Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

Samlet af os personlige oplysninger giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

I denne artikel vil vi analysere alle typer problemer for at finde

Lad os huske geometrisk betydning af afledt: hvis en tangent tegnes til grafen for en funktion i et punkt, så er hældningskoefficienten for tangenten (lig med tangenten af vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen) lig med den afledede af funktionen på punktet.

Lad os tage et vilkårligt punkt på tangenten med koordinater:

Og overvej en retvinklet trekant:

I denne trekant

Herfra

Dette er ligningen for tangenten tegnet til grafen for funktionen i punktet.

For at skrive tangentligningen behøver vi kun at kende funktionens ligning og det punkt, hvor tangenten er tegnet. Så kan vi finde og .

Der er tre hovedtyper af tangentligningsproblemer.

1. Givet et kontaktpunkt

2. Tangenthældningskoefficienten er givet, det vil sige værdien af den afledede af funktionen i punktet.

3. Givet er koordinaterne for det punkt, som tangenten trækkes igennem, men som ikke er tangenspunktet.

Lad os se på hver type opgave.

1. Skriv ligningen for tangenten til grafen for funktionen på punktet .

b) Find værdien af den afledte i punkt . Lad os først finde den afledede af funktionen

Lad os erstatte de fundne værdier i tangentligningen:

Lad os åbne parenteserne i højre side af ligningen. Vi får:

Svar: .

2. Find abscissen af de punkter, hvor funktionerne tangerer grafen parallelt med x-aksen.

Hvis tangenten er parallel med x-aksen, derfor er vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen nul, derfor er tangenten til tangentvinklen nul. Det betyder, at værdien af den afledede af funktionen ved kontaktpunkterne er nul.

a) Find den afledede af funktionen .

b) Lad os sidestille den afledede til nul og finde de værdier, hvor tangenten er parallel med aksen:

Ved at sidestille hver faktor med nul får vi:

Svar: 0;3;5

3. Skriv ligninger for tangenter til grafen for en funktion , parallel direkte .

En tangent er parallel med en linje. Hældningen af denne linje er -1. Da tangenten er parallel med denne linje, er hældningen af tangenten derfor også -1. Det vil sige vi kender tangentens hældning, og dermed afledt værdi ved tangenspunktet.

Dette er den anden type problem for at finde tangentligningen.

Så vi får givet funktionen og værdien af den afledte på tangenspunktet.

a) Find de punkter, hvor den afledede af funktionen er lig med -1.

Lad os først finde den afledede ligning.

Lad os sidestille den afledede med tallet -1.

Lad os finde værdien af funktionen ved punktet.

(efter tilstand)

b) Find ligningen for tangenten til grafen for funktionen i punktet .

Lad os finde værdien af funktionen ved punktet.

(efter betingelse).

Lad os erstatte disse værdier i tangentligningen:

Svar:

4. Skriv ligningen for tangenten til kurven , passerer gennem et punkt

Lad os først kontrollere, om punktet er et tangentpunkt. Hvis et punkt er et tangentpunkt, så hører det til funktionens graf, og dets koordinater skal opfylde funktionens ligning. Lad os erstatte punktets koordinater i funktionens ligning.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negativt tal, ligheden er ikke sand, og punktet hører ikke til grafen for funktionen og er ikke et kontaktpunkt.

Dette er den sidste type opgave til at finde tangentligningen. Først og fremmest vi skal finde abscissen af tangentpunktet.

Lad os finde værdien.

Lad være kontaktpunktet. Punktet hører til tangenten til funktionens graf. Hvis vi erstatter koordinaterne for dette punkt i tangentligningen, får vi den korrekte lighed:

Værdien af funktionen i et punkt er .

Lad os finde værdien af den afledede af funktionen i punktet.

Lad os først finde den afledede af funktionen. Dette .

Den afledte i et punkt er lig med .

Lad os erstatte udtrykkene med og ind i tangentligningen. Vi får ligningen for:

Lad os løse denne ligning.

Reducer brøkens tæller og nævner med 2:

Lad os reducere højre side af ligningen til fællesnævner. Vi får:

Lad os forenkle brøkens tæller og gange begge sider med - dette udtryk er strengt taget større end nul.

Vi får ligningen

Lad os løse det. For at gøre dette, lad os firkante begge dele og gå videre til systemet.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Lad os løse den første ligning.

Lad os bestemme andengradsligning, får vi

Den anden rod opfylder ikke betingelsen title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Lad os skrive ligningen for tangenten til kurven i punktet. For at gøre dette skal du erstatte værdien i ligningen - Vi har allerede optaget det.

Svar:
.

Ligning for tangenten til grafen for en funktion

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk-regionen

Ligning for tangenten til grafen for en funktion

Artiklen blev publiceret med støtte fra ITAKA+ Hotel Complex. Når du bor i skibsbyggernes by Severodvinsk, vil du ikke støde på problemet med at finde midlertidig bolig. , på hjemmesiden hotelkompleks“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, du kan nemt og hurtigt leje en lejlighed i byen, for enhver periode, med en daglig betaling.

På moderne scene udvikling af uddannelse, en af dens hovedopgaver er dannelsen af en kreativt tænkende personlighed. Evnen til kreativitet hos eleverne kan kun udvikles, hvis de systematisk er involveret i det grundlæggende i forskningsaktiviteter. Grundlaget for, at eleverne kan bruge deres kreative kræfter, evner og talenter, er dannet fuldgyldig viden og færdigheder. I denne henseende er problemet med at danne et system med grundlæggende viden og færdigheder for hvert emne i skolens matematikkursus af ikke ringe betydning. Samtidig bør fuldgyldige færdigheder ikke være det didaktiske mål for individuelle opgaver, men for et nøje gennemtænkt system af dem. I bredeste forstand forstås et system som et sæt af indbyrdes forbundne interagerende elementer, der har integritet og en stabil struktur.

Lad os overveje en teknik til at lære eleverne at skrive en ligning for en tangent til grafen for en funktion. I det væsentlige kommer alle problemer med at finde tangentligningen ned på behovet for at vælge fra et sæt (bundt, familie) af linjer dem, der opfylder et bestemt krav - de tangerer grafen for en bestemt funktion. I dette tilfælde kan det sæt af linjer, hvorfra valget udføres, specificeres på to måder:

a) et punkt, der ligger på xOy-planet (central blyant af linjer);
b) vinkelkoefficient (parallel stråle af rette linjer).

I denne henseende, når vi studerede emnet "Tangent til grafen for en funktion" for at isolere elementerne i systemet, identificerede vi to typer problemer:

1) problemer på en tangent givet af det punkt, den passerer igennem;
2) problemer på en tangent givet ved dens hældning.

Træning i at løse tangentproblemer blev udført ved hjælp af algoritmen foreslået af A.G. Mordkovich. Hans grundlæggende forskel fra de allerede kendte er, at tangenspunktets abscisse er angivet med bogstavet a (i stedet for x0), og derfor har tangentens ligning formen

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(sammenlign med y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Denne metodiske teknik giver efter vores mening eleverne mulighed for hurtigt og nemt at forstå, hvor koordinaterne for det aktuelle punkt er skrevet i den generelle tangentligning, og hvor er kontaktpunkterne.

Algoritme til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x)

1. Angiv abscissen af tangentpunktet med bogstavet a.
2. Find f(a).
3. Find f "(x) og f "(a).
4. Erstat de fundne tal a, f(a), f "(a) i den generelle tangentligning y = f(a) = f "(a)(x – a).

Denne algoritme kan kompileres på grundlag af elevernes uafhængige identifikation af operationer og rækkefølgen af deres implementering.

Praksis har vist, at den sekventielle løsning af hvert af nøgleproblemerne ved hjælp af en algoritme giver dig mulighed for at udvikle færdighederne til at skrive ligningen for en tangent til grafen for en funktion i etaper, og trinene i algoritmen tjener som referencepunkter for handlinger . Denne tilgang svarer til teorien om den gradvise dannelse af mentale handlinger udviklet af P.Ya. Galperin og N.F. Talyzina.

I den første type opgaver blev to nøgleopgaver identificeret:

tangenten passerer gennem et punkt, der ligger på kurven (opgave 1);
tangenten går gennem et punkt, der ikke ligger på kurven (opgave 2).

Opgave 1. Skriv en ligning for tangenten til funktionens graf ved punkt M(3; – 2).

Løsning. Punkt M(3; – 2) er et tangentpunkt, da

1. a = 3 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentligning.

Opgave 2. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = – x 2 – 4x + 2, der går gennem punktet M(– 3; 6).

Løsning. Punkt M(– 3; 6) er ikke et tangentpunkt, da f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangentligning.

Tangenten passerer gennem punktet M(– 3; 6), derfor opfylder dens koordinater tangentligningen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Hvis a = – 4, så er tangentligningen y = 4x + 18.

Hvis a = – 2, så har tangentligningen formen y = 6.

I den anden type vil nøgleopgaverne være følgende:

tangenten er parallel med en linje (opgave 3);
tangenten passerer i en bestemt vinkel til den givne linje (opgave 4).

Opgave 3. Skriv ligningerne for alle tangenter til grafen for funktionen y = x 3 – 3x 2 + 3, parallelt med linjen y = 9x + 1.

Løsning.

1. a – abscisse af tangentpunktet.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Men på den anden side er f "(a) = 9 (parallelismebetingelse). Det betyder, at vi skal løse ligningen 3a 2 – 6a = 9. Dens rødder er a = – 1, a = 3 (fig. 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – tangentligning;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangentligning.

Opgave 4. Skriv tangentens ligning til grafen for funktionen y = 0,5x 2 – 3x + 1, idet den passerer i en vinkel på 45° til den rette linje y = 0 (fig. 4).

Løsning. Fra betingelsen f "(a) = tan 45° finder vi a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abscisse af tangentpunktet.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangentligning.

Det er nemt at vise, at løsningen på ethvert andet problem kommer ned til at løse et eller flere nøgleproblemer. Betragt følgende to problemer som et eksempel.

1. Skriv ligningerne for tangenterne til parablen y = 2x 2 – 5x – 2, hvis tangenterne skærer hinanden vinkelret og en af dem rører parablen i punktet med abscisse 3 (fig. 5).

Løsning. Da tangenspunktets abscisse er givet, er den første del af løsningen reduceret til nøgleproblem 1.

1. a = 3 – abscisse af tangenspunktet for en af siderne af den rette vinkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ligning for den første tangent.

Lad a – hældningsvinkel for den første tangent. Da tangenterne er vinkelrette, så er hældningsvinklen for den anden tangent. Fra ligningen y = 7x – 20 af den første tangent har vi tg a = 7. Lad os finde

Det betyder, at hældningen af den anden tangent er lig med .

Den videre løsning kommer ned til nøgleopgave 3.

Lad så B(c; f(c)) være tangenspunktet for den anden linje

1. – abscisse af det andet tangenspunkt.
2.
3.
4.
– ligning for den anden tangent.

Note. Tangens vinkelkoefficient kan lettere findes, hvis eleverne kender forholdet mellem koefficienterne for vinkelrette linjer k 1 k 2 = – 1.

2. Skriv ligningerne for alle fælles tangenter til graferne for funktioner

Løsning. Opgaven går ud på at finde abscissen af tangentpunkterne for almindelige tangenter, det vil sige at løse nøgleproblem 1 i generel form, tegne et ligningssystem og derefter løse det (fig. 6).

1. Lad a være abscissen af det tangentpunkt, der ligger på grafen for funktionen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.

1. Lad c være abscissen af tangentpunktet, der ligger på grafen for funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da tangenter er generelle, altså

Så y = x + 1 og y = – 3x – 3 er almindelige tangenter.

Hovedmålet med de overvejede opgaver er at forberede eleverne til selvstændigt at genkende typen af nøgleproblem, når de løser mere komplekse problemer, der kræver visse forskningsfærdigheder (evnen til at analysere, sammenligne, generalisere, fremsætte en hypotese osv.). Sådanne opgaver omfatter enhver opgave, hvori nøgleopgaven indgår som en komponent. Lad os som eksempel betragte problemet (omvendt til opgave 1) med at finde en funktion fra familien af dens tangenter.

3. For hvilke b og c tangerer linjerne y = x og y = – 2x grafen for funktionen y = x 2 + bx + c?

Løsning.

Lad t være abscissen af tangenspunktet for den rette linje y = x med parablen y = x 2 + bx + c; p er abscissen af tangenspunktet for den rette linje y = – 2x med parablen y = x 2 + bx + c. Så vil tangentligningen y = x have formen y = (2t + b)x + c – t 2 , og tangentligningen y = – 2x vil have formen y = (2p + b)x + c – p 2 .

Lad os sammensætte og løse et ligningssystem

Svar:

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Skriv ligningerne for tangenterne tegnet til grafen for funktionen y = 2x 2 – 4x + 3 i grafens skæringspunkter med linjen y = x + 3.

Svar: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. For hvilke værdier af a går tangenten tegnet til grafen for funktionen y = x 2 – ax i punktet af grafen med abscissen x 0 = 1 gennem punktet M(2; 3)?

Svar: a = 0,5.

3. For hvilke værdier af p rører den rette linje y = px – 5 kurven y = 3x 2 – 4x – 2?

Svar: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Find alle fælles punkter i grafen for funktionen y = 3x – x 3 og tangenten tegnet til denne graf gennem punktet P(0; 16).

Svar: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Find den korteste afstand mellem parablen y = x 2 + 6x + 10 og den rette linje

Svar:

6. På kurven y = x 2 – x + 1 skal du finde det punkt, hvor tangenten til grafen er parallel med den rette linje y – 3x + 1 = 0.

Svar: M(2; 3).

7. Skriv tangentens ligning til grafen for funktionen y = x 2 + 2x – | 4x |, som rører den ved to punkter. Lav en tegning.

Svar: y = 2x – 4.

8. Bevis, at linjen y = 2x – 1 ikke skærer kurven y = x 4 + 3x 2 + 2x. Find afstanden mellem deres nærmeste punkter.

Svar:

9. På parablen y = x 2 tages to punkter med abscisse x 1 = 1, x 2 = 3. Gennem disse punkter trækkes en sekant. På hvilket punkt i parablen vil tangenten til den være parallel med sekanten? Skriv sekant- og tangentligningerne.

Svar: y = 4x – 3 – sekantsligning; y = 4x – 4 – tangentligning.

10. Find vinklen q mellem tangenterne til grafen for funktionen y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, tegnet i punkterne med abscisse 0 og 1.

Svar: q = 45°.

11. I hvilke punkter danner tangenten til funktionens graf en vinkel på 135° med Ox-aksen?

Svar: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Ved punkt A(1; 8) til kurven der tegnes en tangent. Find længden af tangentsegmentet mellem koordinatakserne.

Svar:

13. Skriv ligningen for alle fælles tangenter til graferne for funktionerne y = x 2 – x + 1 og y = 2x 2 – x + 0,5.

Svar: y = – 3x og y = x.

14. Find afstanden mellem tangenterne til funktionens graf parallelt med x-aksen.

Svar:

15. Bestem, i hvilke vinkler parablen y = x 2 + 2x – 8 skærer x-aksen.

Svar: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Funktionsgraf find alle punkter, hvor tangenten ved hver af disse til denne graf skærer de positive halvakser af koordinater og afskærer lige store segmenter fra dem.

Svar: A(– 3; 11).

17. Linjen y = 2x + 7 og parablen y = x 2 – 1 skærer hinanden i punkterne M og N. Find skæringspunktet K for linjerne, der tangerer parablen i punkterne M og N.

Svar: K(1; – 9).

18. For hvilke værdier af b tangerer linjen y = 9x + b grafen for funktionen y = x 3 – 3x + 15?

Svar: – 1; 31.

19. For hvilke værdier af k har den rette linje y = kx – 10 kun én fælles punkt med grafen for funktionen y = 2x 2 + 3x – 2? For de fundne værdier af k skal du bestemme koordinaterne for punktet.

Svar: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. For hvilke værdier af b går tangenten tegnet til grafen for funktionen y = bx 3 – 2x 2 – 4 i punktet med abscissen x 0 = 2 gennem punktet M(1; 8)?

Svar: b = – 3.

21. En parabel med et toppunkt på Ox-aksen rører linjen, der går gennem punkterne A(1; 2) og B(2; 4) i punkt B. Find parablens ligning.

Svar:

22. Ved hvilken værdi af koefficienten k rører parablen y = x 2 + kx + 1 Ox-aksen?

Svar: k = d 2.

23. Find vinklerne mellem den rette linje y = x + 2 og kurven y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Find afstanden mellem tangenterne til funktionens graf og generatorerne med Ox-aksens positive retning i en vinkel på 45°.

Svar:

30. Find stedet for toppunkterne for alle parabler på formen y = x 2 + ax + b, der tangerer linjen y = 4x – 1.

Svar: lige linje y = 4x + 3.

Litteratur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra og begyndelsen af analyse: 3600 problemer for skolebørn og dem, der går ind på universiteter. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar fire for unge lærere. Emne: Afledte applikationer. – M., "Matematik", nr. 21/94.
3. Dannelse af viden og færdigheder baseret på teorien om gradvis assimilering af mentale handlinger.

Artiklen giver en detaljeret forklaring af definitionerne, den geometriske betydning af derivatet med grafiske notationer. Ligningen for en tangentlinje vil blive betragtet med eksempler, ligningerne for en tangent til 2. ordens kurver vil blive fundet.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Hældningsvinklen på den rette linje y = k x + b kaldes vinkel α, som måles fra x-aksens positive retning til den rette linje y = k x + b i positiv retning.

På figuren er x-retningen angivet med en grøn pil og en grøn bue, og hældningsvinklen med en rød bue. Den blå linje refererer til den lige linje.

Definition 2

Hældningen af den rette linje y = k x + b kaldes den numeriske koefficient k.

Vinkelkoefficienten er lig med tangenten til den rette linje, med andre ord k = t g α.

Hældningsvinklen på en ret linje er kun lig med 0, hvis den er parallel omkring x og hældningen er lig nul, fordi tangenten til nul er lig med 0. Det betyder, at formen af ligningen vil være y = b.
Hvis hældningsvinklen på den rette linie y = k x + b er spids, så er betingelserne 0 opfyldt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, og der er en stigning i grafen.
Hvis α = π 2, så er linjens placering vinkelret på x. Lighed er angivet ved x = c, hvor værdien c er et reelt tal.
Hvis hældningsvinklen på den rette linje y = k x + b er stump, svarer den til betingelserne π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negativ værdi, og grafen er faldende.

Definition 3

En sekant er en linje, der går gennem 2 punkter i funktionen f (x). Med andre ord er en sekant en ret linje, der trækkes gennem to vilkårlige punkter på grafen for en given funktion.

Figuren viser, at A B er en sekant, og f (x) er en sort kurve, α er en rød bue, der angiver sekantens hældningsvinkel.

Når vinkelkoefficienten for en ret linje er lig med tangenten af hældningsvinklen, er det klart, at tangenten af en retvinklet trekant A B C kan findes ved forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende.

Definition 4

Vi får en formel til at finde en sekant af formen:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, hvor abscissen af punkterne A og B er værdierne x A, x B og f (x A), f (x B) er værdifunktionerne på disse punkter.

Det er klart, at sekantens vinkelkoefficient bestemmes ved hjælp af ligheden k = f (x B) - f (x A) x B - x A eller k = f (x A) - f (x B) x A - x B , og ligningen skal skrives som y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) eller
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanten opdeler grafen visuelt i 3 dele: til venstre for punkt A, fra A til B, til højre for B. Figuren nedenfor viser, at der er tre sekanter, der anses for at være sammenfaldende, det vil sige, at de er sat vha. en lignende ligning.

Per definition er det klart, at den rette linje og dens sekant i dette tilfælde er sammenfaldende.

En sekant kan skære grafen for en given funktion flere gange. Hvis der er en ligning på formen y = 0 for en sekant, så er antallet af skæringspunkter med sinusoidet uendeligt.

Definition 5

Tangent til grafen for funktionen f (x) i punktet x 0 ; f (x 0) er en ret linje, der går gennem et givet punkt x 0; f (x 0), med tilstedeværelsen af et segment, der har mange x-værdier tæt på x 0.

Eksempel 1

Lad os se nærmere på eksemplet nedenfor. Så er det klart, at linjen defineret af funktionen y = x + 1 betragtes som tangent til y = 2 x i punktet med koordinaterne (1; 2). For klarhedens skyld er det nødvendigt at overveje grafer med værdier tæt på (1; 2). Funktionen y = 2 x er vist med sort, den blå linje er tangentlinjen, og den røde prik er skæringspunktet.

Det er klart, at y = 2 x smelter sammen med linjen y = x + 1.

For at bestemme tangenten bør vi overveje opførselen af tangenten A B, når punkt B nærmer sig punkt A uendeligt. For klarhedens skyld præsenterer vi en tegning.

Sekanten A B, angivet med den blå linje, tenderer mod selve tangentens position, og hældningsvinklen for sekanten α vil begynde at vende mod hældningsvinklen for selve tangenten α x.

Definition 6

Tangenten til grafen for funktionen y = f (x) i punkt A anses for at være grænsepositionen for sekanten A B, da B tenderer mod A, det vil sige B → A.

Lad os nu gå videre til at overveje den geometriske betydning af den afledte funktion i et punkt.

Lad os gå videre til at betragte sekanten A B for funktionen f (x), hvor A og B med koordinaterne x 0, f (x 0) og x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), og ∆ x er betegnet som stigningen i argumentet. Nu vil funktionen have formen ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . For klarhedens skyld, lad os give et eksempel på en tegning.

Betragt den resulterende retvinklede trekant A B C. Vi bruger definitionen af tangent til at løse, det vil sige, at vi får relationen ∆ y ∆ x = t g α . Af definitionen af en tangent følger det, at lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Ifølge reglen for den afledte i et punkt har vi, at den afledede f (x) i punktet x 0 kaldes grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning, hvor ∆ x → 0 , så betegner vi det som f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Det følger heraf, at f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, hvor k x er angivet som tangentens hældning.

Det vil sige, at vi finder, at f ' (x) kan eksistere i punktet x 0, og ligesom tangenten til en given graf for funktionen i tangenspunktet lig med x 0, f 0 (x 0), hvor værdien af hældningen af tangenten i punktet er lig med den afledede i punktet x 0 . Så får vi at k x = f " (x 0) .

Den geometriske betydning af den afledede af en funktion i et punkt er, at den giver begrebet eksistensen af en tangent til grafen i det samme punkt.

For at skrive ligningen for enhver ret linje på et plan er det nødvendigt at have en vinkelkoefficient med det punkt, hvorigennem den passerer. Dens notation antages at være x 0 ved skæringspunktet.

Tangentligningen til grafen for funktionen y = f (x) i punktet x 0, f 0 (x 0) har formen y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Det, der menes, er det endelig værdi afledt f "(x 0) du kan bestemme tangentens position, det vil sige lodret under betingelsen lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ og lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ eller fravær overhovedet for betingelse lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Placeringen af tangenten afhænger af værdien af dens vinkelkoefficient k x = f "(x 0). Når den er parallel med o x-aksen, får vi, at k k = 0, når den er parallel med o y - k x = ∞, og formen af tangentligning x = x 0 stiger med k x > 0, aftager som k x< 0 .

Eksempel 2

Sammenstil en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 i punktet med koordinaterne (1; 3) og bestem hældningsvinklen.

Løsning

Ved betingelse har vi, at funktionen er defineret for alle reelle tal. Vi finder, at punktet med koordinater angivet af betingelsen, (1; 3) er et tangenspunkt, så x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Det er nødvendigt at finde den afledte på punktet med værdien - 1. Det forstår vi

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Værdien af f' (x) ved tangenspunktet er tangentens hældning, som er lig med hældningens tangent.

Så k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Det følger heraf, at α x = a r c t g 3 3 = π 6

Svar: tangentligningen tager formen

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

For klarhedens skyld giver vi et eksempel i en grafisk illustration.

Sort farve bruges til grafen for den oprindelige funktion, blå– billede af en tangent, rød prik – tangenspunkt. Figuren til højre viser et forstørret billede.

Eksempel 3

Bestem eksistensen af en tangent til grafen for en given funktion
y = 3 · x - 1 5 + 1 i punktet med koordinaterne (1 ; 1) . Skriv en ligning og bestem hældningsvinklen.

Løsning

Som betingelse har vi, at definitionsdomænet for en given funktion anses for at være mængden af alle reelle tal.

Lad os gå videre til at finde den afledte

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Hvis x 0 = 1, så er f' (x) udefineret, men grænserne skrives som lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ og lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, hvilket betyder eksistens lodret tangent ved punkt (1; 1).

Svar: ligningen vil have formen x = 1, hvor hældningsvinklen vil være lig med π 2.

For klarhedens skyld, lad os afbilde det grafisk.

Eksempel 4

Find punkterne på grafen for funktionen y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, hvor

Der er ingen tangent;
Tangenten er parallel med x;
Tangenten er parallel med linjen y = 8 5 x + 4.

Løsning

Det er nødvendigt at være opmærksom på definitionens omfang. Ved betingelse har vi, at funktionen er defineret på mængden af alle reelle tal. Vi udvider modulet og løser systemet med intervaller x ∈ - ∞ ; 2 og [-2; + ∞). Det forstår vi

y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Det er nødvendigt at differentiere funktionen. Det har vi

y" = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Når x = - 2, så eksisterer den afledede ikke, fordi de ensidede grænser ikke er ens på det tidspunkt:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vi beregner værdien af funktionen i punktet x = - 2, hvor vi får det

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, dvs. tangenten i punktet ( - 2; - 2) vil ikke eksistere.
Tangenten er parallel med x, når hældningen er nul. Så k x = t g α x = f "(x 0). Det vil sige, det er nødvendigt at finde værdierne af sådan x, når den afledede af funktionen vender den til nul. Det vil sige værdierne af f ' (x) vil være tangenspunkterne, hvor tangenten er parallel med x .

Når x ∈ - ∞ ; - 2, så - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, og for x ∈ (- 2; + ∞) får vi 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Beregn de tilsvarende funktionsværdier

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Derfor - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 anses for at være de nødvendige punkter i funktionsgrafen.

Lad os se på en grafisk fremstilling af løsningen.

Den sorte linje er grafen for funktionen, de røde prikker er tangenspunkterne.

Når linjerne er parallelle, er vinkelkoefficienterne ens. Så er det nødvendigt at søge efter punkter på funktionsgrafen, hvor hældningen vil være lig med værdien 8 5. For at gøre dette skal du løse en ligning på formen y "(x) = 8 5. Så, hvis x ∈ - ∞; - 2, får vi det - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, og hvis x ∈ ( - 2 ; + ∞), så er 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Den første ligning har ingen rødder, da diskriminanten er mindre end nul. Lad os skrive det ned

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

En anden ligning har altså to reelle rødder

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Lad os gå videre til at finde værdierne for funktionen. Det forstår vi

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Point med værdier - 1; 4 15, 5; 8 3 er de punkter, hvor tangenterne er parallelle med linjen y = 8 5 x + 4.

Svar: sort linje – graf for funktionen, rød linje – graf for y = 8 5 x + 4, blå linje – tangenter i punkter - 1; 4 15, 5; 8 3.

Der kan være et uendeligt antal tangenter for givne funktioner.

Eksempel 5

Skriv ligningerne for alle tilgængelige tangenter til funktionen y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, som er placeret vinkelret på den rette linje y = - 2 x + 1 2.

Løsning

For at kompilere tangentligningen er det nødvendigt at finde koefficienten og koordinaterne for tangentpunktet, baseret på betingelsen om vinkelret på linjerne. Definitionen er som følger: produktet af vinkelkoefficienter, der er vinkelrette på rette linjer, er lig med - 1, det vil sige skrevet som k x · k ⊥ = - 1. Ud fra betingelsen har vi, at vinkelkoefficienten er placeret vinkelret på linjen og er lig k ⊥ = - 2, så k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Nu skal du finde koordinaterne for berøringspunkterne. Du skal finde x og derefter dens værdi for en given funktion. Bemærk, at fra den geometriske betydning af den afledte på punktet
x 0 får vi at k x = y "(x 0). Ud fra denne lighed finder vi værdierne af x for kontaktpunkterne.

Det forstår vi

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Denne trigonometrisk ligning vil blive brugt til at beregne ordinaterne af tangentpunkterne.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk eller 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk eller 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk eller x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z er et sæt af heltal.

x kontaktpunkter er fundet. Nu skal du gå videre til at søge efter værdierne af y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 eller y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 eller y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 eller y 0 = - 4 5 + 1 3

Heraf får vi, at 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 er tangenspunkterne.

Svar: de nødvendige ligninger vil blive skrevet som

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

For en visuel repræsentation skal du overveje en funktion og en tangent på en koordinatlinje.

Figuren viser, at funktionen er placeret på intervallet [-10; 10 ], hvor den sorte linje er grafen for funktionen, er de blå linjer tangenterne, som er placeret vinkelret på den givne linje på formen y = - 2 x + 1 2. Røde prikker er berøringspunkter.

De kanoniske ligninger af 2. ordens kurver er ikke funktioner med en enkelt værdi. Tangentligninger for dem kompileres efter kendte skemaer.

Tangent til en cirkel

At definere en cirkel med centrum i punktet x c e n t e r ; y c e n t e r og radius R, anvend formlen x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Denne lighed kan skrives som en forening af to funktioner:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Den første funktion er placeret øverst, og den anden i bunden, som vist på figuren.

At kompilere ligningen for en cirkel i punktet x 0; y 0 , som er placeret i den øvre eller nedre halvcirkel, skal du finde ligningen for grafen for en funktion af formen y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r eller y = - R 2 - x - x c e n t e . y c e n t e r på det angivne punkt.

Når i punkter x c e n t e r; y c e n t e r + R og x c e n t e r ; y c e n t e r - R-tangenser kan gives ved ligningerne y = y c e n t e r + R og y = y c e n t e r - R , og i punkterne x c e n t e r + R ; y c e n t e r og
x c e n t e r - R; y c e n t e r vil være parallel med o y, så får vi ligninger på formen x = x c e n t e r + R og x = x c e n t e r - R .

Tangent til en ellipse

Når ellipsen har et centrum ved x c e n t e r; y c e n t e r med halvakser a og b, så kan det specificeres ved hjælp af ligningen x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

En ellipse og en cirkel kan betegnes ved at kombinere to funktioner, nemlig den øvre og nedre halvellipse. Så får vi det

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Hvis tangenterne er placeret ved ellipsens hjørner, så er de parallelle omkring x eller omkring y. Nedenfor, for klarhedens skyld, overvej figuren.

Eksempel 6

Skriv ligningen for tangenten til ellipsen x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 i punkter med værdier af x lig med x = 2.

Løsning

Det er nødvendigt at finde de tangentpunkter, der svarer til værdien x = 2. Vi erstatter den eksisterende ellipseligning og finder det

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Så 2; 5 3 2 + 5 og 2; - 5 3 2 + 5 er de tangentpunkter, der hører til den øvre og nedre halvellipse.

Lad os gå videre til at finde og løse ellipsens ligning med hensyn til y. Det forstår vi

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Det er klart, at den øvre halvellipse er specificeret ved hjælp af en funktion af formen y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, og den nederste halvellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Lad os anvende en standardalgoritme til at skabe en ligning for en tangent til grafen for en funktion i et punkt. Lad os skrive, at ligningen for den første tangent i punkt 2; 5 3 2 + 5 vil se ud

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Vi finder, at ligningen for den anden tangent med en værdi i punktet
2; - 5 3 2 + 5 har formen

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisk betegnes tangenter som følger:

Tangent til hyperbole

Når en hyperbel har et centrum ved x c e n t e r; y c e n t e r og hjørner x c e n t e r + α ; y c e n t e r og x c e n t e r - α ; y c e n t e r finder uligheden x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 sted, hvis med toppunkter x c e n t e r ; y c e n t e r + b og x c e n t e r ; y c e n t e r - b , så specificeres ved hjælp af uligheden x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

En hyperbel kan repræsenteres som to kombinerede funktioner af formen

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r eller y = b a · (x - n t e n) t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

I det første tilfælde har vi, at tangenterne er parallelle med y, og i det andet tilfælde er de parallelle med x.

Det følger heraf, at for at finde ligningen for tangenten til en hyperbel, er det nødvendigt at finde ud af, hvilken funktion tangenspunktet tilhører. For at bestemme dette er det nødvendigt at erstatte i ligningerne og kontrollere for identitet.

Eksempel 7

Skriv en ligning for tangenten til hyperbelen x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 i punkt 7; - 3 3 - 3 .

Løsning

Det er nødvendigt at transformere løsningsposten for at finde en hyperbel ved hjælp af 2 funktioner. Det forstår vi

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 og y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Det er nødvendigt at identificere, hvilken funktion et givet punkt med koordinaterne 7 tilhører; - 3 3 - 3 .

For at kontrollere den første funktion er det naturligvis nødvendigt y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, så hører punktet ikke til grafen, da ligestillingen ikke holder.

For den anden funktion har vi, at y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, hvilket betyder, at punktet hører til den givne graf. Herfra bør du finde skråningen.

Det forstår vi

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Svar: tangentligningen kan repræsenteres som

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Det er tydeligt afbildet sådan:

Tangent til en parabel

For at lave en ligning for tangenten til parablen y = a x 2 + b x + c i punktet x 0, y (x 0), skal du bruge en standardalgoritme, så vil ligningen have formen y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) en sådan tangent ved toppunktet er parallel med x.

Du bør definere parablen x = a y 2 + b y + c som foreningen af to funktioner. Derfor skal vi løse ligningen for y. Det forstår vi

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Lad os afbilde det grafisk som:

For at finde ud af, om et punkt x 0, y (x 0) hører til en funktion, skal du fortsætte forsigtigt i henhold til standardalgoritmen. En sådan tangent vil være parallel med o y i forhold til parablen.

Eksempel 8

Skriv tangentens ligning til grafen x - 2 y 2 - 5 y + 3, når vi har en tangentvinkel på 150°.

Løsning

Vi begynder løsningen med at repræsentere parablen som to funktioner. Det forstår vi

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Værdien af hældningen er lig med værdien af den afledede i punktet x 0 af denne funktion og er lig med tangenten af hældningsvinklen.

Vi får:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Herfra bestemmer vi x-værdien for kontaktpunkterne.

Den første funktion vil blive skrevet som

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Der er naturligvis ingen reelle rødder, da vi fik en negativ værdi. Vi konkluderer, at der ikke er nogen tangent med en vinkel på 150° for en sådan funktion.

Den anden funktion vil blive skrevet som

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Vi har, at kontaktpunkterne er 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Svar: tangentligningen tager formen

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lad os afbilde det grafisk på denne måde: