balsai) Aritmetinė progresija

pavadinkite skaičių seką (progresijos terminus) Kuriame kiekvienas paskesnis terminas skiriasi nuo ankstesnio nauju terminu, kuris taip pat vadinamas.

žingsnio ar progreso skirtumas

Taigi, nurodydami progresavimo žingsnį ir pirmąjį jo terminą, naudodami formulę galite rasti bet kurį jo elementą

Aritmetinės progresijos savybės

1) Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo skaičiaus, yra ankstesnio ir kito progresijos narių aritmetinis vidurkis

Priešingai irgi tiesa. Jei gretimų nelyginių (lyginių) progresijos narių aritmetinis vidurkis yra lygus tarp jų esančiam nariui, tai ši skaičių seka yra aritmetinė progresija. Naudojant šį teiginį labai lengva patikrinti bet kokią seką.

Be to, pagal aritmetinės progresijos savybę aukščiau pateiktą formulę galima apibendrinti taip

Tai lengva patikrinti, jei žodžius rašote lygybės ženklo dešinėje

Jis dažnai naudojamas praktikoje, siekiant supaprastinti problemų skaičiavimus.

2) Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojama naudojant formulę

Gerai atsiminkite aritmetinės progresijos sumos formulę, ji yra būtina skaičiuojant ir gana dažnai randama paprastose gyvenimo situacijose.

3) Jei jums reikia rasti ne visą sumą, o dalį sekos, pradedant nuo jos k-ojo nario, tada jums bus naudinga ši sumos formulė

4) Praktiškai įdomu rasti aritmetinės progresijos n narių sumą, pradedant nuo k-ojo skaičiaus. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę

Taip baigiama teorinė medžiaga ir pereinama prie bendrų problemų sprendimo praktikoje.

1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Sprendimas:

Pagal mūsų būklę

Nustatykime progresavimo žingsnį

Naudodami gerai žinomą formulę randame keturiasdešimtąjį progresijos narį 2 pavyzdys. Aritmetinė progresija

1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

pateikiama trečia ir septinta jo terminais. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.

Užrašykime pateiktus progresijos elementus naudodami formules

Pirmąją atimame iš antrosios lygties, todėl randame progresavimo žingsnį

Rastą reikšmę pakeičiame bet kuria iš lygčių, kad surastume pirmąjį aritmetinės progresijos narį

Apskaičiuojame pirmųjų dešimties progresijos narių sumą

3 pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama vardikliu ir vienu iš jo narių. Raskite pirmąjį progresijos narį, jo 50 narių sumą, pradedant nuo 50, ir pirmųjų 100 sumą.

1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Užrašykime šimtosios progresijos elemento formulę

ir susirask pirmąjį

Remdamiesi pirmuoju, randame 50-ąjį progresijos terminą

Progresijos dalies sumos radimas

ir pirmųjų 100 suma

Progresavimo suma yra 250.

4 pavyzdys.

Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių, jei:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Parašykime lygtis pagal pirmąjį narį ir progresavimo žingsnį ir jas nustatykime

Gautas reikšmes pakeičiame sumos formule, kad nustatytų terminų skaičių sumoje

Atliekame supaprastinimus

ir išspręskite kvadratinę lygtį

Iš dviejų rastų verčių tik skaičius 8 atitinka problemos sąlygas. Taigi pirmųjų aštuonių progresijos narių suma yra 111.

5 pavyzdys.

Išspręskite lygtį

1+3+5+...+x=307.

Sprendimas: ši lygtis yra aritmetinės progresijos suma. Užrašykime pirmąjį jo terminą ir raskime progresijos skirtumą

Kai kurie žmonės žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos šakų. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija yra taksi skaitiklio darbas (kur jie dar yra). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau, kaip „gauti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.

Matematinė skaičių seka

Skaičių seka paprastai vadinama skaičių seka, kurių kiekviena turi savo skaičių.

a 1 yra pirmasis sekos narys;

ir 2 yra antrasis sekos narys;

ir 7 yra septintasis sekos narys;

ir n yra n-tas sekos narys;

Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi ryšiu, kurį galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.

a – skaitinės sekos nario reikšmė;

n yra jo serijos numeris;

f(n) yra funkcija, kur skaitinės sekos eilės skaičius n yra argumentas.

Apibrėžimas

Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:

a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;

a n+1 - kito skaičiaus formulė;

d – skirtumas (tam tikras skaičius).

Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.

Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.

Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nurodyta nario vertė

Kartais reikia nustatyti bet kurio savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galima padaryti nuosekliai apskaičiuojant visų aritmetinės progresijos narių vertes, pradedant nuo pirmos iki norimos. Tačiau šis kelias ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies reikšmę. Tradiciniai skaičiavimai užtruks daug laiko. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario reikšmę galima nustatyti kaip pirmojo progresijos nario sumą su progresijos skirtumu, padauginus iš norimo nario skaičiaus, sumažinto vienas.

Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.

Pateikto termino vertės apskaičiavimo pavyzdys

Išspręskime šią aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.

Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:

Pirmasis sekos narys yra 3;

Skaičių serijos skirtumas yra 1,2.

Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę

Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro termino reikšmę, naudojame formulę:

a(n) = a1 + d(n-1)

Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.

Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs - visas sprendimas trunka ne daugiau kaip 2 eilutes.

Tam tikro terminų skaičiaus suma

Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje eilutėje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Norėdami tai padaryti, taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų sudėti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.

Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš termino n skaičiaus ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:

Pirmasis sekos narys yra nulis;

Skirtumas yra 0,5.

Norint išspręsti problemą, reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.

Sprendimas. Progresijos dydžiui nustatyti naudokite formulę:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys

Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio skaitiklis). Panagrinėkime šį pavyzdį.

Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km kelionė) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai/km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.

1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.

30 - 3 = 27 km.

2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizavimas.

Nario numeris – nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmus tris).

Nario vertė yra suma.

Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.

Progresavimo skirtumas d = 22 r.

mus dominantis skaičius yra (27+1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje yra 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki žvaigždės. Be to, įvairios skaičių eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos srityse.

Kitas skaičių sekos tipas yra geometrinis

Geometrinei progresijai būdingi didesni kitimo tempai, palyginti su aritmetine progresija. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio, pavyzdžiui, ligos epidemijos metu, plitimo greitį, dažnai sakoma, kad procesas vystosi geometrine progresija.

Geometrinių skaičių serijos N narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis dauginamas iš kažkokio pastovaus skaičiaus - vardiklio, pavyzdžiui, pirmasis narys yra 1, vardiklis atitinkamai lygus 2, tada:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrinės progresijos dabartinio nario reikšmė;

b n+1 - geometrinės progresijos kito nario formulė;

q yra geometrinės progresijos vardiklis (pastovus skaičius).

Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė progresija piešia šiek tiek kitokį vaizdą:

Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko termino reikšmės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:

Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskime 5 progresijos narį

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Tam tikro terminų skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma yra lygi skirtumui tarp progresijos n-ojo nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:

Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:

Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatytas į 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

I. V. Jakovlevas | Matematinės medžiagos | MathUs.ru

2 pavyzdys.

Aritmetinė progresija yra ypatinga sekos rūšis. Todėl prieš apibrėžiant aritmetinę (o vėliau ir geometrinę) progresiją, turime trumpai aptarti svarbią skaičių sekos sampratą.

Pasekmė

Įsivaizduokite įrenginį, kurio ekrane vienas po kito rodomi tam tikri skaičiai. Tarkime 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Šis skaičių rinkinys yra būtent sekos pavyzdys.

Apibrėžimas. Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kuriame kiekvienam skaičiui galima priskirti unikalų skaičių (tai yra susieti su vienu natūraliu skaičiumi)1. Skaičius n vadinamas n-tuoju sekos nariu.

Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje pirmasis skaičius yra 2, tai pirmasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a1; skaičius penki turi skaičių 6 yra penktasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a5. iš viso n-asis terminas sekos žymimos an (arba bn, cn ir pan.).

Labai patogi situacija, kai n-tasis sekos narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė an = 2n 3 nurodo seką: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formulė an = (1)n nurodo seką: 1; 1; 1; 1; : : :

Ne kiekvienas skaičių rinkinys yra seka. Taigi segmentas nėra seka; jame yra „per daug“ skaičių, kad juos būtų galima pernumeruoti. Visų realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra seka. Šie faktai yra įrodyti matematinės analizės metu.

Aritmetinė progresija: pagrindiniai apibrėžimai

Dabar esame pasirengę apibrėžti aritmetinę progresiją.

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant nuo antrojo) yra lygus ankstesnio nario ir tam tikro fiksuoto skaičiaus (vadinamo aritmetinės progresijos skirtumu) sumai.

Pavyzdžiui, seka 2; 5; 8; 11; : : : yra aritmetinė progresija su 2 pirmuoju nariu ir skirtumu 3. 7 seka; 2; 3; 8; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 7 ir skirtumas 5. 3 seka; 3; 3; : : : yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas lygus nuliui.

Lygiavertis apibrėžimas: seka an vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas an+1 an yra pastovi reikšmė (nepriklausoma nuo n).

Aritmetinė progresija vadinama didėjančia, jei jos skirtumas yra teigiamas, ir mažėjančia, jei skirtumas yra neigiamas.

1 Bet čia yra glaustesnis apibrėžimas: seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių seka yra funkcija f: N ! R.

Pagal numatytuosius nustatymus sekos laikomos begalinėmis, ty turinčiomis begalinį skaičių skaičių. Tačiau niekas netrukdo mums svarstyti baigtinių sekų; iš tikrųjų bet kurią baigtinę skaičių aibę galima pavadinti baigtine seka. Pavyzdžiui, pabaigos seka yra 1; 2; 3; 4; 5 sudarytas iš penkių skaičių.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė

Nesunku suprasti, kad aritmetinę progresiją visiškai lemia du skaičiai: pirmasis narys ir skirtumas. Todėl kyla klausimas: kaip, žinant pirmąjį narį ir skirtumą, rasti savavališką aritmetinės progresijos narį?

Nesunku gauti reikiamą aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Tegul an

1 uždavinys. 2 aritmetinėje progresijoje; 5; 8; 11; : : : raskite n-ojo nario formulę ir apskaičiuokite šimtąjį narį.

Sprendimas. Pagal (1) formulę turime:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Savybė ir aritmetinės progresijos ženklas

Aritmetinės progresijos savybė. Aritmetinėje progresijoje an už bet kurią

Kitaip tariant, kiekvienas aritmetinės progresijos narys (pradedant nuo antrosios) yra gretimų narių aritmetinis vidurkis.

ko ir reikėjo.

Apskritai aritmetinė progresija an tenkina lygybę

a n = a n k+ a n+k

bet kuriam n > 2 ir bet kuriam natūraliam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Pasirodo, kad (2) formulė yra ne tik būtina, bet ir pakankama sąlyga, kad seka būtų aritmetinė progresija.

Aritmetinės progresijos ženklas. Jei lygybė (2) galioja visiems n > 2, tai seka an yra aritmetinė progresija.

Įrodymas. Perrašykime formulę (2) taip:

a na n 1= a n+1a n:

Iš to matome, kad skirtumas an+1 an nepriklauso nuo n, ir tai tiksliai reiškia, kad seka an yra aritmetinė progresija.

Aritmetinės progresijos savybė ir ženklas gali būti suformuluoti vieno teiginio forma; Patogumo dėlei tai padarysime su trimis skaičiais (ši situacija dažnai pasitaiko problemų atveju).

Aritmetinės progresijos apibūdinimas. Trys skaičiai a, b, c sudaro aritmetinę progresiją tada ir tik tada, kai 2b = a + c.

2 uždavinys. (MSU, Ekonomikos fakultetas, 2007) Trys skaičiai 8x, 3 x2 ir 4 nurodyta tvarka sudaro mažėjančią aritmetinę progresiją. Raskite x ir nurodykite šios progresijos skirtumą.

Sprendimas. Pagal aritmetinės progresijos savybę turime:

2 (3 x 2 ) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Jei x = 1, tai gauname mažėjančią progresiją 8, 2, 4 su skirtumu 6. Jei x = 5, tai gauname didėjančią 40, 22, 4 progresiją; šis atvejis netinka.

Atsakymas: x = 1, skirtumas yra 6.

Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma

Legenda pasakoja, kad vieną dieną mokytojas liepė vaikams surasti skaičių sumą nuo 1 iki 100 ir ramiai atsisėdo skaityti laikraščio. Tačiau per kelias minutes vienas berniukas pasakė, kad problemą išsprendė. Tai buvo 9 metų Carlas Friedrichas Gaussas, vėliau vienas didžiausių matematikų istorijoje.

Mažojo Gauso idėja buvo tokia. Leiskite

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Parašykime šią sumą atvirkštine tvarka:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ir pridėkite šias dvi formules:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Kiekvienas terminas skliausteliuose yra lygus 101, todėl iš viso yra 100 tokių terminų

2S = 101 100 = 10100;

Mes naudojame šią idėją sumos formulei išvesti

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Naudinga (3) formulės modifikacija gaunama, jei į ją pakeičiame n-ojo nario formulę an = a1 + (n 1)d:

3 uždavinys. Raskite visų teigiamų triženklių skaičių, dalijamų iš 13, sumą.

Sprendimas. Triženkliai skaičiai, kurie yra 13 kartotiniai, sudaro aritmetinę progresiją, kai pirmasis narys yra 104, o skirtumas yra 13; Šios progresijos n-asis narys turi tokią formą:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Sužinokime, kiek terminų yra mūsų progresijoje. Norėdami tai padaryti, išspręskime nelygybę:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Taigi, mūsų progrese yra 69 nariai. Naudodami (4) formulę randame reikiamą sumą:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Daugelis žmonių yra girdėję apie aritmetinę progresiją, bet ne visi gerai supranta, kas tai yra. Šiame straipsnyje pateiksime atitinkamą apibrėžimą, taip pat apsvarstysime klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą, ir pateiksime keletą pavyzdžių.

Matematinis apibrėžimas

Taigi, jei kalbame apie aritmetinę ar algebrinę progresiją (šios sąvokos apibrėžia tą patį), tai reiškia, kad yra tam tikra skaičių serija, kuri tenkina šį dėsnį: kas du gretimi eilutės skaičiai skiriasi ta pačia reikšme. Matematiškai parašyta taip:

Čia n reiškia elemento a n skaičių sekoje, o skaičius d yra progresijos skirtumas (jo pavadinimas išplaukia iš pateiktos formulės).

Ką reiškia žinoti skirtumą d? Apie tai, kaip „toli“ kaimyniniai skaičiai yra vienas nuo kito. Tačiau d žinojimas yra būtina, bet nepakankama sąlyga visai progresijai nustatyti (atstatyti). Turite žinoti dar vieną skaičių, kuris gali būti absoliučiai bet koks nagrinėjamos serijos elementas, pavyzdžiui, 4, a10, tačiau paprastai naudojamas pirmasis skaičius, tai yra 1.

Progresavimo elementų nustatymo formulės

Apskritai aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka, kad būtų galima pereiti prie konkrečių problemų sprendimo. Nepaisant to, prieš pateikiant aritmetinę progresiją ir reikės rasti jos skirtumą, pateiksime keletą naudingų formulių, taip palengvinančių tolesnį uždavinių sprendimo procesą.

Nesunku parodyti, kad bet kurį sekos elementą su skaičiumi n galima rasti taip:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Iš tiesų, bet kas gali patikrinti šią formulę paprasta paieška: jei pakeisite n = 1, gausite pirmąjį elementą, jei pakeisite n = 2, tada išraiška pateikia pirmojo skaičiaus ir skirtumo sumą ir pan.

Daugelio uždavinių sąlygos sudarytos taip, kad turint žinomą skaičių porą, kurios skaičiai taip pat pateikti sekoje, reikia rekonstruoti visą skaičių seką (rasti skirtumą ir pirmąjį elementą). Dabar mes išspręsime šią problemą bendra forma.

Taigi, tebūnie du elementai su skaičiais n ir m. Naudodami aukščiau gautą formulę, galite sukurti dviejų lygčių sistemą:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Norėdami rasti nežinomus kiekius, naudojame žinomus paprastas triukas tokios sistemos sprendiniai: poromis atimkite kairę ir dešinę puses, lygybė liks galioti. Turime:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Taigi mes atmetėme vieną nežinomą (a 1). Dabar galime parašyti galutinę išraišką, skirtą d nustatyti:

d = (a n - a m) / (n - m), kur n > m

Gavome labai paprastą formulę: norint apskaičiuoti skirtumą d pagal uždavinio sąlygas, tereikia paimti skirtumų tarp pačių elementų ir jų eilės numerių santykį. Reikėtų atkreipti dėmesį į vieną svarbus punktas Dėmesio: skirtumai paimami tarp „aukščiausio“ ir „žemiausio“ narių, tai yra n > m („aukščiausias“ reiškia esantį toliau nuo sekos pradžios, jo absoliuti reikšmė gali būti didesnė arba mažesnė už „jaunesnysis“ elementas).

Skirtumo d progresijos išraiška turi būti pakeista į bet kurią lygtį problemos sprendimo pradžioje, kad būtų gauta pirmojo nario reikšmė.

Mūsų kompiuterinių technologijų vystymosi amžiuje daugelis moksleivių savo užduočių sprendimus bando rasti internete, todėl dažnai kyla tokio pobūdžio klausimų: raskite aritmetinės progresijos skirtumą internete. Tokiai užklausai paieškos sistema pateiks daugybę tinklalapių, į kuriuos nueinant reikės įvesti iš sąlygos žinomus duomenis (tai gali būti arba du progreso terminai, arba tam tikro jų skaičiaus suma ) ir iškart gausite atsakymą. Nepaisant to, toks problemos sprendimo būdas yra neproduktyvus mokinio tobulėjimo ir jam skirtos užduoties esmės supratimo požiūriu.

Sprendimas nenaudojant formulių

Išspręskime pirmąją problemą nenaudodami nė vienos iš pateiktų formulių. Tegu pateikiami eilutės elementai: a6 = 3, a9 = 18. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą.

Žinomi elementai stovi arti vienas kito iš eilės. Kiek kartų skirtumas d turi būti pridėtas prie mažiausio, kad būtų gautas didžiausias? Tris kartus (pirmą kartą pridėjus d gauname 7 elementą, antrą kartą - aštuntą, galiausiai, trečią kartą - devintą). Kokį skaičių reikia tris kartus pridėti prie trijų, kad gautume 18? Tai yra skaičius penki. Tikrai:

Taigi nežinomas skirtumas d = 5.

Žinoma, sprendimas galėjo būti atliktas naudojant atitinkamą formulę, tačiau tai nebuvo padaryta tyčia. Išsamus problemos sprendimo paaiškinimas turėtų būti aiškus ir ryškus pavyzdys Kas yra aritmetinė progresija?

Užduotis panaši į ankstesnę

Dabar išspręskime panašią problemą, bet pakeiskime įvesties duomenis. Taigi, turėtumėte rasti, jei a3 = 2, a9 = 19.

Žinoma, vėl galite kreiptis į „priešais“ sprendimo metodą. Bet kadangi pateikiami serijos elementai, kurie yra gana toli vienas nuo kito, šis metodas nebus visiškai patogus. Tačiau naudodami gautą formulę greitai pasieksime atsakymą:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Čia mes suapvalinome galutinį skaičių. Kiek šis apvalinimas sukėlė klaidą, galima spręsti patikrinus gautą rezultatą:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Šis rezultatas nuo sąlygoje pateiktos vertės skiriasi tik 0,1%. Todėl sėkmingu pasirinkimu galima laikyti apvalinimą iki šimtųjų dalių.

Problemos, susijusios su termino formulės taikymu

Panagrinėkime klasikinį uždavinio, skirto nežinomam d nustatyti, pavyzdį: raskite aritmetinės progresijos skirtumą, jei a1 = 12, a5 = 40.

Kai pateikiami du nežinomos algebrinės sekos skaičiai, o vienas iš jų yra elementas a 1, tada nereikia ilgai galvoti, o iš karto taikyti a n termino formulę. Šiuo atveju turime:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Dalindami gavome tikslų skaičių, todėl nėra prasmės tikrinti apskaičiuoto rezultato tikslumą, kaip buvo padaryta ankstesnėje pastraipoje.

Išspręskime kitą panašų uždavinį: reikia rasti aritmetinės progresijos skirtumą, jei a1 = 16, a8 = 37.

Mes naudojame metodą, panašų į ankstesnį, ir gauname:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ką dar reikėtų žinoti apie aritmetinę progresiją?

Be nežinomo skirtumo ar atskirų elementų radimo problemų, dažnai reikia išspręsti pirmųjų sekos narių sumos uždavinius. Šių užduočių svarstymas nepatenka į straipsnio taikymo sritį, tačiau dėl pateiktos informacijos išsamumo bendroji formulė n skaičių sumai iš eilės:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas paskesnis elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga nurodoma maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami narių(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip aritmetinė progresija, bet su skaitine indeksu, lygiu elemento skaičiui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetinės progresijos uždavinių sprendimas

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant ir OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite šios progresijos pirmojo neigiamo nario reikšmę.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Duoti keli iš eilės aritmetinės progresijos elementai: \(…5; x; 10; 12.5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija apibrėžiama šiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos problemų galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką - kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas paskesnis šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio ( progresavimo skirtumas).

Tačiau kartais būna situacijų, kai apsispręsti „prieš akis“ yra labai nepatogu. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Ar turėtume pridėti keturis \(385\) kartus? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Pavargsite skaičiuoti...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia dalykų „priešais“, o naudoja specialias aritmetinei progresijai išvestas formules. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir \(n\) pirmųjų narių sumos formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) – progresijos su skaičiumi \(n\) terminas.

Ši formulė leidžia greitai rasti net trijų šimtųjų ar milijonų elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) – paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama \(n\) pirmųjų elementų suma;
\(a_1\) – pirmasis sumuojamas terminas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – bendras elementų skaičius.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite viską reikalinga informacija beveik bet kokiam aritmetinės progresijos uždaviniui išspręsti. Užbaikime temą apsvarstydami uždavinius, kuriuose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek pagalvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau jūs galite lengvai juos rasti.