한계는 모든 수학 학생들에게 많은 어려움을 안겨줍니다. 한계를 해결하려면 때로는 많은 트릭을 사용해야 하고 다양한 해결 방법 중에서 특정 예에 적합한 방법을 선택해야 합니다.

이 기사에서는 능력의 한계를 이해하거나 제어의 한계를 이해하는 데 도움을 주지는 않지만 고등 수학에서 한계를 이해하는 방법이라는 질문에 답하려고 노력할 것입니다. 이해는 경험과 함께 제공되므로 동시에 설명과 함께 한계 해결에 대한 몇 가지 자세한 예를 제공합니다.

수학에서 극한의 개념

첫 번째 질문은 이 한계는 무엇이며, 그 한계는 무엇입니까? 숫자 시퀀스와 함수의 한계에 대해 이야기할 수 있습니다. 우리는 함수의 극한이라는 개념에 관심이 있습니다. 왜냐하면 이것이 학생들이 가장 자주 접하게 되는 것이기 때문입니다. 하지만 먼저 극한의 가장 일반적인 정의는 다음과 같습니다.

변수 값이 있다고 가정해 보겠습니다. 변화하는 과정에서 이 값이 특정 숫자에 무한히 접근하면 ㅏ , 저것 ㅏ – 이 값의 한계.

특정 간격으로 정의된 함수의 경우 f(x)=y 그러한 숫자를 한계라고 부릅니다. ㅏ , 함수는 다음과 같은 경향이 있습니다. 엑스 , 특정 지점으로 경향 ㅏ . 점 ㅏ 함수가 정의된 간격에 속합니다.

번거롭게 들리지만 매우 간단하게 작성되었습니다.

임- 영어로부터 한계- 한계.

한계를 결정하기 위한 기하학적 설명도 있지만 여기서는 문제의 이론적인 측면보다는 실제적인 측면에 더 관심이 있기 때문에 이론을 자세히 다루지는 않습니다. 우리가 그런 말을 할 때 엑스 어떤 값을 갖는 경향이 있다는 것은 변수가 숫자의 값을 취하지 않고 무한히 가깝게 접근한다는 것을 의미합니다.

구체적인 예를 들어 보겠습니다. 임무는 한계를 찾는 것입니다.

이 예를 해결하기 위해 값을 대체합니다. x=3 함수로. 우리는 다음을 얻습니다:

그건 그렇고, 관심이 있다면 이 주제에 대한 별도의 기사를 읽어보십시오.

예제에서는 엑스 어떤 가치에도 영향을 미칠 수 있습니다. 임의의 숫자 또는 무한대가 될 수 있습니다. 다음은 다음과 같은 경우의 예입니다. 엑스 무한대로 가는 경향이 있습니다.

직관적으로 분모의 숫자가 클수록 함수가 취하는 값은 작아집니다. 그래서 무한한 성장으로 엑스 의미 1/x 감소하여 0에 가까워집니다.

보시다시피, 한계를 해결하려면 노력하려는 값을 함수에 대입하면 됩니다. 엑스 . 그러나 이것은 가장 간단한 경우입니다. 한계를 찾는 것이 그리 명확하지 않은 경우가 많습니다. 한계 내에는 유형의 불확실성이 있습니다. 0/0 또는 무한대/무한대 . 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 트릭을 사용하세요!

내부의 불확실성

무한대/무한대 형태의 불확실성

제한을 두십시오.

함수에 무한대를 대입하려고 하면 분자와 분모 모두 무한대를 얻게 됩니다. 일반적으로 그러한 불확실성을 해결하는 데에는 예술의 특정 요소가 있다고 말할 가치가 있습니다. 불확실성이 사라지는 방식으로 기능을 어떻게 변환할 수 있는지 주목해야 합니다. 우리의 경우에는 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스 고위 학위에서. 무슨 일이 일어날 것?

위에서 이미 논의한 예에서 우리는 분모에 x를 포함하는 항이 0이 되는 경향이 있다는 것을 알고 있습니다. 그러면 한계에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

유형 불확실성을 해결하려면 무한대/무한대분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스최고 수준으로.

그런데! 독자 여러분을 위해 지금 10% 할인 혜택이 제공됩니다.

또 다른 유형의 불확실성: 0/0

언제나 그렇듯이 함수에 값을 대입하면 x=-1 준다 0 분자와 분모에. 조금 더 자세히 살펴보면 분자에 이차 방정식이 있다는 것을 알 수 있습니다. 뿌리를 찾아서 다음과 같이 작성해 봅시다.

줄이고 다음을 얻자:

따라서 유형이 확실하지 않은 경우 0/0 – 분자와 분모를 인수분해합니다.

예제를 더 쉽게 풀 수 있도록 일부 기능의 제한 사항이 포함된 표를 제시합니다.

로피탈의 법칙

두 가지 유형의 불확실성을 모두 제거하는 또 다른 강력한 방법입니다. 이 방법의 본질은 무엇입니까?

극한에 불확실성이 있으면 불확실성이 사라질 때까지 분자와 분모를 미분합니다.

로피탈의 법칙은 다음과 같습니다.

중요한 점 : 분자와 분모 대신 분자와 분모의 도함수가 존재해야 하는 한계.

이제 실제 예를 들어보겠습니다.

전형적인 불확실성이 있습니다. 0/0 . 분자와 분모의 미분을 살펴보겠습니다.

짜잔, 불확실성이 빠르고 우아하게 해결되었습니다.

이 정보를 실제로 유용하게 적용하고 "고등 수학에서 한계를 해결하는 방법"이라는 질문에 대한 답을 찾을 수 있기를 바랍니다. 수열의 극한이나 한 지점에서 함수의 극한을 계산해야 하는데 이 작업을 할 시간이 전혀 없다면 전문 학생 서비스에 문의하여 빠르고 자세한 솔루션을 받으세요.

사람마다 '상처'가 다르다는 것을 알고,
모든 사람은 서로 다른 "무서움"을 가지고 있음을 알아 두십시오.
종탑만 보고 판단하지 마세요
몇 층인지는 알려지지 않았습니다.

경계를 보지 마세요
두뇌에 한계를 만들지 마세요.
악몽 속에서는 어떤 꿈도 꾸지 않겠습니까?
어떤 사람들에게는 그것은 흔한 일입니다.

사람마다 '해야 할 일'이 다르다는 것을 알아두세요.
모든 사람의 "어려움"이 다르다는 것을 아십시오.
그러나 지옥에 대한 생각은
일반화하고 비교하는 것은 불가능합니다.

진실은 다르다는 것을 알고,
그리고 접시에 담겨 나오는 것이 아닙니다.
운명이 무서운 사람들을 자세히 살펴보십시오.
이들은 가장 강한 사람들입니다.

내가 당신을 기억하지 못한다고 말하지 마세요...
모든 걸 기억해 하루에도 몇 번씩
나는 전화번호를 반복한다
하지만 난 절대 전화하지 않을 거예요.
심장이 터질 것 같았어
그리고 외로운 날들의 한계 속에서

그들은 내 영혼의 지평선 너머로 나아갔습니다.
사랑이 있었다, 사랑이 있었다, 있었다!
그리고 이 문구에는 추가할 내용이 없습니다.
우리의 마법의 성은 불타버렸어요
그리고 그는 우리가 기억할 수 있도록 재를 남기지 않았습니다.
나는 모든 것을 기억하고 꽃이 핀 정원을 기억합니다.
그리고 단풍을 통해-사방에서 나오는 광선,
하얗고 하얀 종탑에서 나온 듯
당신의 영혼에는 조용한 울림이 쏟아지고 있습니다.
사랑은 떠났고 다시는 돌아오지 않을 것이다.
그리고 그녀를 영원히 그리워하지 않기 위해,
당신의 눈은 두 개의 슬픈 태양과 같습니다
그들은 내 영혼의 지평선 너머로 나아갔습니다.

행복 추구는 또 실패..
그리고 비오는 저녁이라 밖은 어두워요...
그리고 어렸을때...빵에 잼을 발라서
그리고 확실히 행복하고, 어리석게도 행복해요...

매력, 에티켓, 다이아몬드, 자쿠지...
이제는 행복에 더해 '포괄적'이라는 운명 속에
그리고 어렸을 때 나는 해바라기씨를 먹었고,
그리고 행복에는 한계가 없는 것 같았습니다...

우리는 너무 광대처럼 변해버렸어요...
다들 겉으로는 웃는 메이크업을 하고 계시네요...
그리고 어린 시절... 하늘에서는 태양만이 뚫고 나왔죠
그리고 행복한 마음이 너무 웃었어요..

신데렐라의 메밀 같은 인물을 뽑는다...
필요한 모든 사람에게 연락하십시오... 수익성이 없는 사람들은 난로로 가십시오...
그리고 어린 시절 맑은 하늘은 우리를 믿었다...
갓 구운 빵 냄새의 기쁨은 어디에 있습니까?

이제 우정도 살 수 있습니다...
우리가 해냈습니다... 우리는 모피와 가죽의 세계에 살고 있습니다...
그리고 어린 시절 그들은 비로부터 잡종을 구했습니다 ...
그리고 그들은 행복을 줌으로써 그것을 받았습니다.

세월이 흐르면서 우리는 성실함과 감성을 잃어버렸습니다...
우리 스스로 경계와 틀을 생각해냈어요.
빵과 체리잼 한 병이 있나요?
그러니 정말 행복하세요!

나는 당신을보고 내가 여전히 당신을 사랑한다는 것을 깨닫습니다. 이 사랑은 최근 몇 년 동안의 만성 질환입니다. 참을 수없는 고통을 가져 와서 완전히 낯선 사람에게 속으려고 노력하고 갑자기이 포옹에서 나는 주름진 마음의 소유자에 따르면 전혀 존재하지 않는 바로 그 진통제를 발견하게 될 것입니다. 나는 속고 있다는 것을 이해하지만 여전히 계속 포옹합니다. 그렇지 않으면 자살 할 수없고, 아프고, 고통스럽고, 밤에 잠을 잘 수 없어서 창턱에 앉아 있고, 잠시 후 나는 환상의 고문으로 가슴이 찢어지는 비명을 지르게 될 것입니다. 도움을 받으려면 당신에게 연락해야 할까요? 쓸모 없는. 당신은 내 사랑에 대해 알고 있지만 필요하지 않습니다. "당신의 입에는 표현되지 않은 감정이 가득합니다." 우리는 같은 무책임의 그물 속에 있지만 서로를 도울 수는 없습니다. 얇은 흰색 실과 막대에 손을 감싸고 현실의 경계 너머 어딘가를 바라보며 하나님이 누구의 도움을 받기를 바랍니다. 그리고 우리 사이에는 단 한 가지 차이점이 있습니다. 당신에 대한 나의 사랑은 나를 거의 쓰러뜨릴 뻔했고, 누군가에 대한 당신의 사랑은 비록 기만적이긴 하지만 기대로 당신에게 연료를 공급하고 활력을 불어넣습니다. 더 이상 당신을 보고 싶지 않고, 당신의 가능성을 가슴에서 몰아내지만, 그래서 더욱 괴로워집니다. 그래서 그는 속삭임으로 고난의 과정을 겪으며, 또한 하나님께서 누구의 도움을 받으시기를 바랍니다. 시간?..

당신의 삶은 완전한 거짓말, 포르노, 일상생활, 인터넷 중독, 휴대폰 노예입니다. 글쎄요, 제 말이 맞지 않나요? 말해 보세요, 정말 평범하지 않은 일을 해 본 적이 있나요? 절대. 그리고 당신은 할 수 없습니다. 이유를 아시나요? 이 모든 것이 당신의 안전지대 밖에 있기 때문입니다. 당신은 그것에 포장되어 있습니다. 폴리프로필렌 가방처럼 말이죠. 당신은 일상과 일의 제약에 짓눌린 고깃덩어리입니다. 아니면 내가 틀렸나요? 어쩌면 내가 틀렸나? 정정 해줘.
예를 들어, 처음 만나는 사람에게 휴대폰을 줄 수 있나요? ㅏ? 까다로운 질문입니다. 지금 컴퓨터에서 나사를 포맷할 수 있나요? 멍청한? 너 자신을 똥쌌어? 왜 이렇게 하지 않는지 아시나요? 왜냐하면 그것은 자살과도 같기 때문이다. 그것 없이는 당신이 존재하지 않습니다.

그는 스물여덟 살을 살았고, 게다가 스물여덟 번의 겨울을 보냈습니다.

그는 한 가지 비밀을 간직했고 가족의 모범적인 남편이었습니다.
모든 것이 평소와 같았던 것 같습니다. 아내는 저녁을 준비하고 있었습니다...
그러나 갑자기 나쁜 일이 일어났습니다. 그는 그 비밀을 기억했습니다.
시끄러운 배추국의 시큼한 냄새에, 아침에 약혼자의 투덜거림에,
그는 마치 어제 있었던 일처럼 세세한 부분까지 모든 것을 기억하고 있었다.
...그녀는 창가에 앉아 있었고, 부드럽고 멋진 달빛이
그녀의 아름다운 실루엣을 옅은 톤으로 칠했습니다...
가닥이 어깨 위로 흘러 뱀처럼 가슴으로 미끄러졌습니다 ...
그리고 그는 “언젠가는 그녀와 결혼할 거야!”라고 성급하게 생각했습니다.
그는 선의 곡선, 입술의 부드러움 등 가장 작은 세부 사항까지 모든 것을 기억했습니다.
그리고 그녀의 소박한 연설의 열기, 그리고 창밖의 거대한 참나무.
얽힌 손... 몸의 합체... 갈색 머리의 폭포...
그리고 그는 그녀가 얼마나 열광하고 눈물을 흘리기를 원했는지!
떨리는 고백의 흐름, 그가 내 귀에 속삭이는 방법!
숨결에 떨리는 귀 위의 우스꽝스러운 컬...
그녀는 밤처럼 젖은 눈으로 그를 바라보았다.
그 말은 포도주처럼 취하게 만들었습니다. “사랑해요... 딸을 주세요...”
아침에 그는 평화를 잃었습니다. 그는 소란을 피우다가 지루해졌습니다...
그리고 손으로 얼굴을 가리고 의자에 앉아 침묵했다.
아내는 언제나처럼 투덜댔다. 그녀는 도망친 수프를 꾸짖었다..
그리고 그는 그녀가 나이가 들수록 나이가 맞지 않는다고 지적했습니다.
흰색과 염색한 머리카락이 그녀에게 어울리지 않는 것처럼.
그리고 28년 동안 모든 것이 어쩐지 심각하지 않았습니다...
갑자기 그는 벌떡 일어나 코트를 집어들고 모자와 양말도 잊어버렸습니다.
스물여덟 해가 다 똑같지는 않다... 스물여덟 번의 겨울은 모두 우울하다.
그 집을 찾았어요. 집에는 참나무가 있습니다. 그는 화살처럼 계단을 뛰어 올라갔다...
차가운 입술의 떨림과 역겨운 비겁함을 멈추면 좋겠습니다!
지금은 아마 차를 마시고 숄을 두르고 있을 텐데…
그리고 그녀의 아름다운 눈에는 조용한 슬픔이 흘러나온다...
아니면 뜨개질을 시작했을까요? 아니면 레이스를 짜나요?
그녀에게 할 말이 너무 많아요! 그리고 가장 중요한 것은 - 미안해요...
그녀는 문을 열었습니다... 그녀의 눈에는 질문이 있었습니다. 그녀는 다시 스무살이 되었다...
갈색 머리의 폭포... 마음에 익숙한 실루엣...
귀 위쪽에 약간의 컬이 있습니다... 몇 년 전과 마찬가지로 - 똑같습니다...
"당신은 착각하지 않습니까?" "아니요, 그럴 수가 없어요... 당신이 안야인가요?" 베라. 그녀의 딸…"
"그럼 안야는?" - "엄마는 이제 없어... 너는 누구니?" 그는 돌아섰다:
"나는 그녀를 28년 동안 만났는데..." - 그녀는 당신을 기다리고 있었습니다... 스물다섯...
얼마나 현기증이 나는지... 얼마나 내 가슴이 가라앉았는지!
그리고 그는 “떠나지 마세요!”라는 기도로 그녀의 말을 기억했습니다.
그는 몸을 구부렸다. 그는 터벅터벅 걸어갔다. 손의 얽힘... 몸의 합체...
사랑해요... 딸을 주세요... 그런데 그 사람은 정말 딸을 원했어요.
정말 이상해요. Anya는 더 이상 없습니다... 나는 울었습니다... 나는 그것을 침묵 속에 던졌습니다: "나는 당신을 아주 오랫동안 사랑할 것입니다... 당신만이..."

추신 사랑을 돌보세요 - 그것은 당신의 행복의 기초입니다...