Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler , forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.

For å redusere en vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlige tallet.

Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.

Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.

Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;

del nevneren med 3).

Reduser brøken med 7.

Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.

Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.

La oss redusere denne brøkdelen 4) på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.

La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .

Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøk 9/14 .

Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når det ikke er identiske faktorer igjen, multipliserer vi de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .

Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. Vi resonnerer slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Teller og nevner ny brøkdel- tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Lengre, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .

Online kalkulator utfører reduksjon algebraiske brøker i samsvar med regelen om å redusere brøker: erstatte den opprinnelige brøken med en lik brøk, men med en mindre teller og nevner, dvs. Samtidig å dele telleren og nevneren av en brøk med deres felles største felles faktor (GCD). Kalkulatoren viser også detaljert løsning, som vil hjelpe deg å forstå rekkefølgen av reduksjonen.

Gitt:

Løsning:

Utfører brøkreduksjon

sjekke muligheten for å utføre algebraisk brøkreduksjon

1) Bestemmelse av den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren til en brøk

bestemme den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren til en algebraisk brøk

2) Redusere telleren og nevneren for en brøk

redusere telleren og nevneren for en algebraisk brøk

3) Velge hele delen av en brøk

skille hele delen av en algebraisk brøk

4) Konvertering av en algebraisk brøk til en desimalbrøk

konvertere en algebraisk brøk til desimal

Hjelp til nettsideutvikling av prosjektet

Kjære besøkende på nettstedet.
Hvis du ikke klarte å finne det du lette etter, må du huske å skrive om det i kommentarfeltet, hva som mangler på nettstedet. Dette vil hjelpe oss å forstå i hvilken retning vi må bevege oss videre, og andre besøkende vil snart kunne motta nødvendig materiale.
Hvis siden viste seg å være nyttig for deg, doner siden til prosjektet bare 2 ₽ og vi vil vite at vi beveger oss i riktig retning.

Takk for at du tok turen innom!

I. Prosedyre for å redusere en algebraisk brøk ved hjelp av en online kalkulator:

1. For å redusere en algebraisk brøk, skriv inn verdiene til telleren og nevneren til brøken i de aktuelle feltene. Hvis brøken er blandet, fyll også ut feltet som tilsvarer hele delen av brøken. Hvis brøken er enkel, la hele delfeltet stå tomt.
2. For å spesifisere en negativ brøk, sett et minustegn på hele delen av brøken.
3. Avhengig av den angitte algebraiske brøken, utføres følgende handlingssekvens automatisk:

• bestemme den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren til en brøk;
• redusere telleren og nevneren for en brøk med gcd;
• fremheve hele delen av en brøkdel, hvis telleren til den endelige brøken er større enn nevneren.
• konvertere den siste algebraiske brøken til en desimalbrøk avrundet til nærmeste hundredel.

II. For referanse:

En brøk er et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. En vanlig brøk (enkel brøk) skrives som to tall (telleren til brøken og nevneren for brøken) atskilt med en horisontal strek (brøkstreken) som indikerer divisjonstegnet. Telleren til en brøk er tallet over brøklinjen. Telleren viser hvor mange aksjer som ble tatt fra helheten. Nevneren til en brøk er tallet under brøklinjen. Nevneren viser hvor mange like deler helheten er delt inn i. En enkel brøk er en brøk som ikke har en hel del. En enkel brøk kan være riktig eller upassende. egenbrøk - en brøk hvis teller er mindre enn nevneren, så en egenbrøk er alltid mindre enn én. Eksempel på egenbrøk: 8/7, 11/19, 16/17. uekte brøk - en brøk der telleren er større enn eller lik nevneren, derfor er en uekte brøk alltid mer enn en eller lik det. Eksempel på uekte brøker: 7/6, 8/7, 13/13. blandet brøk er et tall som inneholder et helt tall og en egenbrøk, og betegner summen av dette hele tallet og egenbrøken. Enhver blandet fraksjon kan konverteres til en uekte fraksjon enkel brøk. Eksempel på blandede fraksjoner: 1¼, 2½, 4¾.

III. Merk:

1. Kildedatablokk uthevet gul , blokken med mellomberegninger er uthevet i blått, løsningsblokken er uthevet med grønt.
2. For å addere, subtrahere, multiplisere og dele vanlige eller blandede brøker, bruk den elektroniske brøkkalkulatoren med detaljerte løsninger.

Forrige gang lagde vi en plan som du kan følge med på hvordan du raskt kan redusere brøker. La oss nå se på spesifikke eksempler på å redusere brøker.

Eksempler.

La oss sjekke om det største tallet er delelig med det minste tallet (teller for nevner eller nevner med teller)? Ja, i alle disse tre eksemplene er det største tallet delt på det mindre tallet. Dermed reduserer vi hver brøk med det minste av tallene (med telleren eller med nevneren). Vi har:

La oss sjekke om det største tallet er delelig med det minste tallet? Nei, den deler ikke.

Deretter går vi videre til å sjekke neste punkt: slutter inntastingen av både teller og nevner med en, to eller flere nuller? I det første eksemplet slutter telleren og nevneren på null, i det andre eksemplet to nuller, og i det tredje tre nuller. Dette betyr at vi reduserer den første brøken med 10, den andre med 100 og den tredje med 1000:

Vi har irreduserbare brøker.

Et større tall kan ikke deles på et mindre tall, og tall slutter ikke med null.

La oss nå sjekke om telleren og nevneren er i samme kolonne i multiplikasjonstabellen? 36 og 81 er begge delbare med 9, 28 og 63 er delbare med 7, og 32 og 40 er delbare med 8 (de er også delbare med 4, men hvis det er et valg, vil vi alltid redusere med en større). Dermed kommer vi til svarene:

Alle tall som er oppnådd er irreduserbare brøker.

Et større tall kan ikke deles på et mindre tall. Men posten til både telleren og nevneren ender på null. Så vi reduserer brøken med 10:

Denne andelen kan fortsatt reduseres. Vi sjekker multiplikasjonstabellen: både 48 og 72 er delbare med 8. Vi reduserer brøken med 8:

Vi kan også redusere den resulterende brøken med 3:

Denne fraksjonen er irreduserbar.

Det større tallet er ikke delelig med det mindre tallet. Telleren og nevneren slutter på null Dette betyr at vi reduserer brøken med 10.

Vi sjekker tallene som er oppnådd i telleren og nevneren for og. Siden summen av sifrene til både 27 og 531 er delelig med 3 og 9, kan denne brøken reduseres med enten 3 eller 9. Vi velger den største og reduserer med 9. Resultatet er en ikke-reduserbar brøk.

Å redusere fraksjoner er nødvendig for å redusere fraksjonen til mer enkel utsikt, for eksempel i svaret oppnådd som et resultat av å løse et uttrykk.

Reduserende brøker, definisjon og formel.

Hva er reduserende brøker? Hva vil det si å redusere en brøkdel?

Definisjon:
Redusere brøker- dette er delingen av en brøks teller og nevner med det samme positive tallet som ikke er lik null og én. Som følge av reduksjonen får man en brøk med mindre teller og nevner, lik forrige brøk iht.

Formel for å redusere fraksjoner hovedeiendom rasjonelle tall.

\(\frac(p \ ganger n)(q \ ganger n)=\frac(p)(q)\)

La oss se på et eksempel:
Reduser brøken \(\frac(9)(15)\)

Løsning:
Vi kan faktorisere en brøkdel inn i primfaktorer og kansellere fellesfaktorer.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \ ganger 1=\frac(3)(5)\)

Svar: etter reduksjon fikk vi brøken \(\frac(3)(5)\). I henhold til den grunnleggende egenskapen til rasjonelle tall er de opprinnelige og resulterende brøkene like.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Hvordan redusere brøker? Redusere en brøkdel til sin irreduserbare form.

For å få en irreduserbar brøk som et resultat, trenger vi finne den største felles divisor (GCD) for telleren og nevneren til brøken.

Det er flere måter å finne GCD i eksemplet vil vi bruke dekomponering av tall til primfaktorer.

Få den irreduserbare brøken \(\frac(48)(136)\).

Løsning:
La oss finne GCD(48, 136). La oss skrive tallene 48 og 136 inn i primfaktorer.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\farge(rød) (2 \ ganger 2 \ ganger 2) \ ganger 2 \ ganger 3)(\ farge (rød) (2 \ ganger 2 \ ganger 2) \ ganger 17)=\frac(\farge(rød) (6) \ ganger 2 \ ganger 3)(\farge(rød) (6) \ ganger 17)=\frac(2 \ ganger 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Regelen for å redusere en brøk til en irreduserbar form.

1. Du må finne den største felles divisor for telleren og nevneren.
2. Du må dele telleren og nevneren med den største felles divisor for å få en irreduserbar brøk.

Eksempel:
Reduser brøken \(\frac(152)(168)\).

Løsning:
La oss finne GCD(152, 168). La oss skrive tallene 152 og 168 inn i primfaktorer.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\farge(rød) (6) \ ganger 19)(\farge(rød) (6) \ ganger 21)=\frac(19)(21)\)

Svar: \(\frac(19)(21)\) er en irreduserbar brøk.

Redusere upassende fraksjoner.

Hvordan kutte uekte brøk?
Reglene for å redusere brøker er de samme for riktige og uekte brøker.

La oss se på et eksempel:
Reduser den uekte brøken \(\frac(44)(32)\).

Løsning:
La oss skrive telleren og nevneren inn i enkle faktorer. Og så vil vi redusere fellesfaktorene.

\(\frac(44)(32)=\frac(\farge(rød) (2 \ ganger 2 ) \ ganger 11)(\ farge(rød) (2 \ ganger 2 ) \ ganger 2 \ ganger 2 \ ganger 2 )=\frac(11)(2 \ ganger 2 \ ganger 2)=\frac(11)(8)\)

Redusere blandede fraksjoner.

Blandede brøker med samme regler som vanlige brøker. Den eneste forskjellen er at vi kan ikke rør hele delen, men reduser brøkdelen eller blandet fraksjon konvertere til en uekte brøk, redusere og konvertere tilbake til en riktig brøk.

La oss se på et eksempel:
Avbryt den blandede brøken \(2\frac(30)(45)\).

Løsning:
La oss løse det på to måter:
Første vei:
La oss skrive brøkdelen inn i enkle faktorer, men vi skal ikke berøre hele delen.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ ganger \farge(rød) (5 \ ganger 3))(3 \ ganger \farge(rød) (5 \ ganger 3))=2\ frac(2)(3)\)

Andre vei:
La oss først konvertere den til en uekte brøk, og deretter skrive den inn i primfaktorer og redusere. La oss konvertere den resulterende uekte brøken til en riktig brøk.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \ ganger 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \ ganger \farge(rød) (5 \ ganger 3) \ ganger 2 \ ganger 2)(3 \ ganger \ farge(rød) (3 \ ganger 5))=\frac(2 \ ganger 2 \ ganger 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Relaterte spørsmål:
Kan du redusere brøker når du legger til eller trekker fra?
Svar: nei, du må først legge til eller trekke fra brøker i henhold til reglene, og først deretter redusere dem. La oss se på et eksempel:

Vurder uttrykket \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Løsning:
De gjør ofte feilen med å redusere de samme tallene i telleren og nevneren, i vårt tilfelle tallet 20, men de kan ikke reduseres før du har fullført addisjon og subtraksjon.

\(\frac(50+\farge(rød) (20)-10)(\farge(rød) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \ ganger 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Hvilke tall kan du redusere en brøkdel med?
Svar: Du kan redusere en brøk med den største felles faktoren eller felles deler av telleren og nevneren. For eksempel, brøken \(\frac(100)(150)\).

La oss skrive tallene 100 og 150 inn i primfaktorer.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Den største felles divisor vil være tallet gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Vi fikk den irreduserbare brøken \(\frac(2)(3)\).

Men det er ikke alltid nødvendig å dele med gcd; du kan redusere brøken med en enkel deler av telleren og nevneren. For eksempel har tallet 100 og 150 en felles divisor på 2. La oss redusere brøken \(\frac(100)(150)\) med 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Vi fikk den reduserbare brøken \(\frac(50)(75)\).

Hvilke brøker kan reduseres?
Svar: Du kan redusere brøker der telleren og nevneren har en felles divisor. For eksempel brøken \(\frac(4)(8)\). Tallet 4 og 8 har et tall som de begge er delbare med - tallet 2. Derfor kan en slik brøk reduseres med tallet 2.

Eksempel:
Sammenlign de to brøkene \(\frac(2)(3)\) og \(\frac(8)(12)\).

Disse to brøkene er like. La oss se nærmere på brøken \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\ ganger 1=\frac(2)(3)\)

Herfra får vi, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

To brøker er like hvis og bare hvis en av dem oppnås ved å redusere den andre brøken med fellesfaktoren til telleren og nevneren.

Eksempel:
Hvis mulig, reduser følgende brøker: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Løsning:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ ganger \farge(rød) (5) \ ganger 3 \ ganger 3)(\farge(rød) (5) \ ganger 13)=\frac (2 \ ganger 3 \ ganger 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\farge(rød) (3 \ ganger 3) \ ganger 3)(\farge(rød) (3 \ ganger 3) \ ganger 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreduserbar brøk
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\farge(rød) (2 \ ganger 5 \ ganger 5) \ ganger 2) (\ farge(rød) (2 \ ganger 5 \ ganger 5) \ ganger 5)=\frac(2)(5)\)

I denne artikkelen skal vi se på grunnleggende operasjoner med algebraiske brøker:

• reduserende fraksjoner
• multiplisere brøker
• dele brøker

La oss begynne med reduksjon av algebraiske brøker.

Det ser ut til at algoritmeåpenbart.

Til redusere algebraiske brøker, trenger å

1. Faktor telleren og nevneren til brøken.

2. Reduser like faktorer.

Imidlertid gjør skolebarn ofte feilen med å "redusere" ikke faktorene, men vilkårene. For eksempel er det amatører som "reduserer" brøker med og får som et resultat, noe som selvfølgelig ikke er sant.

La oss se på eksempler:

1. Reduser fraksjon:

1. La oss faktorisere telleren ved å bruke formelen for kvadratet av summen, og nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen

2. Del teller og nevner med

2. Reduser fraksjon:

1. La oss faktorisere telleren. Siden telleren inneholder fire termer, bruker vi gruppering.

2. La oss faktorisere nevneren. Vi kan også bruke gruppering.

3. La oss skrive ned brøken vi fikk og redusere de samme faktorene:

Multiplisere algebraiske brøker.

Når vi multipliserer algebraiske brøker, multipliserer vi telleren med telleren, og multipliserer nevneren med nevneren.

Viktig! Det er ikke nødvendig å skynde seg å multiplisere telleren og nevneren til en brøk. Etter at vi har skrevet ned produktet av tellerne av brøkene i telleren, og produktet av nevnerne i nevneren, må vi faktorisere hver faktor og redusere brøken.

La oss se på eksempler:

3. Forenkle uttrykket:

1. La oss skrive produktet av brøker: i telleren produktet av tellerne, og i nevneren produktet av nevnerne:

2. La oss faktorisere hver parentes:

Nå må vi redusere de samme faktorene. Legg merke til at uttrykkene og bare er forskjellige i fortegn: og som et resultat av å dele det første uttrykket med det andre får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker i henhold til følgende regel:

Det er For å dele med en brøk, må du multiplisere med den "omvendte".

Vi ser at å dele brøker kommer ned til å multiplisere, og Multiplikasjon kommer til syvende og sist ned på å redusere brøker.

La oss se på et eksempel:

4. Forenkle uttrykket: