भिन्नों के साथ काम करते समय कई छात्र वही गलतियाँ करते हैं। और सब इसलिए क्योंकि वे भूल जाते हैं बुनियादी नियम अंकगणित. आज हम इन नियमों को उन विशिष्ट कार्यों पर दोहराएंगे जो मैं अपनी कक्षाओं में देता हूं।

यहां वह कार्य है जो मैं उन सभी को प्रदान करता हूं जो गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं:

काम। एक पोरपोइज़ प्रतिदिन 150 ग्राम भोजन खाता है। लेकिन वह बड़ी हो गई और 20% अधिक खाने लगी। अब सुअर कितने ग्राम चारा खाता है?

नहीं सही निर्णय. यह एक प्रतिशत समस्या है जो समीकरण पर आधारित है:

कई (बहुत से) भिन्न के अंश और हर में संख्या 100 को कम करते हैं:

यह वह गलती है जो मेरे छात्र ने इस लेख को लिखने के दिन ही की थी। जिन नंबरों को काट दिया गया है उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कहने की आवश्यकता नहीं कि उत्तर ग़लत था। खुद जज करें: सुअर ने 150 ग्राम खाया, लेकिन 3150 ग्राम खाना शुरू कर दिया। यह बढ़ोतरी 20% नहीं, बल्कि 21 गुना यानि कि हुई है। 2000% तक.

ऐसी ग़लतफ़हमियों से बचने के लिए, बुनियादी नियम याद रखें:

केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है। शर्तें कम नहीं की जा सकतीं!

इस प्रकार, पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

वे संख्याएँ जो अंश और हर में संक्षिप्त हैं, लाल रंग में चिह्नित हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अंश गुणनफल है, हर है साधारण संख्या. इसलिए, कटौती पूरी तरह से कानूनी है.

अनुपात के साथ काम करना

एक अन्य समस्या क्षेत्र है अनुपात. खासतौर पर तब जब वेरिएबल दोनों तरफ हो। उदाहरण के लिए:

काम। प्रश्न हल करें:

ग़लत समाधान - कुछ लोग वस्तुतः हर चीज़ को m से छोटा करने के लिए उत्सुक रहते हैं:

कम किए गए चर लाल रंग में दिखाए गए हैं। अभिव्यक्ति 1/4 = 1/5 पूरी तरह से बकवास साबित होती है, ये संख्याएँ कभी भी समान नहीं होती हैं।

और अब - सही निर्णय. मूलतः यह सामान्य है रैखिक समीकरण. इसे या तो सभी तत्वों को एक तरफ ले जाकर या अनुपात की मूल संपत्ति द्वारा हल किया जा सकता है:

कई पाठक आपत्ति करेंगे: "पहले समाधान में गलती कहाँ है?" खैर, आइए इसका पता लगाएं। आइए समीकरणों के साथ काम करने का नियम याद रखें:

किसी भी समीकरण को किसी भी संख्या से विभाजित और गुणा किया जा सकता है, शून्येतर.

क्या आप युक्ति चूक गए? आप केवल संख्याओं से भाग दे सकते हैं शून्येतर. विशेष रूप से, आप केवल एक चर m से विभाजित कर सकते हैं यदि m != 0. लेकिन क्या होगा यदि m = 0? आइए प्रतिस्थापित करें और जांचें:

हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई, अर्थात्। m = 0 समीकरण का मूल है. शेष m != 0 के लिए हमें 1/4 = 1/5 के रूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, जो स्वाभाविक रूप से गलत है। इस प्रकार, कोई गैर-शून्य जड़ें नहीं हैं।

निष्कर्ष: सब कुछ एक साथ रखना

इसलिए, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए, तीन नियम याद रखें:

1. केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है। परिवर्धन संभव नहीं है. इसलिए, अंश और हर का गुणनखंड करना सीखें;
2. अनुपात का मुख्य गुण: चरम तत्वों का गुणनफल मध्य तत्वों के गुणनफल के बराबर होता है;
3. समीकरणों को केवल शून्य के अलावा अन्य संख्याओं से गुणा और विभाजित किया जा सकता है। केस k = 0 की अलग से जाँच की जानी चाहिए।

इन नियमों को याद रखें और गलतियाँ न करें।

भिन्न और उनका न्यूनीकरण एक अन्य विषय है जो 5वीं कक्षा से शुरू होता है। यहां इस क्रिया का आधार बनता है, और फिर इन कौशलों को उच्च गणित में एक धागे के रूप में खींचा जाता है। यदि विद्यार्थी को समझ नहीं आता है तो उसे बीजगणित में समस्या हो सकती है। इसलिए, कुछ नियमों को एक बार और हमेशा के लिए समझ लेना बेहतर है। और एक निषेध भी याद रखना और उसे कभी मत तोड़ना।

अंश और उसकी कमी

हर छात्र जानता है कि यह क्या है। क्षैतिज रेखा के बीच स्थित कोई भी दो अंक तुरंत भिन्न के रूप में समझे जाते हैं। हालाँकि, हर कोई यह नहीं समझता है कि कोई भी संख्या बन सकती है। यदि यह एक पूर्णांक है, तो इसे हमेशा एक से विभाजित किया जा सकता है, और फिर आपको एक अनुचित भिन्न प्राप्त होता है। लेकिन उस पर बाद में।

शुरुआत हमेशा सरल होती है. सबसे पहले आपको यह पता लगाना होगा कि उचित भिन्न को कैसे कम किया जाए। अर्थात् वह जिसमें अंश हर से छोटा हो। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न के मूल गुण को याद रखना होगा। इसमें कहा गया है कि जब इसके अंश और हर को एक ही समय में एक ही संख्या से गुणा (साथ ही विभाजित) किया जाता है, तो एक समतुल्य भिन्न प्राप्त होता है।

विभाजन की कार्रवाइयाँ जो इस संपत्ति पर की जाती हैं और जिसके परिणामस्वरूप कमी आती है। यानी जितना हो सके इसे सरल बनाना. एक अंश को तब तक कम किया जा सकता है जब तक रेखा के ऊपर और नीचे सामान्य गुणनखंड हों। जब वे नहीं रहेंगे तो कटौती असंभव है। और वे कहते हैं कि यह अंश अपरिवर्तनीय है।

दो रास्ते

1.चरण दर चरण कमी.यह एक अनुमान पद्धति का उपयोग करता है जहां दोनों संख्याओं को छात्र द्वारा देखे गए न्यूनतम सामान्य कारक से विभाजित किया जाता है। यदि पहले संकुचन के बाद यह स्पष्ट हो जाए कि यह अंत नहीं है, तो विभाजन जारी रहता है। जब तक कि अंश अघुलनशील न हो जाए।

2. अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना।भिन्नों को कम करने का यह सबसे तर्कसंगत तरीका है। इसमें अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना शामिल है। उनमें से, फिर आपको सभी समान को चुनने की आवश्यकता है। उनका उत्पाद सबसे बड़ा सामान्य कारक देगा जिसके द्वारा भिन्न को कम किया जाता है।

ये दोनों विधियाँ समतुल्य हैं। छात्र को उनमें महारत हासिल करने और जो उसे सबसे अच्छा लगता है उसका उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है।

यदि अक्षर और जोड़-घटाव संक्रियाएँ हों तो क्या होगा?

प्रश्न का पहला भाग कमोबेश स्पष्ट है। अक्षरों को संख्याओं की तरह ही संक्षिप्त किया जा सकता है। मुख्य बात यह है कि वे गुणक के रूप में कार्य करते हैं। लेकिन कई लोगों को दूसरे से दिक्कत होती है.

याद रखना महत्वपूर्ण है! आप केवल उन संख्याओं को कम कर सकते हैं जो गुणनखंड हैं। यदि वे सारांश हैं, तो यह असंभव है।

यह समझने के लिए कि बीजगणितीय अभिव्यक्ति के रूप वाले भिन्नों को कैसे कम किया जाए, आपको नियम को समझने की आवश्यकता है। सबसे पहले, अंश और हर को गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। फिर यदि सामान्य कारक सामने आएं तो आप कम कर सकते हैं। इसे गुणक के रूप में प्रस्तुत करने के लिए निम्नलिखित तकनीकें उपयोगी हैं:

• समूहीकरण;
• ब्रैकेटिंग;
• संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग।

इसके अलावा, बाद वाली विधि गुणक के रूप में पदों को तुरंत प्राप्त करना संभव बनाती है। इसलिए, यदि कोई ज्ञात पैटर्न दिखाई दे तो इसका हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए।

लेकिन यह अभी तक डरावना नहीं है, फिर डिग्री और जड़ों वाले कार्य सामने आते हैं। तभी आपको साहस हासिल करने और कुछ नए नियम सीखने की जरूरत है।

डिग्री के साथ अभिव्यक्ति

अंश। अंश और हर गुणनफल हैं। अक्षर और अंक हैं. और उन्हें एक शक्ति तक भी बढ़ा दिया जाता है, जिसमें पद या कारक भी शामिल होते हैं। डरने की कोई बात है.

यह समझने के लिए कि घातों से भिन्नों को कैसे कम किया जाए, आपको दो बातें सीखने की आवश्यकता होगी:

• यदि घातांक में कोई योग है, तो इसे कारकों में विघटित किया जा सकता है, जिनकी घातें मूल पद होंगी;
• यदि अंतर है, तो लाभांश और भाजक, पहले के पास घात का लघुअंत होगा, दूसरे के पास उपअंत होगा।

इन चरणों को पूरा करने के बाद, कुल गुणक दिखाई देने लगते हैं। ऐसे उदाहरणों में सभी शक्तियों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। यह समान घातांक और आधारों के साथ डिग्री को कम करने के लिए पर्याप्त है।

अंततः घातों से भिन्नों को कम करने में महारत हासिल करने के लिए, आपको बहुत अभ्यास की आवश्यकता है। कई समान उदाहरणों के बाद, क्रियाएं स्वचालित रूप से निष्पादित की जाएंगी।

यदि अभिव्यक्ति में एक जड़ हो तो क्या होगा?

इसे छोटा भी किया जा सकता है. केवल फिर से, नियमों का पालन करते हुए। इसके अलावा, ऊपर वर्णित सभी सत्य हैं। सामान्य तौर पर, यदि प्रश्न यह है कि मूलों के साथ भिन्न को कैसे कम किया जाए, तो आपको विभाजित करने की आवश्यकता है।

इसे अतार्किक अभिव्यक्तियों में भी विभाजित किया जा सकता है। अर्थात्, यदि अंश और हर में मूल के चिह्न के नीचे संलग्न समान गुणनखंड हों, तो उन्हें सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है। इससे अभिव्यक्ति सरल हो जाएगी और कार्य पूरा हो जाएगा।

यदि कमी के बाद भिन्न रेखा के नीचे अतार्किकता बनी रहती है तो आपको इससे छुटकारा पाने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, अंश और हर को इससे गुणा करें। यदि इस ऑपरेशन के बाद सामान्य कारक सामने आते हैं, तो उन्हें फिर से कम करने की आवश्यकता होगी।

संभवतः यह सब अंशों को कम करने के बारे में है। कुछ नियम हैं, लेकिन केवल एक निषेध है। शब्दों को कभी छोटा न करें!

इस लेख में हम देखेंगे बीजगणितीय भिन्नों के साथ बुनियादी संक्रियाएँ:

• अंशों को कम करना
• भिन्नों को गुणा करना
• भिन्नों को विभाजित करना

आइये शुरू करते हैं कटौती बीजीय भिन्न .

ऐसा प्रतीत होगा एल्गोरिदमज़ाहिर।

को बीजगणितीय भिन्नों को कम करें, करने की जरूरत है

1. भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें।

2. समान गुणनखंडों को कम करें।

हालाँकि, स्कूली बच्चे अक्सर कारकों को नहीं, बल्कि शर्तों को "कम" करने की गलती करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे शौकीन लोग हैं जो भिन्नों को "कम" करते हैं और परिणामस्वरूप परिणाम प्राप्त करते हैं, जो निश्चित रूप से सच नहीं है।

आइए उदाहरण देखें:

1. एक अंश कम करें:

1. आइए हम योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके अंश का गुणनखंड करें, और वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर का गुणनखंड करें।

2. अंश और हर को इससे विभाजित करें

2. एक अंश कम करें:

1. आइए अंश का गुणनखंड करें। चूँकि अंश में चार पद होते हैं, हम समूहन का उपयोग करते हैं।

2. आइए हर का गुणनखंड करें। हम ग्रुपिंग का भी उपयोग कर सकते हैं।

3. आइए जो भिन्न हमें प्राप्त हुआ उसे लिखें और समान गुणनखंडों को घटाएं:

बीजगणितीय भिन्नों को गुणा करना.

बीजीय भिन्नों को गुणा करते समय, हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हर को हर से गुणा करते हैं।

महत्वपूर्ण!भिन्न के अंश और हर को गुणा करने के लिए जल्दबाजी करने की कोई आवश्यकता नहीं है। जब हमने भिन्नों के अंशों के गुणनफल को अंश में और हरों के गुणनफल को हर में लिख लिया है, तो हमें प्रत्येक कारक का गुणनखंड करना होगा और भिन्न को कम करना होगा।

आइए उदाहरण देखें:

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1. आइए भिन्नों का गुणनफल लिखें: अंश में अंशों का गुणनफल, और हर में हरों का गुणनफल:

2. आइए प्रत्येक कोष्ठक का गुणनखंड करें:

अब हमें उन्हीं कारकों को कम करने की जरूरत है।' ध्यान दें कि अभिव्यक्तियाँ और केवल संकेत में भिन्न हैं: और पहले व्यंजक को दूसरे से भाग देने पर हमें -1 प्राप्त होता है।

इसलिए,

हम बीजीय भिन्नों को निम्नलिखित नियम के अनुसार विभाजित करते हैं:

वह है भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको "उल्टे" से गुणा करना होगा।

हम देखते हैं कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन होता है, और गुणन अंततः भिन्नों को कम करने में आता है।

आइए एक उदाहरण देखें:

4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

ऑनलाइन कैलकुलेटर कार्य करता है बीजगणितीय भिन्नों की कमीभिन्नों को कम करने के नियम के अनुसार: मूल भिन्न को एक समान भिन्न के साथ बदलना, लेकिन छोटे अंश और हर के साथ, यानी। किसी भिन्न के अंश और हर को उनके सामान्य महत्तम से एक साथ विभाजित करना सामान्य विभाजक(सिर हिलाकर सहमति देना)। कैलकुलेटर भी प्रदर्शित करता है विस्तृत समाधान, जो आपको कटौती के क्रम को समझने में मदद करेगा।

दिया गया:

समाधान:

अंश में कमी करना

बीजगणितीय भिन्न कटौती करने की संभावना की जाँच करना

1) भिन्न के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) का निर्धारण

बीजीय भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) निर्धारित करना

2) भिन्न के अंश और हर को कम करना

बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर को कम करना

3) भिन्न के पूर्ण भाग का चयन करना

बीजगणितीय भिन्न के पूरे भाग को अलग करना

4) बीजगणितीय भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना

एक बीजगणितीय भिन्न को परिवर्तित करना दशमलव

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I. ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके बीजीय भिन्न को कम करने की प्रक्रिया:

1. किसी बीजगणितीय भिन्न को कम करने के लिए, भिन्न के अंश और हर के मानों को उपयुक्त फ़ील्ड में दर्ज करें। यदि भिन्न मिश्रित है तो भिन्न के संपूर्ण भाग के अनुरूप फ़ील्ड भी भरें। यदि भिन्न सरल है तो संपूर्ण भाग का क्षेत्र खाली छोड़ दें।
2. ऋणात्मक भिन्न को निर्दिष्ट करने के लिए, भिन्न के पूरे भाग पर ऋण चिह्न लगाएं।
3. निर्दिष्ट बीजीय अंश के आधार पर, क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम स्वचालित रूप से निष्पादित होता है:

• किसी भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) निर्धारित करना;
• किसी भिन्न के अंश और हर को gcd से कम करना;
• भिन्न के पूरे भाग को उजागर करना, यदि अंतिम भिन्न का अंश हर से बड़ा है।
• अंतिम बीजीय भिन्न को दशमलव भिन्न में परिवर्तित करनानिकटतम सौवें तक पूर्णांकित।

द्वितीय. संदर्भ के लिए:

भिन्न एक संख्या है जिसमें एक इकाई के एक या अधिक भाग (अंश) शामिल होते हैं। सामान्य अंश(सरल भिन्न) को दो संख्याओं (अंश का अंश और भिन्न का हर) के रूप में लिखा जाता है, जो विभाजन चिह्न को इंगित करने वाली एक क्षैतिज पट्टी (अंश पट्टी) द्वारा अलग की जाती हैं। भिन्न का अंश भिन्न रेखा के ऊपर की संख्या है। अंश दर्शाता है कि कुल कितने शेयर लिए गए।भिन्न का हर भिन्न रेखा के नीचे की संख्या है। हर से पता चलता है कि संपूर्ण को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है। साधारण भिन्न वह भिन्न होती है जिसका कोई पूर्ण भाग नहीं होता। एक साधारण भिन्न उचित या अनुचित हो सकता है।उचित भिन्न - वह भिन्न जिसका अंश है हर से कम, इसलिए एक उचित भिन्न हमेशा एक से कम होता है। उचित भिन्नों का उदाहरण: 8/7, 11/19, 16/17।

अनुचित भिन्न - एक भिन्न जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, इसलिए एक अनुचित भिन्न हमेशा होता है

1. एक से अधिक या उसके बराबर. अनुचित भिन्नों का उदाहरण: 7/6, 8/7, 13/13। , मिश्रित भिन्न वह संख्या है जिसमें एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न होता है, और उस पूर्ण संख्या और उचित भिन्न के योग को दर्शाता है। किसी भी मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदला जा सकता है, साधारण अंश.
2. . मिश्रित भिन्नों का उदाहरण: 1¼, 2½, 4¾।

तृतीय. टिप्पणी:

स्रोत डेटा ब्लॉक पर प्रकाश डाला गया

पीला मध्यवर्ती गणनाओं के ब्लॉक को नीले रंग में हाइलाइट किया गया हैसमाधान ब्लॉक को हरे रंग में हाइलाइट किया गया है

• सामान्य या मिश्रित भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के लिए, विस्तृत समाधानों के साथ ऑनलाइन भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग करें। स्कूल में बच्चे छठी कक्षा में भिन्नों को कम करने के नियम सीखते हैं। इस लेख में, हम पहले आपको बताएंगे कि इस क्रिया का क्या अर्थ है, फिर हम बताएंगे कि एक कम करने योग्य अंश को एक अपरिवर्तनीय अंश में कैसे परिवर्तित किया जाए। अगला बिंदु भिन्नों को कम करने के नियम होंगे, और फिर हम धीरे-धीरे उदाहरणों पर पहुंचेंगे।"अंश को कम करने" का क्या मतलब है?

यह ध्यान देने योग्य है कि गणित की पुस्तकों में "एक अंश को कम करें" कार्य के साथ, इसका मतलब है कि आपको मूल अंश को इस अपरिवर्तनीय रूप में कम करने की आवश्यकता है। अगर हम बात करें सरल शब्दों में, तो हर और अंश को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करना एक कमी है।

भिन्न को कैसे कम करें. भिन्नों को कम करने के नियम (ग्रेड 6)

तो यहाँ केवल दो नियम हैं.

1. भिन्नों को कम करने का पहला नियम यह है कि सबसे पहले अपने भिन्न के हर और अंश का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ज्ञात करें।
2. दूसरा नियम: हर और अंश को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करें, अंततः एक अघुलनशील अंश प्राप्त करें।

अनुचित भिन्न को कैसे कम करें?

भिन्नों को कम करने के नियम अनुचित भिन्नों को कम करने के नियमों के समान हैं।

कम करने के लिए अनुचित अंश, सबसे पहले आपको हर और अंश को अभाज्य गुणनखंडों में लिखना होगा, और उसके बाद ही सामान्य गुणनखंडों को कम करना होगा।

मिश्रित अंशों को कम करना

भिन्नों को कम करने के नियम मिश्रित भिन्नों को कम करने पर भी लागू होते हैं। केवल एक छोटा सा अंतर है: हम पूरे भाग को नहीं छू सकते हैं, लेकिन अंश को कम कर सकते हैं या मिश्रित अंश को अनुचित अंश में बदल सकते हैं, फिर इसे कम कर सकते हैं और इसे फिर से उचित अंश में बदल सकते हैं।

कम करना मिश्रित अंशदो तरह से संभव है.

पहला: भिन्नात्मक भाग को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें और फिर पूरे भाग को अकेला छोड़ दें।

दूसरा तरीका: पहले इसे अनुचित भिन्न में बदलें, इसे सामान्य गुणनखंडों में लिखें, फिर भिन्न को कम करें। पहले से प्राप्त अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

उदाहरण ऊपर फोटो में देखे जा सकते हैं।

हम वास्तव में आशा करते हैं कि हम आपकी और आपके बच्चों की मदद करने में सक्षम थे। आख़िरकार, वे अक्सर कक्षा में असावधान रहते हैं, इसलिए उन्हें घर पर स्वयं अधिक गहनता से अध्ययन करना पड़ता है।