Εύρεση των τιμών του τόξου, της αρκοσίνης, του τόξου και του τόξου. Arcsine, τύπος, γράφημα της συνάρτησης arcsine, μάθημα και παρουσίαση Επέκταση σειράς

Αρξίνη (y = arcsin x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου (x = αμαρτωλός -1 ≤ x ≤ 1και το σύνολο των τιμών -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Το Arcsine μερικές φορές υποδηλώνεται ως εξής:
.

Γράφημα συνάρτησης τόξου

Γράφημα της συνάρτησης y = arcsin x

Το γράφημα του τόξου λαμβάνεται από το γράφημα του ημιτόνου εάν ανταλλάσσονται οι άξονες τετμημένης και τεταγμένης. Για την εξάλειψη της ασάφειας, το εύρος των τιμών περιορίζεται στο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση είναι μονότονη. Αυτός ο ορισμός ονομάζεται η κύρια τιμή του τόξου.

Arccosine, arccos

Συνημίτονο τόξου (y = arccos x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση του συνημίτονου (x = cos y). Έχει πεδίο εφαρμογής -1 ≤ x ≤ 1και πολλές έννοιες 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Η αρκοσίνη μερικές φορές υποδηλώνεται ως εξής:
.

Γράφημα συνάρτησης συνημιτόνου τόξου

Γράφημα της συνάρτησης y = arccos x

Η γραφική παράσταση του τόξου συνημιτόνου λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση συνημιτόνου εάν ανταλλάσσονται οι άξονες της τετμημένης και των τεταγμένων. Για την εξάλειψη της ασάφειας, το εύρος των τιμών περιορίζεται στο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση είναι μονότονη. Αυτός ο ορισμός ονομάζεται η κύρια τιμή του συνημιτόνου τόξου.

Ισοτιμία

Η συνάρτηση τόξου είναι περιττή:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Η συνάρτηση του τόξου δεν είναι άρτια ή περιττή:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - τόξο x ≠ ± τόξο x

Ιδιότητες - ακραία, αύξηση, μείωση

Οι συναρτήσεις arcsine και arccosine είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (βλέπε απόδειξη συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της αρξίνης και της αρκοσίνης παρουσιάζονται στον πίνακα.

	y= arcsin x	y= arccos x
Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Εύρος τιμών
Ανεβαίνοντας, κατεβαίνοντας	αυξάνεται μονοτονικά	μειώνεται μονοτονικά
Υψηλά
Ελάχιστα
Μηδενικά, y = 0	x = 0	x = 1
Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Πίνακας αρκσινών και αρκοσινών

Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των τόξων και των τόξων, σε μοίρες και ακτίνια, για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

x	arcsin x		arccos x
	χαλάζι	χαρούμενος.	χαλάζι	χαρούμενος.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Φόρμουλες

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς

στο ή

στο και

στο και

στο

στο

Εκφράσεις μέσω λογαρίθμων, μιγαδικών αριθμών

Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων

Παράγωγα

;
.
Βλέπε Παραγωγή αργσίνης και παραγώγων αρκοσίνης > > >

Παράγωγα υψηλότερης τάξης:
,
όπου είναι ένα πολυώνυμο βαθμού .
;
;
.

Βλέπε Παραγωγή παραγώγων υψηλότερης τάξης arccine και arccosine > > >

Ολοκληρώματα

Κάνουμε την αντικατάσταση x = sint. Ενσωματώνουμε ανά μέρη, λαμβάνοντας υπόψη ότι -π/, 2 ≤ t ≤ π/2:
.

κόστος t ≥ 0
.

Ας εκφράσουμε το τόξο συνημίτονο μέσω τόξου ημιτονοειδούς:

Επέκταση σειράς< 1 Όταν |x|
;
.

γίνεται η ακόλουθη αποσύνθεση:

Αντίστροφες συναρτήσεις

Τα αντίστροφα του τόξου και του αρκοσίνης είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, αντίστοιχα.
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Οι ακόλουθοι τύποι ισχύουν σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού:
arcsin(sin x) = xΟι ακόλουθοι τύποι ισχύουν μόνο για το σύνολο τιμών arccine και arccosine:
arccos(cos x) = xστο

στο .
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:

ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.

Τι είναι το arcsine, arccosine; Τι είναι arctangent, arccotangent;
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."

Και για όσους «πολύ…») Στις έννοιες arcsine, arccosine, arctantgent, arccotangent

Ο μαθητικός πληθυσμός είναι επιφυλακτικός. Δεν καταλαβαίνει αυτούς τους όρους και, επομένως, δεν εμπιστεύεται αυτή την ωραία οικογένεια.) Μάταια όμως. Αυτές είναι πολύ απλές έννοιες. Τα οποία, παρεμπιπτόντως, κάνουν τη ζωή πολύ πιο εύκολη για έναν γνώστη όταν λύνει τριγωνομετρικές εξισώσεις!

Αμφιβολίες για την απλότητα; Μάταια.) Εδώ και τώρα θα το δεις αυτό.

Φυσικά, για να καταλάβουμε, θα ήταν ωραίο να γνωρίζουμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ναι, οι τιμές τους σε πίνακα για ορισμένες γωνίες... Τουλάχιστον με τους πιο γενικούς όρους. Τότε δεν θα υπάρχουν προβλήματα ούτε εδώ. Λοιπόν, είμαστε έκπληκτοι, αλλά θυμηθείτε:το τόξο, η αρκοσίνη, η τοξοεφαπτομένη και η τοξοεφαπτομένη είναι μερικές μόνο γωνίες. Ούτε περισσότερο, ούτε λιγότερο. Υπάρχει μια γωνία, ας πούμε 30°. Και υπάρχει μια γωνία arcsin0.4. Ή arctg(-1,3).

Υπάρχουν όλων των ειδών οι γωνίες.) Μπορείτε απλά να καταγράψετε τις γωνίες με διαφορετικούς τρόπους. Μπορείτε να γράψετε τη γωνία σε μοίρες ή ακτίνια. Ή μπορείτε - μέσω του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης του...

Τι σημαίνει η έκφραση

arcsin 0,4 ?Αυτή είναι μια γωνία της οποίας το ημίτονο είναι 0,4

! Ναι, ναι. Αυτή είναι η έννοια του arcsine. Θα επαναλάβω συγκεκριμένα: το arcsin 0,4 είναι μια γωνία της οποίας το ημίτονο είναι ίσο με 0,4.

Αυτό είναι όλο.

Για να κρατήσετε αυτή την απλή σκέψη στο μυαλό σας για μεγάλο χρονικό διάστημα, θα δώσω ακόμη και μια ανάλυση αυτού του τρομερού όρου - arcsine: τόξο 0,4
αμαρτία γωνία, το ημίτονο του οποίου

ίσο με 0,4 Για να κρατήσετε αυτή την απλή σκέψη στο μυαλό σας για μεγάλο χρονικό διάστημα, θα δώσω ακόμη και μια ανάλυση αυτού του τρομερού όρου - arcsine:Όπως είναι γραμμένο έτσι ακούγεται.) Σχεδόν. Πρόθεμα μέσατόξο (λέξηαψίδα

Τι είναι το arccos 0.8;
Αυτή είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι 0,8.

Τι είναι το arctg(-1,3);
Αυτή είναι μια γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι -1,3.

Τι είναι το arcctg 12;
Αυτή είναι μια γωνία της οποίας η συνεφαπτομένη είναι 12.

Μια τέτοια στοιχειώδης αποκωδικοποίηση επιτρέπει, παρεμπιπτόντως, να αποφευχθούν επικές γκάφες.) Για παράδειγμα, η έκφραση arccos1,8 φαίνεται αρκετά αξιοσέβαστη. Ας ξεκινήσουμε την αποκωδικοποίηση: Το arccos1.8 είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με 1,8... Άλμα-άλμα!; 1,8!? Το συνημίτονο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα!!!

Δικαίωμα. Η έκφραση arccos1,8 δεν έχει νόημα. Και γράφοντας μια τέτοια έκφραση σε κάποια απάντηση θα διασκεδάσει πολύ τον επιθεωρητή.)

Στοιχειώδη, όπως μπορείτε να δείτε.) Κάθε γωνία έχει το δικό της προσωπικό ημίτονο και συνημίτονο. Και σχεδόν ο καθένας έχει τη δική του εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Επομένως, γνωρίζοντας την τριγωνομετρική συνάρτηση, μπορούμε να καταγράψουμε την ίδια τη γωνία. Για αυτό προορίζονται τα τόξο, οι τοξίνες, οι τοξοεφαπτομένες και οι τόξοι. Από εδώ και πέρα θα αποκαλώ όλη αυτή την οικογένεια με ένα μικρό όνομα - καμάρες.Για να πληκτρολογήσετε λιγότερο.)

Προσοχή! Στοιχειώδης λεκτική και συνειδητόςη αποκρυπτογράφηση καμάρων σάς επιτρέπει να επιλύετε ήρεμα και με σιγουριά μια ποικιλία εργασιών. Και μέσα ασυνήθηςΜόνο αυτή σώζει εργασίες.

Είναι δυνατή η εναλλαγή από τόξα σε συνηθισμένες μοίρες ή ακτίνια;- Ακούω μια προσεκτική ερώτηση.)

Γιατί όχι!; Εύκολα. Μπορείτε να πάτε εκεί και πίσω. Επιπλέον, μερικές φορές αυτό πρέπει να γίνει. Οι καμάρες είναι ένα απλό πράγμα, αλλά είναι κάπως πιο ήρεμο χωρίς αυτές, σωστά;)

Για παράδειγμα: τι είναι το arcsin 0.5;

Ας θυμηθούμε την αποκωδικοποίηση: arcsin 0,5 είναι η γωνία της οποίας το ημίτονο είναι 0,5.Τώρα ενεργοποιήστε το κεφάλι σας (ή το Google) και θυμηθείτε ποια γωνία έχει ημίτονο 0,5; Το ημίτονο είναι 0,5 y Γωνία 30 μοιρών. Αυτό είναι: Το τόξο 0,5 είναι γωνία 30°.Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια:

τόξο 0,5 = 30°

Ή, πιο επίσημα, όσον αφορά τα ακτίνια:

Αυτό είναι όλο, μπορείτε να ξεχάσετε το τόξο και να συνεχίσετε να εργάζεστε με τις συνήθεις μοίρες ή ακτίνια.

Αν κατάλαβες τι είναι το arcsine, arccosine... Τι είναι arctantgent, arccotangent...Μπορείτε εύκολα να αντιμετωπίσετε, για παράδειγμα, ένα τέτοιο τέρας.)

Ένας ανίδεος θα οπισθοχωρήσει με φρίκη, ναι...) Αλλά ένας ενημερωμένος θυμηθείτε την αποκωδικοποίηση:τόξο είναι η γωνία της οποίας το ημίτονο... Και ούτω καθεξής. Αν κάποιος γνώστης ξέρει και τον πίνακα των ημιτονίων... Τον πίνακα των συνημιτονιών. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, τότε δεν υπάρχουν καθόλου προβλήματα!

Αρκεί να συνειδητοποιήσουμε ότι:

Θα το αποκρυπτογραφήσω, δηλ. Επιτρέψτε μου να μεταφράσω τον τύπο σε λέξεις: γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι 1 (arctg1)- αυτή είναι γωνία 45°. Ή, που είναι το ίδιο, Pi/4. Επίσης:

και τέλος... Αντικαθιστούμε όλα τα τόξα με τιμές σε ακτίνια, όλα μειώνονται, το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε πόσο είναι το 1+1. Θα είναι 2.) Ποια είναι η σωστή απάντηση.

Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο μπορείτε (και πρέπει) να μετακινηθείτε από τοξίνες, τοξίνες, τις τοξοεφαπτομένες και τις τοξοεφαπτομένες σε συνηθισμένες μοίρες και ακτίνια. Αυτό απλοποιεί πολύ τα τρομακτικά παραδείγματα!

Συχνά, σε τέτοια παραδείγματα, μέσα στις καμάρες υπάρχουν αρνητικόςνοήματα. Όπως, arctg(-1.3), ή, για παράδειγμα, arccos(-0.8)... Αυτό δεν είναι πρόβλημα. Ακολουθούν απλοί τύποι για τη μετάβαση από τις αρνητικές στις θετικές τιμές:

Χρειάζεται, ας πούμε, να προσδιορίσετε την αξία της έκφρασης:

Αυτό μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, αλλά δεν θέλετε να τον σχεδιάσετε. Ω, καλά. Μετακομίζουμε από αρνητικόςτιμές εντός του τόξου συνημιτόνου του k θετικόςσύμφωνα με τον δεύτερο τύπο:

Μέσα στο τόξο συνημίτονο στα δεξιά βρίσκεται ήδη θετικόςέννοια. Τι

απλά πρέπει να ξέρεις. Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τα ακτίνια αντί για το συνημίτονο και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Αυτό είναι όλο.

Περιορισμοί στο arcsine, arccosine, arctantgent, arccotangent.

Υπάρχει πρόβλημα με τα παραδείγματα 7 - 9; Λοιπόν, ναι, υπάρχει κάποιο κόλπο εκεί.)

Όλα αυτά τα παραδείγματα, από το 1 έως το 9, αναλύονται προσεκτικά στην Ενότητα 555. Τι, πώς και γιατί. Με όλες τις μυστικές παγίδες και κόλπα. Επιπλέον τρόποι για να απλοποιήσετε δραματικά τη λύση. Παρεμπιπτόντως, αυτή η ενότητα περιέχει πολλές χρήσιμες πληροφορίες και πρακτικές συμβουλές για την τριγωνομετρία γενικά. Και όχι μόνο στην τριγωνομετρία. Βοηθάει πολύ.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Οι συναρτήσεις sin, cos, tg και ctg συνοδεύονται πάντα από arcsine, arccosine, arctantgent και arccotangent. Το ένα είναι συνέπεια του άλλου και τα ζεύγη συναρτήσεων είναι εξίσου σημαντικά για την εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις.

Εξετάστε ένα σχέδιο ενός κύκλου μονάδας, ο οποίος εμφανίζει γραφικά τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αν υπολογίσουμε τα τόξα OA, arcos OC, arctg DE και arcctg MK, τότε όλα θα είναι ίσα με την τιμή της γωνίας α. Οι παρακάτω τύποι αντικατοπτρίζουν τη σχέση μεταξύ των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστοιχων τόξων τους.

Για να κατανοήσουμε περισσότερα σχετικά με τις ιδιότητες του τόξου, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη λειτουργία του. Πρόγραμμα έχει τη μορφή ασύμμετρης καμπύλης που διέρχεται από το κέντρο συντεταγμένων.

Ιδιότητες του αρκσινίου:

Αν συγκρίνουμε τα γραφήματα τόξοΚαι τόξο, δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να έχουν κοινά μοτίβα.

τόξο συνημίτονο

Τόξο ενός αριθμού είναι η τιμή της γωνίας α, το συνημίτονο της οποίας είναι ίσο με α.

Καμπύλη y = arcos xαντικατοπτρίζει το γράφημα arcsin x, με τη μόνη διαφορά ότι διέρχεται από το σημείο π/2 στον άξονα OY.

Ας δούμε τη συνάρτηση του τόξου με περισσότερες λεπτομέρειες:

Η συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα [-1; 1].
ODZ για τόξο - .
Το γράφημα βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο πρώτο και το δεύτερο τέταρτο και η ίδια η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Υ = 0 σε x = 1.
Η καμπύλη μειώνεται σε όλο το μήκος της. Ορισμένες ιδιότητες του συνημιτόνου τόξου συμπίπτουν με τη συνάρτηση συνημιτόνου.

Ορισμένες ιδιότητες του συνημιτόνου τόξου συμπίπτουν με τη συνάρτηση συνημιτόνου.

Ίσως οι μαθητές να βρουν περιττή μια τόσο «λεπτομερή» μελέτη των «καμάρων». Ωστόσο, διαφορετικά, ορισμένες στοιχειώδεις τυπικές εργασίες εξετάσεων μπορεί να οδηγήσουν τους μαθητές σε αδιέξοδο.

Εργασία 1.Υποδείξτε τις λειτουργίες που φαίνονται στο σχήμα.

Απάντηση:ρύζι. 1 – 4, Εικ. 2 – 1.

Σε αυτό το παράδειγμα, η έμφαση δίνεται στα μικρά πράγματα. Συνήθως, οι μαθητές είναι πολύ απρόσεκτοι στην κατασκευή γραφημάτων και στην εμφάνιση των συναρτήσεων. Πράγματι, γιατί να θυμάστε τον τύπο της καμπύλης εάν μπορεί πάντα να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας υπολογισμένα σημεία. Μην ξεχνάτε ότι υπό συνθήκες δοκιμής, ο χρόνος που αφιερώνεται στη σχεδίαση για μια απλή εργασία θα χρειαστεί για την επίλυση πιο σύνθετων εργασιών.

Arctangent

Arctgοι αριθμοί α είναι η τιμή της γωνίας α έτσι ώστε η εφαπτομένη της να είναι ίση με α.

Αν λάβουμε υπόψη το γράφημα της εφαπτομένης, μπορούμε να επισημάνουμε τις ακόλουθες ιδιότητες:

Το γράφημα είναι άπειρο και ορίζεται στο διάστημα (- ∞; + ∞).
Το Arctangent είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως, arctan (- x) = - arctan x.
Υ = 0 σε x = 0.
Η καμπύλη αυξάνεται σε όλο το εύρος ορισμού.

Ας παρουσιάσουμε μια σύντομη συγκριτική ανάλυση των tg x και arctg x με τη μορφή πίνακα.

Arccotangent

Arcctg ενός αριθμού - παίρνει μια τιμή α από το διάστημα (0; π) έτσι ώστε η συνεφαπτομένη του να είναι ίση με a.

Ιδιότητες της συνάρτησης συμεφαπτομένης τόξου:

Το διάστημα ορισμού συνάρτησης είναι το άπειρο.
Το εύρος των αποδεκτών τιμών είναι το διάστημα (0; π).
Το F(x) δεν είναι ούτε άρτιο ούτε περιττό.
Σε όλο το μήκος της, το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται.

Είναι πολύ απλό να συγκρίνετε ctg x και arctg x, απλά πρέπει να κάνετε δύο σχέδια και να περιγράψετε τη συμπεριφορά των καμπυλών.

Εργασία 2.Αντιστοιχίστε το γράφημα και τη μορφή σημειογραφίας της συνάρτησης.

Αν σκεφτούμε λογικά, είναι σαφές από τα γραφήματα ότι και οι δύο συναρτήσεις αυξάνονται. Επομένως, και τα δύο σχήματα εμφανίζουν μια συγκεκριμένη συνάρτηση αρκτάνου. Από τις ιδιότητες της εφαπτομένης είναι γνωστό ότι y=0 σε x = 0,

Απάντηση:ρύζι. 1 – 1, εικ. 2 – 4.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες arcsin, arcos, arctg και arcctg

Προηγουμένως, έχουμε ήδη εντοπίσει τη σχέση μεταξύ των τόξων και των βασικών λειτουργιών της τριγωνομετρίας. Αυτή η εξάρτηση μπορεί να εκφραστεί με έναν αριθμό τύπων που επιτρέπουν σε κάποιον να εκφράσει, για παράδειγμα, το ημίτονο ενός ορίσματος μέσω του τόξου, της αρκοσίνης ή αντίστροφα. Η γνώση τέτοιων ταυτοτήτων μπορεί να είναι χρήσιμη κατά την επίλυση συγκεκριμένων παραδειγμάτων.

Υπάρχουν επίσης σχέσεις για το arctg και το arcctg:

Ένα άλλο χρήσιμο ζεύγος τύπων ορίζει την τιμή για το άθροισμα του arcsin και του arcos, καθώς και του arcctg και του arcctg της ίδιας γωνίας.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Οι εργασίες τριγωνομετρίας μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις ομάδες: υπολογισμός της αριθμητικής τιμής μιας συγκεκριμένης παράστασης, κατασκευή γραφήματος μιας δεδομένης συνάρτησης, εύρεση του πεδίου ορισμού ή ODZ και εκτέλεση αναλυτικών μετασχηματισμών για την επίλυση του παραδείγματος.

Κατά την επίλυση του πρώτου τύπου προβλήματος, πρέπει να τηρείτε το ακόλουθο σχέδιο δράσης:

Όταν εργάζεστε με γραφήματα συναρτήσεων, το κύριο πράγμα είναι η γνώση των ιδιοτήτων τους και η εμφάνιση της καμπύλης. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων απαιτεί πίνακες ταυτότητας. Όσο περισσότερους τύπους θυμάται ένας μαθητής, τόσο πιο εύκολο είναι να βρει την απάντηση στην εργασία.

Ας πούμε ότι στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους πρέπει να βρείτε την απάντηση για μια εξίσωση όπως:

Εάν μεταμορφώσετε σωστά την έκφραση και τη φέρετε στην επιθυμητή μορφή, τότε η επίλυσή της είναι πολύ απλή και γρήγορη. Αρχικά, ας μετακινήσουμε το τόξο x στη δεξιά πλευρά της ισότητας.

Αν θυμάστε τη φόρμουλα arcsin (sin α) = α, τότε μπορούμε να μειώσουμε την αναζήτηση απαντήσεων στην επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων:

Ο περιορισμός στο μοντέλο x προέκυψε, πάλι από τις ιδιότητες της arcsin: ODZ για x [-1; 1]. Όταν a ≠0, μέρος του συστήματος είναι μια τετραγωνική εξίσωση με ρίζες x1 = 1 και x2 = - 1/a. Όταν a = 0, το x θα είναι ίσο με 1.

Νωρίτερα στο πρόγραμμα, οι μαθητές απέκτησαν μια ιδέα για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, εξοικειώθηκαν με τις έννοιες του τόξου συνημιτόνου και του τόξου ημιτονίου και παραδείγματα λύσεων στις εξισώσεις cos t = a και sin t = a. Σε αυτό το σεμινάριο βίντεο θα εξετάσουμε την επίλυση των εξισώσεων tg x = a και ctg x = a.

Για να ξεκινήσετε τη μελέτη αυτού του θέματος, θεωρήστε τις εξισώσεις tg x = 3 και tg x = - 3. Εάν λύσουμε την εξίσωση tg x = 3 χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, θα δούμε ότι η τομή των γραφημάτων των συναρτήσεων y = tg x και Το y = 3 έχει άπειρο αριθμό λύσεων, όπου x = x 1 + πk. Η τιμή x 1 είναι η συντεταγμένη x του σημείου τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = tan x και y = 3. Ο συγγραφέας εισάγει την έννοια της εφαπτομένης: arctan 3 είναι ένας αριθμός του οποίου το tan είναι ίσο με 3, και αυτός ο αριθμός ανήκει στο διάστημα από -π/2 έως π/2. Χρησιμοποιώντας την έννοια της εφαπτομένης, η λύση της εξίσωσης tan x = 3 μπορεί να γραφεί ως x = arctan 3 + πk.

Κατ' αναλογία, λύνεται η εξίσωση tg x = - 3 Από τα κατασκευασμένα γραφήματα των συναρτήσεων y = tg x και y = - 3, είναι σαφές ότι τα σημεία τομής των γραφημάτων, άρα και οι λύσεις των εξισώσεων. να είναι x = x 2 + πk. Χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη, η λύση μπορεί να γραφεί ως x = arctan (- 3) + πk. Στο επόμενο σχήμα βλέπουμε ότι arctg (- 3) = - arctg 3.

Ο γενικός ορισμός της εφαπτομένης είναι ο εξής: η εφαπτομένη α είναι ένας αριθμός από το διάστημα από -π/2 έως π/2 του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με a. Τότε η λύση της εξίσωσης tan x = a είναι x = αρκτάν a + πk.

Ο συγγραφέας δίνει το παράδειγμα 1. Βρείτε μια λύση στην έκφραση arctan Ας εισαγάγουμε τη σημείωση: η εφαπτομένη ενός αριθμού είναι ίση με x, τότε το tg x θα είναι ίσο με τον δεδομένο αριθμό, όπου το x ανήκει στο τμήμα από -π. /2 έως π/2. Όπως και στα παραδείγματα στα προηγούμενα θέματα, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα τιμών. Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, η εφαπτομένη αυτού του αριθμού αντιστοιχεί στην τιμή x = π/3. Ας γράψουμε τη λύση της εξίσωσης: το τόξο ενός δεδομένου αριθμού είναι ίσο με π/3, το π/3 ανήκει επίσης στο διάστημα από -π/2 έως π/2.

Παράδειγμα 2 - υπολογίστε την εφαπτομένη ενός αρνητικού αριθμού. Χρησιμοποιώντας την ισότητα arctg (- a) = - arctg a, εισάγουμε την τιμή του x. Παρόμοια με το παράδειγμα 2, γράφουμε την τιμή του x, που ανήκει στο τμήμα από -π/2 έως π/2. Από τον πίνακα τιμών βρίσκουμε ότι x = π/3, επομένως, -- tg x = - π/3. Η απάντηση στην εξίσωση είναι - π/3.

Ας εξετάσουμε το παράδειγμα 3. Λύστε την εξίσωση tg x = 1. Γράψτε ότι x = αρκτάν 1 + πk. Στον πίνακα, η τιμή tg 1 αντιστοιχεί στην τιμή x = π/4, επομένως, arctg 1 = π/4. Ας αντικαταστήσουμε αυτή την τιμή στον αρχικό τύπο x και γράψουμε την απάντηση x = π/4 + πk.

Παράδειγμα 4: υπολογίστε το tan x = - 4.1. Στην περίπτωση αυτή x = αρκτάν (- 4,1) + πk. Επειδή Δεν είναι δυνατό να βρεθεί η τιμή του arctg σε αυτήν την περίπτωση η απάντηση θα μοιάζει με x = arctg (- 4.1) + πk.

Στο παράδειγμα 5, εξετάζεται η λύση της ανισότητας tg x > 1 Για να την λύσουμε, κατασκευάζουμε γραφήματα των συναρτήσεων y = tan x και y = 1. Όπως φαίνεται στο σχήμα, αυτές οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται στα σημεία x =. π/4 + πk. Επειδή Στην περίπτωση αυτή tg x > 1, στο γράφημα επισημαίνουμε την εφαπτομενική περιοχή, η οποία βρίσκεται πάνω από το γράφημα y = 1, όπου το x ανήκει στο διάστημα από π/4 έως π/2. Γράφουμε την απάντηση ως π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Στη συνέχεια, θεωρήστε την εξίσωση cot x = a. Το σχήμα δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων y = cot x, y = a, y = - a, που έχουν πολλά σημεία τομής. Οι λύσεις μπορούν να γραφούν ως x = x 1 + πk, όπου x 1 = arcctg a και x = x 2 + πk, όπου x 2 = arcctg (- a). Σημειώνεται ότι x 2 = π - x 1. Αυτό συνεπάγεται την ισότητα arcctg (- a) = π - arcctg a. Ακολουθεί ο ορισμός της συνεφαπτομένης τόξου: η συνεφαπτομένη τόξου α είναι ένας αριθμός από το διάστημα από το 0 έως το π του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a. Η λύση της εξίσωσης σtg x = a γράφεται ως: x = arcctg a + πk.

Στο τέλος του μαθήματος βίντεο, βγαίνει ένα άλλο σημαντικό συμπέρασμα - η έκφραση ctg x = a μπορεί να γραφτεί ως tg x = 1/a, με την προϋπόθεση ότι το a δεν είναι ίσο με μηδέν.

ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:

Ας εξετάσουμε τη λύση των εξισώσεων tg x = 3 και tg x = - 3. Λύνοντας γραφικά την πρώτη εξίσωση, βλέπουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = tg x και y = 3 έχουν άπειρα σημεία τομής, τα τετμημένα των οποίων γράφουμε στη μορφή

x = x 1 + πk, όπου x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y = 3 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης (Εικ. 1), για την οποία επινοήθηκε ο προσδιορισμός

αρκτάν 3 (εφαπτομένη τόξου τριών).

Πώς να κατανοήσετε το arctg 3;

Αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η εφαπτομένη είναι 3 και αυτός ο αριθμός ανήκει στο διάστημα (- ;). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης tg x = 3 μπορούν να γραφτούν με τον τύπο x = arctan 3+πk.

Ομοίως, η λύση της εξίσωσης tg x = - 3 μπορεί να γραφτεί με τη μορφή x = x 2 + πk, όπου x 2 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y = - 3 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενική (Εικ. 1), για την οποία ο χαρακτηρισμός arctg(- 3) (εφαπτομένη μείον τρία). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν να γραφτούν με τον τύπο: x = arctan(-3)+ πk. Το σχήμα δείχνει ότι arctg(- 3)= - arctg 3.

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης. Το τόξο a είναι ένας αριθμός από το διάστημα (-;) του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με a.

Η ισότητα χρησιμοποιείται συχνά: arctg(-a) = -arctg a, η οποία ισχύει για οποιοδήποτε α.

Γνωρίζοντας τον ορισμό του τόξου, μπορούμε να βγάλουμε ένα γενικό συμπέρασμα για τη λύση της εξίσωσης

tg x= a: η εξίσωση tg x = a έχει λύση x = αρκτάν a + πk.

Ας δούμε παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Υπολογίστε το αρκτάν.

Διάλυμα. Έστω arctg = x, μετά tgх = και xϵ (- ;). Εμφάνιση πίνακα τιμών Επομένως, x =, αφού tg = και ϵ (- ;).

Άρα, αρκτάν =.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Υπολογίστε την αρκτάνη (-).

Διάλυμα. Χρησιμοποιώντας την ισότητα arctg(- a) = - arctg a, γράφουμε:

arctg(-) = - arctg . Έστω - arctg = x, μετά - tgх = και xϵ (- ;). Επομένως, x =, αφού tg = και ϵ (- ;). Εμφάνιση πίνακα τιμών

Αυτό σημαίνει - arctg=- tgх= - .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Λύστε την εξίσωση tgх = 1.

1. Να γράψετε τον τύπο της λύσης: x = αρκτάνη 1 + πk.

2. Βρείτε την τιμή της εφαπτομένης

αφού tg = . Εμφάνιση πίνακα τιμών

Άρα arctan1= .

3. Βάλτε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο λύσης:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Λύστε την εξίσωση tgх = - 4.1 (η εφαπτομένη x είναι ίση με μείον τέσσερα σημεία ένα).

Διάλυμα. Ας γράψουμε τον τύπο λύσης: x = αρκτάν (- 4.1) + πk.

Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της εφαπτομένης, οπότε θα αφήσουμε τη λύση στην εξίσωση στην λαμβανόμενη μορφή της.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Λύστε την ανισότητα tgх 1.

Διάλυμα. Θα το λύσουμε γραφικά.

Ας κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη

y = tgх και ευθεία y = 1 (Εικ. 2). Τέμνονται σε σημεία όπως x = + πk.

2. Ας επιλέξουμε το διάστημα του άξονα x στο οποίο ο κύριος κλάδος της εφαπτομένης βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 1, αφού κατά συνθήκη tgх 1. Αυτό είναι το διάστημα (;).

3. Χρησιμοποιούμε την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Η ιδιότητα 2. y=tg x είναι μια περιοδική συνάρτηση με κύρια περίοδο π.

Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης y = tgх, γράφουμε την απάντηση:

(;). Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως διπλή ανισότητα:

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση ctg x = a. Ας παρουσιάσουμε μια γραφική απεικόνιση της λύσης της εξίσωσης για θετικό και αρνητικό a (Εικ. 3).

Γραφήματα συναρτήσεων y = ctg x και y = a και επίσης

y=ctg x και y=-a

έχουν άπειρα πολλά κοινά σημεία, τα τετμημένα των οποίων μοιάζουν με:

x = x 1 +, όπου x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y = a με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης και

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, όπου x 2 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας

y = - a με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενικής και x 2 = arcсtg (- a).

Σημειώστε ότι x 2 = π - x 1. Λοιπόν, ας γράψουμε μια σημαντική ισότητα:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό: η συνεφαπτομένη τόξου a είναι ένας αριθμός από το διάστημα (0;π) του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a.

Η λύση της εξίσωσης ctg x = a γράφεται με τη μορφή: x = arcctg a + .

Σημειώστε ότι η εξίσωση ctg x = a μπορεί να μετατραπεί στη μορφή

tg x = , εκτός εάν a = 0.

Αυτό το άρθρο αφορά βρίσκοντας τις τιμές του τόξου, της αρκοσίνης, του τόξου και του τόξουδεδομένου αριθμού. Αρχικά θα διευκρινίσουμε τι λέγεται η έννοια του arcsine, arccosine, arctantgent και arrccotangent. Στη συνέχεια, θα λάβουμε τις κύριες τιμές αυτών των συναρτήσεων τόξου, μετά από τις οποίες θα καταλάβουμε πώς βρίσκονται οι τιμές του τόξου ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς τόξου, της εφαπτομένης τόξου και της συνεφαπτομένης τόξου χρησιμοποιώντας τους πίνακες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και Bradis συμεφαπτομένες. Τέλος, ας μιλήσουμε για την εύρεση του τόξου ενός αριθμού όταν είναι γνωστή η αρκοσίνη, τοξοεφαπτομένη ή το τόξο αυτού του αριθμού κ.λπ.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τιμές του τόξου, της αρκοσίνης, του τόξου και του τόξου

Πρώτα απ 'όλα, αξίζει να καταλάβουμε τι είναι στην πραγματικότητα "αυτό". την έννοια του arcsine, arccosine, arctangent και arccotangent».

Οι πίνακες ημιτόνων και συνημιτόνων Bradis, καθώς και οι εφαπτομένες και οι συνεφαπτομένες, σας επιτρέπουν να βρείτε την τιμή του τόξου, της αρκοσίνης, της τοξοεφαπτομένης και του τόξου ενός θετικού αριθμού σε μοίρες με ακρίβεια ενός λεπτού. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε ότι η εύρεση των τιμών του τόξου, της αρκοσίνης, του τόξου και του τόξου των αρνητικών αριθμών μπορεί να περιοριστεί στην εύρεση των τιμών των αντίστοιχων συναρτήσεων τόξων θετικών αριθμών στρέφοντας στους τύπους arcsin, arccos, arctg και arcctg αντίθετων αριθμών της μορφής arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a και arcctg(−a)=π−arcctg a .

Ας μάθουμε πώς να βρούμε τις τιμές του τόξου, της αρκοσίνης, του τόξου και του τόξου εφαπτομένης χρησιμοποιώντας τους πίνακες Bradis. Αυτό θα το κάνουμε με παραδείγματα.

Ας πρέπει να βρούμε την τιμή του τόξου 0,2857. Βρίσκουμε αυτήν την τιμή στον πίνακα των ημιτόνων (περιπτώσεις που αυτή η τιμή δεν υπάρχει στον πίνακα θα συζητηθούν παρακάτω). Αντιστοιχεί σε ημίτονο 16 μοίρες 36 λεπτά. Επομένως, η επιθυμητή τιμή του τόξου του αριθμού 0,2857 είναι γωνία 16 μοιρών 36 λεπτών.

Συχνά είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι διορθώσεις από τις τρεις στήλες στα δεξιά του πίνακα. Για παράδειγμα, αν χρειαστεί να βρούμε το τόξο του 0,2863. Σύμφωνα με τον πίνακα των ημιτόνων, αυτή η τιμή λαμβάνεται ως 0,2857 συν διόρθωση 0,0006, δηλαδή η τιμή 0,2863 αντιστοιχεί σε ημίτονο 16 μοιρών 38 λεπτών (16 μοίρες 36 λεπτά συν 2 λεπτά διόρθωσης).

Εάν ο αριθμός του οποίου το τόξο μας ενδιαφέρει δεν βρίσκεται στον πίνακα και δεν μπορεί καν να ληφθεί λαμβάνοντας υπόψη τις διορθώσεις, τότε στον πίνακα πρέπει να βρούμε τις δύο τιμές των ημιτόνων που βρίσκονται πιο κοντά σε αυτόν, μεταξύ των οποίων περικλείεται αυτός ο αριθμός. Για παράδειγμα, αναζητούμε την τιμή του τόξου 0,2861573. Αυτός ο αριθμός δεν υπάρχει στον πίνακα και αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να ληφθεί με τροπολογίες. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις δύο πλησιέστερες τιμές 0,2860 και 0,2863, μεταξύ των οποίων περικλείεται ο αρχικός αριθμός αυτοί οι αριθμοί αντιστοιχούν στα ημίτονο των 16 μοιρών 37 λεπτών και 16 μοιρών 38 λεπτών. Η επιθυμητή τιμή τόξου 0,2861573 βρίσκεται μεταξύ τους, δηλαδή, οποιαδήποτε από αυτές τις τιμές γωνίας μπορεί να ληφθεί ως κατά προσέγγιση τιμή τόξου με ακρίβεια 1 λεπτού.

Οι τιμές συνημιτόνου τόξου, οι τιμές της εφαπτομένης τόξου και οι τιμές της συνεφαπτομένης του τόξου βρίσκονται με τον ίδιο απολύτως τρόπο (στην περίπτωση αυτή, φυσικά, χρησιμοποιούνται πίνακες συνημιτονίων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, αντίστοιχα).

Εύρεση της τιμής του arcsin χρησιμοποιώντας arccos, arctg, arcctg κ.λπ.

Για παράδειγμα, πείτε μας ότι arcsin a=−π/12, και πρέπει να βρούμε την τιμή του arccos a. Υπολογίζουμε την τιμή συνημιτόνου τόξου που χρειαζόμαστε: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Η κατάσταση είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσα όταν, χρησιμοποιώντας τη γνωστή τιμή του τόξου ή της αρκοσίνης ενός αριθμού α, πρέπει να βρείτε την τιμή της τοξοεφαπτομένης ή του τόξου αυτού του αριθμού α ή το αντίστροφο. Δυστυχώς, δεν γνωρίζουμε τους τύπους που ορίζουν τέτοιες συνδέσεις. Πώς μπορεί να είναι αυτό; Ας το καταλάβουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Ας γνωρίζουμε ότι το συνημίτονο τόξου ενός αριθμού α είναι ίσο με π/10 και πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της εφαπτομένης του τόξου αυτού του αριθμού α. Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα ως εξής: χρησιμοποιώντας τη γνωστή τιμή του συνημιτονοειδούς τόξου, βρείτε τον αριθμό a και, στη συνέχεια, βρείτε την εφαπτομένη του τόξου αυτού του αριθμού. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε πρώτα έναν πίνακα συνημιτόνων και μετά έναν πίνακα εφαπτομένων.

Η γωνία π/10 ακτίνια είναι γωνία 18 μοιρών, χρησιμοποιώντας τον πίνακα συνημιτόνων βρίσκουμε ότι το συνημίτονο των 18 μοιρών είναι περίπου ίσο με 0,9511, τότε ο αριθμός a στο παράδειγμά μας είναι 0,9511.

Απομένει να στραφούμε στον πίνακα των εφαπτομένων και με τη βοήθειά του να βρούμε την τιμή του τόξου που χρειαζόμαστε 0,9511, είναι περίπου ίση με 43 μοίρες 34 λεπτά.

Αυτό το θέμα συνεχίζεται λογικά από το υλικό του άρθρου. αξιολόγηση των τιμών των εκφράσεων που περιέχουν arcsin, arccos, arctg και arcctg.

Αναφορές.

Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn και άλλοι. Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651.
I. V. Boykov, L. D. Romanova. Συλλογή προβλημάτων για την προετοιμασία για την ενιαία κρατική εξέταση, μέρος 1, Penza 2003.
Bradis V. M.Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες: Για γενική εκπαίδευση. εγχειρίδιο εγκαταστάσεις. - 2η έκδ. - M.: Bustard, 1999.- 96 σελ.: ill. ISBN 5-7107-2667-2