Finne verdiene til arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Arcsine, formel, graf over arcsine-funksjonen, leksjon og presentasjon Serieutvidelse

Arcsine (y = arcsin x) er den inverse funksjonen til sinus (x = syndig -1 ≤ x ≤ 1 og settet med verdier -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arcsine er noen ganger betegnet som følger:
.

Graf over arcsine-funksjonen

Graf for funksjonen y = arcsin x

Buegrafen hentes fra sinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet som funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til arcsine.

Arccosine, arccos

Arc cosinus (y = arccos x) er den inverse funksjonen til cosinus (x = koselig). Den har et omfang -1 ≤ x ≤ 1 og mange betydninger 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arccosine er noen ganger betegnet som følger:
.

Graf av buekosinusfunksjon

Graf for funksjonen y = arccos x

Buecosinusgrafen hentes fra cosinusgrafen hvis abscissen og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet som funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til buekosinus.

Paritet

Arcsine-funksjonen er merkelig:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Buekosinusfunksjonen er ikke partall eller oddetall:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Egenskaper - ekstreme, øke, redusere

Funksjonene arcsine og arccosine er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til arcsine og arccosine er presentert i tabellen.

	y= arcsin x	y= arccos x
Omfang og kontinuitet	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Rekkevidde av verdier
Stigende synkende	monotont øker	monotont avtar
Høyere
Minimumskrav
Null, y = 0	x = 0	x = 1
Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabell over arcsines og arccosines

Denne tabellen presenterer verdiene til arcsines og arccosines, i grader og radianer, for visse verdier av argumentet.

x	arcsin x		arccos x
	hagl	glad.	hagl	glad.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	-45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formler

Sum- og differanseformler

på eller

kl og

kl og

på

på

Uttrykk gjennom logaritmer, komplekse tall

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

Derivater

;
.
Se Avledning av arcsine og arccosine derivater > > >

Høyere ordens derivater:
,
hvor er et polynom av grad . Det bestemmes av formlene:
;
;
.

Se Avledning av høyere ordens derivater av arcsine og arccosine > > >

Integraler

Vi gjør erstatningen x = synd t. Vi integrerer etter deler, tar i betraktning at -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, koster t ≥ 0:
.

La oss uttrykke arc cosinus gjennom arc sinus:
.

Serieutvidelse

Når |x|< 1 følgende dekomponering finner sted:
;
.

Inverse funksjoner

Inversene til arcsinus og arccosinus er henholdsvis sinus og cosinus.

Følgende formler er gyldige i hele definisjonsdomenet:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Følgende formler er bare gyldige for settet med arcsine- og arccosine-verdier:
arcsin(sin x) = x på
arccos(cos x) = x kl.

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Hva er arcsine, arccosine? Hva er arctangens, arccotangent?

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Til konsepter arcsine, arccosine, arctangens, arccotangent Studentpopulasjonen er på vakt. Han forstår ikke disse begrepene og stoler derfor ikke på denne hyggelige familien.) Men forgjeves. Dette er veldig enkle konsepter. Noe som forresten gjør livet enormt enklere for en kunnskapsrik person når man skal løse trigonometriske ligninger!

Tviler på enkelhet? Forgjeves.) Akkurat her og nå vil du se dette.

Selvfølgelig, for å forstå, ville det være fint å vite hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er. Ja, deres tabellverdier for noen vinkler... I hvert fall i de mest generelle termer. Da blir det ingen problemer her heller.

Så vi er overrasket, men husk: arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent er bare noen vinkler. Intet mer, intet mindre. Det er en vinkel, si 30°. Og det er et hjørne arcsin0.4. Eller arctg(-1.3). Det finnes alle slags vinkler.) Du kan ganske enkelt skrive ned vinkler på forskjellige måter. Du kan skrive vinkelen i grader eller radianer. Eller du kan - gjennom sinus, cosinus, tangent og cotangens...

Hva betyr uttrykket

arcsin 0,4?

Dette er en vinkel hvis sinus er 0,4! Ja Ja. Dette er betydningen av arcsine. Jeg vil spesifikt gjenta: arcsin 0,4 er en vinkel hvis sinus er lik 0,4.

Det er alt.

For å holde denne enkle tanken i hodet i lang tid, vil jeg til og med gi en oversikt over dette forferdelige begrepet - arcsine:

bue synd 0,4
hjørne, hvis sinus lik 0,4

Som det står skrevet, så blir det hørt.) Nesten. Konsoll bue midler bue(ord bue vet du?), fordi eldgamle mennesker brukte buer i stedet for vinkler, men dette endrer ikke essensen av saken. Husk denne elementære dekodingen av et matematisk begrep! Dessuten, for arccosine, arctangent og arccotangent, skiller dekodingen seg bare i navnet på funksjonen.

Hva er arccos 0.8?
Dette er en vinkel hvis cosinus er 0,8.

Hva er arctg(-1,3)?
Dette er en vinkel hvis tangent er -1,3.

Hva er arcctg 12?
Dette er en vinkel hvis cotangens er 12.

En slik elementær dekoding gjør det forresten mulig å unngå episke tabber.) For eksempel ser uttrykket arccos1,8 ganske respektabelt ut. La oss begynne å dekode: arccos1.8 er en vinkel hvis cosinus er lik 1.8... Hopp-hopp!? 1,8!? Cosinus kan ikke være større enn én!!!

Ikke sant. Uttrykket arccos1,8 gir ikke mening. Og å skrive et slikt uttrykk i et eller annet svar vil underholde inspektøren veldig.)

Elementær, som du kan se.) Hver vinkel har sin egen personlige sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens. Når vi kjenner den trigonometriske funksjonen, kan vi derfor skrive ned selve vinkelen. Dette er hva arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens er ment for. Fra nå av vil jeg kalle hele denne familien med et lite navn - buer For å skrive mindre.)

Merk følgende! Elementær verbal og bevisst dekoding av buer lar deg rolig og trygt løse en rekke oppgaver. Og i uvanlig Bare hun sparer oppgaver.

Er det mulig å bytte fra buer til vanlige grader eller radianer?- Jeg hører et forsiktig spørsmål.)

Hvorfor ikke!? Enkelt. Du kan gå frem og tilbake. Dessuten må dette noen ganger gjøres. Buer er en enkel ting, men det er på en eller annen måte roligere uten dem, ikke sant?)

For eksempel: hva er arcsin 0,5?

La oss huske dekodingen: arcsin 0,5 er vinkelen hvis sinus er 0,5. Snu på hodet (eller Google) og husk hvilken vinkel som har en sinus på 0,5? Sinus er lik 0,5 y 30 graders vinkel. Det er det: arcsin 0,5 er en vinkel på 30°. Du kan trygt skrive:

lysbue 0,5 = 30°

Eller, mer formelt, når det gjelder radianer:

Det er det, du kan glemme arcsine og fortsette å jobbe med de vanlige gradene eller radianene.

Hvis du skjønte hva er arcsine, arccosine... Hva er arctangent, arccotangent... Du kan enkelt håndtere for eksempel et slikt monster.)

En uvitende person vil trekke seg tilbake i redsel, ja...) Men en informert person husk avkodingen: arcsine er en vinkel hvis sinus ... Og så videre. Hvis en kunnskapsrik person også kjenner sinustabellen... Kosinustabellen. Tabell over tangenter og cotangenter, da er det ingen problemer i det hele tatt!

Det er nok å innse at:

Jeg skal tyde det, dvs. La meg oversette formelen til ord: vinkel hvis tangent er 1 (arctg1)- dette er en vinkel på 45°. Eller, som er det samme, Pi/4. Like måte:

og det er det... Vi erstatter alle buene med verdier i radianer, alt reduseres, det gjenstår bare å beregne hvor mye 1+1 er. Det blir 2.) Hvilket er det riktige svaret.

Slik kan (og bør) du bevege deg fra arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens til vanlige grader og radianer. Dette forenkler skumle eksempler!

Ofte, i slike eksempler, er det inne i buene negativ betydninger. Som, arctg(-1.3), eller for eksempel arccos(-0.8)... Dette er ikke et problem. Her er enkle formler for å gå fra negative til positive verdier:

Du trenger for eksempel å bestemme verdien av uttrykket:

Dette kan løses ved hjelp av den trigonometriske sirkelen, men du vil ikke tegne den. Vel ok. Vi flytter fra negativ verdier inne i buekosinus til k positivt i henhold til den andre formelen:

Inne i buen er cosinus til høyre allerede positivt betydning. Hva

du bare må vite. Alt som gjenstår er å erstatte radianer i stedet for buekosinus og beregne svaret:

Det er alt.

Restriksjoner på arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Er det et problem med eksempel 7 - 9? Vel, ja, det er et triks der.)

Alle disse eksemplene, fra 1 til 9, er nøye analysert i seksjon 555. Hva, hvordan og hvorfor. Med alle de hemmelige fellene og triksene. Pluss måter å dramatisk forenkle løsningen på. Denne delen inneholder forresten mye nyttig informasjon og praktiske tips om trigonometri generelt. Og ikke bare i trigonometri. Hjelper mye.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Funksjonene sin, cos, tg og ctg er alltid ledsaget av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Det ene er en konsekvens av det andre, og funksjonspar er like viktige for å jobbe med trigonometriske uttrykk.

Tenk på en tegning av en enhetssirkel, som grafisk viser verdiene til trigonometriske funksjoner.

Hvis vi beregner buer OA, arcos OC, arctg DE og arcctg MK, vil de alle være lik verdien av vinkelen α. Formlene nedenfor gjenspeiler forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene og deres tilsvarende buer.

For å forstå mer om egenskapene til arcsine, er det nødvendig å vurdere dens funksjon. Rute har form av en asymmetrisk kurve som går gjennom koordinatsenteret.

Egenskaper til arcsine:

Hvis vi sammenligner grafene synd Og arcsin, kan to trigonometriske funksjoner ha felles mønstre.

buekosinus

Arccos av et tall er verdien av vinkelen α, hvis cosinus er lik a.

Kurve y = arcos x speiler arcsin x-grafen, med den eneste forskjellen at den passerer gjennom punktet π/2 på OY-aksen.

La oss se på buekosinusfunksjonen mer detaljert:

Funksjonen er definert på intervallet [-1; 1].
ODZ for arccos - .
Grafen er helt plassert i første og andre kvartal, og selve funksjonen er verken partall eller oddetall.
Y = 0 ved x = 1.
Kurven avtar langs hele lengden. Noen egenskaper til buekosinus faller sammen med cosinusfunksjonen.

Noen egenskaper til buekosinus faller sammen med cosinusfunksjonen.

Kanskje skolebarn vil finne en slik "detaljert" studie av "buer" unødvendig. Men ellers kan enkelte elementære standard eksamensoppgaver føre studentene inn i en blindvei.

Øvelse 1. Angi funksjonene vist i figuren.

Svar: ris. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

I dette eksemplet er det lagt vekt på de små tingene. Vanligvis er elevene svært uoppmerksomme på konstruksjonen av grafer og utseendet til funksjoner. Faktisk, hvorfor huske typen kurve hvis den alltid kan plottes ved hjelp av beregnede punkter. Ikke glem at under testforhold vil tiden brukt på å tegne for en enkel oppgave være nødvendig for å løse mer komplekse oppgaver.

Arctangens

Arctg tallene a er verdien av vinkelen α slik at tangenten er lik a.

Hvis vi vurderer arctangent-grafen, kan vi fremheve følgende egenskaper:

Grafen er uendelig og definert på intervallet (- ∞; + ∞).
Arctangent er en oddetall funksjon, derfor arctan (- x) = - arctan x.
Y = 0 ved x = 0.
Kurven øker gjennom hele definisjonsområdet.

La oss presentere en kort komparativ analyse av tg x og arctg x i form av en tabell.

Arccotangens

Arcctg av et tall - tar en verdi α fra intervallet (0; π) slik at dets cotangens er lik a.

Egenskaper til lysbue-cotangens-funksjonen:

Funksjonsdefinisjonsintervallet er uendelig.
Utvalget av akseptable verdier er intervallet (0; π).
F(x) er verken partall eller oddetall.
Gjennom hele lengden minker grafen til funksjonen.

Det er veldig enkelt å sammenligne ctg x og arctg x du trenger bare å lage to tegninger og beskrive oppførselen til kurvene.

Oppgave 2. Match grafen og notasjonsformen til funksjonen.

Hvis vi tenker logisk, er det tydelig fra grafene at begge funksjonene øker. Derfor viser begge figurene en viss arktanfunksjon. Fra egenskapene til arctangens er det kjent at y=0 ved x = 0,

Svar: ris. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Trigonometriske identiteter arcsin, arcos, arctg og arcctg

Tidligere har vi allerede identifisert forholdet mellom buer og de grunnleggende funksjonene til trigonometri. Denne avhengigheten kan uttrykkes med en rekke formler som lar en uttrykke for eksempel sinusen til et argument gjennom dets arcsinus, arccosinus eller omvendt. Kunnskap om slike identiteter kan være nyttig når man skal løse konkrete eksempler.

Det er også relasjoner for arctg og arcctg:

Et annet nyttig par med formler setter verdien for summen av arcsin og arcos, samt arcctg og arcctg av samme vinkel.

Eksempler på problemløsning

Trigonometrioppgaver kan deles inn i fire grupper: beregn den numeriske verdien av et spesifikt uttrykk, konstruer en graf for en gitt funksjon, finn dens definisjonsdomene eller ODZ og utfør analytiske transformasjoner for å løse eksemplet.

Når du løser den første typen problem, må du følge følgende handlingsplan:

Når du arbeider med funksjonsgrafer, er hovedsaken kunnskap om deres egenskaper og utseendet til kurven. Å løse trigonometriske ligninger og ulikheter krever identitetstabeller. Jo flere formler en elev husker, jo lettere er det å finne svaret på oppgaven.

La oss si at du i Unified State Examination må finne svaret for en ligning som:

Hvis du transformerer uttrykket riktig og bringer det til ønsket form, er det veldig enkelt og raskt å løse det. La oss først flytte arcsin x til høyre side av likheten.

Hvis du husker formelen arcsin (sin α) = α, så kan vi redusere søket etter svar for å løse et system med to ligninger:

Begrensningen på modellen x oppsto, igjen fra egenskapene til arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Når a ≠0, er en del av systemet en andregradsligning med røttene x1 = 1 og x2 = - 1/a. Når a = 0, vil x være lik 1.

Tidligere i programmet fikk elevene en idé om å løse trigonometriske ligninger, ble kjent med begrepene buecosinus og buesinus, og eksempler på løsninger på ligningene cos t = a og sin t = a. I denne videoopplæringen vil vi vurdere å løse likningene tg x = a og ctg x = a.

For å begynne å studere dette emnet, vurder likningene tg x = 3 og tg x = - 3. Hvis vi løser likningen tg x = 3 ved hjelp av en graf, vil vi se at skjæringspunktet mellom grafene til funksjonene y = tg x og y = 3 har et uendelig antall løsninger, der x = x 1 + πk. Verdien x 1 er x-koordinaten til skjæringspunktet til grafene til funksjonene y = tan x og y = 3. Forfatteren introduserer begrepet arctangent: arctan 3 er et tall hvis tan er lik 3, og dette tallet tilhører intervallet fra -π/2 til π/2. Ved å bruke begrepet arctangent kan løsningen til ligningen tan x = 3 skrives som x = arctan 3 + πk.

I analogi løses likningen tg x = - 3 Fra de konstruerte grafene til funksjonene y = tg x og y = - 3, er det tydelig at grafenes skjæringspunkt, og derfor løsningene til likningene, vil. være x = x 2 + πk. Ved å bruke arctangens kan løsningen skrives som x = arctan (- 3) + πk. I neste figur ser vi at arctg (- 3) = - arctg 3.

Den generelle definisjonen av arctangens er som følger: arctangent a er et tall fra intervallet fra -π/2 til π/2 hvis tangent er lik a. Da er løsningen til ligningen tan x = a x = arctan a + πk.

Forfatteren gir eksempel 1. Finn en løsning på uttrykket arctg La oss introdusere notasjonen: arctangensen til et tall er lik x, da vil tg x være lik det gitte tallet, der x tilhører segmentet fra -π. /2 til π/2. Som i eksemplene i tidligere emner, vil vi bruke en verditabell. I følge denne tabellen tilsvarer tangensen til dette tallet verdien x = π/3. La oss skrive ned løsningen til ligningen: arctangensen til et gitt tall er lik π/3, π/3 tilhører også intervallet fra -π/2 til π/2.

Eksempel 2 - beregn arctangensen til et negativt tall. Ved å bruke likheten arctg (- a) = - arctg a, legger vi inn verdien av x. I likhet med eksempel 2 skriver vi ned verdien av x, som tilhører segmentet fra -π/2 til π/2. Fra verditabellen finner vi at x = π/3, derfor -- tg x = - π/3. Svaret på ligningen er - π/3.

La oss se på eksempel 3. Løs ligningen tg x = 1. Skriv at x = arctan 1 + πk. I tabellen tilsvarer verdien tg 1 verdien x = π/4, derfor er arctg 1 = π/4. La oss erstatte denne verdien i den opprinnelige formelen x og skrive svaret x = π/4 + πk.

Eksempel 4: beregn tan x = - 4,1. I dette tilfellet x = arctan (- 4,1) + πk. Fordi Det er ikke mulig å finne verdien av arctg i dette tilfellet vil svaret se ut som x = arctg (- 4.1) + πk.

I eksempel 5 vurderes løsningen til ulikheten tg x > 1 For å løse den konstruerer vi grafer av funksjonene y = tan x og y = 1. Som man kan se på figuren, skjærer disse grafene hverandre i punktene x =. π/4 + πk. Fordi i dette tilfellet tg x > 1, på grafen markerer vi tangentoidområdet, som er plassert over grafen y = 1, hvor x tilhører intervallet fra π/4 til π/2. Vi skriver svaret som π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Tenk deretter på ligningen cot x = a. Figuren viser grafer over funksjonene y = cot x, y = a, y = - a, som har mange skjæringspunkter. Løsningene kan skrives som x = x 1 + πk, hvor x 1 = arcctg a og x = x 2 + πk, hvor x 2 = arcctg (- a). Det bemerkes at x 2 = π - x 1 . Dette innebærer likheten arcctg (- a) = π - arcctg a. Følgende er definisjonen av buecotangens: bue cotangens a er et tall fra intervallet fra 0 til π hvis cotangens er lik a. Løsningen til ligningen сtg x = a skrives som: x = arcctg a + πk.

På slutten av videotimen kommer en annen viktig konklusjon - uttrykket ctg x = a kan skrives som tg x = 1/a, forutsatt at a ikke er lik null.

TEKSTDEKODING:

La oss vurdere å løse likningene tg x = 3 og tg x = - 3. Løser vi den første likningen grafisk, ser vi at grafene til funksjonene y = tg x og y = 3 har uendelig mange skjæringspunkter, hvor abscissene vil være skrevet i skjemaet

x = x 1 + πk, hvor x 1 er abscissen til skjæringspunktet mellom den rette linjen y = 3 med hovedgrenen til tangentoiden (fig. 1), som betegnelsen ble oppfunnet for

arctan 3 (arctangent av tre).

Hvordan forstå arctg 3?

Dette er et tall hvis tangent er 3 og dette tallet tilhører intervallet (- ;). Da kan alle røttene til ligningen tg x = 3 skrives med formelen x = arctan 3+πk.

På samme måte kan løsningen til ligningen tg x = - 3 skrives på formen x = x 2 + πk, der x 2 er abscissen til skjæringspunktet til den rette linjen y = - 3 med hovedgrenen til tangentoid (fig. 1), for hvilken betegnelsen arctg(- 3) (buetangens minus tre). Da kan alle røttene til ligningen skrives med formelen: x = arctan(-3)+ πk. Figuren viser at arctg(- 3)= - arctg 3.

La oss formulere definisjonen av arctangens. Arktangensen a er et tall fra intervallet (-;) hvis tangent er lik a.

Likheten brukes ofte: arctg(-a) = -arctg a, som er gyldig for enhver a.

Når vi kjenner definisjonen av arctangens, kan vi lage en generell konklusjon om løsningen til ligningen

tg x= a: ligningen tg x = a har en løsning x = arctan a + πk.

La oss se på eksempler.

EKSEMPEL 1. Regn ut arctan.

Løsning. La arctg = x, så tgх = og xϵ (- ;). Vis verditabell Derfor, x =, siden tg = og ϵ (- ;).

Så, arctan =.

EKSEMPEL 2. Beregn arctan (-).

Løsning. Ved å bruke likheten arctg(- a) = - arctg a, skriver vi:

arctg(-) = - arctg . La - arctg = x, så - tgх = og xϵ (- ;). Derfor er x =, siden tg = og ϵ (- ;). Vis verditabell

Dette betyr - arctg=- tgх= - .

EKSEMPEL 3. Løs ligningen tgх = 1.

1. Skriv ned løsningsformelen: x = arctan 1 + πk.

2. Finn verdien av arctangensen

siden tg =. Vis verditabell

Så arctan1= .

3. Sett den funnet verdien inn i løsningsformelen:

EKSEMPEL 4. Løs ligningen tgх = - 4.1 (tangens x er lik minus fire komma én).

Løsning. La oss skrive løsningsformelen: x = arctan (- 4,1) + πk.

Vi kan ikke beregne verdien av arctangensen, så vi vil la løsningen til ligningen være i dens oppnådde form.

EKSEMPEL 5. Løs ulikheten tgх 1.

Løsning. Vi løser det grafisk.

La oss konstruere en tangent

y = tgх og rett linje y = 1 (fig. 2). De skjærer hverandre i punkter som x = + πk.

2. La oss velge intervallet til x-aksen der hovedgrenen til tangentoiden er plassert over den rette linjen y = 1, siden etter betingelsen tgх 1. Dette er intervallet (;).

3. Vi bruker periodisiteten til funksjonen.

Egenskap 2. y=tg x er en periodisk funksjon med hovedperioden π.

Tar vi hensyn til periodisiteten til funksjonen y = tgх, skriver vi svaret:

(;). Svaret kan skrives som en dobbel ulikhet:

La oss gå videre til ligningen ctg x = a. La oss presentere en grafisk illustrasjon av løsningen til ligningen for positiv og negativ a (fig. 3).

Grafer av funksjoner y = ctg x og y = a og også

y=ctg x og y=-a

har uendelig mange fellespunkter, hvis abscisser ser ut som:

x = x 1 +, hvor x 1 er abscissen til skjæringspunktet for den rette linjen y = a med hovedgrenen til tangentoiden og

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, hvor x 2 er abscissen til linjens skjæringspunkt

y = - a med hovedgrenen til tangentoiden og x 2 = arcсtg (- a).

Merk at x 2 = π - x 1. Så la oss skrive ned en viktig likhet:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

La oss formulere definisjonen: buecotangens a er et tall fra intervallet (0;π) hvis cotangens er lik a.

Løsningen til ligningen ctg x = a skrives på formen: x = arcctg a + .

Vær oppmerksom på at likningen ctg x = a kan transformeres til formen

tg x = , bortsett fra når a = 0.

Denne artikkelen handler om finne verdiene til arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent gitt nummer. Først skal vi klargjøre hva som kalles betydningen av arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent. Deretter vil vi få hovedverdiene til disse buefunksjonene, hvoretter vi vil forstå hvordan verdiene til buesinus, buecosinus, buetangens og buecotangens finnes ved å bruke tabellene over sinus, cosinus, tangenter og Bradis kotangenser. Til slutt, la oss snakke om å finne arcsine av et tall når arccosine, arctangens eller arccotangens for dette tallet, etc. er kjent.

Sidenavigering.

Verdier av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent

Først av alt er det verdt å finne ut hva "dette" faktisk er. betydningen av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent».

Bradis-tabeller over sinus og cosinus, samt tangenter og cotangenser, lar deg finne verdien av arcsine, arccosine, arctangens og arccotangens for et positivt tall i grader med en nøyaktighet på ett minutt. Her er det verdt å nevne at å finne verdiene til arcsin, arccosine, arctangens og arccotangens for negative tall kan reduseres til å finne verdiene for de tilsvarende buefunksjonene til positive tall ved å gå til formlene arcsin, arccos, arctg og arcctg av motsatte tall av formen arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a og arcctg(−a)=π−arcctg a .

La oss finne ut hvordan du finner verdiene til arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent ved å bruke Bradis-tabellene. Vi vil gjøre dette med eksempler.

La oss finne arcsine-verdien 0,2857. Vi finner denne verdien i sinustabellen (tilfeller når denne verdien ikke er i tabellen vil bli diskutert nedenfor). Det tilsvarer sinus 16 grader 36 minutter. Derfor er den ønskede verdien av arcsine av tallet 0,2857 en vinkel på 16 grader 36 minutter.

Ofte er det nødvendig å ta hensyn til rettelser fra de tre kolonnene til høyre i tabellen. For eksempel, hvis vi trenger å finne arcsine av 0,2863. I følge sinustabellen oppnås denne verdien som 0,2857 pluss en korreksjon på 0,0006, det vil si at verdien på 0,2863 tilsvarer en sinus på 16 grader 38 minutter (16 grader 36 minutter pluss 2 minutters korreksjon).

Hvis tallet hvis arcsine interesserer oss ikke er i tabellen og ikke engang kan oppnås under hensyntagen til korreksjoner, må vi i tabellen finne de to verdiene av sinusene nærmest det, mellom hvilke dette tallet er omsluttet. For eksempel ser vi etter arcsine-verdien på 0,2861573. Dette tallet er ikke i tabellen, og dette tallet kan heller ikke fås ved hjelp av endringer. Deretter finner vi de to nærmeste verdiene 0,2860 og 0,2863, mellom hvilke det opprinnelige tallet tilsvarer sinusene 16 grader 37 minutter og 16 grader 38 minutter. Den ønskede bueverdien på 0,2861573 ligger mellom dem, det vil si at enhver av disse vinkelverdiene kan tas som en omtrentlig bueverdi med en nøyaktighet på 1 minutt.

Buecosinusverdiene, buetangensverdiene og buecotangensverdiene finnes på absolutt samme måte (i dette tilfellet brukes selvfølgelig henholdsvis tabeller over cosinus, tangenter og cotangens).

Finne verdien av arcsin ved å bruke arccos, arctg, arcctg, etc.

La oss for eksempel vite at arcsin a=−π/12, og vi må finne verdien av arccos a. Vi beregner buekosinusverdien vi trenger: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Situasjonen er mye mer interessant når du, ved å bruke den kjente verdien av arcsine eller arccosine av et tall a, må finne verdien av arctangens eller arccotangens av dette tallet a eller omvendt. Dessverre kjenner vi ikke til formlene som definerer slike sammenhenger. Hvordan være? La oss forstå dette med et eksempel.

La oss vite at arccosinus til et tall a er lik π/10, og vi må beregne arctangensen til dette tallet a. Du kan løse problemet på følgende måte: Bruk den kjente verdien av buekosinus, finn tallet a, og finn deretter buetangensen til dette tallet. For å gjøre dette trenger vi først en tabell med cosinus, og deretter en tabell med tangenter.

Vinkelen π/10 radianer er en vinkel på 18 grader, ved å bruke cosinustabellen finner vi at cosinus på 18 grader er omtrent lik 0,9511, da er tallet a i vårt eksempel 0,9511.

Det gjenstår å vende seg til tabellen over tangenter, og med dens hjelp finne den arctangent verdien vi trenger 0,9511, den er omtrent lik 43 grader 34 minutter.

Dette emnet er logisk videreført av materialet i artikkelen. evaluere verdiene til uttrykk som inneholder arcsin, arccos, arctg og arcctg.

Bibliografi.

Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
I. V. Boykov, L. D. Romanova. Samling av problemer for forberedelse til Unified State Exam, del 1, Penza 2003.
Bradis V. M. Firesifrede matematikktabeller: For generell utdanning. lærebok bedrifter. - 2. utg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2