Bernoulli-ligningen i ord. Skoleleksikon. Bernoullis ligning for reell væskestrøm

Som vi nevnte, i rør som ikke er veldig lange og brede nok, er friksjonen så liten at den kan neglisjeres. Under disse forholdene er trykkfallet så lite at i et rør med konstant tverrsnitt er væsken i trykkrørene praktisk talt i samme høyde. Men hvis røret har forskjellige steder ulikt tverrsnitt, så selv i tilfeller hvor friksjon kan neglisjeres, viser erfaring at det statiske trykket er forskjellig på forskjellige steder.

La oss ta et rør med ulikt tverrsnitt (fig. 311) og føre en konstant vannstrøm gjennom det. Ser vi på nivåene i trykkrørene, vil vi se at i de innsnevrede områdene av røret er det statiske trykket mindre enn i de brede områdene. Dette betyr at når man flytter fra en bred del av røret til en smalere, reduseres væskens kompresjonsforhold (trykket synker), og når man går fra en smalere del til en bredere, øker den (trykket øker).

Ris. 311. I trange deler av et rør er det statiske trykket til den flytende væsken mindre enn i brede deler

Dette forklares av det faktum at i brede deler av røret bør væsken strømme langsommere enn i smale deler, siden væskemengden som strømmer i like perioder er den samme for alle seksjoner av røret. Derfor, når du beveger deg fra en smal del av et rør til en bred del, reduseres væskens hastighet: væsken bremser ned, som om den strømmer på en hindring, og dens kompresjonsgrad (så vel som dens trykk) øker. Tvert imot, når du beveger deg fra en bred del av et rør til en smal del, øker hastigheten på væsken og dens kompresjon avtar: væsken, akselererende, oppfører seg som en rettefjær.

Så det ser vi trykket til væsken som strømmer gjennom røret er større der væskens hastighet er mindre, og omvendt: trykket er mindre der væskens hastighet er større. Dette forholdet mellom hastigheten til en væske og dets trykk kalles Bernoullis lov oppkalt etter den sveitsiske fysikeren og matematikeren Daniel Bernoulli (1700-1782).

Bernoullis lov gjelder både for væsker og gasser. Den forblir gyldig for bevegelse av væske som ikke er begrenset av rørets vegger - i den frie flyten av væske. I dette tilfellet må Bernoullis lov anvendes som følger.

La oss anta at bevegelsen til en væske eller gass ikke endres over tid (jevn strømning). Da kan vi forestille oss linjer inne i strømmen som væsken beveger seg langs. Disse linjene kalles strømlinjer; de bryter væsken i separate bekker som renner side om side uten å blandes. Strømlinjer kan synliggjøres ved å føre vann inn i en bekk flytende maling gjennom tynne rør. Malingsstriper ligger langs de aktuelle linjene. I luften for å motta synlige linjer nåværende, kan du bruke røykklosser. Det kan vises Bernoullis lov gjelder for hvert jetfly separat: trykket er større på de stedene i strålen hvor hastigheten i den er lavere og derfor hvor tverrsnittet til strålen er større, og omvendt. Fra fig. 311 er det tydelig at tverrsnittet av strålen er stort på de stedene hvor strømlinjene divergerer; der tverrsnittet av strålen er mindre, kommer strømlinjene nærmere hverandre. Det er derfor Bernoullis lov kan også formuleres slik: på de stedene i strømmen hvor strømlinjene er tettere, er trykket mindre, og på de stedene hvor strømlinjene er tynnere, er trykket større.

La oss ta et rør som har en innsnevring og la oss føre vann gjennom det i høy hastighet. I følge Bernoullis lov vil trykket i den innsnevrede delen reduseres. Du kan velge formen på røret og strømningshastigheten slik at i den innsnevrede delen vil vanntrykket være mindre enn atmosfærisk. Hvis du nå fester et utløpsrør til den smale delen av røret (fig. 312), så vil uteluften bli sugd inn på et sted med lavere trykk: inn i bekken vil luften bli ført bort av vannet. Ved å bruke dette fenomenet kan man konstruere vakuumpumpe - såkalt vannstrålepumpe. I den som er vist i fig. 313 modell av vannstrålepumpe, luft suges gjennom en ringformet spalte 1, nær hvilken vannet beveger seg med høy hastighet. Gren 2 kobles til det utpumpede karet. Vannstrålepumper har ingen bevegelige faste deler (som stempelet i konvensjonelle pumper), noe som er en av fordelene deres.

Mye av verden rundt oss adlyder fysikkens lover. Dette burde ikke være overraskende, fordi begrepet "fysikk" kommer fra det greske ordet, oversatt som betyr "natur". Og en av disse lovene som hele tiden jobber rundt oss, er Bernoullis lov.

Loven i seg selv fungerer som en konsekvens av prinsippet om bevaring av energi. Denne tolkningen lar oss gi en ny forståelse til mange tidligere kjente fenomener. For å forstå essensen av loven er det nok å huske en rennende strøm. Her renner det, går mellom steiner, greiner og røtter. Noen steder gjøres den bredere, andre er den smalere. Du kan merke at der bekken er bredere, renner vannet langsommere, og der det er smalere, renner vannet raskere. Dette er Bernoullis prinsipp, som fastslår forholdet mellom trykket i en væskestrøm og bevegelseshastigheten til en slik strøm.

Riktignok formulerer fysikklærebøker det noe annerledes, og det forholder seg til hydrodynamikk, og ikke til en rennende bekk. I den ganske populære Bernoulli kan det sies på denne måten: trykket til en væske som strømmer i et rør er høyere der hastigheten er lavere, og omvendt: der hastigheten er høyere, er trykket lavere.

For å bekrefte, bare løp enkleste opplevelsen. Du må ta et ark og blåse langs det. Papiret vil stige oppover, i den retningen luftstrømmen passerer.

Det er veldig enkelt. Som Bernoullis lov sier, hvor hastigheten er høyere, er trykket lavere. Dette betyr at langs overflaten av arket, der det er mindre luftstrøm, og i bunnen av arket, hvor det ikke er luftstrøm, er trykket større. Så bladet stiger i retningen hvor trykket er mindre, dvs. hvor luftstrømmen passerer.

Den beskrevne effekten er mye brukt i hverdagen og i teknologi. Som et eksempel, vurder en sprøytepistol eller airbrush. De bruker to rør, ett med større tverrsnitt og det andre med mindre tverrsnitt. Den med større diameter festes til malingsbeholderen, mens den med mindre tverrsnitt passerer luft i høy hastighet. På grunn av den resulterende trykkforskjellen går malingen inn i luftstrømmen og overføres av denne strømmen til overflaten som skal males.

En pumpe kan fungere etter samme prinsipp. Faktisk er det som er beskrevet ovenfor en pumpe.

Ikke mindre interessant er Bernoullis lov når den brukes på drenering av sumper. Som alltid er alt veldig enkelt. Våtmarken er forbundet med grøfter til elva. Det er en strøm i elva, men ikke i sumpen. Igjen oppstår det en trykkforskjell, og elva begynner å suge vann fra våtmarken. Oppstår i ren form demonstrasjon av fysikkens lov.

Virkningen av denne effekten kan også være ødeleggende. For eksempel, hvis to skip passerer nær hverandre, vil vannhastigheten mellom dem være høyere enn på den andre siden. Som et resultat vil det oppstå en ekstra styrke som vil trekke skipene mot hverandre, og en katastrofe vil være uunngåelig.

Alt som er sagt kan presenteres i form av formler, men det er slett ikke nødvendig å skrive Bernoullis ligninger for å forstå den fysiske essensen av dette fenomenet.

For en bedre forståelse vil vi gi et annet eksempel på bruken av den beskrevne loven. Alle ser for seg en rakett. I et spesielt kammer brenner drivstoff og det dannes en jetstrøm. For å akselerere den brukes en spesielt innsnevret seksjon - munnstykket. Her skjer akselerasjonen av gasstrømmen og, som et resultat, vekst

Det er mange flere ulike alternativer bruken av Bernoullis lov i teknologi, men det er rett og slett umulig å vurdere dem alle innenfor rammen av denne artikkelen.

Så Bernoullis lov ble formulert, en forklaring av den fysiske essensen av prosessene som finner sted ble gitt, og eksempler fra natur og teknologi ble brukt for å vise mulige alternativer anvendelse av denne loven.

I denne delen vil vi bruke loven om bevaring av energi på bevegelse av væske eller gass gjennom rør. Bevegelse av væske gjennom rør er ofte påtruffet i teknologi og hverdagsliv. Vannrør leverer vann i byen til hus og forbrukssteder. I biler tilføres olje til smøring, drivstoff til motorer etc. gjennom rør. Bevegelsen av væske gjennom rør finnes ofte i naturen. Det er nok å si at blodsirkulasjonen til dyr og mennesker er strømmen av blod gjennom rør - blodårer. Til en viss grad er vannføringen i elver også en type væskestrøm gjennom rør. Elveleiet er et slags rør for rennende vann.

Som kjent overfører en stasjonær væske i et kar, i henhold til Pascals lov, ytre trykk i alle retninger og til alle punkter i volumet uten endring. Men når en væske strømmer uten friksjon gjennom et rør hvis tverrsnittsareal er ulike områder er forskjellig, er trykket ikke det samme langs røret. La oss finne ut hvorfor trykket i en bevegelig væske avhenger av rørets tverrsnittsareal. Men la oss først se på en viktig funksjon enhver væskestrøm.

La oss anta at væske strømmer gjennom et horisontalt rør, hvis tverrsnitt er forskjellig på forskjellige steder, for eksempel gjennom et rør, hvorav en del er vist i figur 207.

Hvis vi mentalt tegnet flere seksjoner langs et rør, hvis arealer er henholdsvis like, og målte mengden væske som strømmet gjennom hver av dem over en viss tidsperiode, ville vi finne at samme mengde væske strømmet gjennom hver seksjon. Dette betyr at all væsken som passerer gjennom den første seksjonen på samme tid passerer gjennom den tredje seksjonen, selv om den er betydelig mindre i areal enn den første. Hvis dette ikke var tilfelle og for eksempel mindre væske passerte gjennom en seksjon med et areal over tid enn gjennom en seksjon med et areal, så måtte overskuddsvæsken samle seg et sted. Men væsken fyller hele røret, og det er ingen steder for det å samle seg.

Hvordan kan en væske som har strømmet gjennom en bred seksjon klare å "klemme" seg gjennom en smal seksjon på samme tid? For at dette skal skje, når man passerer smale deler av røret, må bevegelseshastigheten være større, og nøyaktig så mange ganger som tverrsnittsarealet er mindre.

La oss faktisk vurdere en viss del av en flytende væskesøyle, som i det første øyeblikket sammenfaller med en av rørseksjonene (fig. 208). Over tid vil dette området bevege seg en avstand lik hvor hastigheten på væskestrømmen er. Volumet V av væske som strømmer gjennom en seksjon av et rør er lik produktet av arealet til denne seksjonen og lengden

Et volum væskestrømmer per tidsenhet -

Volumet av væske som strømmer per tidsenhet gjennom et tverrsnitt av et rør er lik produktet av tverrsnittsarealet til røret og strømningshastigheten.

Som vi nettopp så, må dette volumet være det samme i forskjellige deler av røret. Derfor, jo mindre tverrsnitt av røret, desto større er bevegelseshastigheten.

Hvor mye væske som passerer gjennom en seksjon av et rør i løpet av en viss tid, må samme mengde passere i slike

samtidig gjennom en hvilken som helst annen seksjon.

Samtidig tror vi at en gitt væskemasse alltid har samme volum, at den ikke kan komprimere og redusere volumet (en væske sies å være inkompressibel). Det er for eksempel velkjent at på trange steder i en elv er vannføringshastigheten større enn i brede. Hvis vi angir hastigheten på væskestrømmen i seksjoner etter områder gjennom, kan vi skrive:

Av dette kan man se at når en væske passerer fra en seksjon av et rør med et større tverrsnittsareal til en seksjon med et mindre tverrsnittsareal, øker strømningshastigheten, dvs. væsken beveger seg med akselerasjon. Og dette, ifølge Newtons andre lov, betyr at en kraft virker på væsken. Hva slags makt er dette?

Denne kraften kan bare utgjøre forskjellen mellom trykkkreftene i de brede og smale delene av røret. I en bred seksjon må således væsketrykket være større enn i en smal seksjon av røret.

Dette følger også av loven om bevaring av energi. Faktisk, hvis hastigheten på væskebevegelsen på trange steder i et rør øker, øker dens kinetiske energi også. Og siden vi antok at væsken flyter uten friksjon, må denne økningen i kinetisk energi kompenseres med en reduksjon i potensiell energi, fordi den totale energien må forbli konstant. Hvilken potensiell energi snakker vi om her? Hvis røret er horisontalt, er den potensielle energien for interaksjon med jorden i alle deler av røret den samme og kan ikke endres. Dette betyr at bare den potensielle energien til elastisk interaksjon gjenstår. Trykkkraften som tvinger væsken til å strømme gjennom røret er den elastiske kompresjonskraften til væsken. Når vi sier at en væske er ukomprimerbar, mener vi bare at den ikke kan komprimeres så mye at volumet endres merkbart, men det oppstår uunngåelig svært liten kompresjon, som forårsaker utseendet av elastiske krefter. Disse kreftene skaper væsketrykk. Det er denne komprimeringen av væsken som avtar i de smale delene av røret, og kompenserer for økningen i hastighet. I trange områder av rør bør væsketrykket derfor være mindre enn i brede områder.

Dette er loven oppdaget av St. Petersburg-akademiker Daniil Bernoulli:

Trykket til den strømmende væsken er større i de delene av strømmen der bevegelseshastigheten er mindre, og,

tvert imot, i de seksjonene hvor hastigheten er større, er trykket mindre.

Hvor rart det kan virke, men når en væske "presser" gjennom smale områder rør, dens kompresjon øker ikke, men avtar. Og erfaring bekrefter dette godt.

Hvis røret som væsken strømmer gjennom er utstyrt med åpne rør loddet inn i det - trykkmålere (fig. 209), vil det være mulig å observere trykkfordelingen langs røret. I trange områder av røret er høyden på væskekolonnen i trykkrøret mindre enn i brede områder. Det gjør at det er mindre trykk på disse stedene. Jo mindre tverrsnitt av røret, jo høyere strømningshastighet og jo lavere trykk. Det er åpenbart mulig å velge en seksjon der trykket er lik det ytre atmosfæriske trykket (høyden på væskenivået i trykkmåleren vil da være lik null). Og hvis vi tar en enda mindre seksjon, vil væsketrykket i den være mindre enn atmosfærisk.

Denne væskestrømmen kan brukes til å pumpe ut luft. Den såkalte vannstrålepumpen opererer etter dette prinsippet. Figur 210 viser et diagram av en slik pumpe. En vannstrøm føres gjennom rør A med et smalt hull i enden. Vanntrykket ved røråpningen er mindre enn atmosfærisk trykk. Det er derfor

gass fra det pumpede volumet trekkes gjennom rør B til enden av rør A og fjernes sammen med vann.

Alt som er sagt om bevegelse av væske gjennom rør gjelder også for bevegelse av gass. Hvis hastigheten på gassstrømmen ikke er for høy og gassen ikke komprimeres så mye at volumet endres, og hvis friksjonen i tillegg neglisjeres, så gjelder Bernoullis lov også for gassstrømmer. I trange deler av rør, hvor gassen beveger seg raskere, er trykket mindre enn i brede deler og kan bli mindre enn atmosfærisk trykk. I noen tilfeller krever det ikke engang rør.

Du kan gjøre et enkelt eksperiment. Hvis du blåser på et papirark langs overflaten, som vist i figur 211, vil du se at papiret begynner å heve seg. Dette skjer på grunn av en reduksjon i trykket i luftstrømmen over papiret.

Det samme fenomenet oppstår når et fly flyr. En motstrøm av luft strømmer inn på den konvekse øvre overflaten av vingen til et flygende fly, og på grunn av dette oppstår en reduksjon i trykket. Trykket over vingen er mindre enn trykket under vingen. Det er dette som skaper løftet av vingen.

Oppgave 62

1. Tillatt hastighet på oljestrøm gjennom rør er 2 m/sek. Hvor mye olje passerer gjennom et rør med en diameter på 1 m på 1 time?

2. Mål mengden vann som renner ut av vannkran for en viss tid Bestem hastigheten på vannstrømmen ved å måle diameteren på røret foran kranen.

3. Hva skal være diameteren på rørledningen som vann skal strømme gjennom per time? Tillatt vannstrømningshastighet er 2,5 m/sek.

Dokumentariske pedagogiske filmer. Serien "Fysikk".

Daniel Bernoulli (29. januar (8. februar) 1700 – 17. mars 1782), sveitsisk universell fysiker, mekaniker og matematiker, en av skaperne av den kinetiske teorien om gasser, hydrodynamikk og matematisk fysikk. Akademiker og utenlandsk æresmedlem (1733) St. Petersburg akademi Sciences, medlem av akademiene: Bologna (1724), Berlin (1747), Paris (1748), Royal Society of London (1750). Sønn av Johann Bernoulli.

Bernoullis lov (ligning) er (i de enkleste tilfellene) en konsekvens av loven om bevaring av energi for en stasjonær strøm av en ideell (det vil si uten indre friksjon) inkompressibel væske:

Her

- væsketetthet, - strømningshastighet, - høyden som det aktuelle væskeelementet befinner seg i, - trykk på punktet i rommet der massesenteret til det aktuelle fluidelementet er plassert, - akselerasjon av fritt fall.

Bernoullis ligning kan også utledes som en konsekvens av Eulers ligning, som uttrykker momentumbalansen for en flytende væske.

I vitenskapelig litteratur kalles Bernoullis lov vanligvis Bernoullis ligning(ikke å forveksle med differensialligning Bernoulli), Bernoullis teorem eller Bernoulli integral.

Konstanten på høyre side kalles ofte fullt trykk og avhenger i det generelle tilfellet av strømlinjen.

Dimensjonen til alle ledd er energienheten per volumenhet væske. De første og andre begrepene i Bernoulli-integralet har betydningen kinetisk og potensiell energi per volumenhet væske. Det skal bemerkes at det tredje begrepet i sin opprinnelse er arbeidet til presskrefter og representerer ikke en reserve av noen spesiell type energi ("trykkenergi").

Et forhold nær det gitt ovenfor ble oppnådd i 1738 av Daniel Bernoulli, hvis navn vanligvis er assosiert Bernoulli integral. I moderne form integralen ble oppnådd av Johann Bernoulli rundt 1740.

Til horisontalt rør høyden er konstant og Bernoullis ligning har formen: .

Denne formen for Bernoulli-ligningen kan oppnås ved å integrere Euler-ligningen for en stasjonær endimensjonal væskestrøm, med konstant tetthet : .

I følge Bernoullis lov forblir det totale trykket i en jevn strøm av væske konstant langs den strømmen.

Totalt trykk består av vekt, statisk og dynamisk trykk.

Fra Bernoullis lov følger det at når strømningstverrsnittet avtar, på grunn av en hastighetsøkning, det vil si dynamisk trykk, faller det statiske trykket. Dette er hovedårsaken til Magnus-effekten. Bernoullis lov er også gyldig for laminære gassstrømmer. Fenomenet med en reduksjon i trykk med en økning i strømningshastighet ligger til grunn for driften av forskjellige typer strømningsmålere (for eksempel et Venturi-rør), vann- og dampstrålepumper. Og den konsekvente anvendelsen av Bernoullis lov førte til fremveksten av en teknisk hydromekanisk disiplin - hydraulikk.

Bernoullis lov er gyldig i sin rene form bare for væsker hvis viskositet er null. For å tilnærme flyten av reelle væsker i teknisk fluidmekanikk (hydraulikk), brukes Bernoulli-integralet med tillegg av termer som tar hensyn til tap på grunn av lokale og distribuerte motstander.

Generaliseringer av Bernoulli-integralet er kjent for visse klasser av viskøse væskestrømmer (for eksempel for planparallelle strømninger), i magnetohydrodynamikk og ferrohydrodynamikk.

La oss ta et rør som en væske strømmer gjennom. Vårt rør er ikke det samme i hele lengden, men har en annen tverrsnittsdiameter. Bernoullis lov kommer til uttrykk i det faktum at, til tross for de forskjellige diametrene, strømmer det samme volumet av væske gjennom en hvilken som helst seksjon i dette røret samtidig.

De. Ettersom mye væske passerer gjennom en seksjon av røret i løpet av en viss tid, må samme mengde væske passere gjennom en hvilken som helst annen seksjon på samme tid. Og siden volumet av væsken ikke endres, og selve væsken praktisk talt ikke er komprimert, endres noe annet.

I den smalere delen av røret er væskehastigheten høyere og trykket lavere. Omvendt, i brede deler av røret er hastigheten lavere og trykket høyere.

Væsketrykket og hastigheten endres. Hvis røret som væsken strømmer gjennom er utstyrt med åpne trykkmålerrør loddet inn i det (fig. 209), vil det være mulig å observere trykkfordelingen langs røret.

Med hensyn til aerodynamikk kommer Bernoullis lov til uttrykk i at luftstrømmen som strømmer inn på vingen har ulik hastighet og trykk under vingen og over vingen, hvorfor løftekraften til vingen oppstår

La oss gjøre et enkelt eksperiment. Ta et lite stykke papir og legg det rett foran deg slik:

Og så blåser vi over overflaten, da vil papirstykket, mot forventning, i stedet for å bøye seg enda mer mot Jorden, tvert imot, rette seg ut. Saken er at ved å blåse luft over overflaten av bladet reduserer vi trykket, mens lufttrykket under bladet forblir det samme. Det viser seg at over bladet er det et område med lavt trykk, og under bladet er det høyt trykk. Luftmasser prøver å "bevege seg" ut av området høyt trykk til det lave området, og dette får bladet til å rette seg.

Et annet eksperiment kan gjøres. Ta 2 stykker papir og legg dem foran deg på følgende måte:

Og så, ved å blåse inn i området mellom dem, vil papirarkene, i motsetning til våre forventninger, i stedet for å bevege seg bort fra hverandre, tvert imot, komme nærmere. Her ser vi samme effekt. Luftmasser fra eksterne parter ha et stykke papir mer press, i stedet for luften vi akselererte mellom arkene. Dette fører til at papirarkene tiltrekkes av hverandre.

Det samme prinsippet brukes til å utføre sine flyvninger med paraglidere, hangglidere, fly, seilfly, helikoptre, etc. fly. Det er dette som gjør at et flertonns passasjerfly kan ta av.