Pamoka ir pristatymas tema: "Arksinas. Arkosinių lentelė. Formulė y=arcsin(x)"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra arcsinusas?
2. Arcsine žymėjimas.
3. Šiek tiek istorijos.
4. Apibrėžimas.

6. Pavyzdžiai.

Kas yra arcsinas?

Vaikinai, mes jau išmokome išspręsti kosinuso lygtis, o dabar išmokime išspręsti panašias sinuso lygtis. Apsvarstykite sin(x)= √3/2. Norėdami išspręsti šią lygtį, turite sukurti tiesę y= √3/2 ir pamatyti, kuriuose taškuose ji kerta skaičių apskritimą. Matyti, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose taškuose F ir G. Šie taškai bus mūsų lygties sprendimas. Perskirkime F kaip x1, o G kaip x2. Mes jau radome šios lygties sprendimą ir gavome: x1= π/3 + 2πk,
ir x2 = 2π/3 + 2πk.

Išspręsti šią lygtį yra gana paprasta, bet kaip išspręsti, pavyzdžiui, lygtį
sin(x)= 5/6. Akivaizdu, kad ši lygtis taip pat turės dvi šaknis, bet kokios reikšmės atitiks skaičių apskritimo sprendimą? Pažvelkime į mūsų lygtį sin(x)= 5/6.
Mūsų lygties sprendimas bus du taškai: F = x1 + 2πk ir G = x2 + 2πk,
čia x1 – lanko AF ilgis, x2 – lanko AG ilgis.
Pastaba: x2= π - x1, nes AF= AC – FC, bet FC= AG, AF= AC – AG= π – x1.
Bet kas yra šie punktai?

Susidūrę su panašia situacija, matematikai sugalvojo naują simbolį – arcsin(x). Skaityti kaip arcsine.

Tada mūsų lygties sprendimas bus parašytas taip: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Ir sprendimas bendra forma: x= arcsin(5/6) + 2πk ir x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcinusas yra kampo (lanko ilgio AF, AG) sinusas, lygus 5/6.

Šiek tiek arcsine istorijos

Mūsų simbolio atsiradimo istorija lygiai tokia pati kaip arccos. Simbolis arcsin pirmą kartą pasirodo matematiko Scherfer ir garsaus prancūzų mokslininko J.L. Lagranžas. Kiek anksčiau arcsino sąvoką svarstė D. Bernouli, nors rašė skirtingais simboliais.

Šie simboliai tapo visuotinai priimtini tik XVIII amžiaus pabaigoje. Priešdėlis „arkas“ kilęs iš lotyniško „arcus“ (lankas, lankas). Tai visiškai atitinka sąvokos reikšmę: arcsin x yra kampas (arba galima sakyti, lankas), kurio sinusas lygus x.

Arsinuso apibrėžimas

Jei |a|≤ 1, tai arcsin(a) yra skaičius iš atkarpos [- π/2; π/2], kurio sinusas lygus a.

Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x)= a turi sprendimą: x= arcsin(a) + 2πk ir
x= π - arcsin(a) + 2πk

Perrašykime:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcin(a) + π(1 + 2k).

Vaikinai, atidžiai pažiūrėkite į du mūsų sprendimus. Ką manote: ar galima juos užrašyti naudojant bendrą formulę? Atkreipkite dėmesį, kad jei prieš arcsinusą yra pliuso ženklas, tai π dauginamas iš lyginio skaičiaus 2πk, o jei yra minuso ženklas, tai daugiklis yra nelyginis 2k+1.
Atsižvelgdami į tai, užrašome bendrąją formulę sin(x)=a lygčiai išspręsti:

Yra trys atvejai, kai patartina sprendimus užrašyti paprasčiau:

sin(x)=0, tada x= πk,

sin(x)=1, tada x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, tada x= -π/2 + 2πk.

Bet kuriam -1 ≤ a ≤ 1 galioja lygybė: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Parašykime kosinuso reikšmių lentelę atvirkščiai ir gaukime arcsinuso lentelę.

Pavyzdžiai

1. Apskaičiuokite: arcsin(√3/2).
Sprendimas: Tegul arcsin(√3/2)= x, tada sin(x)= √3/2. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinusines reikšmes lentelėje: x= π/3, nes sin(π/3)= √3/2 ir –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Atsakymas: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Apskaičiuokite: arcsin(-1/2).
Sprendimas: Tegul arcsin(-1/2)= x, tada sin(x)= -1/2. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinusines reikšmes lentelėje: x= -π/6, nes sin(-π/6)= -1/2 ir -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Atsakymas: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Apskaičiuokite: arcsin(0).
Sprendimas: Tegul arcsin(0)= x, tada sin(x)= 0. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinuso reikšmes lentelėje: tai reiškia x= 0, nes sin(0)= 0 ir - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Atsakymas: arcsin(0)=0.

4. Išspręskite lygtį: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk ir x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Pažiūrėkime į reikšmę lentelėje: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Atsakymas: x= -π/4 + 2πk ir x= 5π/4 + 2πk.

5. Išspręskite lygtį: sin(x) = 0.
Sprendimas: Naudokime apibrėžimą, tada sprendimas bus parašytas tokia forma:
x= arcsin(0) + 2πk ir x= π - arcsin(0) + 2πk. Pažiūrėkime į reikšmę lentelėje: arcsin(0)= 0.
Atsakymas: x= 2πk ir x= π + 2πk

6. Išspręskite lygtį: sin(x) = 3/5.
Sprendimas: Naudokime apibrėžimą, tada sprendimas bus parašytas tokia forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk ir x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Atsakymas: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Išspręskite nelygybę sin(x) Sprendimas: Sinusas yra skaičių apskritimo taško ordinatė. Tai reiškia: turime rasti taškus, kurių ordinatė yra mažesnė nei 0,7. Nubrėžkime tiesę y=0,7. Jis kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Nelygybė y Tada nelygybės sprendimas bus toks: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Arkinės problemos savarankiškam sprendimui

1) Apskaičiuokite: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Išspręskite lygtį: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Išspręskite nelygybę: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Arčinas (y = arcsin x) yra atvirkštinė sinuso funkcija (x = nuodėmingas -1 ≤ x ≤ 1 ir reikšmių rinkinys -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcinas x) = x
arcsin(sin x) = x

Arcsine kartais žymimas taip:
.

Arkosinės funkcijos grafikas

Funkcijos y = grafikas arcsin x

Arsinusinis grafikas gaunamas iš sinusinio grafiko, jei abscisės ir ordinačių ašys yra sukeistos. Siekiant pašalinti dviprasmiškumą, reikšmių diapazonas ribojamas iki intervalo, per kurį funkcija yra monotoniška. Šis apibrėžimas vadinamas pagrindine arcsinuso reikšme.

Arkosinas, arkosas

Lanko kosinusas (y = arccos x) yra atvirkštinė kosinuso funkcija (x = cos y). Jis turi taikymo sritį -1 ≤ x ≤ 1 ir daug reikšmių 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arkosinas kartais žymimas taip:
.

Lanko kosinuso funkcijos grafikas

Funkcijos y = grafikas arccos x

Lankinio kosinuso grafikas gaunamas iš kosinuso grafiko, jei abscisės ir ordinačių ašys yra sukeistos. Siekiant pašalinti dviprasmiškumą, reikšmių diapazonas ribojamas iki intervalo, per kurį funkcija yra monotoniška. Šis apibrėžimas vadinamas pagrindine lanko kosinuso reikšme.

Paritetas

Arkosine funkcija yra nelyginė:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Lanko kosinuso funkcija nėra lyginė arba nelyginė:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arckos(cos(π-arccos x)) = π - lankas x ≠ ± lankas x

Savybės – ekstremumai, padidėjimai, sumažėjimai

Funkcijos arcsine ir arccosine yra ištisinės savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės arcsino ir arkosino savybės pateiktos lentelėje.

	y= arcsin x	y= arccos x
Taikymo sritis ir tęstinumas	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Vertybių diapazonas
Didėjimo tvarka Mažėjimo tvarka	monotoniškai didėja	monotoniškai mažėja
Aukštumos
Minimalūs
Nuliai, y = 0	x = 0	x = 1
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Arkosinų ir arkosinų lentelė

Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių arcsinų ir arkosinų reikšmės laipsniais ir radianais.

x	arcsin x		arccos x
	kruša	džiaugiuosi.	kruša	džiaugiuosi.
- 1	-90°	-	180°	π
-	-60°	-	150°
-	-45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulės

Sumos ir skirtumo formulės

arba

ir

ir

arba

ir

ir

adresu

adresu

adresu

adresu

Išraiškos logaritmais, kompleksiniais skaičiais

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

Dariniai

;
.
Žr. Arkosino ir arkosino darinių dariniai >>>

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės:
,
kur yra laipsnio daugianario . Jis nustatomas pagal formules:
;
;
.

Žr. Aukštesnės eilės arcsino ir arkosino darinių išvedimas >>>

Integralai

Atliekame pakeitimą x = sint. Integruojame dalimis, atsižvelgdami į tai, kad -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Išreikškime lanko kosinusą per lanko sinusą:
.

Serijos išplėtimas

Kai |x|< 1 vyksta toks skilimas:
;
.

Atvirkštinės funkcijos

Arkosino ir arkosino atvirkštinės vertės yra atitinkamai sinusas ir kosinusas.

Šios formulės galioja visoje apibrėžimo srityje:
sin(arcinas x) = x
cos(arccos x) = x .

Šios formulės galioja tik arcsinuso ir arkosino verčių rinkiniui:
arcsin(sin x) = x adresu
arccos(cos x) = x adresu .

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Kas yra arcsinusas, arkosinas? Kas yra arctangentas, arkotangentas?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Į sąvokas arcsine, arccosinus, arctangent, arccotangent Studentų populiacija yra atsargi. Jis nesupranta šių terminų ir todėl nepasitiki šia gražia šeima.) Bet veltui. Tai labai paprastos sąvokos. Kas, beje, labai palengvina gyvenimą išmanančiam žmogui sprendžiant trigonometrines lygtis!

Abejojate dėl paprastumo? Veltui.) Čia ir dabar pamatysite tai.

Žinoma, norint suprasti, būtų malonu žinoti, kas yra sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Taip, jų lentelės reikšmės kai kuriems kampams... Bent jau bendrais bruožais. Tada ir čia problemų nebus.

Taigi, esame nustebę, bet atminkite: arcsine, arccosinus, arctangent ir arccotangent yra tik keletas kampų. Ne daugiau ne maziau. Yra kampas, tarkim 30°. Ir yra kampelis arcsin0.4. Arba arctg(-1.3). Kampų yra visokių.) Galite tiesiog užrašyti kampus įvairiais būdais. Kampą galite parašyti laipsniais arba radianais. Arba galite – per jo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą...

Ką reiškia posakis

arcsin 0,4?

Tai kampas, kurio sinusas yra 0,4! Taip taip. Tai yra arcsinuso reikšmė. Aš konkrečiai pakartosiu: arcsin 0,4 yra kampas, kurio sinusas yra lygus 0,4.

Tai viskas.

Kad ši paprasta mintis ilgai išliktų jūsų galvoje, net pateiksiu šio baisaus termino - arcsinus - suskirstymą:

lankas nuodėmė 0,4
kampas, kurio sinusas lygus 0,4

Kaip parašyta, taip ir išgirsta.) Beveik. Konsolė lankas reiškia lankas(žodis arch ar žinai?), nes senovės žmonės vietoj kampų naudojo lankus, bet tai nekeičia reikalo esmės. Prisiminkite šį elementarų matematinio termino dekodavimą! Be to, arkosino, arctangento ir arkotangento dekodavimas skiriasi tik funkcijos pavadinimu.

Kas yra Arccos 0.8?
Tai kampas, kurio kosinusas yra 0,8.

Kas yra arctg(-1,3)?
Tai kampas, kurio liestinė yra -1,3.

Kas yra arcctg 12?
Tai kampas, kurio kotangentas yra 12.

Toks elementarus dekodavimas leidžia, beje, išvengti epinių klaidų.) Pavyzdžiui, išraiška arccos1,8 atrodo gana solidžiai. Pradėkime dekoduoti: arccos1,8 yra kampas, kurio kosinusas lygus 1,8... Peršokti-šuolis!? 1.8!? Kosinusas negali būti didesnis už vieną!!!

Teisingai. Išraiška arccos1,8 neturi prasmės. Ir tokios išraiškos rašymas kokiame nors atsakyme labai pralinksmins inspektorių.)

Elementaru, kaip matote.) Kiekvienas kampas turi savo asmeninį sinusą ir kosinusą. Ir beveik kiekvienas turi savo tangentą ir kotangentą. Todėl, žinodami trigonometrinę funkciją, galime užrašyti patį kampą. Tam yra skirti arcsinai, arkosinusai, arktangentai ir arkotangentai. Nuo šiol visą šią šeimą vadinsiu mažybiniu vardu - arkos Norėdami rašyti mažiau.)

Dėmesio! Elementarus žodinis ir sąmoningas arkų iššifravimas leidžia ramiai ir užtikrintai spręsti įvairias užduotis. Ir į neįprastas Tik ji išsaugo užduotis.

Ar galima nuo lankų pereiti prie įprastų laipsnių ar radianų?- Išgirstu atsargų klausimą.)

Kodėl gi ne!? Lengvai. Galite eiti ten ir atgal. Be to, kartais tai reikia padaryti. Arkos yra paprastas dalykas, bet be jų kažkaip ramiau, tiesa?)

Pavyzdžiui: kas yra arcsin 0,5?

Prisiminkime dekodavimą: arcsin 0,5 yra kampas, kurio sinusas yra 0,5. Dabar pasukite galvą (arba „Google“)) ir prisiminkite, kurio kampo sinusas yra 0,5? Sinusas yra 0,5 m 30 laipsnių kampu. Viskas: arcsin 0,5 yra 30° kampas. Galite drąsiai rašyti:

arcsin 0,5 = 30°

Arba, formaliau, radianais:

Tai viskas, galite pamiršti arcsinusą ir toliau dirbti su įprastais laipsniais arba radianais.

Jei supratote kas yra arcsinusas, arkosinusas... kas yra arktangentas, arkotangentas... Galite lengvai susidoroti, pavyzdžiui, su tokiu monstru.)

Neišmanantis žmogus iš siaubo atsitrauks, taip...) Bet informuotas žmogus prisimink dekodavimą: arcsinusas yra kampas, kurio sinusas... Ir taip toliau. Jei išmanantis žmogus žino ir sinusų lentelę... Kosinusų lentelę. Tangentų ir kotangentų lentelė, tada jokių problemų nėra!

Pakanka suvokti, kad:

Iššifruosiu, t.y. Leiskite man išversti formulę žodžiais: kampas, kurio liestinė yra 1 (arctg1)- tai 45° kampas. Arba, kas yra tas pats, Pi/4. Taip pat:

ir tiek... Visas arkas pakeičiame reikšmėmis radianais, viskas sumažinama, belieka suskaičiuoti kiek yra 1+1. Tai bus 2.) Kuris yra teisingas atsakymas.

Taip galite (ir turėtumėte) pereiti nuo arcsinusų, arckosinų, arktangentų ir arkotangentų prie įprastų laipsnių ir radianų. Tai labai supaprastina baisius pavyzdžius!

Dažnai tokiuose pavyzdžiuose yra arkų viduje neigiamas reikšmės. Kaip, arctg(-1.3), arba, pavyzdžiui, arccos(-0.8)... Tai nėra problema. Štai paprastos formulės, kaip pereiti nuo neigiamų prie teigiamų verčių:

Tarkime, jums reikia nustatyti išraiškos reikšmę:

Tai galima išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą, bet jūs nenorite jo piešti. Na, gerai. Mes judame iš neigiamas vertės k lankinio kosinuso viduje teigiamas pagal antrą formulę:

Dešinėje esančio lanko kosinuso viduje jau yra teigiamas prasmė. Ką

tu tiesiog privalai žinoti. Belieka vietoj lanko kosinuso pakeisti radianais ir apskaičiuoti atsakymą:

Tai viskas.

Arkosino, arkosino, arktangento, arkotangento apribojimai.

Ar yra problemų dėl 7–9 pavyzdžių? Na, taip, ten yra kažkoks triukas.)

Visi šie pavyzdžiai nuo 1 iki 9 yra kruopščiai išanalizuoti 555 skyriuje. Kas, kaip ir kodėl. Su visais slaptais spąstais ir gudrybėmis. Be to, yra būdų, kaip labai supaprastinti sprendimą. Beje, šiame skyriuje yra daug naudingos informacijos ir praktinių patarimų apie trigonometriją apskritai. Ir ne tik trigonometrijoje. Labai padeda.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Funkcijos sin, cos, tg ir ctg visada yra kartu su arcsine, arccosine, arctangent ir arccotangent. Viena yra kito pasekmė, o funkcijų poros yra vienodai svarbios dirbant su trigonometrinėmis išraiškomis.

Apsvarstykite vienetinio apskritimo brėžinį, kuriame grafiškai pavaizduotos trigonometrinių funkcijų reikšmės.

Jei apskaičiuosime lankus OA, arcos OC, arctg DE ir arcctg MK, tai jie visi bus lygūs kampo α reikšmei. Žemiau pateiktos formulės atspindi ryšį tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų ir jas atitinkančių lankų.

Norint geriau suprasti arcsino savybes, būtina atsižvelgti į jo funkciją. Tvarkaraštis turi asimetrinės kreivės, einančios per koordinačių centrą, formą.

Arcino savybės:

Jei palygintume grafikus nuodėmė Ir arcsin, dvi trigonometrinės funkcijos gali turėti bendrus modelius.

lanko kosinusas

Skaičiaus lankas yra kampo α, kurio kosinusas lygus a, reikšmė.

Kreivė y = arcos x atspindi arcsin x grafiką, vienintelis skirtumas yra tas, kad jis eina per tašką π/2 OY ašyje.

Pažvelkime į lanko kosinuso funkciją išsamiau:

1. Funkcija apibrėžiama intervale [-1; 1].
2. ODZ skirtas arccos - .
3. Visas grafikas yra pirmame ir antrame ketvirčiuose, o pati funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
4. Y = 0, kai x = 1.
5. Kreivė mažėja per visą ilgį. Kai kurios lankinio kosinuso savybės sutampa su kosinuso funkcija.

Kai kurios lankinio kosinuso savybės sutampa su kosinuso funkcija.

Galbūt moksleiviams toks „išsamus“ „arkų“ tyrimas bus nereikalingas. Tačiau priešingu atveju kai kurios elementarios standartinės egzamino užduotys gali nuvesti mokinius į aklavietę.

1 pratimas. Nurodykite paveikslėlyje parodytas funkcijas.

Atsakymas: ryžių. 1 – 4, 2 – 1 pav.

Šiame pavyzdyje akcentuojamos smulkmenos. Paprastai studentai yra labai nedėmesingi grafikų konstravimui ir funkcijų išvaizdai. Iš tiesų, kam prisiminti kreivės tipą, jei ją visada galima nubraižyti naudojant apskaičiuotus taškus. Nepamirškite, kad bandymo sąlygomis laiko, praleisto piešiant paprastą užduotį, reikės sudėtingesnėms užduotims išspręsti.

Arktangentas

Arctg skaičiai a yra kampo α reikšmė, kad jo liestinė būtų lygi a.

Jei atsižvelgsime į arctangentinį grafiką, galime pabrėžti šias savybes:

1. Grafas yra begalinis ir apibrėžtas intervale (- ∞; + ∞).
2. Arktangentas yra nelyginė funkcija, todėl arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0, kai x = 0.
4. Kreivė didėja visame apibrėžimo diapazone.

Pateikiame trumpą lyginamąją tg x ir arctg x analizę lentelės pavidalu.

Arkotangentas

Skaičiaus Arcctg – iš intervalo (0; π) paima tokią reikšmę α, kad jo kotangentas būtų lygus a.

Lanko kotangento funkcijos savybės:

1. Funkcijos apibrėžimo intervalas yra begalybė.
2. Priimtinų verčių diapazonas yra intervalas (0; π).
3. F(x) nėra nei lyginis, nei nelyginis.
4. Per visą jos ilgį funkcijos grafikas mažėja.

Palyginti ctg x ir arctg x labai paprasta, tereikia padaryti du brėžinius ir apibūdinti kreivių elgseną.

2 užduotis. Suderinkite grafiką ir funkcijos žymėjimo formą.

Jei mąstome logiškai, iš grafikų matyti, kad abi funkcijos didėja. Todėl abi figūros rodo tam tikrą arctano funkciją. Iš arctangento savybių žinoma, kad y=0, kai x = 0,

Atsakymas: ryžių. 1 – 1, pav. 2-4.

Trigonometrinės tapatybės arcsin, arcos, arctg ir arcctg

Anksčiau mes jau nustatėme ryšį tarp arkų ir pagrindinių trigonometrijos funkcijų. Šią priklausomybę galima išreikšti daugybe formulių, kurios leidžia išreikšti, pavyzdžiui, argumento sinusą per jo arcsinusą, arkosinusą arba atvirkščiai. Tokios tapatybės žinios gali būti naudingos sprendžiant konkrečius pavyzdžius.

Taip pat yra arctg ir arcctg ryšių:

Kita naudinga formulių pora nustato arcsin ir arcos, taip pat to paties kampo arcctg ir arcctg sumos reikšmę.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Trigonometrijos užduotis galima suskirstyti į keturias grupes: apskaičiuokite konkrečios išraiškos skaitinę reikšmę, sukonstruokite tam tikros funkcijos grafiką, suraskite jos apibrėžimo sritį arba ODZ ir atlikite analitines transformacijas pavyzdžiui išspręsti.

Spręsdami pirmojo tipo problemą, turite laikytis šio veiksmų plano:

Dirbant su funkcijų grafikais, svarbiausia žinoti jų savybes ir kreivės išvaizdą. Norint išspręsti trigonometrines lygtis ir nelygybes, reikalingos tapatybės lentelės. Kuo daugiau formulių mokinys įsimena, tuo lengviau rasti atsakymą į užduotį.

Tarkime, vieningo valstybinio egzamino metu turite rasti atsakymą į tokią lygtį:

Jei teisingai transformuosite išraišką ir perkelsite ją į norimą formą, tada ją išspręsti bus labai paprasta ir greita. Pirmiausia perkelkime arcsin x į dešinę lygybės pusę.

Jei prisimenate formulę arcsin (sin α) = α, tada atsakymų paiešką galime sumažinti iki dviejų lygčių sistemos sprendimo:

Modelio x apribojimas atsirado vėlgi dėl arcsin savybių: ODZ x [-1; 1]. Kai a ≠0, sistemos dalis yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys x1 = 1 ir x2 = - 1/a. Kai a = 0, x bus lygus 1.

Šis straipsnis yra apie arkosino, arkosino, arktangento ir arkotangento reikšmių radimas duotas numeris. Pirmiausia išsiaiškinsime, kas vadinama arcsine, arccosine, arctangent ir arccotangent reikšmė. Toliau gausime pagrindines šių lanko funkcijų reikšmes, po kurių suprasime, kaip randamos arkinio sinuso, lanko kosinuso, arko liestinės ir lanko kotangento reikšmės naudojant sinusų, kosinusų, liestinių ir Bradis lenteles. kotangentai. Galiausiai pakalbėkime apie skaičiaus arcsinuso radimą, kai žinoma šio skaičiaus arkosinusas, arktangentas arba arkotangentas ir pan.

Puslapio naršymas.

Arkosino, arkosino, arctangento ir arkotangento reikšmės

Visų pirma, verta išsiaiškinti, kas iš tikrųjų yra "tai". arcsine, arccosinus, arctangent ir arccotangent reikšmė».

Sinusų ir kosinusų, taip pat liestinių ir kotangentų Bradis lentelės leidžia vienos minutės tikslumu rasti teigiamo skaičiaus arcsinuso, arkosino, arctangento ir arkotangento vertę laipsniais. Čia verta paminėti, kad neigiamų skaičių arcsinuso, arccosinuso, arctangento ir arccotangento reikšmių radimas gali būti sumažintas iki atitinkamų teigiamų skaičių lanko funkcijų reikšmių, kreipiantis į formules arcsin, arccos, arctg ir arcctg priešingų skaičių arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a ir arcctg(−a)=π−arcctg a .

Išsiaiškinkime, kaip rasti arcsinuso, arkosino, arctangento ir arkotangento reikšmes naudojant Bradis lenteles. Mes tai padarysime su pavyzdžiais.

Turime rasti arcsininę reikšmę 0,2857. Šią reikšmę randame sinusų lentelėje (atvejai, kai šios reikšmės lentelėje nėra, bus aptarti toliau). Tai atitinka sinuso 16 laipsnių 36 minutes. Todėl norima skaičiaus 0,2857 arcsinuso reikšmė yra 16 laipsnių kampas 36 minutės.

Dažnai reikia atsižvelgti į taisymus iš trijų lentelės dešinėje esančių stulpelių. Pavyzdžiui, jei mums reikia rasti 0,2863 arcsinusą. Pagal sinusų lentelę ši vertė gaunama kaip 0,2857 plius 0,0006 pataisa, tai yra, 0,2863 reikšmė atitinka 16 laipsnių 38 minučių sinusą (16 laipsnių 36 minutės plius 2 pataisos minutės).

Jei skaičiaus, kurio arcsinusas mus domina, nėra lentelėje ir jo net negalima gauti atsižvelgiant į pataisymus, tada lentelėje turime rasti dvi arčiausiai jo esančių sinusų reikšmes, tarp kurių yra šis skaičius. Pavyzdžiui, mes ieškome arcsininės reikšmės 0,2861573. Šio numerio lentelėje nėra, ir šio skaičiaus negalima gauti naudojant pataisas. Tada randame dvi artimiausias reikšmes 0,2860 ir 0,2863, tarp kurių yra pradinis skaičius, kuris atitinka 16 laipsnių 37 minučių ir 16 laipsnių 38 minučių sinusus. Tarp jų yra norima arcsininė vertė 0,2861573, tai yra, bet kuri iš šių kampų verčių gali būti laikoma apytiksle arcsinine verte 1 minutės tikslumu.

Arkinio kosinuso reikšmės, lanko liestinės reikšmės ir lanko kotangentų reikšmės randamos visiškai vienodai (šiuo atveju, žinoma, naudojamos atitinkamai kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelės).

Arcsin reikšmės radimas naudojant arccos, arctg, arcctg ir kt.

Pavyzdžiui, žinokime, kad arcsin a=-π/12, ir turime rasti arccos a reikšmę. Apskaičiuojame mums reikalingą lanko kosinuso reikšmę: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Situacija yra daug įdomesnė, kai naudojant žinomą skaičiaus a arcsinuso arba arkosinuso reikšmę reikia rasti šio skaičiaus a arctangento arba arkotangento reikšmę arba atvirkščiai. Deja, mes nežinome formulių, kurios apibrėžia tokius ryšius. Kaip būti? Supraskime tai pavyzdžiu.

Žinokime, kad skaičiaus a lankinis kosinusas yra lygus π/10, ir mums reikia apskaičiuoti šio skaičiaus a lanko tangentą. Uždavinį galite išspręsti taip: naudodami žinomą lanko kosinuso reikšmę, raskite skaičių a ir šio skaičiaus lanko tangentą. Norėdami tai padaryti, pirmiausia reikia kosinusų lentelės, o tada liestinių lentelės.

Kampas π/10 radianų yra 18 laipsnių kampas, iš kosinuso lentelės matome, kad 18 laipsnių kosinusas yra maždaug lygus 0,9511, tada skaičius a mūsų pavyzdyje yra 0,9511.

Belieka atsiversti liestinių lentelę ir jos pagalba rasti mums reikalingą arctangento reikšmę 0,9511, ji yra maždaug lygi 43 laipsniams 34 minutėms.

Šią temą logiškai tęsia straipsnio medžiaga. vertinant išraiškas, kuriose yra arcsin, arccos, arctg ir arcctg.

Bibliografija.

• Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Boykovas, L. D. Romanova. Užduočių rinkinys ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui, 1 dalis, Penza 2003 m.
• Bradis V. M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės: Bendrajam lavinimui. vadovėlis įstaigose. – 2 leidimas. - M.: Bustardas, 1999.- 96 p.: iliustr. ISBN 5-7107-2667-2