Hvis to linjer ikke er parallelle, vil de uundgåeligt skære hinanden i et punkt. Opdage koordinater point skæring af 2 linjer er tilladt både grafisk og aritmetisk, afhængig af hvilke data opgaven giver.

Du skal bruge

• – to lige linjer på tegningen;
• – ligninger af 2 rette linjer.

Instruktioner

1. Hvis linjerne allerede er tegnet på grafen, så find løsningen grafisk. For at gøre dette skal du fortsætte med begge eller en af ​​linjerne, så de skærer hinanden. Marker derefter skæringspunktet og sænk en vinkelret fra det til x-aksen (som sædvanligt, åh).

2. Brug skalamærkerne markeret på aksen til at finde x-værdien for det punkt. Hvis den er i den positive retning af aksen (til højre for nulmærket), vil dens værdi være korrekt ellers vil den være negativ.

3. Find også ordinaten for skæringspunktet korrekt. Hvis projektionen af ​​et punkt er placeret over nulmærket, er den korrekt, hvis den er under, er den negativ. Skriv punktets koordinater ned på formen (x, y) - dette er løsningen på problemet.

4. Hvis linjerne er givet i form af formlerne y=khx+b, kan du også løse problemet grafisk: Tegn linjerne på et koordinatgitter og find løsningen ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor.

5. Prøv at finde løsningen på problemet ved hjælp af disse formler. For at gøre dette skal du oprette et system ud fra disse ligninger og løse det. Hvis ligningerne er givet på formen y=khx+b, skal du blot sætte lighedstegn mellem begge sider og x og opdage x. Sæt derefter værdien af ​​x ind i en af ​​ligningerne og find y.

6. Du kan finde en løsning ved hjælp af Cramers metode. I dette tilfælde reduceres ligningerne til formen A1x+B1y+C1=0 og A2x+B2y+C2=0. Ifølge Cramers formel, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), og y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Bemærk venligst, at hvis nævneren er nul, så er linjerne parallelle eller sammenfaldende og derfor ikke skærer hinanden.

7. Hvis du får linjer i rummet i kanonisk form, før du begynder at søge efter en løsning, skal du kontrollere, om linjerne er parallelle. For at gøre dette skal du evaluere eksponenterne før t, hvis de er proportionale, f.eks. x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t og x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, så er linjerne parallelle. Derudover kan linjer skære hinanden, i hvilket tilfælde systemet ikke har en løsning.

8. Hvis du finder ud af, at linjer skærer hinanden, skal du finde punktet for deres skæringspunkt. Først skal du ligestille variabler fra forskellige linjer, idet du betinget erstatter t med u for den første linje og med v for 2. linje. Lad os sige, hvis du får linjerne x=t-1, y=2t+1, z=t+2 og x=t+1, y=t+1, z=2t+8, får du udtryk som u-1 =v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Udtryk u fra en ligning, erstatte den med en anden og find v (i denne opgave u=-2,v=-4). Nu, for at finde skæringspunktet, skal du erstatte de opnåede værdier i stedet for t (det gør ingen forskel, i den første eller anden ligning) og få koordinaterne til punktet x=-3, y=-3, z =0.

At overveje 2 krydsende direkte Det er nok at betragte dem i et plan, da to skærende linjer ligger i samme plan. At kende ligningerne for disse direkte, er det muligt at detektere koordinaten for deres punkt kryds .

Du skal bruge

• linjers ligninger

Instruktioner

1. I kartesiske koordinater ser den generelle ligning for en linje således ud: Ax+By+C = 0. Lad to linjer skære hinanden. Ligningen for den første linje er Ax+By+C = 0, 2. linje er Dx+Ey+F = 0. Alle indikatorer (A, B, C, D, E, F) skal angives for at kunne detektere et punkt kryds disse direkte det er nødvendigt at løse systemet af disse 2 lineære ligninger.

2. For at løse er det praktisk at gange den første ligning med E, og den anden med B. Som et resultat vil ligningerne se sådan ud: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Efter at have trukket den anden fra ligning fra den første, får du: (AE- DB)x = FB-CE. Derfor er x = (FB-CE)/(AE-DB) analogt med den første ligning indledende system Du kan gange med D, den anden med A, og derefter trække den anden fra den første. Som et resultat vil y = (CD-FA)/(AE-DB) de resulterende x- og y-værdier være punktets koordinater kryds direkte .

3. Ligninger direkte kan også skrives gennem vinkelindekset k, lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for den rette linje. I dette tilfælde har linjens ligning formen y = kx+b. Lad nu ligningen for den første linje være y = k1*x+b1, og ligningen for den 2. linje være y = k2*x+b2.

4. Hvis vi sidestiller de rigtige sider af disse 2 ligninger, får vi: k1*x+b1 = k2*x+b2. Derfra er det let at opnå, at x = (b1-b2)/(k2-k1). Efter at have substitueret denne værdi x i en af ​​ligningerne, viser det sig: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). X- og y-værdierne angiver koordinaterne for punktet kryds direkte.Hvis to linjer er parallelle eller sammenfaldende, så har de henholdsvis ikke universelle punkter eller et uhyre stort antal universelle punkter. I disse tilfælde er k1 = k2, nævnerne for punkternes koordinater kryds vil forsvinde, derfor vil systemet ikke have en klassisk løsning. Systemet kan kun have én klassisk løsning, hvilket er ubetinget, fordi to divergerende og ikke-parallelle linjer kun kan have ét punkt. kryds .

Video om emnet

I todimensionelt rum skærer to linjer kun hinanden i et punkt, defineret af koordinaterne (x,y). Da begge linjer passerer gennem deres skæringspunkt, skal koordinaterne (x,y) opfylde begge ligninger, der beskriver disse linjer. Med nogle ekstra færdigheder kan du finde skæringspunkterne for parabler og andre kvadratiske kurver.

Trin

Skæringspunktet mellem to linjer

Skriv ligningen for hver linje, og isoler variablen "y" på venstre side af ligningen. De andre led i ligningen skal placeres på højre side af ligningen. Måske vil den ligning, du får, indeholde variablen f(x) eller g(x) i stedet for "y"; I dette tilfælde skal du isolere en sådan variabel. For at isolere en variabel skal du udføre den relevante matematik på begge sider af ligningen.

• Hvis linjernes ligninger ikke er givet til dig, baseret på de oplysninger, du kender.
• Eksempel. Givet rette linjer beskrevet ved ligninger og y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). For at isolere "y" i den anden ligning skal du tilføje tallet 12 til begge sider af ligningen:

1. Du leder efter skæringspunktet for begge linjer, det vil sige et punkt, hvis koordinater (x, y) opfylder begge ligninger. Da variablen "y" er på venstre side af hver ligning, kan udtrykkene placeret på højre side af hver ligning sidestilles. Skriv en ny ligning ned.

   • Eksempel. Fordi y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) Og y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), så kan vi skrive følgende lighed: .

2. Find værdien af ​​variablen "x". Den nye ligning indeholder kun én variabel, "x". For at finde "x" skal du isolere denne variabel i venstre side af ligningen ved at udføre den relevante matematik på begge sider af ligningen. Du bør få en ligning af formen x = __ (hvis du ikke kan gøre dette, se dette afsnit).

   • Eksempel. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Tilføje 2 x (\displaystyle 2x) til hver side af ligningen:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Træk 3 fra hver side af ligningen:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Divider hver side af ligningen med 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Brug den fundne værdi af variablen "x" til at beregne værdien af ​​variablen "y". For at gøre dette skal du erstatte den fundne værdi af "x" i ligningen (en hvilken som helst) af den rette linje.

   • Eksempel. x = 3 (\displaystyle x=3) Og y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Tjek svaret. For at gøre dette skal du erstatte værdien af ​​"x" i den anden ligning på linjen og finde værdien af ​​"y". Hvis du modtager forskellig betydning"y", tjek rigtigheden af ​​dine beregninger.

   • Eksempel: x = 3 (\displaystyle x=3) Og y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Du fik samme værdi for y, så der er ingen fejl i dine beregninger.

5. Skriv koordinaterne (x,y) ned. Efter at have beregnet værdierne af "x" og "y", har du fundet koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer. Skriv koordinaterne for skæringspunktet på (x,y) form.

   • Eksempel. x = 3 (\displaystyle x=3) Og y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Således skærer to rette linjer i et punkt med koordinater (3,6).

6. Beregninger i særlige tilfælde. I nogle tilfælde kan værdien af ​​variablen "x" ikke findes. Men det betyder ikke, at du har lavet en fejl. Et særligt tilfælde opstår, når en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

   • Hvis to linjer er parallelle, skærer de ikke hinanden. I dette tilfælde vil variablen "x" simpelthen blive reduceret, og din ligning bliver til en meningsløs lighed (f.eks. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). I dette tilfælde skal du skrive ned i dit svar, at linjerne ikke skærer hinanden, eller der er ingen løsning.
   • Hvis begge ligninger beskriver én ret linje, så vil der være et uendeligt antal skæringspunkter. I dette tilfælde vil variablen "x" simpelthen blive reduceret, og din ligning bliver til en streng lighed (f.eks. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). I dette tilfælde skal du skrive ned i dit svar, at de to linjer falder sammen.

   Problemer med kvadratiske funktioner

   1. Definition af en andengradsfunktion. I en kvadratisk funktion har en eller flere variable en anden grad (men ikke højere), f.eks. x 2 (\displaystyle x^(2)) eller y 2 (\displaystyle y^(2)). Graferne for kvadratiske funktioner er kurver, der muligvis ikke skærer eller kan skære hinanden i et eller to punkter. I dette afsnit vil vi fortælle dig, hvordan du finder skæringspunktet eller punkterne for kvadratiske kurver.

   2. Omskriv hver ligning ved at isolere variablen "y" på venstre side af ligningen. De andre led i ligningen skal placeres på højre side af ligningen.

      • Eksempel. Find grafernes skæringspunkt(er). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Og
      • Isoler variablen "y" på venstre side af ligningen:
      • Og y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • I dette eksempel får du en andengradsfunktion og en lineær funktion. Husk, at hvis du får to kvadratiske funktioner, svarer beregningerne til de trin, der er skitseret nedenfor.

   3. Sæt lighedstegn mellem udtrykkene i højre side af hver ligning. Da variablen "y" er på venstre side af hver ligning, kan udtrykkene placeret på højre side af hver ligning sidestilles.

      • Eksempel. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Og y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Overfør alle led i den resulterende ligning til dens venstre side, og skriv 0 på højre side. For at gøre dette, lav noget grundlæggende matematik. Dette vil give dig mulighed for at løse den resulterende ligning.

      • Eksempel. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Træk "x" fra begge sider af ligningen:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Træk 7 fra begge sider af ligningen:

   5. Beslutte andengradsligning. Ved at flytte alle led i ligningen til dens venstre side, får du en andengradsligning. Det kan løses på tre måder: ved hjælp af en speciel formel, og.

      • Eksempel. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Når du faktoriserer en ligning, får du to binomialer, som, når de ganges, giver dig den oprindelige ligning. I vores eksempel, det første led x 2 (\displaystyle x^(2)) kan dekomponeres til x * x. Skriv dette ned: (x)(x) = 0
      • I vores eksempel kan det frie led -6 faktoriseres til følgende faktorer: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • I vores eksempel er det andet led x (eller 1x). Tilføj hvert par af faktorer af dummy-leddet (i vores eksempel -6), indtil du får 1. I vores eksempel er det passende par af faktorer i dummy-leddet tallene -2 og 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), fordi − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Udfyld de tomme felter med det fundne talpar: .

   6. Glem ikke det andet skæringspunkt mellem de to grafer. Hvis du løser problemet hurtigt og ikke særlig omhyggeligt, kan du glemme alt om det andet skæringspunkt. Sådan finder du x-koordinaterne for to skæringspunkter:

      • Eksempel (faktorisering). Hvis i lign. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) et af udtrykkene i parentes vil være lig med 0, så vil hele ligningen være lig med 0. Derfor kan vi skrive det sådan: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Og x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (det vil sige, at du fandt to rødder af ligningen).
      • Eksempel (ved at bruge en formel eller udfylde et perfekt kvadrat). Når du bruger en af ​​disse metoder, vises løsningen kvadratrod. For eksempel vil ligningen fra vores eksempel have formen x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Husk, at når du tager kvadratroden, får du to løsninger. I vores tilfælde: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Og 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Så skriv to ligninger og find to værdier af x.

   7. Graferne skærer hinanden på et punkt eller skærer slet ikke. Sådanne situationer opstår, hvis følgende betingelser er opfyldt:

      • Hvis graferne skærer hinanden på et punkt, opdeles andengradsligningen i identiske faktorer, for eksempel (x-1) (x-1) = 0, og kvadratroden af ​​0 vises i formlen ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). I dette tilfælde har ligningen kun én løsning.
      • Hvis graferne slet ikke skærer hinanden, kan ligningen ikke faktoriseres, og kvadratroden af negativt tal(f.eks. − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). I dette tilfælde skal du skrive i dit svar, at der ikke er nogen løsning.

Når man løser nogle geometriske problemer ved hjælp af koordinatmetoden, skal man finde koordinaterne for linjers skæringspunkt. Oftest skal man lede efter koordinaterne for skæringspunktet for to linjer på et plan, men nogle gange er der behov for at bestemme koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i rummet. I denne artikel vil vi beskæftige os med at finde koordinaterne for det punkt, hvor to linjer skærer hinanden.

Sidenavigation.

Skæringspunktet mellem to linjer er en definition.

Lad os først definere skæringspunktet mellem to linjer.

For at finde koordinaterne til skæringspunktet for to rette linjer defineret på en plan ved generelle ligninger, skal du løse et system, der er sammensat af ligninger af givne rette linjer.

Lad os se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Find skæringspunktet for to linjer defineret i et rektangulært koordinatsystem på en plan ved ligningerne x-9y+14=0 og 5x-2y-16=0.

Løsning.

Vi får to generelle ligninger af linjer, lad os lave et system ud af dem: . Løsninger til det resulterende ligningssystem findes let ved at løse dens første ligning med hensyn til variablen x og erstatte dette udtryk i den anden ligning:

Den fundne løsning til ligningssystemet giver os de ønskede koordinater for skæringspunktet mellem to linjer.

Svar:

M0 (4, 2) x-9y+14=0 og 5x-2y-16=0.

Så at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to rette linjer, defineret af generelle ligninger på en plan, kommer ned til at løse et system af to lineære ligninger med to ukendte variable. Men hvad nu hvis linjer på en plan ikke er givet ved generelle ligninger, men af ​​ligninger af en anden type (se ligningstyper for en linje på en plan)? I disse tilfælde kan du først reducere linjeligningerne til en generel form, og først derefter finde koordinaterne for skæringspunktet.

Eksempel.

Og .

Løsning.

Før vi finder koordinaterne for skæringspunktet for de givne linjer, reducerer vi deres ligninger til generelt udseende. Overgang fra parametriske lige linieligninger til den generelle ligning af denne linje er som følger:

Lad os nu udføre de nødvendige handlinger med den kanoniske ligning af den rette linje:

Således er de ønskede koordinater for linjernes skæringspunkt løsningen til et system af ligninger af formen . For at løse det bruger vi:

Svar:

M 0 (-5, 1)

Der er en anden måde at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer på et plan. Det er praktisk at bruge, når en af ​​linjerne er givet ved formens parametriske ligninger , og den anden er en ligning af en ret linje af en anden type. I dette tilfælde, i en anden ligning, i stedet for variablerne x og y, kan du erstatte udtrykkene Og , hvorfra det vil være muligt at få den værdi, der svarer til skæringspunktet for de givne linjer. I dette tilfælde har linjernes skæringspunkt koordinater.

Lad os finde koordinaterne for skæringspunktet for linjerne fra det foregående eksempel ved hjælp af denne metode.

Eksempel.

Bestem koordinaterne for linjernes skæringspunkt Og .

Løsning.

Lad os erstatte det lige linjeudtryk i ligningen:

Efter at have løst den resulterende ligning får vi . Denne værdi svarer til linjernes fælles punkt Og . Vi beregner koordinaterne for skæringspunktet ved at erstatte en ret linje i de parametriske ligninger:
.

Svar:

M0 (-5, 1).

For at fuldende billedet bør endnu et punkt diskuteres.

Før man finder koordinaterne for skæringspunktet for to linjer på et plan, er det nyttigt at sikre sig, at de givne linjer faktisk skærer hinanden. Hvis det viser sig, at de oprindelige linjer falder sammen eller er parallelle, kan der ikke være tale om at finde koordinaterne til skæringspunktet for sådanne linjer.

Du kan selvfølgelig undvære en sådan kontrol og straks oprette et system af formens ligninger og løse det. Hvis et ligningssystem har en unik løsning, giver det koordinaterne for det punkt, hvor de oprindelige linjer skærer hinanden. Hvis ligningssystemet ikke har løsninger, så kan vi konkludere, at de oprindelige linjer er parallelle (da der ikke er noget par reelle tal x og y, der samtidig ville opfylde begge ligninger af de givne linjer). Fra tilstedeværelsen af ​​et uendeligt antal løsninger til et ligningssystem følger det, at de oprindelige rette linjer har uendeligt mange fælles punkter, det vil sige, at de falder sammen.

Lad os se på eksempler, der passer til disse situationer.

Eksempel.

Find ud af om linjerne og skærer hinanden, og hvis de skærer hinanden, så find koordinaterne for skæringspunktet.

Løsning.

De givne ligninger af linjer svarer til ligningerne Og . Lad os løse systemet, der består af disse ligninger .

Det er indlysende, at systemets ligninger er lineært udtrykt gennem hinanden (systemets anden ligning fås fra den første ved at gange begge dets dele med 4), derfor har ligningssystemet et uendeligt antal løsninger. Således definerer ligningerne den samme linje, og vi kan ikke tale om at finde koordinaterne til disse linjers skæringspunkt.

Svar:

Ligningerne og definere den samme rette linje i det rektangulære koordinatsystem Oxy, så vi kan ikke tale om at finde koordinaterne til skæringspunktet.

Eksempel.

Find koordinaterne for linjernes skæringspunkt Og , hvis det er muligt.

Løsning.

Problemets tilstand tillader, at linjerne muligvis ikke krydser hinanden. Lad os skabe et system ud fra disse ligninger. Lad os ansøge om at løse det, da det giver os mulighed for at fastslå kompatibiliteten eller inkompatibiliteten af ​​et ligningssystem, og hvis det er kompatibelt, find en løsning:

Den sidste ligning af systemet efter den direkte passage af Gauss-metoden blev til en forkert lighed, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Heraf kan vi konkludere, at de oprindelige linjer er parallelle, og vi kan ikke tale om at finde koordinaterne for disse linjers skæringspunkt.

Anden løsning.

Lad os finde ud af, om de givne linjer skærer hinanden.

- normal linjevektor , og vektoren er en normal linjevektor . Lad os tjekke udførelsen Og : lighed er sandt, da normalvektorerne for de givne linjer derfor er kollineære. Så er disse linjer parallelle eller sammenfaldende. Vi kan således ikke finde koordinaterne for skæringspunktet for de oprindelige linjer.

Svar:

Det er umuligt at finde koordinaterne for skæringspunktet for de givne linjer, da disse linjer er parallelle.

Eksempel.

Find koordinaterne for skæringspunktet for linjerne 2x-1=0 og, hvis de skærer hinanden.

Løsning.

Lad os sammensætte et ligningssystem, der er generelle ligninger af givne linjer: . Determinanten for hovedmatrixen i dette ligningssystem er ikke-nul , derfor har ligningssystemet en unik løsning, som angiver skæringspunktet mellem de givne linjer.

For at finde koordinaterne for linjernes skæringspunkt skal vi løse systemet:

Den resulterende løsning giver os koordinaterne for linjernes skæringspunkt, dvs. 2x-1=0 og .

Svar:

At finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i rummet.

Koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i det tredimensionelle rum findes på samme måde.

Lad os se på løsningerne til eksemplerne.

Eksempel.

Find koordinaterne for skæringspunktet for to linjer givet i rummet af ligningerne Og .

Løsning.

Lad os sammensætte et ligningssystem ud fra ligningerne for givne linjer: . Løsningen af ​​dette system vil give os de nødvendige koordinater for skæringspunktet mellem linjer i rummet. Lad os finde løsningen på det skrevne ligningssystem.

Systemets hovedmatrix har formen , og udvidet - .

Lad os definere A og rangeringen af ​​matricen T. vi bruger

Vinkelret linje

Denne opgave er sandsynligvis en af ​​de mest populære og efterspurgte i skolebøger. Opgaverne med udgangspunkt i dette emne er varierede. Dette er definitionen af ​​skæringspunktet for to linjer, dette er også definitionen af ​​ligningen for en linje, der passerer gennem et punkt på den oprindelige linje i en hvilken som helst vinkel.

Vi vil dække dette emne ved at bruge de data, der er opnået ved hjælp af vores beregninger

Det var der, transformationen af ​​den generelle ligning af en ret linje til en ligning med en vinkelkoefficient og omvendt blev overvejet, og bestemmelsen af ​​de resterende parametre for den rette linje i henhold til givne betingelser.

Hvad mangler vi for at løse de problemer, som denne side er viet til?

1. Formler til beregning af en af ​​vinklerne mellem to skærende linjer.

Hvis vi har to linjer, der er givet af ligningerne:

så beregnes en af ​​vinklerne sådan her:

2. Ligning af en ret linje med en hældning, der går gennem et givet punkt

Fra formel 1 kan vi se to grænsetilstande

a) når da og derfor disse to givne linjer er parallelle (eller falder sammen)

b) når , så , og derfor disse linjer er vinkelrette, det vil sige skærer i rette vinkler.

Hvad kunne være de indledende data for at løse sådanne problemer, bortset fra den givne rette linje?

Et punkt på en ret linje og den vinkel, hvor den anden rette linje skærer den

Linjens anden ligning

Hvilke problemer kan en bot løse?

1. To linjer er angivet (eksplicit eller indirekte, f.eks. med to punkter). Beregn skæringspunktet og vinklerne, hvor de skærer hinanden.

2. Givet én ret linje, et punkt på en ret linje og én vinkel. Bestem ligningen for en ret linje, der skærer en given linje i en bestemt vinkel

Eksempler

To linjer er givet ved ligninger. Find skæringspunktet for disse linjer og vinklerne, hvor de skærer

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Vi får følgende resultat

Ligning af den første linje

y = 2,2 x + (1,2)

Ligning af anden linje

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Skæringsvinkel mellem to lige linjer (i grader)

-42.357454705937

Skæringspunktet mellem to linjer

x = -3,5

y = -6,5

Glem ikke, at parametrene for to linjer er adskilt af et komma, og parametrene for hver linje er adskilt af et semikolon.

En lige linje går gennem to punkter (1:-4) og (5:2). Find ligningen for den linje, der går gennem punktet (-2:-8) og skærer den oprindelige linje i en vinkel på 30 grader.

Vi kender en ret linje, fordi vi kender de to punkter, som den passerer igennem.

Det er tilbage at bestemme ligningen for den anden linje. Vi kender ét punkt, men i stedet for det andet er vinklen, hvor den første linje skærer den anden, angivet.

Det ser ud til, at alt er kendt, men det vigtigste her er ikke at lave fejl. Vi taler om vinklen (30 grader) ikke mellem x-aksen og linjen, men mellem den første og anden linje.

Det er derfor, vi poster sådan her. Lad os bestemme parametrene for den første linje og finde ud af, i hvilken vinkel den skærer x-aksen.

linie xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Generel ligning Ax+By+C = 0

Koefficient A = -6

Faktor B = 4

Faktor C = 22

Koefficient a= 3,6666666666667

Koefficient b = -5,5

Koefficient k = 1,5

Hældningsvinkel til aksen (i grader) f = 56,309932474019

Koefficient p = 3,0508510792386

Koefficient q = 2,5535900500422

Afstand mellem point=7,211102550928

Vi ser, at den første linje skærer aksen i en vinkel 56,309932474019 grader.

Kildedataene siger ikke nøjagtigt, hvordan den anden linje skærer den første. Du kan trods alt konstruere to linjer, der opfylder betingelserne, den første drejede 30 grader MED URET, og den anden 30 grader MOD uret.

Lad os tælle dem

Hvis den anden linje drejes 30 grader MOD uret, vil den anden linje have skæringsgraden med x-aksen 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 grader

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Lige linje parametre givne parametre

Generel ligning Ax+By+C = 0

Koefficient A = 23,011106998916

Koefficient B = -1,4840558255286

Koefficient C = 34,149767393603

Ligning for en ret linje i segmenter x/a+y/b = 1

Koefficient a= -1,4840558255286

Koefficient b = 23,011106998916

Ligning for en ret linje med vinkelkoefficient y = kx + b

Koefficient k = 15,505553499458

Hældningsvinkel til aksen (i grader) f = 86,309932474019

Normalligningen for linjen x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Koefficient p = -1,4809790664999

Koefficient q = 3,0771888256405

Afstand mellem point=23,058912962428

Afstand fra et punkt til en ret linje li =

det vil sige, at vores anden linjeligning er y= 15,505553499458x+ 23.011106998916

Med dette online lommeregner du kan finde skæringspunktet for linjer på et plan. Givet detaljeret løsning med forklaringer. For at finde koordinaterne for linjers skæringspunkt skal du indstille typen af ​​ligning af linjer ("kanonisk", "parametrisk" eller "generel"), indtaste koefficienterne for linjeligningerne i cellerne og klikke på "Løs" "-knappen. Se den teoretiske del og de numeriske eksempler nedenfor.

×

Advarsel

Vil du rydde alle celler?

Luk Ryd

Instruktioner til indtastning af data. Tal indtastes som heltal (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), decimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken skal indtastes på formen a/b, hvor a og b (b>0) er heltal eller decimaler. Eksempler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Skæringspunktet mellem linjer på et plan - teori, eksempler og løsninger

1. Skæringspunktet for linjer givet i generel form.

Oxy L 1 og L 2:

Lad os bygge en udvidet matrix:

Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 =0, så har systemet af lineære ligninger mange løsninger. Derfor lige L 1 og L 2 kamp. Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 ≠0, så er systemet inkonsekvent, og derfor er linjerne parallelle og har ikke fælles punkt. Hvis B" 2 ≠0, så har systemet af lineære ligninger en unik løsning. Fra den anden ligning finder vi y: y=MED" 2 /B" 2 og substituerer den resulterende værdi i den første ligning, vi finder x: x=−MED 1 −B 1 y. Vi fik skæringspunktet mellem linjerne L 1 og L 2: M(x, y).

2. Skæringspunktet for linjer givet i kanonisk form.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy og lad rette linjer gives i dette koordinatsystem L 1 og L 2:

Lad os åbne parenteserne og lave transformationerne:

Ved at bruge en lignende metode får vi den generelle ligning for den rette linje (7):

Fra ligning (12) følger:

Hvordan man finder skæringspunktet for linjer givet i kanonisk form er beskrevet ovenfor.

4. Skæringspunktet for linjer angivet i forskellige visninger.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy og lad rette linjer gives i dette koordinatsystem L 1 og L 2:

Vi finder t:

EN 1 x 2 +EN 1 mt+B 1 y 2 +B 1 st+C 1 =0,

Lad os løse systemet af lineære ligninger mhp x, y. For at gøre dette vil vi bruge den Gaussiske metode. Vi får:

Eksempel 2. Find skæringspunktet mellem linjer L 1 og L 2:

L 1: 2x+3y+4=0,

(20)

(21)

For at finde skæringspunktet mellem linjer L 1 og L 2 skal du løse systemet af lineære ligninger (20) og (21). Lad os præsentere ligningerne i matrixform.