Ribos visiems matematikos mokiniams kelia daug rūpesčių. Norint išspręsti ribą, kartais tenka panaudoti daugybę gudrybių ir iš daugybės sprendimo būdų pasirinkti būtent tą, kuris tinka konkrečiam pavyzdžiui.

Šiame straipsnyje mes nepadėsime suprasti savo galimybių ribų ar suvokti valdymo ribas, bet pabandysime atsakyti į klausimą: kaip suprasti ribas aukštojoje matematikoje? Supratimas ateina su patirtimi, todėl kartu pateiksime keletą detalių ribų sprendimo pavyzdžių su paaiškinimais.

Ribos samprata matematikoje

Pirmas klausimas yra toks: kokia yra ši riba ir kokia riba? Galime kalbėti apie skaitinių sekų ir funkcijų ribas. Mus domina funkcijos ribos samprata, nes su ja dažniausiai susiduria studentai. Bet pirmiausia bendriausias ribos apibrėžimas:

Tarkime, kad yra tam tikra kintamoji reikšmė. Jei ši vertė keitimosi procese neribotai artėja prie tam tikro skaičiaus a , Tai a – šios vertės riba.

Tam tikrame intervale apibrėžtai funkcijai f(x)=y toks skaičius vadinamas limitu A , kurią funkcija linkusi kada X , linkę į tam tikrą tašką A . Taškas A priklauso intervalui, kuriame apibrėžiama funkcija.

Tai skamba sudėtingai, bet parašyta labai paprastai:

Lim- iš anglų kalbos riba- riba.

Taip pat yra geometrinis ribos nustatymo paaiškinimas, tačiau čia nesigilinsime į teoriją, nes mus labiau domina praktinė, o ne teorinė klausimo pusė. Kai mes tai sakome X linkęs į kokią nors reikšmę, tai reiškia, kad kintamasis neįgyja skaičiaus reikšmės, o artėja prie jo be galo arti.

Pateiksime konkretų pavyzdį. Užduotis – rasti ribą.

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, pakeičiame vertę x=3 į funkciją. Mes gauname:

Beje, jei jus domina, perskaitykite atskirą straipsnį šia tema.

Pavyzdžiuose X gali turėti bet kokią vertę. Tai gali būti bet koks skaičius arba begalybė. Štai pavyzdys, kai X linkęs į begalybę:

Intuityviai suprantama, kad kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo mažesnė reikšmė bus naudojama funkcijai. Taigi, su neribotu augimu X prasmė 1/x sumažės ir priartės prie nulio.

Kaip matote, norint išspręsti ribą, tereikia į funkciją pakeisti reikšmę, kurios reikia siekti X . Tačiau tai yra paprasčiausias atvejis. Dažnai rasti ribą nėra taip akivaizdu. Ribose yra tipo neapibrėžtumo 0/0 arba begalybė / begalybė . Ką daryti tokiais atvejais? Pasinaudokite gudrybėmis!

Neaiškumai viduje

Formos begalybė/begalybė neapibrėžtumas

Tegul yra riba:

Jei bandysime į funkciją pakeisti begalybę, gausime begalybę ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Apskritai verta pasakyti, kad sprendžiant tokius neapibrėžtumus yra tam tikras meno elementas: reikia pastebėti, kaip galite pakeisti funkciją taip, kad neapibrėžtumas išnyktų. Mūsų atveju skaitiklį ir vardiklį padalijame iš X vyresnysis laipsnis. Kas nutiks?

Iš jau aptarto pavyzdžio žinome, kad terminai, kurių vardiklyje yra x, bus linkę į nulį. Tada ribos sprendimas yra toks:

Norėdami išspręsti tipo neapibrėžtumus begalybė / begalybė skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš X iki aukščiausio laipsnio.

Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida

Kitas neapibrėžtumo tipas: 0/0

Kaip visada, pakeičiant reikšmes į funkciją x=-1 duoda 0 skaitiklyje ir vardiklyje. Pažvelkite šiek tiek atidžiau ir pastebėsite, kad skaitiklyje yra kvadratinė lygtis. Raskime šaknis ir parašykime:

Sumažinkime ir gaukime:

Taigi, jei susiduriate su tipo netikrumu 0/0 – koeficientas skaitiklis ir vardiklis.

Kad jums būtų lengviau spręsti pavyzdžius, pateikiame lentelę su kai kurių funkcijų ribomis:

L'Hopital taisyklė viduje

Kitas veiksmingas būdas pašalinti abiejų tipų neapibrėžtumą. Kokia metodo esmė?

Jei riboje yra neapibrėžtumo, imkite skaitiklio ir vardiklio išvestinę, kol neapibrėžtis išnyks.

L'Hopital taisyklė atrodo taip:

Svarbus punktas : riba, kurioje vietoj skaitiklio ir vardiklio turi būti skaitiklio ir vardiklio išvestiniai.

O dabar – tikras pavyzdys:

Yra tipiškas neapibrėžtumas 0/0 . Paimkime skaitiklio ir vardiklio išvestinius:

Voila, netikrumas išsprendžiamas greitai ir elegantiškai.

Tikimės, kad šią informaciją galėsite naudingai pritaikyti praktikoje ir rasti atsakymą į klausimą „kaip išspręsti ribas aukštojoje matematikoje“. Jei jums reikia apskaičiuoti sekos ribą arba funkcijos ribą taške, o šiam darbui visiškai nėra laiko, kreipkitės į profesionalų studentų servisą dėl greito ir išsamaus sprendimo.

Žinokite, kad kiekvienas turi skirtingą „skauda“,
Žinokite, kad kiekvienas turi skirtingą „baisą“.
Nespręsk iš savo varpinės
Kiek čia aukštų, nežinoma.

Nežiūrėk į ribas
Nesugalvokite ribų savo smegenimis.
Apie ką niekada nesapnuotume košmare?
Kai kuriems tai įprastas dalykas.

Žinokite, kad kiekvienas turi skirtingą „turėtų“
Žinokite, kad kiekvieno „sunkumas“ yra skirtingas.
Tačiau pragaro idėja
Neįmanoma apibendrinti ir lyginti.

Žinokite, kad tiesa yra kitokia,
Ir ne ta, kuri patiekiama ant lėkštės.
Atidžiau pažvelkite į tuos, kurių likimai gąsdina,
Tai patys stipriausi žmonės.

Nesakyk, kad aš tavęs neatsimenu...
Prisimenu viską, daug kartų per dieną
Pakartoju telefono numerį
Bet aš tau niekada neskambinsiu.
Atrodė, kad mano širdis tuoj plyš
Ir ties vienišų dienų riba

Jie mano sieloje išėjo už horizonto.
Buvo meilė, buvo meilė, buvo!
Ir prie šios frazės nėra ką pridurti.
Mūsų stebuklinga pilis sudegė iki žemės
Ir jis nepaliko mums pelenų kaip atminimo.
Prisimenu viską, prisimenu žydintį sodą,
O per lapiją - spinduliai iš visų pusių,
Tarsi iš baltos, baltos varpinės
Tavo sieloje – girdi – liejasi tylus skambėjimas.
Meilė dingo ir nebegrįš,
Ir kad jos nesiilgtum amžinai,
Tavo akys kaip dvi liūdnos saulės
Jie mano sieloje išėjo už horizonto.

Laimės siekimas vėl nesėkmingas...
Ir lietingas vakaras, lauke niūru...
O vaikystėje... Užtepiau bandelę uogiene
Ir tikrai laimingas, beprotiškai laimingas...

Glamūras, etiketas, deimantai, sūkurinė vonia...
Dabar, be laimės, „Viskas įskaičiuota“ likime
O vaikystėje valgiau saulėgrąžų sėklas,
Ir atrodė, kad laimei nėra ribų...

Mes tapome labai panašūs į klounus...
Visi dėvi makiažą, kuris juokiasi iš išorės...
O vaikystėje... tik saulė prasiveržė iš dangaus
O laiminga širdis taip šypsojosi...

Atrenkame tokius žmones kaip grikiai Pelenėje...
Susisiekite su visais, kurių reikia... Tie, kurie nepelningi, eina prie krosnies...
O vaikystėje giedras dangus mumis tikėjo...
Kur tas džiaugsmas nuo šviežios duonos kvapo?

O dabar ir draugystę galima nusipirkti...
Mes tai padarėme... Gyvename kailių ir odos pasaulyje...
O vaikystėje jie išgelbėjo mišrūną nuo lietaus...
Ir suteikdami laimę jie ją gavo.

Per daugelį metų praradome nuoširdumą ir jautrumą...
Patys sugalvojome ribas ir rėmus...
Ar turite bandelę ir stiklainį vyšnių uogienės?
Taigi būk laimingas!

Žiūriu į tave ir suprantu, kad vis dar tave myliu. Ši meilė yra lėtinė pastarųjų metų liga. Tai atneša tokį nepakeliamą skausmą, kad metu save ant visiškai nepažįstamų žmonių, bandydamas būti jų apgautas, su jais staiga šiuose glėbiuose rasiu tą patį skausmą malšinantį vaistą, kurio, anot susiraukšlėjusių širdžių savininkų, iš viso nėra. Suprantu, kad mane apgaudinėja, bet vis tiek toliau apkabinu - kitaip nusižudyti negaliu, skauda, kankina, naktimis miegoti neleidžia, todėl sėdžiu ant palangės ir dar po minutės rėkiu širdį veriančiai nuo iliuzijų kankinimo. Ar turėčiau kreiptis pagalbos? Nenaudingas. Tu žinai apie mano meilę, bet tau jos nereikia, „tavo burna pilna neišreikštų jausmų“. Esame tame pačiame neatsakingumo tinkle, bet negalime vieni kitiems padėti. Apvynioji rankomis plonus baltus siūlus ir strypus ir žvelgi kažkur už realybės ribų, tikėdamasis Dievas žino kieno pagalbos. Ir tarp mūsų yra tik vienas skirtumas: mano meilė tau vos nenuvertė manęs iš kojų, o tavo meilė kažkam kursto ir atgaivina tave lūkesčiais, nors ir apgaulingai. Nebenoriu į tave žiūrėti, aš išmetu tavo galimybę iš širdies, bet tai daro tai dar skaudžiau. Taigi jis išgyvena kančios procesą pašnibždomis, taip pat tikėdamasis Dievas žino kieno pagalbos. Laikas?..

Jūsų gyvenimas yra visiškas melas, pornografija, kasdienis gyvenimas, priklausomybė nuo interneto ir mobiliųjų telefonų vergovė. Na, ar aš nesu teisi? Sakykite, ar kada nors padarėte ką nors neįprasto? Niekada. O tu negali. Ar žinai kodėl? Nes visa tai yra už jūsų komforto zonos ribų. Jūs esate supakuotas į jį. Kaip polipropileniniame maišelyje. Jūs – mėsos gabaliukai, suspausti kasdienybės ir darbo ribos. O gal aš klystu? Gal aš klystu? Pataisyk mane.
Pavyzdžiui, ar galite duoti savo mobilųjį telefoną pirmam sutiktam žmogui? A? Sudėtingas klausimas. Ar galite suformatuoti varžtą savo kompiuteryje dabar? Kvailas? Ar nusišnekėjai? Ar žinai, kodėl to nedarai? Nes tai tolygu savižudybei. Jūs neegzistuojate be jo.

Jam jau dvidešimt aštuoneri metai ir dar dvidešimt aštuonios žiemos,

Jis laikė vieną paslaptį ir buvo pavyzdingas vyras šeimoje.
Viskas atrodė kaip įprasta: žmona ruošė vakarienę...
Bet staiga atsitiko kažkas blogo: jis prisiminė paslaptį.
Po triukšmu ir rūgštu kopūstų sriubos kvapu, mano sužadėtinio niurzgėjimas ryte,
Jis viską prisiminė iki smulkmenų, tarsi tai būtų nutikę vakar...
...Ji sėdėjo prie lango, ir švelni nuostabi mėnulio šviesa
Nutapė savo gražų siluetą blyškiais tonais...
Sruogos tekėjo per pečius, slydo kaip gyvatės ant krūtinės...
Ir jis skubotai pagalvojo: „Kada nors aš ją ištekėsiu!
Jis prisiminė viską iki smulkmenų: linijų vingius, lūpų švelnumą...
Ir jos paprastų kalbų karštis, ir didžiulis ąžuolas už lango.
Rankų raizginys... Kūnų susiliejimas... Rudų plaukų kaskada...
Ir kaip jis norėjo jos iki pasiutimo, iki ašarų!
Drebančių prisipažinimų srautas, kaip jis šnabždėjo juos man į ausį!
Virš ausies juokinga garbanė, kuri drebėjo alsuojant...
Ji žiūrėjo į jį šlapiomis kaip naktimis akimis.
Žodžiai buvo svaigūs kaip vynas: „Aš tave myliu... Duok man dukrą...“
Ryte jis prarado ramybę: nerimavo, tada nuobodu...
Tada, užsidengęs ranka veidą, atsisėdo ant kėdės ir tylėjo.
Žmona, kaip visada, niurzgėjo. Ji barė pabėgusią sriubą...
Ir jis pažymėjo, kad metai jai netinka, nes ji sensta.
Lygiai taip pat jai netinka balta spalva ir dažytų plaukų sruogos.
Ir dvidešimt aštuonerius metus viskas kažkaip nebuvo rimta...
Staiga jis pašoko, pagriebė paltą ir pamiršo kepurę bei kojines.
Visi dvidešimt aštuoneri metai nėra vienodi... Visos dvidešimt aštuonios žiemos – melancholiškos.
Rado tą namą. Name yra ąžuolas. Jis nubėgo laiptais kaip strėlė...
Norėčiau, kad galėčiau sustabdyti drebėjimą nuo šaltų lūpų, o šlykštų bailumą - šalin!
Ji tikriausiai geria arbatą ir apsigaubusi skara...
O iš jos gražių akių trykšta tylus liūdesys...
O gal ji pradėjo megzti? O gal pinti nėrinius?
Yra tiek daug ką jai pasakyti! Ir svarbiausia pasakyti - atsiprašau...
Ji atidarė duris... Jos akyse šmėstelėjo klausimas. Jai vėl buvo dvidešimt metų...
Rudų plaukų kaskada... Širdžiai pažįstamas siluetas...
Virš ausies yra šiek tiek garbanė... Kaip ir prieš daugelį metų - lygiai tokia pati...
— Ar neklystate? - Ne, aš negalėjau... Ar tu Anya? Jos dukra…"
"O Anė?" - "Mamos nebėra... Kas tu?" Jis atsisuko:
"Aš ėjau pas ją dvidešimt aštuonerius metus..." - Ji laukė tavęs... Dvidešimt penkeri...
Kaip svaigo... Kaip širdis susmuko krūtinėje!
Ir jis prisiminė jos žodžius su malda: „Neišeik!
Jis susigūžė. Jis nuslinko. Rankų susipynimas... Kūnų susiliejimas...
Aš tave myliu... Duok man dukrą... Bet jis labai norėjo dukters.
Kaip keista. Anės nebėra... Verkiau... Mečiau tai į tylą: „Mylėsiu tave daug daug metų... Tu vienas...“

P.S. RŪPINKITES MEILE – tai jūsų laimės pagrindas...