For at løse et geometrisk problem ved hjælp af koordinatmetoden kræves der et skæringspunkt, hvis koordinater bruges i løsningen. En situation opstår, når du skal lede efter koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer på et plan eller bestemme koordinaterne for de samme linjer i rummet. Denne artikel behandler tilfælde af at finde koordinaterne for punkter, hvor givne linjer skærer hinanden.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Det er nødvendigt at definere skæringspunkterne for to linjer.

Afsnittet om den relative position af linjer på et plan viser, at de kan falde sammen, være parallelle, skære hinanden i ét fælles punkt eller skære hinanden. To linjer i rummet kaldes skærende, hvis de har ét fælles punkt.

Definitionen af ​​skæringspunktet for linjer lyder således:

Definition 1

Det punkt, hvor to linjer skærer hinanden, kaldes deres skæringspunkt. Med andre ord er punktet for skærende linjer skæringspunktet.

Lad os se på figuren nedenfor.

Før du finder koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer, er det nødvendigt at overveje eksemplet nedenfor.

Hvis planet har et koordinatsystem O x y, så er to rette linjer a og b angivet. Linje a svarer til en generel ligning af formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, for linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Så er M 0 (x 0 , y 0) et bestemt punkt i planet, det er nødvendigt at bestemme, om punktet M 0 vil være skæringspunktet for disse linjer.

For at løse problemet er det nødvendigt at overholde definitionen. Så skal linjerne skære hinanden i et punkt, hvis koordinater er løsningen til de givne ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Det betyder, at skæringspunktets koordinater er substitueret i alle givne ligninger. Hvis de ved substitution giver den korrekte identitet, så anses M 0 (x 0 , y 0) som deres skæringspunkt.

Eksempel 1

Givet to skærende linjer 5 x - 2 y - 16 = 0 og 2 x - 5 y - 19 = 0. Vil punktet M 0 med koordinater (2, - 3) være et skæringspunkt.

Løsning

For at skæringspunktet mellem linjer er gyldigt, er det nødvendigt, at koordinaterne for punktet M 0 opfylder linjernes ligninger. Dette kan kontrolleres ved at erstatte dem. Det forstår vi

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Begge ligheder er sande, hvilket betyder, at M 0 (2, - 3) er skæringspunktet for de givne linjer.

Lad os afbilde denne løsning på koordinatlinjen i figuren nedenfor.

Svar: det givne punkt med koordinater (2, - 3) vil være skæringspunktet for de givne linjer.

Eksempel 2

Vil linjerne 5 x + 3 y - 1 = 0 og 7 x - 2 y + 11 = 0 skære hinanden i punktet M 0 (2, - 3)?

Løsning

For at løse problemet skal du erstatte punktets koordinater i alle ligninger. Det forstår vi

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Den anden lighed er ikke sand, det betyder, at det givne punkt ikke hører til linjen 7 x - 2 y + 11 = 0. Fra dette har vi, at punktet M 0 ikke er skæringspunktet mellem linjer.

Tegningen viser tydeligt, at M 0 ikke er skæringspunktet mellem linjer. De har et fælles punkt med koordinater (- 1, 2).

Svar: punktet med koordinaterne (2, - 3) er ikke skæringspunktet for de givne linjer.

Vi fortsætter med at finde koordinaterne for skæringspunkterne for to linjer ved hjælp af de givne ligninger på planet.

To skærende linjer a og b er specificeret ved ligninger på formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, placeret ved O ​​x y. Når vi udpeger skæringspunktet M 0, finder vi ud af, at vi skal fortsætte med at søge efter koordinater ved hjælp af ligningerne A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Ud fra definitionen er det indlysende, at M 0 er det fælles skæringspunkt for linjer. I dette tilfælde skal dens koordinater opfylde ligningerne A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Med andre ord er dette løsningen på det resulterende system A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Det betyder, at for at finde skæringspunktets koordinater er det nødvendigt at tilføje alle ligningerne til systemet og løse det.

Eksempel 3

Givet to rette linjer x - 9 y + 14 = 0 og 5 x - 2 y - 16 = 0 på planet. det er nødvendigt at finde deres kryds.

Løsning

Data om ligningens betingelser skal samles ind i systemet, hvorefter vi får x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. For at løse det skal du løse den første ligning for x og erstatte udtrykket med den anden:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

De resulterende tal er de koordinater, der skulle findes.

Svar: M 0 (4, 2) er skæringspunktet for linjerne x - 9 y + 14 = 0 og 5 x - 2 y - 16 = 0.

At finde koordinater kommer ned til at løse et system af lineære ligninger. Hvis en anden type ligning er givet ved betingelse, skal den reduceres til normal form.

Eksempel 4

Bestem koordinaterne for skæringspunkterne for linjerne x - 5 = y - 4 - 3 og x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Løsning

Først skal du bringe ligningerne til en generel form. Så får vi, at x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R er transformeret som følger:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Så tager vi ligningen for den kanoniske form x - 5 = y - 4 - 3 og transformerer. Det forstår vi

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Herfra har vi, at koordinaterne er skæringspunktet

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Lad os bruge Cramers metode til at finde koordinater:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y . = 22 22 = 1

Svar: M0 (-5, 1).

Der er også en måde at finde koordinaterne for skæringspunktet for linjer placeret på et plan. Det er anvendeligt, når en af ​​linjerne er givet ved parametriske ligninger på formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Så i stedet for værdien x erstatter vi x = x 1 + a x · λ og y = y 1 + a y · λ, hvor vi får λ = λ 0, svarende til at skæringspunktet har koordinaterne x 1 + a x · λ 0 y 1 + a y · λ 0 .

Eksempel 5

Bestem koordinaterne for skæringspunktet for linjen x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R og x - 5 = y - 4 - 3.

Løsning

Det er nødvendigt at udføre en substitution i x - 5 = y - 4 - 3 med udtrykket x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, så får vi:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Ved løsning finder vi, at λ = - 1. Det følger heraf, at der er et skæringspunkt mellem linjerne x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R og x - 5 = y - 4 - 3. For at beregne koordinaterne skal du erstatte udtrykket λ = - 1 i den parametriske ligning. Så får vi, at x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Svar: M0 (-5, 1).

For fuldt ud at forstå emnet skal du kende nogle nuancer.

Først skal du forstå placeringen af ​​linjerne. Når de krydser hinanden, finder vi koordinaterne i andre tilfælde, vil der ikke være nogen løsning. For at undgå denne kontrol kan du lave et system af formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Hvis der er en løsning, konkluderer vi, at linjerne skærer hinanden. Hvis der ikke er nogen løsning, så er de parallelle. Når et system har et uendeligt antal løsninger, så siges de at være sammenfaldende.

Eksempel 6

Givet linjer x 3 + y - 4 = 1 og y = 4 3 x - 4. Afgør, om de har et fælles punkt.

Løsning

Forenklet de givne ligninger får vi 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 og 4 3 x - y - 4 = 0.

Ligningerne skal samles i et system til efterfølgende løsning:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Heraf kan vi se, at ligningerne er udtrykt gennem hinanden, så får vi et uendeligt antal løsninger. Så definerer ligningerne x 3 + y - 4 = 1 og y = 4 3 x - 4 den samme linje. Derfor er der ingen skæringspunkter.

Svar: de givne ligninger definerer den samme rette linje.

Eksempel 7

Find koordinaterne for punktet for skærende linjer 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 og 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Løsning

Ifølge betingelsen er dette muligt, linjerne vil ikke skære hinanden. Det er nødvendigt at lave et ligningssystem og løse det. For at løse er det nødvendigt at bruge den Gaussiske metode, da det med dens hjælp er muligt at kontrollere ligningen for kompatibilitet. Vi får et system af formen:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Vi modtog en forkert lighed, hvilket betyder, at systemet ikke har nogen løsninger. Vi konkluderer, at linjerne er parallelle. Der er ingen skæringspunkter.

Anden løsning.

Først skal du bestemme tilstedeværelsen af ​​skæringspunktet mellem linjer.

n 1 → = (2, 2 - 3) er normalvektoren for linjen 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, så er vektoren n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 normalvektoren for linjen 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Det er nødvendigt at kontrollere kollineariteten af ​​vektorerne n 1 → = (2, 2 - 3) og n 2 → = (2 (3 + 2), - 7). Vi opnår en lighed på formen 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Det er korrekt, fordi 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Det følger heraf, at vektorerne er kollineære. Det betyder, at linjerne er parallelle og ikke har nogen skæringspunkter.

Svar: der er ingen skæringspunkter, linjerne er parallelle.

Eksempel 8

Find koordinaterne for skæringspunktet mellem de givne linjer 2 x - 1 = 0 og y = 5 4 x - 2.

Løsning

For at løse det sammensætter vi et ligningssystem. Vi får

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Lad os finde determinanten for hovedmatrixen. Til dette, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Da det ikke er lig med nul, har systemet 1 løsning. Heraf følger, at linjerne skærer hinanden. Lad os løse et system til at finde koordinaterne for skæringspunkter:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Vi fandt, at skæringspunktet for de givne linjer har koordinater M 0 (1 2, - 11 8).

Svar: M 0 (1 2, - 11 8) .

At finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i rummet

På samme måde findes skæringspunkterne for rette linjer i rummet.

Når rette linier a og b er givet i koordinatplanen O x y z ved ligninger af skærende planer, så er der en ret linje a, som kan bestemmes ved hjælp af det givne system A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 og ret linje b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.

Når punktet M 0 er skæringspunktet mellem linjer, så skal dets koordinater være løsninger af begge ligninger. Vi får lineære ligninger i systemet:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4 y + C4z + D4 = 0

Lad os se på lignende opgaver ved hjælp af eksempler.

Eksempel 9

Find koordinaterne for skæringspunktet for de givne linjer x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 og 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Løsning

Vi sammensætter systemet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 og løser det. For at finde koordinaterne skal du løse gennem matricen. Så får vi hovedmatrixen af ​​formen A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 og den udvidede matrix T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4. Vi bestemmer matrixens gaussiske rang.

Det forstår vi

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Det følger heraf, at rangen af ​​den udvidede matrix har værdien 3. Så resulterer ligningssystemet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 i kun én løsning.

Basis-moll har determinanten 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , så gælder den sidste ligning ikke. Vi opnår, at x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Løsning af systemet x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Det betyder, at skæringspunktet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 og 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 har koordinater (1, - 3, 0).

Svar: (1 , - 3 , 0) .

System af formen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 har kun én løsning. Det betyder, at linjerne a og b skærer hinanden.

I andre tilfælde har ligningen ingen løsning, det vil sige heller ingen fælles punkter. Det vil sige, at det er umuligt at finde et punkt med koordinater, da det ikke eksisterer.

Derfor er et system af formen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 løses ved den Gaussiske metode. Hvis det er inkompatibelt, krydser linjerne ikke. Hvis der er et uendeligt antal løsninger, så falder de sammen.

Du kan løse ved at beregne matrixens hoved- og udvidede rækker og derefter anvende Kronecker-Capelli-sætningen. Vi får én, mange eller slet ingen løsninger.

Eksempel 10

Ligningerne for linjerne x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 og x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 er givet. Find skæringspunktet.

Løsning

Lad os først oprette et ligningssystem. Vi får, at x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Vi løser det ved hjælp af Gauss-metoden:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Det er klart, at systemet ikke har nogen løsninger, hvilket betyder, at linjerne ikke skærer hinanden. Der er ikke noget skæringspunkt.

Svar: der er ikke noget skæringspunkt.

Hvis linjerne er givet ved hjælp af kononiske eller parametriske ligninger, skal du reducere dem til form af ligninger for skærende planer og derefter finde koordinaterne.

Eksempel 11

Givet to linjer x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R og x 2 = y - 3 0 = z 5 i O x y z. Find skæringspunktet.

Løsning

Vi definerer rette linjer ved ligninger af to skærende planer. Det forstår vi

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Vi finder koordinaterne 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, hertil beregner vi matrixens rækker. Matrixens rang er 3, og basis-minor er 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, hvilket betyder, at den sidste ligning skal udelukkes fra systemet. Det forstår vi

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Lad os løse systemet ved hjælp af Cramers metode. Vi får, at x = - 2 y = 3 z = - 5 . Herfra får vi, at skæringen af ​​de givne linjer giver et punkt med koordinater (- 2, 3, - 5).

Svar: (- 2 , 3 , - 5) .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Åh-åh-åh-åh... jamen, det er hårdt, som om han læste en sætning op for sig selv =) Afslapning vil dog hjælpe senere, især da jeg i dag købte det passende tilbehør. Derfor, lad os fortsætte til det første afsnit, jeg håber, at jeg ved slutningen af ​​artiklen vil bevare et muntert humør.

Den relative position af to lige linjer

Sådan er det, når publikum synger med i kor. To lige linjer kan:

1) match;

2) være parallel: ;

3) eller skærer i et enkelt punkt: .

Hjælp til dummies : Husk det matematiske skæringstegnet, det vil dukke op meget ofte. Notationen betyder, at linjen skærer linjen i punktet.

Hvordan bestemmer man den relative position af to linjer?

Lad os starte med det første tilfælde:

To linjer falder sammen, hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er proportionale, det vil sige, at der er et tal "lambda", således at lighederne er opfyldt

Lad os betragte de rette linjer og skabe tre ligninger ud fra de tilsvarende koefficienter: . Af hver ligning følger det, at disse linjer derfor er sammenfaldende.

Faktisk, hvis alle koefficienterne i ligningen gange med –1 (skift fortegn), og alle ligningens koefficienter skåret med 2, får du samme ligning:.

Det andet tilfælde, når linjerne er parallelle:

To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne er proportionale: , Men.

Som et eksempel, overvej to lige linjer. Vi kontrollerer proportionaliteten af ​​de tilsvarende koefficienter for variablerne:

Det er dog ret indlysende.

Og det tredje tilfælde, når linjerne skærer hinanden:

To linjer skærer hinanden, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne IKKE er proportionale, det vil sige, at der IKKE er en sådan værdi af "lambda", at lighederne er opfyldt

Så for lige linjer vil vi oprette et system:

Af den første ligning følger, at , og af den anden ligning: , hvilket betyder systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Koefficienterne for variablerne er således ikke proportionale.

Konklusion: linjer skærer hinanden

I praktiske problemer kan du bruge det netop omtalte løsningsskema. Det minder i øvrigt meget om algoritmen til kontrol af vektorer for kollinearitet, som vi kiggede på i klassen Begrebet lineær (u)afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer. Men der er en mere civiliseret emballage:

Eksempel 1

Find ud af det relativ position direkte:

Løsning baseret på studiet af retningsvektorer af rette linjer:

a) Ud fra ligningerne finder vi retningsvektorerne for linjerne: .

, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære, og linjerne skærer hinanden.

For en sikkerheds skyld sætter jeg en sten med skilte ved krydset:

Resten hopper over stenen og følger videre, lige til Kashchei den udødelige =)

b) Find retningsvektorerne for linjerne:

Linjerne har samme retningsvektor, hvilket betyder, at de enten er parallelle eller sammenfaldende. Der er ingen grund til at tælle determinanten her.

Det er indlysende, at koefficienterne for de ukendte er proportionale, og .

Lad os finde ud af, om ligestillingen er sand:

Således,

c) Find retningsvektorerne for linjerne:

Lad os beregne determinanten, der består af koordinaterne for disse vektorer:
, derfor er retningsvektorerne kollineære. Linjerne er enten parallelle eller sammenfaldende.

Proportionalitetskoefficienten "lambda" er let at se direkte fra forholdet mellem kollineære retningsvektorer. Det kan dog også findes gennem selve ligningernes koefficienter: .

Lad os nu finde ud af, om ligestillingen er sand. Begge frie termer er nul, så:

Den resulterende værdi opfylder denne ligning (ethvert tal opfylder generelt det).

Dermed falder linjerne sammen.

Svar:

Meget snart vil du lære (eller endda allerede har lært) at løse det problem, der diskuteres verbalt, bogstaveligt talt på få sekunder. I den forbindelse ser jeg ingen mening i at tilbyde noget for selvstændig beslutning, det er bedre at lægge en anden vigtig mursten i det geometriske fundament:

Hvordan konstruerer man en linje parallel med en given linje?

For uvidenhed om denne enkleste opgave straffer Nattergalen, røveren, hårdt.

Eksempel 2

Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning for en parallel linje, der går gennem punktet.

Løsning: Lad os betegne den ukendte linje med bogstavet . Hvad siger tilstanden om hende? Den lige linje går gennem punktet. Og hvis linjerne er parallelle, så er det indlysende, at retningsvektoren for den rette linje "tse" også er egnet til at konstruere den lige linje "de".

Vi tager retningsvektoren ud af ligningen:

Svar:

Geometrien i eksemplet ser simpel ud:

Analytisk test består af følgende trin:

1) Vi tjekker, at linjerne har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er forenklet korrekt, så vil vektorerne være kollineære).

2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning.

I de fleste tilfælde kan analytisk test nemt udføres mundtligt. Se på de to ligninger, og mange af jer vil hurtigt bestemme linjernes parallelitet uden nogen tegning.

Eksempler på uafhængige løsninger i dag vil være kreative. For du bliver stadig nødt til at konkurrere med Baba Yaga, og hun, du ved, elsker alle mulige gåder.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje, der går gennem et punkt parallelt med linjen if

Der er en rationel og knap så rationel måde at løse det på. Mest genvej- i slutningen af ​​lektionen.

Vi arbejdede lidt med parallelle linjer og vender tilbage til dem senere. Tilfældet med sammenfaldende linjer er af ringe interesse, så lad os overveje et problem, der er meget velkendt for dig fra skolens læseplan:

Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?

Hvis lige skærer hinanden ved punkt , så er dens koordinater løsningen systemer af lineære ligninger

Hvordan finder man skæringspunktet mellem linjer? Løs systemet.

Her går du geometrisk betydning systemer af to lineære ligninger i to ubekendte- disse er to skærende (oftest) linjer på et plan.

Eksempel 4

Find skæringspunktet mellem linjer

Løsning: Der er to måder at løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske metode er blot at tegne de givne linjer og finde ud af skæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er vores pointe:. For at kontrollere, bør du erstatte dens koordinater i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinaterne for et punkt en løsning på systemet. Grundlæggende så vi på en grafisk løsning systemer af lineære ligninger med to ligninger, to ubekendte.

Den grafiske metode er selvfølgelig ikke dårlig, men der er mærkbare ulemper. Nej, pointen er ikke, at syvende klasser beslutter sig på denne måde, pointen er, at det vil tage tid at lave en korrekt og PRÆCIS tegning. Derudover er nogle lige linjer ikke så lette at konstruere, og selve skæringspunktet kan være placeret et sted i det tredivte rige uden for notesbogsarket.

Derfor er det mere hensigtsmæssigt at lede efter skæringspunktet analytisk metode. Lad os løse systemet:

For at løse systemet blev metoden med term-for-term addition af ligninger brugt. For at udvikle relevante færdigheder, tag en lektion Hvordan løser man et ligningssystem?

Svar:

Kontrollen er triviel - koordinaterne for skæringspunktet skal opfylde hver ligning i systemet.

Eksempel 5

Find skæringspunktet for linjerne, hvis de skærer hinanden.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Det er praktisk at opdele opgaven i flere faser. Analyse af tilstanden tyder på, at det er nødvendigt:
1) Skriv ligningen for den rette linje ned.
2) Skriv ligningen for den rette linje ned.
3) Find ud af linjernes relative position.
4) Hvis linjerne skærer hinanden, så find skæringspunktet.

Udviklingen af ​​en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gentagne gange fokusere på dette.

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen:

Ikke engang et par sko var slidt op, før vi nåede til anden del af lektionen:

Vinkelrette linjer. Afstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellem lige linjer

Lad os starte med en typisk og meget vigtig opgave. I den første del lærte vi, hvordan man bygger en lige linje parallelt med denne, og nu vil hytten på kyllingelår dreje 90 grader:

Hvordan konstruerer man en linje vinkelret på en given linje?

Eksempel 6

Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning vinkelret på linjen, der går gennem punktet.

Løsning: Ved betingelse er det kendt at . Det ville være rart at finde linjens retningsvektor. Da linjerne er vinkelrette, er tricket enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være den rette linjes retningsvektor.

Lad os sammensætte ligningen for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor:

Svar:

Lad os udvide den geometriske skitse:

Hmmm... Orange himmel, orange hav, orange kamel.

Analytisk verifikation af løsningen:

1) Vi tager retningsvektorerne ud fra ligningerne og med hjælp skalært produkt af vektorer vi kommer til den konklusion, at linjerne faktisk er vinkelrette:.

I øvrigt kan du bruge normale vektorer, det er endnu nemmere.

2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning .

Testen er igen nem at udføre oralt.

Eksempel 7

Find skæringspunktet for vinkelrette linjer, hvis ligningen er kendt og periode.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Problemet har flere handlinger, så det er praktisk at formulere løsningen punkt for punkt.

Vores spændende rejse fortsætter:

Afstand fra punkt til linje

Vi har en lige stribe flod foran os, og vores opgave er at komme dertil ad den korteste vej. Der er ingen forhindringer, og den mest optimale rute vil være at bevæge sig vinkelret. Det vil sige, at afstanden fra et punkt til en linje er længden af ​​det vinkelrette segment.

Afstand i geometri betegnes traditionelt med det græske bogstav "rho", for eksempel: - afstanden fra punktet "em" til den lige linje "de".

Afstand fra punkt til linje udtrykt ved formlen

Eksempel 8

Find afstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du skal gøre er omhyggeligt at erstatte tallene i formlen og udføre beregningerne:

Svar:

Lad os lave tegningen:

Den fundne afstand fra punktet til linjen er nøjagtigt længden af ​​det røde segment. Hvis du tegner en tegning på ternet papir i en skala fra 1 enhed. = 1 cm (2 celler), så kan afstanden måles med en almindelig lineal.

Lad os overveje en anden opgave baseret på den samme tegning:

Opgaven er at finde koordinaterne til et punkt, der er symmetrisk med punktet i forhold til den rette linje . Jeg foreslår at udføre trinene selv, men jeg vil skitsere en løsningsalgoritme med mellemliggende resultater:

1) Find en linje, der er vinkelret på linjen.

2) Find skæringspunktet for linjerne: .

Begge handlinger diskuteres i detaljer i denne lektion.

3) Punktet er midtpunktet af segmentet. Vi kender koordinaterne for midten og en af ​​enderne. Ved formler for koordinaterne for et segments midtpunkt finder vi.

Det vil være en god idé at tjekke, at afstanden også er 2,2 enheder.

Der kan opstå vanskeligheder i beregninger her, men en mikroberegner er en stor hjælp i tårnet, så du kan beregne almindelige brøker. Jeg har rådgivet dig mange gange og vil anbefale dig igen.

Hvordan finder man afstanden mellem to parallelle linjer?

Eksempel 9

Find afstanden mellem to parallelle linjer

Dette er endnu et eksempel, som du selv kan bestemme. Jeg vil give dig et lille tip: der er uendeligt mange måder at løse dette på. Debriefing i slutningen af ​​lektionen, men det er bedre at prøve at gætte selv, jeg tror, ​​at din opfindsomhed var veludviklet.

Vinkel mellem to lige linjer

Hvert hjørne er en jamb:


I geometri er vinklen mellem to rette linjer taget for at være den MINDRE vinkel, hvoraf det automatisk følger, at den ikke kan være stump. På figuren betragtes vinklen angivet af den røde bue ikke som vinklen mellem skærende linjer. Og hans "grønne" nabo el modsat orienteret"hindbær" hjørne.

Hvis linjerne er vinkelrette, så kan enhver af de 4 vinkler tages som vinklen mellem dem.

Hvordan er vinklerne forskellige? Orientering. For det første er retningen, som vinklen "scrolles" i, grundlæggende vigtig. For det andet skrives en negativt orienteret vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor fortalte jeg dig dette? Det ser ud til, at vi kan klare os med det sædvanlige begreb om en vinkel. Faktum er, at formlerne, som vi finder vinkler med, nemt kan resultere i et negativt resultat, og det burde ikke overraske dig. En vinkel med et minustegn er ikke værre, og har en meget specifik geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, skal du sørge for at angive dens orientering med en pil (med uret).

Hvordan finder man vinklen mellem to rette linjer? Der er to arbejdsformler:

Eksempel 10

Find vinklen mellem linjer

Løsning Og Metode et

Overvej to rette linjer givet af ligningerne i generel opfattelse:

Hvis lige ikke vinkelret, Det orienteret Vinklen mellem dem kan beregnes ved hjælp af formlen:

Lad os være meget opmærksomme på nævneren - det er præcis prik produkt retningsvektorer af rette linjer:

Hvis , så bliver formlens nævner nul, og vektorerne vil være ortogonale, og linjerne vil være vinkelrette. Derfor blev der taget forbehold for, at rette linjer ikke er vinkelrette i formuleringen.

Baseret på ovenstående er det praktisk at formalisere løsningen i to trin:

1) Lad os beregne skalarproduktet af linjernes retningsvektorer:
, hvilket betyder, at linjerne ikke er vinkelrette.

2) Find vinklen mellem rette linjer ved hjælp af formlen:

Ved at bruge den omvendte funktion er det nemt at finde selve vinklen. I dette tilfælde bruger vi arctangensens mærkelighed (se. Grafer og egenskaber for elementære funktioner):

Svar:

I svaret angiver vi den nøjagtige værdi, samt en omtrentlig værdi (gerne i både grader og radianer), beregnet ved hjælp af en lommeregner.

Nå, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustration:

Det er ikke overraskende, at vinklen viste sig at have en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tal en lige linje, og "skruningen" af vinklen begyndte præcis med den.

Hvis du virkelig vil have en positiv vinkel, skal du bytte linjerne, det vil sige tage koefficienterne fra den anden ligning , og tag koefficienterne fra den første ligning. Kort sagt, du skal starte med en direkte .

Lad to linjer blive givet, og du skal finde deres skæringspunkt. Da dette punkt hører til hver af de to givne linjer, skal dets koordinater opfylde både ligningen for den første linje og ligningen for den anden linje.

For at finde koordinaterne til skæringspunktet mellem to linjer skal man løse ligningssystemet

Eksempel 1. Find skæringspunktet mellem linjer og

Løsning. Vi finder koordinaterne for det ønskede skæringspunkt ved at løse ligningssystemet

Skæringspunktet M har koordinater

Lad os vise, hvordan man konstruerer en ret linje ved hjælp af dens ligning. For at konstruere en lige linje er det nok at kende dens to punkter. For at konstruere hvert af disse punkter angiver vi en vilkårlig værdi for en af ​​dens koordinater, og så finder vi ud fra ligningen den tilsvarende værdi for den anden koordinat.

Hvis i den generelle ligning af en ret linje begge koefficienter ved de aktuelle koordinater ikke er lig med nul, så for at konstruere denne rette linje er det bedst at finde punkterne for dens skæringspunkt med koordinatakserne.

Eksempel 2. Konstruer en ret linje.

Løsning. Vi finder skæringspunktet for denne linje med abscisseaksen. For at gøre dette løser vi deres ligninger sammen:

og vi får. Således er punktet M (3; 0) for denne linjes skæringspunkt med abscisseaksen fundet (fig. 40).

Løs derefter ligningen for denne linje og ligningen for ordinataksen sammen

finder vi skæringspunktet for linjen med ordinataksen. Til sidst konstruerer vi en ret linje fra dens to punkter M og

Hvis to linjer ikke er parallelle, vil de uundgåeligt skære hinanden i et punkt. Opdage koordinater point skæring af 2 linjer er tilladt både grafisk og aritmetisk, afhængig af hvilke data opgaven giver.

Du skal bruge

• – to lige linjer på tegningen;
• – ligninger af 2 rette linjer.

Instruktioner

1. Hvis linjerne allerede er tegnet på grafen, så find løsningen grafisk. For at gøre dette skal du fortsætte med begge eller en af ​​linjerne, så de skærer hinanden. Marker derefter skæringspunktet og sænk en vinkelret fra det til x-aksen (som sædvanligt, åh).

2. Brug skalamærkerne markeret på aksen til at finde x-værdien for det punkt. Hvis den er i den positive retning af aksen (til højre for nulmærket), vil dens værdi være korrekt ellers vil den være negativ.

3. Find også ordinaten for skæringspunktet korrekt. Hvis projektionen af ​​et punkt er placeret over nulmærket, er den korrekt, hvis den er under, er den negativ. Skriv punktets koordinater ned på formen (x, y) - dette er løsningen på problemet.

4. Hvis linjerne er givet i form af formlerne y=khx+b, kan du også løse problemet grafisk: Tegn linjerne på et koordinatgitter og find løsningen ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor.

5. Prøv at finde løsningen på problemet ved hjælp af disse formler. For at gøre dette skal du oprette et system ud fra disse ligninger og løse det. Hvis ligningerne er givet på formen y=khx+b, skal du blot sætte lighedstegn mellem begge sider og x og opdage x. Sæt derefter værdien af ​​x ind i en af ​​ligningerne og find y.

6. Du kan finde en løsning ved hjælp af Cramers metode. I dette tilfælde reduceres ligningerne til formen A1x+B1y+C1=0 og A2x+B2y+C2=0. Ifølge Cramers formel, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), og y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Bemærk venligst, at hvis nævneren er nul, så er linjerne parallelle eller sammenfaldende og derfor ikke skærer hinanden.

7. Hvis du får linjer i rummet i kanonisk form, før du begynder at lede efter en løsning, skal du kontrollere, om linjerne er parallelle. For at gøre dette skal du evaluere eksponenterne før t, hvis de er proportionale, f.eks. x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t og x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, så er linjerne parallelle. Derudover kan linjer skære hinanden, i hvilket tilfælde systemet ikke har en løsning.

8. Hvis du finder ud af, at linjer skærer hinanden, skal du finde punktet for deres skæringspunkt. Først skal du ligestille variabler fra forskellige linjer, idet du betinget erstatter t med u for den første linje og med v for 2. linje. Lad os sige, hvis du får linjerne x=t-1, y=2t+1, z=t+2 og x=t+1, y=t+1, z=2t+8, får du udtryk som u-1 =v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Udtryk u fra en ligning, erstatte den med en anden og find v (i denne opgave u=-2,v=-4). Nu, for at finde skæringspunktet, skal du erstatte de opnåede værdier i stedet for t (det gør ingen forskel, i den første eller anden ligning) og få koordinaterne til punktet x=-3, y=-3, z =0.

At overveje 2 krydsende direkte Det er nok at betragte dem i et plan, da to skærende linjer ligger i samme plan. At kende ligningerne for disse direkte, er det muligt at detektere koordinaten for deres punkt kryds .

Du skal bruge

• linjers ligninger

Instruktioner

1. I kartesiske koordinater ser den generelle ligning for en linje således ud: Ax+By+C = 0. Lad to linjer skære hinanden. Ligningen for den første linje er Ax+By+C = 0, 2. linje er Dx+Ey+F = 0. Alle indikatorer (A, B, C, D, E, F) skal angives for at kunne detektere et punkt kryds disse direkte det er nødvendigt at løse systemet af disse 2 lineære ligninger.

2. For at løse er det praktisk at gange den første ligning med E, og den anden med B. Som et resultat vil ligningerne se sådan ud: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Efter at have trukket den anden fra ligning fra den første, får du: (AE- DB)x = FB-CE. Derfor er x = (FB-CE)/(AE-DB) analogt med den første ligning indledende system Du kan gange med D, den anden med A, og derefter trække den anden fra den første. Som et resultat vil y = (CD-FA)/(AE-DB) de resulterende x- og y-værdier være punktets koordinater kryds direkte .

3. Ligninger direkte kan også skrives gennem vinkelindekset k, lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for den rette linje. I dette tilfælde har linjens ligning formen y = kx+b. Lad nu ligningen for den første linje være y = k1*x+b1, og ligningen for den 2. linje være y = k2*x+b2.

4. Hvis vi sidestiller de rigtige sider af disse 2 ligninger, får vi: k1*x+b1 = k2*x+b2. Derfra er det let at opnå, at x = (b1-b2)/(k2-k1). Efter at have substitueret denne værdi x i en af ​​ligningerne, viser det sig: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). X- og y-værdierne angiver koordinaterne for punktet kryds direkte.Hvis to linjer er parallelle eller sammenfaldende, så har de henholdsvis ikke universelle punkter eller et uhyre stort antal universelle punkter. I disse tilfælde er k1 = k2, nævnerne for punkternes koordinater kryds vil forsvinde, derfor vil systemet ikke have en klassisk løsning. Systemet kan kun have én klassisk løsning, hvilket er ubetinget, fordi to divergerende og ikke-parallelle linjer kun kan have ét punkt. kryds .

Video om emnet

Med dette online lommeregner du kan finde skæringspunktet for linjer på et plan. Givet detaljeret løsning med forklaringer. For at finde koordinaterne for linjers skæringspunkt skal du indstille typen af ​​ligning af linjer ("kanonisk", "parametrisk" eller "generel"), indtaste koefficienterne for linjeligningerne i cellerne og klikke på "Løs" "-knappen. Se den teoretiske del og de numeriske eksempler nedenfor.

×

Advarsel

Vil du rydde alle celler?

Luk Ryd

Instruktioner til indtastning af data. Tal indtastes som heltal (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), decimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken skal indtastes på formen a/b, hvor a og b (b>0) er heltal eller decimaler. Eksempler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Skæringspunktet mellem linjer på et plan - teori, eksempler og løsninger

1. Skæringspunktet for linjer givet i generel form.

Oxy L 1 og L 2:

Lad os bygge en udvidet matrix:

Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 =0, så har systemet af lineære ligninger mange løsninger. Derfor lige L 1 og L 2 kamp. Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 ≠0, så er systemet inkonsekvent, og derfor er linjerne parallelle og har ikke fælles punkt. Hvis B" 2 ≠0, så har systemet af lineære ligninger en unik løsning. Fra den anden ligning finder vi y: y=MED" 2 /B" 2 og substituerer den resulterende værdi i den første ligning, vi finder x: x=−MED 1 −B 1 y. Vi fik skæringspunktet mellem linjerne L 1 og L 2: M(x, y).

2. Skæringspunktet for linjer givet i kanonisk form.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy og lad rette linjer gives i dette koordinatsystem L 1 og L 2:

Lad os åbne parenteserne og lave transformationerne:

Ved at bruge en lignende metode får vi den generelle ligning for den rette linje (7):

Fra ligning (12) følger:

Hvordan man finder skæringspunktet for linjer givet i kanonisk form er beskrevet ovenfor.

4. Skæringspunktet for linjer angivet i forskellige visninger.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy og lad rette linjer gives i dette koordinatsystem L 1 og L 2:

Vi finder t:

EN 1 x 2 +EN 1 mt+B 1 y 2 +B 1 st+C 1 =0,

Lad os løse systemet af lineære ligninger mhp x, y. For at gøre dette vil vi bruge den Gaussiske metode. Vi får:

Eksempel 2. Find skæringspunktet mellem linjer L 1 og L 2:

L 1: 2x+3y+4=0,

(20)

(21)

For at finde skæringspunktet mellem linjer L 1 og L 2 skal du løse systemet af lineære ligninger (20) og (21). Lad os præsentere ligningerne i matrixform.