For å løse et geometrisk problem ved hjelp av koordinatmetoden, trengs et skjæringspunkt, hvis koordinater brukes i løsningen. En situasjon oppstår når du trenger å se etter koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på et plan eller bestemme koordinatene til de samme linjene i rommet. Denne artikkelen tar for seg tilfeller av å finne koordinatene til punkter der gitte linjer krysser hverandre.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Det er nødvendig å definere skjæringspunktene for to linjer.

Utsnittet om den relative plasseringen av linjer på et plan viser at de kan sammenfalle, være parallelle, krysse i ett felles punkt eller krysse. To linjer i rommet kalles kryssende hvis de har ett felles punkt.

Definisjonen av skjæringspunktet for linjer høres slik ut:

Definisjon 1

Punktet der to linjer skjærer, kalles deres skjæringspunkt. Med andre ord, punktet for skjæring av linjer er skjæringspunktet.

La oss se på figuren nedenfor.

Før du finner koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer, er det nødvendig å vurdere eksemplet nedenfor.

Hvis planet har et koordinatsystem O x y, er to rette linjer a og b spesifisert. Linje a tilsvarer en generell ligning av formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, for linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Da er M 0 (x 0 , y 0) et bestemt punkt i planet det er nødvendig å bestemme om punktet M 0 vil være skjæringspunktet for disse linjene.

For å løse problemet er det nødvendig å følge definisjonen. Da må linjene skjære hverandre i et punkt hvis koordinater er løsningen til de gitte ligningene A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Dette betyr at koordinatene til skjæringspunktet er substituert inn i alle gitte ligninger. Hvis de ved substitusjon gir riktig identitet, så anses M 0 (x 0 , y 0) som deres skjæringspunkt.

Eksempel 1

Gitt to kryssende linjer 5 x - 2 y - 16 = 0 og 2 x - 5 y - 19 = 0. Vil punktet M 0 med koordinater (2, - 3) være et skjæringspunkt.

Løsning

For at skjæringspunktet mellom linjer skal være gyldig, er det nødvendig at koordinatene til punktet M 0 tilfredsstiller likningene til linjene. Dette kan kontrolleres ved å erstatte dem. Det skjønner vi

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Begge likhetene er sanne, noe som betyr at M 0 (2, - 3) er skjæringspunktet for de gitte linjene.

La oss skildre denne løsningen på koordinatlinjen i figuren nedenfor.

Svare: det gitte punktet med koordinater (2, - 3) vil være skjæringspunktet for de gitte linjene.

Eksempel 2

Vil linjene 5 x + 3 y - 1 = 0 og 7 x - 2 y + 11 = 0 skjære hverandre i punktet M 0 (2, - 3)?

Løsning

For å løse problemet må du erstatte koordinatene til punktet i alle ligningene. Det skjønner vi

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Den andre likheten er ikke sann, det betyr at det gitte punktet ikke tilhører linjen 7 x - 2 y + 11 = 0. Fra dette har vi at punktet M 0 ikke er skjæringspunktet mellom linjer.

Tegningen viser tydelig at M 0 ikke er skjæringspunktet mellom linjer. De har et felles punkt med koordinater (- 1, 2).

Svare: punktet med koordinater (2, - 3) er ikke skjæringspunktet for de gitte linjene.

Vi fortsetter med å finne koordinatene til skjæringspunktene til to linjer ved å bruke de gitte ligningene på planet.

To kryssende linjer a og b er spesifisert med ligninger av formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, plassert ved O ​​x y. Når vi designer skjæringspunktet M 0, finner vi at vi bør fortsette å søke etter koordinater ved å bruke ligningene A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Fra definisjonen er det åpenbart at M 0 er det vanlige skjæringspunktet for linjer. I dette tilfellet må koordinatene tilfredsstille ligningene A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Dette er med andre ord løsningen på det resulterende systemet A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Dette betyr at for å finne koordinatene til skjæringspunktet, er det nødvendig å legge til alle ligningene til systemet og løse det.

Eksempel 3

Gitt to rette linjer x - 9 y + 14 = 0 og 5 x - 2 y - 16 = 0 på planet. det er nødvendig å finne deres skjæringspunkt.

Løsning

Data om forholdene til ligningen må samles inn i systemet, hvoretter vi får x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. For å løse det, løses den første ligningen for x, og uttrykket erstattes med den andre:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

De resulterende tallene er koordinatene som måtte finnes.

Svare: M 0 (4, 2) er skjæringspunktet for linjene x - 9 y + 14 = 0 og 5 x - 2 y - 16 = 0.

Å finne koordinater handler om å løse et system med lineære ligninger. Hvis det er gitt en annen type ligning etter betingelse, bør den reduseres til normal form.

Eksempel 4

Bestem koordinatene til skjæringspunktene til linjene x - 5 = y - 4 - 3 og x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Løsning

Først må du bringe likningene til en generell form. Da får vi at x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R er transformert som følger:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Så tar vi ligningen til den kanoniske formen x - 5 = y - 4 - 3 og transformerer. Det skjønner vi

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Herfra har vi at koordinatene er skjæringspunktet

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

La oss bruke Cramers metode for å finne koordinater:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y . = 22 22 = 1

Svare: M0 (-5, 1).

Det er også en måte å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjer som ligger på et plan. Den er anvendelig når en av linjene er gitt ved parametriske ligninger på formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Så i stedet for verdien x erstatter vi x = x 1 + a x · λ og y = y 1 + a y · λ, hvor vi får λ = λ 0, tilsvarende at skjæringspunktet har koordinatene x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Eksempel 5

Bestem koordinatene til skjæringspunktet til linjen x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R og x - 5 = y - 4 - 3.

Løsning

Det er nødvendig å utføre en substitusjon i x - 5 = y - 4 - 3 med uttrykket x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, da får vi:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Når vi løser, finner vi at λ = - 1. Det følger at det er et skjæringspunkt mellom linjene x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R og x - 5 = y - 4 - 3. For å beregne koordinatene, må du erstatte uttrykket λ = - 1 i den parametriske ligningen. Da får vi at x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Svare: M0 (-5, 1).

For å forstå emnet fullt ut, må du kjenne til noen nyanser.

Først må du forstå plasseringen av linjene. Når de krysser hverandre vil vi finne koordinatene i andre tilfeller vil det ikke være noen løsning. For å unngå denne kontrollen kan du lage et system på formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Hvis det er en løsning, konkluderer vi med at linjene krysser hverandre. Hvis det ikke finnes noen løsning, er de parallelle. Når et system har et uendelig antall løsninger, så sies de å være sammenfallende.

Eksempel 6

Gitt linjer x 3 + y - 4 = 1 og y = 4 3 x - 4. Finn ut om de har et felles poeng.

Løsning

Ved å forenkle de gitte ligningene får vi 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 og 4 3 x - y - 4 = 0.

Ligningene skal samles i et system for påfølgende løsning:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Av dette kan vi se at likningene uttrykkes gjennom hverandre, da får vi et uendelig antall løsninger. Da definerer likningene x 3 + y - 4 = 1 og y = 4 3 x - 4 samme linje. Derfor er det ingen skjæringspunkter.

Svare: de gitte ligningene definerer den samme rette linjen.

Eksempel 7

Finn koordinatene til punktet for skjæring av linjene 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 og 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Løsning

I henhold til betingelsen er dette mulig, linjene vil ikke krysse hverandre. Det er nødvendig å lage et ligningssystem og løse. For å løse er det nødvendig å bruke den Gaussiske metoden, siden det med dens hjelp er mulig å sjekke ligningen for kompatibilitet. Vi får et system av skjemaet:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Vi mottok en feilaktig likhet, noe som betyr at systemet ikke har noen løsninger. Vi konkluderer med at linjene er parallelle. Det er ingen skjæringspunkter.

Andre løsning.

Først må du bestemme tilstedeværelsen av skjæringspunktet mellom linjer.

n 1 → = (2, 2 - 3) er normalvektoren til linjen 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, da er vektoren n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 normalvektoren for linjen 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Det er nødvendig å sjekke kollineariteten til vektorene n 1 → = (2, 2 - 3) og n 2 → = (2 (3 + 2), - 7). Vi får en likhet på formen 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Det er riktig fordi 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Det følger at vektorene er kollineære. Dette betyr at linjene er parallelle og ikke har noen skjæringspunkter.

Svare: det er ingen skjæringspunkter, linjene er parallelle.

Eksempel 8

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom de gitte linjene 2 x - 1 = 0 og y = 5 4 x - 2.

Løsning

For å løse det lager vi et ligningssystem. Vi får

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

La oss finne determinanten til hovedmatrisen. For dette, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Siden den ikke er lik null, har systemet 1 løsning. Det følger at linjene krysser hverandre. La oss løse et system for å finne koordinatene til skjæringspunktene:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Vi fant at skjæringspunktet til de gitte linjene har koordinater M 0 (1 2, - 11 8).

Svare: M 0 (1 2, - 11 8) .

Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet

På samme måte finner man skjæringspunktene for rette linjer i rommet.

Når rette linjer a og b er gitt i koordinatplanet O x y z ved likninger av plan som skjærer hverandre, så er det en rett linje a, som kan bestemmes ved å bruke det gitte systemet A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 og rett linje b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Når punktet M 0 er skjæringspunktet mellom linjer, må dets koordinater være løsninger av begge ligningene. Vi får lineære ligninger i systemet:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

La oss se på lignende oppgaver ved å bruke eksempler.

Eksempel 9

Finn koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 og 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Løsning

Vi komponerer systemet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 og løser det. For å finne koordinatene må du løse gjennom matrisen. Da får vi hovedmatrisen av formen A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 og den utvidede matrisen T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4. Vi bestemmer den gaussiske rangeringen av matrisen.

Det skjønner vi

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Det følger at rangeringen til den utvidede matrisen har verdien 3. Da gir likningssystemet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 kun én løsning.

Basismoll har determinanten 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , da gjelder ikke den siste ligningen. Vi får at x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Løsning av systemet x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Dette betyr at skjæringspunktet x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 og 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 har koordinater (1, - 3, 0).

Svare: (1 , - 3 , 0) .

System av formen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 har bare én løsning. Det betyr at linjene a og b krysser hverandre.

I andre tilfeller har ligningen ingen løsning, det vil si heller ingen fellespunkter. Det vil si at det er umulig å finne et punkt med koordinater, siden det ikke eksisterer.

Derfor er et system av formen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 løses ved Gauss-metoden. Hvis det er inkompatibelt, krysser ikke linjene. Hvis det er et uendelig antall løsninger, så faller de sammen.

Du kan løse ved å beregne hoved- og utvidede rekker til matrisen, og deretter bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Vi får én, mange eller ingen løsninger i det hele tatt.

Eksempel 10

Ligningene til linjene x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 og x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 er gitt. Finn skjæringspunktet.

Løsning

La oss først lage et ligningssystem. Vi får at x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Vi løser det ved hjelp av Gauss-metoden:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Systemet har åpenbart ingen løsninger, noe som betyr at linjene ikke krysser hverandre. Det er ikke noe skjæringspunkt.

Svare: det er ikke noe skjæringspunkt.

Hvis linjene er gitt ved hjelp av kononiske eller parametriske ligninger, må du redusere dem til form av ligninger av kryssende plan, og deretter finne koordinatene.

Eksempel 11

Gitt to linjer x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R og x 2 = y - 3 0 = z 5 i O x y z. Finn skjæringspunktet.

Løsning

Vi definerer rette linjer ved likninger av to plan som skjærer hverandre. Det skjønner vi

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Vi finner koordinatene 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, for dette beregner vi matrisens rekker. Rangeringen av matrisen er 3, og basis-minor er 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, noe som betyr at den siste ligningen må ekskluderes fra systemet. Det skjønner vi

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

La oss løse systemet ved å bruke Cramers metode. Vi får at x = - 2 y = 3 z = - 5. Herfra får vi at skjæringspunktet mellom de gitte linjene gir et punkt med koordinater (- 2, 3, - 5).

Svare: (- 2 , 3 , - 5) .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.

Den relative plasseringen av to rette linjer

Slik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : Husk det matematiske krysstegnet, det vil dukke opp veldig ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall «lambda» slik at likestillingene tilfredsstilles

La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen kutt med 2, får du samme ligning:.

Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: , Men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid ganske åpenbart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det INGEN slik verdi av "lambda" er at likestillingene er tilfredsstilt

Så for rette linjer vil vi lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan du bruke løsningsskjemaet som nettopp er omtalt. Det minner forresten veldig om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi så på i klassen Konseptet med lineær (u)avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:

Eksempel 1

Finn ut relativ posisjon direkte:

Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.

I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.

Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .

La oss finne ut om likheten er sann:

Slik,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (ethvert tall tilfredsstiller den generelt).

Dermed faller linjene sammen.

Svare:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen vits i å tilby noe for uavhengig avgjørelse, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer raneren nattergalen hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: La oss betegne den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".

Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:

Svare:

Eksempelgeometrien ser enkel ut:

Analytisk testing består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.

Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og ikke så rasjonell måte å løse det på. De fleste snarvei- på slutten av timen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er veldig kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her går du geometrisk betydning systemer av to lineære ligninger i to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske metoden er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt: . For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk løsning systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende riket utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å se etter skjæringspunktet analytisk metode. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, ta en leksjon Hvordan løser man et ligningssystem?

Svare:

Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av leksjonen:

Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom rette linjer

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.

Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:

Svare:

La oss utvide den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Vi tar ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp skalært produkt av vektorer vi kommer til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Testen er igjen enkel å utføre muntlig.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent og periode.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er flere handlinger i problemet, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Vi har en rett elvestripe foran oss og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykt med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:

Svare:

La oss lage tegningen:

Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen . Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Ved formler for koordinatene til midtpunktet til et segment finner vi.

Det vil være en god idé å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.

Det kan oppstå vanskeligheter med beregninger her, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan telle vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.

Vinkel mellom to rette linjer

Hvert hjørne er en jamb:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at formlene som vi finner vinkler med lett kan resultere i et negativt resultat, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).

Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Løsning Og Metode én

Tenk på to rette linjer gitt av ligningene i generelt syn:

Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig prikkprodukt retningsvektorer av rette linjer:

Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.

Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:

1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.

2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svare:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt en omtrentlig verdi (fortrinnsvis i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, minus, ingen stor sak. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

La to linjer bli gitt, og du må finne skjæringspunktet deres. Siden dette punktet tilhører hver av de to gitte linjene, må dets koordinater tilfredsstille både ligningen til den første linjen og ligningen til den andre linjen.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer, må man løse ligningssystemet

Eksempel 1. Finn skjæringspunktet mellom linjer og

Løsning. Vi finner koordinatene til det ønskede skjæringspunktet ved å løse likningssystemet

Skjæringspunktet M har koordinater

La oss vise hvordan du konstruerer en rett linje ved å bruke ligningen. For å konstruere en rett linje er det nok å kjenne de to punktene. For å konstruere hvert av disse punktene spesifiserer vi en vilkårlig verdi for en av dens koordinater, og så finner vi fra ligningen den tilsvarende verdien for den andre koordinaten.

Hvis i den generelle ligningen av en rett linje begge koeffisientene ved de nåværende koordinatene ikke er lik null, er det best å konstruere denne rette linjen å finne punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene.

Eksempel 2. Konstruer en rett linje.

Løsning. Vi finner skjæringspunktet for denne linjen med abscisseaksen. For å gjøre dette løser vi ligningene deres sammen:

og vi får. Dermed er punktet M (3; 0) for skjæringspunktet mellom denne linjen og abscisseaksen funnet (fig. 40).

Løs deretter sammen likningen til denne linjen og likningen til ordinataksen

finner vi skjæringspunktet for linjen med ordinataksen. Til slutt konstruerer vi en rett linje fra de to punktene M og

Hvis to linjer ikke er parallelle, vil de uunngåelig krysse hverandre på ett punkt. Oppdage koordinater poeng skjæring av 2 linjer er tillatt både grafisk og aritmetisk, avhengig av hvilke data oppgaven gir.

Du trenger

• – to rette linjer i tegningen;
• – likninger av 2 rette linjer.

Instruksjoner

1. Hvis linjene allerede er tegnet på grafen, finn løsningen grafisk. For å gjøre dette, fortsett begge eller én av linjene slik at de krysser hverandre. Etter dette, merk skjæringspunktet og senk en vinkelrett fra det til x-aksen (som vanlig, oh).

2. Bruk skalamerkene merket på aksen, finn x-verdien for det punktet. Hvis den er i positiv retning av aksen (til høyre for nullmerket), vil verdien være korrekt ellers vil den være negativ.

3. Finn også ordinaten til skjæringspunktet riktig. Hvis projeksjonen av et punkt er plassert over nullmerket, er det riktig hvis det er under, er det negativt. Skriv ned koordinatene til punktet på formen (x, y) - dette er løsningen på problemet.

4. Hvis linjene er gitt i form av formlene y=khx+b, kan du også løse oppgaven grafisk: Tegn linjene på et koordinatnett og finn løsningen ved å bruke metoden beskrevet ovenfor.

5. Prøv å finne løsningen på problemet ved å bruke disse formlene. For å gjøre dette, lag et system fra disse ligningene og løs det. Hvis likningene er gitt på formen y=khx+b, sett lik begge sider med x og oppdag x. Plugg deretter verdien av x inn i en av ligningene og finn y.

6. Du kan finne en løsning ved å bruke Cramers metode. Reduser i dette tilfellet ligningene til formen A1x+B1y+C1=0 og A2x+B2y+C2=0. I henhold til Cramers formel, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), og y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Vær oppmerksom på at hvis nevneren er null, så er linjene parallelle eller sammenfallende og krysser følgelig ikke hverandre.

7. Hvis du får linjer i rommet i kanonisk form, før du begynner å søke etter en løsning, sjekk om linjene er parallelle. For å gjøre dette, evaluer eksponentene før t hvis de er proporsjonale, for eksempel x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t og x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, da er linjene parallelle. I tillegg kan linjer krysse hverandre, i så fall vil ikke systemet ha en løsning.

8. Hvis du finner ut at linjene skjærer hverandre, finn punktet for deres skjæringspunkt. Først sett likhetstegn mellom variabler fra forskjellige linjer, og erstatte t med u for den første linjen og med v for den andre linjen. Si at hvis du får linjene x=t-1, y=2t+1, z=t+2 og x=t+1, y=t+1, z=2t+8 vil du få uttrykk som u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Uttrykk u fra en ligning, bytt den inn i en annen og finn v (i denne oppgaven u=-2,v=-4). Nå, for å finne skjæringspunktet, erstatte de oppnådde verdiene i stedet for t (det spiller ingen rolle, inn i den første eller andre ligningen) og få koordinatene til punktet x=-3, y=-3, z =0.

Å vurdere 2 kryssende direkte Det er nok å vurdere dem i et plan, siden to kryssende linjer ligger i samme plan. Kjenne til ligningene til disse direkte, er det mulig å oppdage koordinaten til punktet deres kryss .

Du trenger

• likninger av linjer

Instruksjoner

1. I kartesiske koordinater ser den generelle ligningen til en linje slik ut: Ax+By+C = 0. La to linjer krysse hverandre. Ligningen til den første linjen er Ax+By+C = 0, den andre linjen er Dx+Ey+F = 0. Alle indikatorer (A, B, C, D, E, F) må spesifiseres for å detektere et poeng kryss disse direkte det er nødvendig å løse systemet med disse 2 lineære ligningene.

2. For å løse er det praktisk å multiplisere den første ligningen med E, og den andre med B. Som et resultat vil ligningene se slik ut: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Etter å ha trukket fra den andre ligning fra den første, får du: (AE-DB)x = FB-CE. Derfor er x = (FB-CE)/(AE-DB) analogt med den første ligningen innledende system Du kan multiplisere med D, den andre med A, og deretter trekke den andre fra den første. Som et resultat vil y = (CD-FA)/(AE-DB) de resulterende x- og y-verdiene være koordinatene til punktet kryss direkte .

3. Ligninger direkte kan også skrives gjennom vinkelindeksen k, lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen. I dette tilfellet har linjens ligning formen y = kx+b. La nå ligningen til den første linjen være y = k1*x+b1, og ligningen til den andre linjen være y = k2*x+b2.

4. Hvis vi setter likhetstegn mellom høyresidene av disse 2 likningene, får vi: k1*x+b1 = k2*x+b2. Derfra er det lett å få at x = (b1-b2)/(k2-k1). Etter å ha erstattet denne verdien x i en av ligningene, viser det seg: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). x- og y-verdiene vil spesifisere koordinatene til punktet kryss direkte.Hvis to linjer er parallelle eller sammenfallende, så har de ikke universelle punkter eller har et uhyre stort antall universelle punkter. I disse tilfellene er k1 = k2, nevnerne for koordinatene til punktene kryss vil forsvinne, derfor vil systemet ikke ha en klassisk løsning. Systemet kan bare ha en klassisk løsning, som er ubetinget, fordi to divergerende og ikke-parallelle linjer kan ha bare ett punkt. kryss .

Video om emnet

Med dette online kalkulator du kan finne skjæringspunktet for linjer på et plan. Gitt detaljert løsning med forklaringer. For å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjer, angi type ligning av linjer ("kanonisk", "parametrisk" eller "generell"), skriv inn koeffisientene til linjelikningene i cellene og klikk på "Løs" "-knappen. Se teoridelen og talleksempler nedenfor.

×

Advarsel

Vil du slette alle celler?

Lukk Slett

Instruksjoner for dataregistrering. Tall legges inn som heltall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken skal legges inn på formen a/b, der a og b (b>0) er heltall eller desimaltall. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Skjæringspunktet mellom linjer på et plan - teori, eksempler og løsninger

1. Skjæringspunktet for linjer gitt i generell form.

Oxy L 1 og L 2:

La oss bygge en utvidet matrise:

Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 =0, så har systemet med lineære ligninger mange løsninger. Derfor rett L 1 og L 2 kamp. Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 ≠0, da er systemet inkonsekvent, og derfor er linjene parallelle og har ikke felles poeng. Hvis B" 2 ≠0, så har systemet med lineære ligninger en unik løsning. Fra den andre ligningen finner vi y: y=MED" 2 /B" 2 og erstatte den resulterende verdien i den første ligningen vi finner x: x=−MED 1 −B 1 y. Vi fikk skjæringspunktet mellom linjene L 1 og L 2: M(x, y).

2. Skjæringspunktet for linjer gitt i kanonisk form.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oxy og la rette linjer gis i dette koordinatsystemet L 1 og L 2:

La oss åpne parentesene og gjøre transformasjonene:

Ved å bruke en lignende metode får vi den generelle ligningen for den rette linjen (7):

Fra ligning (12) følger det:

Hvordan finne skjæringspunktet for linjer gitt i kanonisk form er beskrevet ovenfor.

4. Skjæringspunktet for linjer spesifisert i forskjellige visninger.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oxy og la rette linjer gis i dette koordinatsystemet L 1 og L 2:

Vi finner t:

EN 1 x 2 +EN 1 mt+B 1 y 2 +B 1 st+C 1 =0,

La oss løse systemet med lineære ligninger mht x, y. For å gjøre dette vil vi bruke Gauss-metoden. Vi får:

Eksempel 2. Finn skjæringspunktet mellom linjer L 1 og L 2:

L 1: 2x+3y+4=0,

(20)

(21)

For å finne skjæringspunktet mellom linjer L 1 og L 2 må du løse systemet med lineære ligninger (20) og (21). La oss presentere likningene i matriseform.