, kdy tato hodnota v tabulce není, budou diskutovány níže). Odpovídá sinus 16 stupňů 36 minut. Proto požadovaná hodnota arkussinus čísla 0,2857 je úhel 16 stupňů 36 minut.

Často je nutné počítat s opravami ze tří sloupců vpravo v tabulce. Pokud například potřebujeme najít arkussinus 0,2863. Podle tabulky sinů se tato hodnota získá jako 0,2857 plus korekce 0,0006, to znamená, že hodnota 0,2863 odpovídá sinusu 16 stupňů 38 minut (16 stupňů 36 minut plus 2 minuty korekce).

Pokud číslo, jehož arcsinus nás zajímá, není v tabulce a nelze jej získat ani s přihlédnutím k opravám, pak v tabulce musíme najít dvě hodnoty sinů, které jsou mu nejblíže, mezi nimiž je toto číslo uzavřeno. Například hledáme hodnotu arkussinus 0,2861573. Toto číslo není v tabulce a toto číslo nelze získat ani pomocí pozměňovacích návrhů. Poté najdeme dvě nejbližší hodnoty 0,2860 a 0,2863, mezi kterými je uzavřeno původní číslo; tato čísla odpovídají sinusům 16 stupňů 37 minut a 16 stupňů 38 minut. Mezi nimi leží požadovaná hodnota arcsinus 0,2861573, to znamená, že kteroukoli z těchto hodnot úhlu lze brát jako přibližnou hodnotu arcsinus s přesností na 1 minutu.

Hodnoty arkus cosinus, hodnoty arkus tangens a hodnoty arkus kotangens se nalézají naprosto stejným způsobem (v tomto případě se samozřejmě používají tabulky kosinus, tangens a kotangens).

Zjištění hodnoty arcsin pomocí arccos, arctg, arcctg atd.

Řekněme například, že arcsin a=−π/12, a potřebujeme najít hodnotu arccos a. Vypočítáme hodnotu arkus cosinus, kterou potřebujeme: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Mnohem zajímavější je situace, když pomocí známé hodnoty arkussinus nebo arkuskosinusu čísla a potřebujete najít hodnotu arkustangens nebo arkustangens tohoto čísla a nebo naopak. Bohužel neznáme vzorce, které taková spojení definují. Jak být? Pojďme to pochopit na příkladu.

Řekněme, že arkuskosinus čísla a je roven π/10 a potřebujeme vypočítat arkustangens tohoto čísla a. Problém můžete vyřešit následovně: pomocí známé hodnoty arkuskosinu najděte číslo a a poté najděte arkus tangens tohoto čísla. K tomu potřebujeme nejprve tabulku cosinus a poté tabulku tečen.

Úhel π/10 radiánů je úhel 18 stupňů, z tabulky cosinus zjistíme, že kosinus 18 stupňů je přibližně roven 0,9511, pak číslo a v našem příkladu je 0,9511.

Zbývá se obrátit na tabulku tečen as její pomocí najít hodnotu arkustangens, kterou potřebujeme 0,9511, což je přibližně 43 stupňů 34 minut.

Na toto téma logicky navazuje materiál v článku. vyhodnocení hodnot výrazů obsahujících arcsin, arccos, arctg a arcctg.

Bibliografie.

• Algebra: Učebnice pro 9. třídu. prům. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a počátky analýzy: Učebnice. pro 10-11 tříd. prům. škola - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 tříd. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Bojkov, L. D. Romanová. Sbírka úloh pro přípravu na Jednotnou státní zkoušku, část 1, Penza 2003.
• Bradis V.M.Čtyřmístné matematické tabulky: Pro všeobecné vzdělávání. učebnice provozoven. - 2. vyd. - M.: Drop, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2