For å løse eksempler med brøker, må du kunne finne den laveste fellesnevneren. Nedenfor er detaljerte instruksjoner.

Hvordan finne laveste fellesnevner - konsept

Minste fellesnevner (LCD) med enkle ord er minimumstallet som er delelig med nevnerne for alle brøkene i dette eksemplet. Med andre ord kalles det Least Common Multiple (LCM). NOS brukes bare hvis nevnerne til brøkene er forskjellige.

Hvordan finne laveste fellesnevner - eksempler

La oss se på eksempler på å finne NOC.

Regn ut: 3/5 + 2/15.

Løsning (handlingssekvens):

• Vi ser på nevnerne til brøkene, forsikrer oss om at de er forskjellige og at uttrykkene er mest mulig forkortet.
• Vi finner det minste tallet som er delelig med både 5 og 15. Dette tallet blir 15. Dermed blir 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Vi fant ut nevneren. Hva vil stå i telleren? En ekstra multiplikator vil hjelpe oss å finne ut av dette. En tilleggsfaktor er tallet oppnådd ved å dele NZ med nevneren til en bestemt brøk. For 3/5 er tilleggsfaktoren 3, siden 15/5 = 3. For den andre brøken er tilleggsfaktoren 1, siden 15/15 = 1.
• Etter å ha funnet ut tilleggsfaktoren, multipliserer vi den med tellerne til brøkene og legger til de resulterende verdiene. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Svar: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Hvis vi i eksemplet legger til eller trekker fra ikke 2, men 3 eller flere brøker, så må NCD letes etter så mange brøker som er gitt.

Regn ut: 1/2 – 5/12 + 3/6

Løsning (handlingssekvens):

• Finne laveste fellesnevner. Minimumstallet som er delelig med 2, 12 og 6 er 12.
• Vi får: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Vi ser etter ytterligere multiplikatorer. For 1/2 – 6; for 5/12 – 1; for 3/6 – 2.
• Vi multipliserer med tellerne og tildeler de tilsvarende tegnene: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Svar: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Denne artikkelen forklarer hvordan finne den laveste fellesnevneren Og hvordan konvertere brøker til fellesnevner . Først gis definisjonene av fellesnevner for brøker og minste fellesnevner, og det vises hvordan man finner fellesnevneren for brøker. Nedenfor er en regel for å redusere brøker til en fellesnevner, og eksempler på anvendelse av denne regelen vurderes. Avslutningsvis diskuteres eksempler på å bringe tre eller flere brøker til en fellesnevner.

Sidenavigering.

Hva kalles å redusere brøker til en fellesnevner?

Nå kan vi si hva det er å redusere brøker til en fellesnevner. Redusere brøker til en fellesnevner– Dette er multiplikasjonen av tellerne og nevnerne til gitte brøker med slike tilleggsfaktorer at resultatet blir brøker med de samme nevnerne.

Fellesnevner, definisjon, eksempler

Nå er det på tide å definere fellesnevneren for brøker.

Med andre ord er fellesnevneren for et visst sett med vanlige brøker en hvilken som helst naturlig tall, som er delelig med alle nevnerne av disse brøkene.

Av den oppgitte definisjonen følger det at et gitt sett med brøker har uendelig mange fellesnevnere, siden det er et uendelig antall felles multipler av alle nevnerne i det opprinnelige brøksettet.

Ved å bestemme fellesnevneren for brøker kan du finne fellesnevnerne til gitte brøker. La, for eksempel, gitt brøkene 1/4 og 5/6, deres nevnere er henholdsvis 4 og 6. Positive felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallene 12, 24, 36, 48, ... Hvilke som helst av disse tallene er en fellesnevner for brøkene 1/4 og 5/6.

For å konsolidere materialet, vurder løsningen til følgende eksempel.

Eksempel.

Kan brøkene 2/3, 23/6 og 7/12 reduseres til en fellesnevner på 150?

Løsning.

For å svare på spørsmålet må vi finne ut om tallet 150 er et felles multiplum av nevnerne 3, 6 og 12. For å gjøre dette, la oss sjekke om 150 er delelig med hvert av disse tallene (se om nødvendig reglene og eksemplene for å dele naturlige tall, samt reglene og eksemplene på å dele naturlige tall med en rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (resterende 6) .

Så, 150 er ikke jevnt delelig med 12, derfor er ikke 150 et felles multiplum av 3, 6 og 12. Derfor kan ikke tallet 150 være fellesnevneren for de opprinnelige brøkene.

Svare:

Det er forbudt.

Laveste fellesnevner, hvordan finner jeg den?

I settet med tall som er fellesnevnere for gitte brøker, er det et minste naturlig tall, som kalles minste fellesnevner. La oss formulere definisjonen av den laveste fellesnevneren for disse brøkene.

Definisjon.

Laveste fellesnevner er det minste antallet av alle fellesnevnerne til disse brøkene.

Det gjenstår å håndtere spørsmålet om hvordan man finner den minste felles divisor.

Siden er den minst positive felles deleren av et gitt sett med tall, representerer LCM for nevnerne til de gitte brøkene den minste fellesnevneren av de gitte brøkene.

Å finne den laveste fellesnevneren av brøker kommer derfor ned til nevnerne til disse brøkene. La oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

Finn den laveste fellesnevneren for brøkene 3/10 og 277/28.

Løsning.

Nevnerne til disse brøkene er 10 og 28. Den ønskede laveste fellesnevneren finnes som LCM for tallene 10 og 28. I vårt tilfelle er det enkelt: siden 10=2·5, og 28=2·2·7, så LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Svare:

140 .

Hvordan redusere brøker til en fellesnevner? Regler, eksempler, løsninger

Vanlige brøker resulterer vanligvis i en laveste fellesnevner. Vi skal nå skrive ned en regel som forklarer hvordan man reduserer brøker til laveste fellesnevner.

Regel for å redusere brøker til laveste fellesnevner består av tre trinn:

• Finn først den laveste fellesnevneren for brøkene.
• For det andre beregnes en tilleggsfaktor for hver brøk ved å dele den laveste fellesnevneren med nevneren til hver brøk.
• For det tredje multipliseres telleren og nevneren for hver brøk med dens tilleggsfaktor.

La oss bruke den angitte regelen for å løse følgende eksempel.

Eksempel.

Reduser brøkene 5/14 og 7/18 til deres laveste fellesnevner.

Løsning.

La oss utføre alle trinnene i algoritmen for å redusere brøker til laveste fellesnevner.

Først finner vi den minste fellesnevneren, som er lik det minste felles multiplumet av tallene 14 og 18. Siden 14=2·7 og 18=2·3·3, så LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Nå beregner vi tilleggsfaktorer ved hjelp av hvilke brøkene 5/14 og 7/18 vil reduseres til nevneren 126. For brøken 5/14 er tilleggsfaktoren 126:14=9, og for brøken 7/18 er tilleggsfaktoren 126:18=7.

Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene 5/14 og 7/18 med tilleggsfaktorene 9 og 7, henholdsvis. Vi har og .

Så, reduksjon av brøkene 5/14 og 7/18 til laveste fellesnevner er fullført. De resulterende fraksjoner var 45/126 og 49/126.

Nevneren til den aritmetiske brøken a / b er tallet b, som viser størrelsen på brøkene av en enhet som brøken er sammensatt av. Nevneren til en algebraisk brøk A / B er det algebraiske uttrykket B. For å utføre aritmetiske operasjoner med brøker må de reduseres til laveste fellesnevner.

Du trenger

• For å jobbe med algebraiske brøker og finne den laveste fellesnevneren, må du vite hvordan du faktoriserer polynomer.

Instruksjoner

La oss vurdere å redusere to aritmetiske brøker n/m og s/t til den minste fellesnevneren, der n, m, s, t er heltall. Det er klart at disse to brøkene kan reduseres til en hvilken som helst nevner som er delelig med m og t. Men de prøver å lede til laveste fellesnevner. Det er lik det minste felles multiplum av nevnerne m og t av de gitte brøkene. Det minste multiplumet (LMK) av et tall er det minste som er delelig med alle gitte tall samtidig. De. i vårt tilfelle må vi finne det minste felles multiplum av tallene m og t. Angitt som LCM (m, t). Deretter multipliseres brøkene med de tilsvarende: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

La oss finne den laveste fellesnevneren av tre brøker: 4/5, 7/8, 11/14. La oss først utvide nevnerne 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Deretter beregner du LCM (5, 8, 14) ved å multiplisere alle tallene inkludert i minst én av utvidelsene. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Merk at hvis en faktor oppstår i utvidelsen av flere tall (faktor 2 i utvidelsen av nevnerne 8 og 14), så tar vi faktoren til i større grad (2^3 i vårt tilfelle).

Så den generelle mottas. Det er lik 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Her får vi tallene som vi må gange brøkene med de tilsvarende nevnerne for å bringe dem til laveste fellesnevner. Vi får 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Reduserer til laveste fellesnevner algebraiske brøker utført i analogi med aritmetikk. For klarhet, la oss se på problemet ved å bruke et eksempel. La to brøker (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) og (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) gis. La oss faktorisere begge nevnerne. Merk at nevneren til den første brøken er et perfekt kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Til

Jeg ønsket opprinnelig å inkludere fellesnevnerteknikker i delen Legge til og trekke fra brøker. Men det viste seg å være så mye informasjon, og dens betydning er så stor (tross alt har ikke bare numeriske brøker fellesnevnere), at det er bedre å studere dette problemet separat.

Så la oss si at vi har to brøker med ulike nevnere. Og vi vil sørge for at nevnerne blir de samme. Den grunnleggende egenskapen til en brøk kommer til unnsetning, som, la meg minne deg, høres slik ut:

En brøk vil ikke endres hvis dens teller og nevner multipliseres med samme tall annet enn null.

Hvis du velger faktorene riktig, vil altså nevnerne til brøkene bli like - denne prosessen kalles reduksjon til en fellesnevner. Og de nødvendige tallene, "utjevner" nevnerne, kalles tilleggsfaktorer.

Hvorfor må vi redusere brøker til en fellesnevner? Her er bare noen få grunner:

1. Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Det er ingen annen måte å utføre denne operasjonen på;
2. Sammenligning av brøker. Noen ganger forenkler reduksjon til en fellesnevner denne oppgaven i stor grad;
3. Løse problemer som involverer brøker og prosenter. Prosentandeler er i hovedsak vanlige uttrykk som inneholder brøker.

Det er mange måter å finne tall på som, når de multipliseres med dem, vil gjøre nevnerne til brøker like. Vi vil vurdere bare tre av dem - i rekkefølge med økende kompleksitet og, på en måte, effektivitet.

Multiplikasjon på kryss og tvers

Den enkleste og pålitelig måte, som garantert vil utjevne nevnerne. Vi vil handle "på en hodestups måte": vi multipliserer den første brøken med nevneren til den andre brøken, og den andre med nevneren til den første. Som et resultat vil nevnerne til begge brøkene bli lik produktet av de opprinnelige nevnerne. Ta en titt:

Som tilleggsfaktorer, vurder nevnerne til nærliggende brøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du akkurat har begynt å studere brøker, er det bedre å jobbe med denne metoden - på denne måten vil du sikre deg mot mange feil og garantert få resultatet.

Den eneste ulempen denne metoden- du må telle mye, fordi nevnerne multipliseres "tvers igjennom", og resultatet kan bli veldig store antall. Dette er prisen å betale for pålitelighet.

Felles divisormetode

Denne teknikken bidrar til å redusere beregningene betydelig, men den brukes dessverre ganske sjelden. Metoden er som følger:

1. Før du går rett frem (dvs. bruker kryss-tvers-metoden), ta en titt på nevnerne. Kanskje er en av dem (den som er større) delt inn i den andre.
2. Tallet som følger av denne delingen vil være en tilleggsfaktor for brøken med en mindre nevner.
3. I dette tilfellet trenger ikke en brøk med stor nevner å multipliseres med noe i det hele tatt - det er her besparelsene ligger. Samtidig reduseres sannsynligheten for feil kraftig.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Siden den ene nevneren i begge tilfeller er delt uten en rest med den andre, bruker vi metoden for fellesfaktorer. Vi har:

Merk at den andre brøken ikke ble multiplisert med noe i det hele tatt. Faktisk halverer vi beregningsmengden!

Forresten, jeg tok ikke brøkene i dette eksemplet ved en tilfeldighet. Hvis du er interessert, prøv å telle dem ved å bruke kryss-tvers-metoden. Etter reduksjon vil svarene være de samme, men det blir mye mer arbeid.

Dette er styrken til metoden felles deler, men jeg gjentar, det kan bare brukes i tilfellet når en av nevnerne er delt med den andre uten en rest. Noe som skjer ganske sjelden.

Minst vanlige multiple metode

Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, prøver vi i hovedsak å finne et tall som er delelig med hver nevner. Så bringer vi nevnerne til begge brøkene til dette tallet.

Det er mange slike tall, og det minste av dem vil ikke nødvendigvis være lik det direkte produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, slik det antas i "kryss-kryss"-metoden.

For eksempel, for nevnerne 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, siden 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Dette tallet er mye mindre enn produktet 8 · 12 = 96.

Minste tall, som er delelig med hver av nevnerne, kalles deres minste felles multiplum (LCM).

Notasjon: Det minste felles multiplum av a og b er merket med LCM(a ; b) . For eksempel, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Klarer du å finne et slikt tall, vil den totale mengden beregninger være minimal. Se på eksemplene:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:

Merk at 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen felles faktorer annet enn 1), og faktor 117 er vanlig. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Likeledes, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er vanlig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

La oss nå bringe brøkene til fellesnevnere:

Legg merke til hvor nyttig det var å faktorisere de opprinnelige nevnerne:

1. Etter å ha oppdaget identiske faktorer, kom vi umiddelbart frem til det minste felles multiplum, som generelt sett er et ikke-trivielt problem;
2. Fra den resulterende utvidelsen kan du finne ut hvilke faktorer som "mangler" i hver brøk. For eksempel, 234 · 3 = 702, derfor er tilleggsfaktoren 3 for den første brøken.

For å forstå hvor stor forskjell den minste vanlige multiple-metoden utgjør, prøv å beregne de samme eksemplene ved å bruke kryss-tvers-metoden. Selvfølgelig uten kalkulator. Jeg tror at kommentarer etter dette vil være unødvendige.

Ikke tro at det ikke vil være så komplekse brøker i de virkelige eksemplene. De møtes hele tiden, og oppgavene ovenfor er ikke grensen!

Det eneste problemet er hvordan du finner denne NOC. Noen ganger kan alt bli funnet på noen få sekunder, bokstavelig talt "med øyet", men generelt er dette en kompleks beregningsoppgave som krever separat vurdering. Det skal vi ikke berøre her.