Τα όρια δίνουν σε όλους τους μαθητές των μαθηματικών πολλά προβλήματα. Για να λύσετε ένα όριο, μερικές φορές πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλά κόλπα και να επιλέξετε από μια ποικιλία μεθόδων λύσης ακριβώς αυτή που είναι κατάλληλη για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Σε αυτό το άρθρο δεν θα σας βοηθήσουμε να κατανοήσετε τα όρια των δυνατοτήτων σας ή να κατανοήσετε τα όρια ελέγχου, αλλά θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: πώς να κατανοήσετε τα όρια στα ανώτερα μαθηματικά; Η κατανόηση έρχεται με την εμπειρία, οπότε ταυτόχρονα θα δώσουμε αρκετά λεπτομερή παραδείγματα επίλυσης ορίων με επεξηγήσεις.

Η έννοια του ορίου στα μαθηματικά

Το πρώτο ερώτημα είναι: ποιο είναι αυτό το όριο και τι όριο; Μπορούμε να μιλήσουμε για τα όρια των αριθμητικών ακολουθιών και συναρτήσεων. Μας ενδιαφέρει η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης, αφού αυτό συναντούν συχνότερα οι μαθητές. Αλλά πρώτα, ο πιο γενικός ορισμός ενός ορίου:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποια τιμή μεταβλητής. Εάν αυτή η τιμή στη διαδικασία αλλαγής πλησιάζει απεριόριστα έναν ορισμένο αριθμό ένα , Οτι ένα – το όριο αυτής της τιμής.

Για μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα f(x)=y ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται όριο ΕΝΑ , στο οποίο η συνάρτηση τείνει όταν Χ , τείνει σε ένα ορισμένο σημείο ΕΝΑ . Τελεία ΕΝΑ ανήκει στο διάστημα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση.

Ακούγεται δυσκίνητο, αλλά γράφεται πολύ απλά:

Λιμ- από τα Αγγλικά όριο- όριο.

Υπάρχει και μια γεωμετρική εξήγηση για τον προσδιορισμό του ορίου, αλλά εδώ δεν θα εμβαθύνουμε στη θεωρία, αφού μας ενδιαφέρει περισσότερο η πρακτική παρά η θεωρητική πλευρά του ζητήματος. Όταν το λέμε αυτό Χ τείνει σε κάποια τιμή, αυτό σημαίνει ότι η μεταβλητή δεν παίρνει την τιμή ενός αριθμού, αλλά τον πλησιάζει απείρως κοντά.

Ας δώσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Το καθήκον είναι να βρείτε το όριο.

Για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα, αντικαθιστούμε την τιμή x=3 σε μια συνάρτηση. Παίρνουμε:

Παρεμπιπτόντως, αν σας ενδιαφέρει, διαβάστε ένα ξεχωριστό άρθρο για αυτό το θέμα.

Σε παραδείγματα Χ μπορεί να τείνει σε οποιαδήποτε τιμή. Μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός ή άπειρο. Εδώ είναι ένα παράδειγμα όταν Χ τείνει στο άπειρο:

Διαισθητικά, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός στον παρονομαστή, τόσο μικρότερη είναι η τιμή που θα πάρει η συνάρτηση. Έτσι, με απεριόριστη ανάπτυξη Χ έννοια 1/x θα μειωθεί και θα πλησιάσει το μηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, για να λύσετε το όριο, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε την τιμή που θέλετε στη συνάρτηση Χ . Ωστόσο, αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση. Συχνά η εύρεση του ορίου δεν είναι τόσο προφανής. Εντός των ορίων υπάρχουν αβεβαιότητες του τύπου 0/0 ή άπειρο/άπειρο . Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Καταφύγετε σε κόλπα!

Αβεβαιότητες μέσα

Αβεβαιότητα της μορφής άπειρο/άπειρο

Ας υπάρχει ένα όριο:

Αν προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε το άπειρο στη συνάρτηση, θα πάρουμε άπειρο και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Γενικά, αξίζει να πούμε ότι υπάρχει ένα ορισμένο στοιχείο τέχνης στην επίλυση τέτοιων αβεβαιοτήτων: πρέπει να παρατηρήσετε πώς μπορείτε να μεταμορφώσετε τη συνάρτηση με τέτοιο τρόπο ώστε η αβεβαιότητα να εξαφανιστεί. Στην περίπτωσή μας, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με Χ στο ανώτερο πτυχίο. Τι θα συμβεί?

Από το παράδειγμα που συζητήθηκε ήδη παραπάνω, γνωρίζουμε ότι οι όροι που περιέχουν x στον παρονομαστή θα τείνουν στο μηδέν. Τότε η λύση στο όριο είναι:

Για την επίλυση αβεβαιοτήτων τύπου άπειρο/άπειροδιαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με Χστον υψηλότερο βαθμό.

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%.

Ένας άλλος τύπος αβεβαιότητας: 0/0

Όπως πάντα, αντικατάσταση τιμών στη συνάρτηση x=-1 δίνει 0 στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Κοιτάξτε λίγο πιο προσεκτικά και θα παρατηρήσετε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση στον αριθμητή. Ας βρούμε τις ρίζες και ας γράψουμε:

Ας μειώσουμε και πάρουμε:

Έτσι, εάν αντιμετωπίζετε αβεβαιότητα τύπου 0/0 – συνυπολογίστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Για να σας διευκολύνουμε να λύσετε παραδείγματα, παρουσιάζουμε έναν πίνακα με τα όρια ορισμένων συναρτήσεων:

Ο κανόνας του L'Hopital εντός

Ένας άλλος ισχυρός τρόπος για την εξάλειψη και των δύο τύπων αβεβαιότητας. Ποια είναι η ουσία της μεθόδου;

Εάν υπάρχει αβεβαιότητα στο όριο, πάρτε την παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή μέχρι να εξαφανιστεί η αβεβαιότητα.

Ο κανόνας του L'Hopital μοιάζει με αυτό:

Σημαντικό σημείο : πρέπει να υπάρχει το όριο στο οποίο βρίσκονται οι παράγωγοι αριθμητή και παρονομαστή αντί για αριθμητή και παρονομαστή.

Και τώρα - ένα πραγματικό παράδειγμα:

Υπάρχει τυπική αβεβαιότητα 0/0 . Ας πάρουμε τις παράγωγες του αριθμητή και του παρονομαστή:

Voila, η αβεβαιότητα λύνεται γρήγορα και κομψά.

Ελπίζουμε ότι θα μπορέσετε να εφαρμόσετε χρήσιμα αυτές τις πληροφορίες στην πράξη και να βρείτε την απάντηση στην ερώτηση «πώς να λύσετε όρια στα ανώτερα μαθηματικά». Εάν πρέπει να υπολογίσετε το όριο μιας ακολουθίας ή το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και δεν υπάρχει απολύτως χρόνος για αυτήν την εργασία, επικοινωνήστε με μια επαγγελματική υπηρεσία φοιτητών για μια γρήγορη και λεπτομερή λύση.

Να ξέρεις ότι ο καθένας έχει διαφορετικό «πληγωμένο»
Να ξέρετε ότι ο καθένας έχει διαφορετικό «τρομακτικό».
Μην κρίνεις από το καμπαναριό σου
Είναι άγνωστο πόσοι όροφοι υπάρχουν.

Μην κοιτάτε τα όρια
Μην επινοείτε όρια με το μυαλό σας.
Τι δεν θα ονειρευόσασταν ποτέ σε έναν εφιάλτη;
Για κάποιους είναι κάτι κοινό.

Να ξέρετε ότι ο καθένας έχει ένα διαφορετικό «πρέπει»,
Να ξέρετε ότι η «δυσκολία» του καθενός είναι διαφορετική.
Ωστόσο, η ιδέα της κόλασης
Είναι αδύνατο να γενικεύσουμε και να συγκρίνουμε.

Να ξέρεις ότι η αλήθεια είναι διαφορετική,
Και όχι αυτό που σερβίρεται σε πιατέλα.
Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτούς των οποίων η μοίρα είναι τρομακτική,
Αυτοί είναι οι πιο δυνατοί άνθρωποι.

Μην πεις ότι δεν σε θυμάμαι...
Θυμάμαι τα πάντα, πολλές φορές τη μέρα
Επαναλαμβάνω τον αριθμό τηλεφώνου
Αλλά δεν θα σε πάρω ποτέ τηλέφωνο.
Ένιωθα ότι η καρδιά μου ήταν έτοιμος να σπάσει
Και στο όριο των ημερών μοναξιάς

Πέρασαν πέρα ​​από τον ορίζοντα στην ψυχή μου.
Υπήρχε αγάπη, υπήρχε αγάπη, υπήρχε!
Και δεν υπάρχει τίποτα να προσθέσω σε αυτή τη φράση.
Το μαγικό μας κάστρο κάηκε ολοσχερώς
Και δεν μας άφησε στάχτη να θυμόμαστε.
Θυμάμαι τα πάντα και θυμάμαι τον ανθισμένο κήπο,
Και μέσα από το φύλλωμα - ακτίνες από όλες τις πλευρές,
Σαν από λευκό, λευκό καμπαναριό
Στην ψυχή σου -ακούς- χύνει ένα ήσυχο κουδούνισμα.
Η αγάπη έχει φύγει και δεν θα επιστρέψει ποτέ,
Και για να μην της λείπει για πάντα,
Τα μάτια σου είναι σαν δύο θλιμμένους ήλιους
Πέρασαν πέρα ​​από τον ορίζοντα στην ψυχή μου.

Το κυνήγι της ευτυχίας είναι και πάλι ανεπιτυχές...
Και είναι ένα βροχερό βράδυ, είναι σκοτεινό έξω…
Και σαν παιδί... άλειψα μαρμελάδα σε τσουρέκι
Και σίγουρα χαρούμενος, ανόητα χαρούμενος...

Glamour, εθιμοτυπία, διαμάντια, τζακούζι...
Τώρα, εκτός από την ευτυχία, στη μοίρα του "All inclusive",
Και ως παιδί έφαγα ηλιόσπορους,
Και η ευτυχία φαινόταν να μην έχει όρια...

Έχουμε γίνει πολύ σαν κλόουν...
Όλοι φορούν μακιγιάζ που γελάει απ' έξω...
Και στην παιδική ηλικία... μόνο ο ήλιος έσκαγε από τον ουρανό
Και η χαρούμενη καρδιά χαμογέλασε τόσο πολύ...

Επιλέγουμε ανθρώπους σαν το φαγόπυρο στη Σταχτοπούτα...
Επικοινωνήστε με όλους όσους χρειάζεστε... Όσοι είναι ασύμφοροι πάνε στο φούρνο...
Και στην παιδική ηλικία, ο καθαρός ουρανός πίστευε σε εμάς...
Πού είναι η χαρά από τη μυρωδιά του φρέσκου ψωμιού;

Και τώρα μπορεί να αγοραστεί και η φιλία...
Τα καταφέραμε... Ζούμε σε έναν κόσμο γούνας και δέρματος...
Και στην παιδική ηλικία έσωσαν τη μιγάδα από τη βροχή...
Και δίνοντας την ευτυχία, την έλαβαν.

Έχουμε χάσει την ειλικρίνεια και την ευαισθησία με τα χρόνια...
Καταλήξαμε μόνοι μας σε όρια και πλαίσια...
Έχετε ένα τσουρέκι και ένα βαζάκι με μαρμελάδα κεράσι;
Γι' αυτό να είσαι ευτυχισμένος!

Σε κοιτάζω και συνειδητοποιώ ότι ακόμα σε αγαπώ. Αυτή η αγάπη είναι μια χρόνια ασθένεια των τελευταίων ετών. Φέρνει τόσο αφόρητο πόνο που ρίχνομαι σε εντελώς αγνώστους, προσπαθώντας να εξαπατηθώ από αυτούς, μαζί τους ξαφνικά σε αυτές τις αγκαλιές θα βρω το ίδιο το παυσίπονο που, σύμφωνα με τους ιδιοκτήτες των ρυτιδιασμένων καρδιών, δεν υπάρχει καθόλου. Καταλαβαίνω ότι με εξαπατούν, αλλά συνεχίζω να αγκαλιάζομαι - δεν μπορώ να αυτοκτονήσω αλλιώς, πονάει, βασανίζει, δεν με αφήνει να κοιμηθώ το βράδυ, οπότε κάθομαι στο περβάζι και, σε άλλο λεπτό, θα ουρλιάξω σπαραχτικά από το μαρτύριο των ψευδαισθήσεων. Πρέπει να επικοινωνήσω μαζί σας για βοήθεια; Αχρηστος. Ξέρεις για την αγάπη μου, αλλά δεν το χρειάζεσαι, «το στόμα σου είναι γεμάτο ανέκφραστα συναισθήματα». Είμαστε στον ίδιο ιστό ανευθυνότητας, αλλά δεν μπορούμε να βοηθήσουμε ο ένας τον άλλον. Τυλίγεις τα χέρια σου γύρω από τις λεπτές λευκές κλωστές και τις ράβδους και κοιτάς κάπου πέρα ​​από τα όρια της πραγματικότητας, ελπίζοντας σε ποιανού τη βοήθεια ξέρει ο Θεός. Και υπάρχει μόνο μία διαφορά μεταξύ μας: η αγάπη μου για σένα παραλίγο να με ρίξει στα πόδια και η αγάπη σου για κάποιον σε τροφοδοτεί και σε αναζωογονεί με προσδοκία, αν και απατηλή. Δεν θέλω να σε κοιτάζω άλλο, διώχνω την πιθανότητα να είσαι από την καρδιά μου, αλλά αυτό το κάνει ακόμα πιο οδυνηρό. Περνάει, λοιπόν, τη διαδικασία να υποφέρει ψιθυριστά, ελπίζοντας επίσης σε ποιανού βοήθεια. Χρόνος?..

Η ζωή σου είναι ένα απόλυτο ψέμα, πορνό, καθημερινότητα, εθισμός στο Διαδίκτυο και σκλαβιά στο κινητό. Λοιπόν, δεν έχω δίκιο; Πες μου, έχεις κάνει ποτέ κάτι πραγματικά ασυνήθιστο; Ποτέ. Και δεν μπορείς. Ξέρεις γιατί? Γιατί όλα αυτά είναι έξω από τη ζώνη άνεσής σας. Είστε γεμάτοι σε αυτό. Όπως σε σακούλα πολυπροπυλενίου. Είστε κομμάτια κρέατος, στριμωγμένα από τα όρια της καθημερινότητας και της δουλειάς. Ή κάνω λάθος; Ίσως κάνω λάθος; Διόρθωσε με.
Για παράδειγμα, μπορείτε να δώσετε το κινητό σας τηλέφωνο στο πρώτο άτομο που θα συναντήσετε; ΕΝΑ? Δύσκολη ερώτηση. Μπορείτε να διαμορφώσετε τη βίδα στον υπολογιστή σας αυτή τη στιγμή; Χαζός? Σκατά τον εαυτό σου; Ξέρεις γιατί δεν το κάνεις αυτό; Γιατί ισοδυναμεί με αυτοκτονία. Δεν υπάρχεις χωρίς αυτό.



Έχει περάσει είκοσι οκτώ χρόνια και είκοσι οκτώ χειμώνες εκτός αυτού,

Κράτησε ένα μυστικό και ήταν ένας υποδειγματικός σύζυγος στην οικογένεια.
Όλα έμοιαζαν να είναι όπως συνήθως: η γυναίκα μου ετοίμαζε το δείπνο...
Αλλά ξαφνικά συνέβη κάτι κακό: θυμήθηκε το μυστικό.
Στο θόρυβο και την ξινή μυρωδιά της λαχανόσουπας, τη γκρίνια της αρραβωνιαστικιάς μου το πρωί,
Τα θυμόταν όλα μέχρι την παραμικρή λεπτομέρεια, σαν να είχαν συμβεί χθες...
...Κάθισε δίπλα στο παράθυρο, και το απαλό υπέροχο φως του φεγγαριού
Έβαψε την όμορφη σιλουέτα της σε παλ τόνους...
Τα σκέλη κυλούσαν στους ώμους, γλιστρούσαν σαν φίδια στο στήθος...
Και σκέφτηκε βιαστικά: «Θα την παντρευτώ κάποια μέρα!»
Θυμόταν τα πάντα μέχρι την παραμικρή λεπτομέρεια: τις καμπύλες των γραμμών, την απαλότητα των χειλιών...
Και η ζέστη των απλών ομιλιών της, και μια τεράστια βελανιδιά έξω από το παράθυρο.
Ένα κουβάρι χεριών... Μια συγχώνευση σωμάτων... Ένας καταρράκτης από καστανά μαλλιά...
Και πώς την ήθελε σε σημείο παροξυσμού, μέχρι δακρύων!
Ροή από τρέμουλες εξομολογήσεις, πώς μου τις ψιθύρισε στο αυτί!
Μια αστεία μπούκλα πάνω από το αυτί που έτρεμε από την αναπνοή...
Τον κοίταξε με μάτια βρεγμένα σαν νύχτα.
Τα λόγια ήταν μεθυστικά σαν κρασί: «Σ’ αγαπώ... Δώσε μου μια κόρη…»
Το πρωί έχασε την ησυχία του: φασαρίαζε, μετά βαριόταν...
Στη συνέχεια, καλύπτοντας το πρόσωπό του με το χέρι του, κάθισε σε μια καρέκλα και έμεινε σιωπηλός.
Η γυναίκα γκρίνιαξε, όπως πάντα. Επίπληξε τη σούπα της φυγής...
Και σημείωσε ότι τα χρόνια δεν της ταίριαζαν καθώς γερνούσε.
Όπως δεν της ταιριάζουν το λευκό χρώμα και τα βαμμένα μαλλιά.
Και για είκοσι οκτώ χρόνια όλα κατά κάποιο τρόπο δεν ήταν σοβαρά...
Ξαφνικά πετάχτηκε, άρπαξε το παλτό του και ξέχασε το καπέλο και τις κάλτσες του.
Και τα είκοσι οκτώ χρόνια δεν είναι ίδια... Και οι είκοσι οκτώ χειμώνες είναι μελαγχολικοί.
Βρήκε αυτό το σπίτι. Το σπίτι έχει μια βελανιδιά. Ανέβηκε τρέχοντας τις σκάλες σαν βέλος...
Μακάρι να μπορούσα να σταματήσω το τρέμουλο από τα κρύα χείλη, και την αποκρουστική δειλία - μακριά!
Μάλλον πίνει τσάι τώρα και τυλίγεται σε ένα σάλι...
Και μια ήσυχη θλίψη αναβλύζει από τα όμορφα μάτια της...
Ή μήπως άρχισε να πλέκει; Ή μήπως ύφανση δαντέλας;
Υπάρχουν τόσα πολλά να της πεις! Και το κύριο πράγμα είναι να πούμε - Λυπάμαι...
Άνοιξε την πόρτα... Μια ερώτηση στα μάτια της. Ήταν ξανά είκοσι χρονών...
Ένας καταρράκτης από καστανά μαλλιά... Μια σιλουέτα γνώριμη στην καρδιά...
Υπάρχει μια ελαφριά μπούκλα πάνω από το αυτί... Όπως και πριν από πολλά χρόνια - ακριβώς το ίδιο...
«Δεν κάνεις λάθος;» «Όχι, δεν μπορούσα... Είσαι η Άνυα;» Βέρα. Η κορη της…"
"Και η Άνυα;" - "Η μαμά δεν είναι πια... Ποια είσαι;" Γύρισε πίσω:
«Είκοσι οκτώ χρόνια πήγα σε αυτήν...» - Σε περίμενε... Είκοσι πέντε...
Τι ζαλάδα... Πώς βούλιαξε η καρδιά μου στο στήθος μου!
Και θυμήθηκε τα λόγια της με μια προσευχή: «Μη φύγεις!»
Έσκυψε. Αυτός απομακρύνθηκε με βιασύνη. Πλέξιμο χεριών... Συγχώνευση σωμάτων...
Σ' αγαπώ... Δώσε μου μια κόρη... Αλλά ήθελε πολύ μια κόρη.
Πόσο περίεργο. Η Άνυα δεν είναι πια... Έκλαψα... Το έριξα στη σιωπή: «Θα σε αγαπώ για πολλά πολλά χρόνια... Εσύ μόνο...»

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΕ ΤΗΝ ΑΓΑΠΗ - είναι το θεμέλιο της ευτυχίας σας...



Μια γυναίκα που συγχωρεί πολύ συχνά και αντέχει για πολύ καιρό συχνά φεύγει απρόσμενα και για πάντα!