Hvordan dele brøker med brøker. Å dele vanlige brøker: regler, eksempler, løsninger

§ 87. Addisjon av brøker.

Å legge til brøker har mange likheter med å legge til hele tall. Addisjon av brøker er en handling som består i at flere gitte tall (ledd) kombineres til ett tall (sum), som inneholder alle enhetene og brøkene av enhetene til leddene.

Vi vil vurdere tre saker sekvensielt:

1. Legge til brøker med samme nevnere.
2. Tilsetning av brøker med ulike nevnere.
3. Addisjon av blandede tall.

1. Addisjon av brøker med like nevnere.

Tenk på et eksempel: 1/5 + 2/5.

La oss ta segment AB (fig. 17), ta det som ett og dele det i 5 like deler, så vil del AC av dette segmentet være lik 1/5 av segment AB, og en del av samme segment CD vil være lik 2/5 AB.

Fra tegningen er det klart at hvis vi tar segmentet AD, vil det være lik 3/5 AB; men segmentet AD er nøyaktig summen av segmentene AC og CD. Så vi kan skrive:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Med tanke på disse begrepene og den resulterende summen, ser vi at telleren av summen ble oppnådd ved å legge til tellerne til begrepene, og nevneren forble uendret.

Fra dette får vi følgende regel: For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la den samme nevneren være igjen.

La oss se på et eksempel:

2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.

La oss legge til brøkene: 3 / 4 + 3 / 8 Først må de reduseres til den minste fellesnevner:

Mellomlenken 6/8 + 3/8 kunne ikke skrives; vi har skrevet det her for klarhet.

For å legge til brøker med forskjellige nevner, må du derfor først redusere dem til laveste fellesnevner, legge til deres tellere og merke fellesnevneren.

La oss vurdere et eksempel (vi vil skrive tilleggsfaktorer over de tilsvarende brøkene):

3. Addisjon av blandede tall.

La oss legge til tallene: 2 3/8 + 3 5/6.

La oss først bringe brøkdelene av tallene våre til en fellesnevner og skrive dem om igjen:

Nå legger vi til heltalls- og brøkdelene sekvensielt:

§ 88. Subtraksjon av brøker.

Å subtrahere brøker er definert på samme måte som å trekke fra hele tall. Dette er en handling ved hjelp av hvilken, gitt summen av to ledd og ett av dem, finner man et annet ledd. La oss vurdere tre saker etter hverandre:

1. Trekk fra brøker med like nevnere.
2. Trekk fra brøker med ulike nevnere.
3. Subtraksjon av blandede tall.

1. Trekk fra brøker med like nevnere.

La oss se på et eksempel:

13 / 15 - 4 / 15

La oss ta segmentet AB (fig. 18), ta det som en enhet og dele det i 15 like deler; da vil del AC av dette segmentet representere 1/15 av AB, og del AD av samme segment vil tilsvare 13/15 AB. La oss sette til side et annet segment ED lik 4/15 AB.

Vi må trekke fra brøken 4/15 fra 13/15. På tegningen betyr dette at segment ED må trekkes fra segment AD. Som et resultat vil segment AE forbli, som er 9/15 av segment AB. Så vi kan skrive:

Eksemplet vi laget viser at telleren til forskjellen ble oppnådd ved å trekke fra tellerne, men nevneren forble den samme.

Derfor, for å trekke fra brøker med like nevnere, må du trekke fra telleren til subtrahenden fra telleren til minuenden og la den samme nevneren være igjen.

2. Subtrahere brøker med ulike nevnere.

Eksempel. 3/4 - 5/8

Først, la oss redusere disse brøkene til laveste fellesnevner:

Den mellomliggende 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhet, men kan hoppes over senere.

For å trekke en brøk fra en brøk, må du derfor først redusere dem til laveste fellesnevner, deretter trekke fra telleren til minuenden fra telleren til minuenden og signere fellesnevneren under deres differanse.

La oss se på et eksempel:

3. Subtraksjon av blandede tall.

Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.

La oss redusere brøkdelene av minuend og subtrahend til laveste fellesnevner:

Vi trakk en helhet fra en helhet og en brøk fra en brøk. Men det er tilfeller der brøkdelen av det som trekkes fra er større enn brøkdelen av det som blir redusert. I slike tilfeller må du ta en enhet fra hele delen av minuenden, dele den opp i de delene der brøkdelen er uttrykt, og legge den til brøkdelen av minuenden. Og så vil subtraksjonen utføres på samme måte som i forrige eksempel:

§ 89. Multiplikasjon av brøker.

Når vi studerer brøkmultiplikasjon, vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Multiplisere en brøk med et helt tall.
2. Finne brøkdelen av et gitt tall.
3. Multiplisere et helt tall med en brøk.
4. Multiplisere en brøk med en brøk.
5. Multiplikasjon av blandede tall.
6. Rentebegrepet.
7. Finne prosentandelen av et gitt tall. La oss vurdere dem sekvensielt.

1. Multiplisere en brøk med et helt tall.

Å multiplisere en brøk med et helt tall har samme betydning som å multiplisere et helt tall med et heltall. Å multiplisere en brøk (multiplikand) med et heltall (faktor) betyr å lage en sum av identiske ledd, der hvert ledd er lik multiplikanden, og antall ledd er lik multiplikatoren.

Dette betyr at hvis du trenger å multiplisere 1/9 med 7, så kan det gjøres slik:

Vi fikk enkelt resultatet, siden handlingen ble redusert til å legge til brøker med samme nevnere. Derfor,

Betraktning av denne handlingen viser at å multiplisere en brøk med et helt tall tilsvarer å øke denne brøken med like mange ganger som antall enheter i hele tallet. Og siden økende en brøk oppnås enten ved å øke telleren

eller ved å redusere nevneren , så kan vi enten multiplisere telleren med et heltall eller dele nevneren på det, hvis slik divisjon er mulig.

Herfra får vi regelen:

For å multiplisere en brøk med et helt tall, multipliserer du telleren med det hele tallet og lar nevneren være den samme, eller, hvis mulig, deler du nevneren på det tallet, og lar telleren være uendret.

Når du multipliserer, er forkortelser mulig, for eksempel:

2. Finne brøkdelen av et gitt tall. Det er mange problemer der du må finne, eller beregne, en del av et gitt tall. Forskjellen mellom disse problemene og andre er at de gir antall objekter eller måleenheter, og du må finne en del av dette tallet, som også er angitt her med en viss brøkdel. For å lette forståelsen vil vi først gi eksempler på slike problemer, og deretter introdusere en metode for å løse dem.

Oppgave 1. Jeg hadde 60 rubler; Jeg brukte 1/3 av disse pengene på å kjøpe bøker. Hvor mye kostet bøkene?

Oppgave 2. Toget skal kjøre en avstand mellom byer A og B lik 300 km. Han har allerede tilbakelagt 2/3 av denne distansen. Hvor mange kilometer er dette?

Oppgave 3. Det er 400 hus i landsbyen, 3/4 av dem er murstein, resten er av tre. Hvor mye totalt murhus?

Her er noen av dem mange oppgaverå finne deler av et gitt tall som vi møter. De kalles vanligvis problemer for å finne brøkdelen av et gitt tall.

Løsning på oppgave 1. Fra 60 gni. Jeg brukte 1/3 på bøker; Dette betyr at for å finne prisen på bøker må du dele tallet 60 på 3:

Løse oppgave 2. Poenget med problemet er at du må finne 2/3 av 300 km. La oss først beregne 1/3 av 300; dette oppnås ved å dele 300 km med 3:

300: 3 = 100 (det er 1/3 av 300).

For å finne to tredjedeler av 300, må du doble den resulterende kvotienten, dvs. multiplisere med 2:

100 x 2 = 200 (det er 2/3 av 300).

Løse problem 3. Her må du bestemme antall murhus som utgjør 3/4 av 400. La oss først finne 1/4 av 400,

400: 4 = 100 (det er 1/4 av 400).

For å beregne tre fjerdedeler av 400, må den resulterende kvotienten tredobles, dvs. multiplisert med 3:

100 x 3 = 300 (det er 3/4 av 400).

Basert på løsningen på disse problemene kan vi utlede følgende regel:

For å finne verdien av en brøk fra et gitt tall, må du dele dette tallet med nevneren til brøken og multiplisere den resulterende kvotienten med telleren.

3. Multiplisere et helt tall med en brøk.

Tidligere (§ 26) ble det slått fast at multiplikasjon av heltall skulle forstås som addisjon av identiske ledd (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). I dette avsnittet (punkt 1) ble det fastslått at å multiplisere en brøk med et heltall betyr å finne summen av identiske ledd lik denne brøken.

I begge tilfeller besto multiplikasjon i å finne summen av identiske ledd.

Nå går vi videre til å multiplisere et helt tall med en brøk. Her vil vi for eksempel møte multiplikasjon: 9 2 / 3. Det er klart at den tidligere definisjonen av multiplikasjon ikke gjelder for dette tilfellet. Dette fremgår av det faktum at vi ikke kan erstatte en slik multiplikasjon ved å legge til like tall.

På grunn av dette må vi gi en ny definisjon av multiplikasjon, det vil si, med andre ord, svare på spørsmålet om hva som skal forstås ved multiplikasjon med en brøk, hvordan denne handlingen skal forstås.

Betydningen av å multiplisere et helt tall med en brøk er tydelig fra følgende definisjon: å multiplisere et heltall (multiplikand) med en brøk (multiplikand) betyr å finne denne brøkdelen av multiplikanden.

Å multiplisere 9 med 2/3 betyr nemlig å finne 2/3 av ni enheter. I forrige avsnitt ble slike problemer løst; så det er lett å finne ut at vi ender opp med 6.

Men nå oppstår et interessant og viktig spørsmål: hvorfor kalles slike tilsynelatende forskjellige operasjoner, som å finne summen av like tall og finne brøkdelen av et tall, i aritmetikk med det samme ordet "multiplikasjon"?

Dette skjer fordi den forrige handlingen (gjenta tallet med termer flere ganger) og den nye handlingen (finne brøkdelen av tallet) gir svar på homogene spørsmål. Det betyr at vi her går ut fra betraktningene om at homogene spørsmål eller oppgaver løses ved samme handling.

For å forstå dette, vurder følgende problem: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 4 m slikt tøy koste?

Dette problemet løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).

La oss ta det samme problemet, men i det vil mengden tøy bli uttrykt som en brøkdel: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 3/4 m av et slikt tøy koste?"

Dette problemet må også løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (3/4).

Du kan endre tallene i den flere ganger, uten å endre betydningen av problemet, for eksempel ta 9/10 m eller 2 3/10 m, etc.

Siden disse problemene har samme innhold og bare er forskjellige i tall, kaller vi handlingene som brukes for å løse dem det samme ordet - multiplikasjon.

Hvordan multipliserer du et helt tall med en brøk?

La oss ta tallene som ble funnet i den siste oppgaven:

I følge definisjonen må vi finne 3/4 av 50. La oss først finne 1/4 av 50, og deretter 3/4.

1/4 av 50 er 50/4;

3/4 av tallet 50 er .

Derfor.

La oss se på et annet eksempel: 12 5 / 8 =?

1/8 av tallet 12 er 12/8,

5/8 av tallet 12 er .

Derfor,

Herfra får vi regelen:

For å multiplisere et helt tall med en brøk, må du multiplisere hele tallet med telleren til brøken og gjøre dette produktet til telleren, og signere nevneren til denne brøken som nevneren.

La oss skrive denne regelen med bokstaver:

For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å multiplisere et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38

Det er viktig å huske at før du utfører multiplikasjon, bør du gjøre (hvis mulig) reduksjoner, For eksempel:

4. Multiplisere en brøk med en brøk.Å multiplisere en brøk med en brøk har samme betydning som å multiplisere et helt tall med en brøk, det vil si at når du multipliserer en brøk med en brøk, må du finne brøken i faktoren fra den første brøken (multipikanet).

Å multiplisere 3/4 med 1/2 (halvparten) betyr nemlig å finne halvparten av 3/4.

Hvordan multipliserer du en brøk med en brøk?

La oss ta et eksempel: 3/4 multiplisert med 5/7. Dette betyr at du må finne 5/7 av 3/4. La oss først finne 1/7 av 3/4, og deretter 5/7

1/7 av tallet 3/4 vil bli uttrykt som følger:

5/7 tall 3/4 vil bli uttrykt som følger:

Slik,

Et annet eksempel: 5/8 multiplisert med 4/9.

1/9 av 5/8 er ,

4/9 av tallet 5/8 er .

Slik,

Fra disse eksemplene kan følgende regel utledes:

For å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren med telleren, og nevneren med nevneren, og gjøre det første produktet til telleren, og det andre produktet til nevneren av produktet.

Dette er regelen i generelt syn kan skrives slik:

Ved multiplikasjon er det nødvendig å foreta (om mulig) reduksjoner. La oss se på eksempler:

5. Multiplikasjon av blandede tall. Siden blandede tall lett kan erstattes med uekte brøker, brukes denne omstendigheten vanligvis når man multipliserer blandede tall. Dette betyr at i tilfeller der multiplikanet, eller faktoren, eller begge faktorene er uttrykt som blandede tall, erstattes de med uekte brøker. La oss multiplisere, for eksempel, blandede tall: 2 1/2 og 3 1/5. La oss gjøre hver av dem til en uekte brøk og deretter multiplisere de resulterende brøkene i henhold til regelen for å multiplisere en brøk med en brøk:

Regel. For å multiplisere blandede tall, må du først konvertere dem til uekte brøker og deretter multiplisere dem i henhold til regelen for å multiplisere brøker med brøker.

Note. Hvis en av faktorene er et heltall, kan multiplikasjonen utføres basert på fordelingsloven som følger:

6. Rentebegrepet. Når vi løser oppgaver og utfører ulike praktiske beregninger, bruker vi alle slags brøker. Men det må huskes at mange mengder tillater ikke bare noen, men naturlige inndelinger for dem. For eksempel kan du ta en hundredel (1/100) av en rubel, det vil være en kopek, to hundredeler er 2 kopek, tre hundredeler er 3 kopek. Du kan ta 1/10 av en rubel, det vil være "10 kopek, eller en ti-kopek-bit. Du kan ta en fjerdedel av en rubel, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (femti kopek). Men de tar det praktisk talt ikke, for eksempel 2/7 av en rubel fordi rubelen ikke er delt inn i syvendedeler.

Vektenheten, det vil si kilogrammet, tillater først og fremst desimaldelinger, for eksempel 1/10 kg, eller 100 g. Og slike brøkdeler av et kilo som 1/6, 1/11, 1/13 er ikke vanlige.

Generelt er våre (metriske) mål desimaler og tillater desimalinndelinger.

Det skal imidlertid bemerkes at det er ekstremt nyttig og praktisk i en lang rekke tilfeller å bruke den samme (uniforme) metoden for å dele opp mengder. Mange års erfaring har vist at en så godt begrunnet deling er den "hundrede" divisjonen. La oss vurdere flere eksempler knyttet til de mest forskjellige områdene av menneskelig praksis.

1. Prisen på bøker har gått ned med 12/100 av forrige pris.

Eksempel. Den forrige prisen på boken var 10 rubler. Det gikk ned med 1 rubel. 20 kopek

2. Sparebanker betaler innskytere 2/100 av innskuddsbeløpet for sparing i løpet av året.

Eksempel. 500 rubler er satt inn i kassaapparatet, inntekten fra dette beløpet for året er 10 rubler.

3. Antall uteksaminerte fra én skole var 5/100 av totalt antall elever.

EKSEMPEL Det var bare 1200 elever ved skolen, hvorav 60 ble uteksaminert.

Hundredelen av et tall kalles en prosentandel.

Ordet "prosent" er lånt fra latinsk språk og roten "cent" betyr hundre. Sammen med preposisjonen (pro centum) betyr dette ordet "for hundre." Betydningen av et slikt uttrykk følger av det faktum at innledningsvis i det gamle Roma renter var pengene som skyldneren betalte til utlåneren «for hvert hundre». Ordet "cent" høres i slike kjente ord: centner (hundre kilo), centimeter (si centimeter).

For eksempel, i stedet for å si at i løpet av den siste måneden produserte anlegget 1/100 av alle produkter produsert av det var defekte, vil vi si dette: I løpet av den siste måneden produserte anlegget én prosent av defektene. I stedet for å si: anlegget produserte 4/100 flere produkter enn den fastsatte planen, vil vi si: anlegget overskred planen med 4 prosent.

Eksemplene ovenfor kan uttrykkes annerledes:

1. Prisen på bøker har gått ned med 12 prosent av forrige pris.

2. Sparebanker betaler innskytere 2 prosent per år av innskuddsbeløpet på sparepenger.

3. Antall uteksaminerte fra én skole var 5 prosent av alle skoleelever.

For å forkorte bokstaven er det vanlig å skrive %-symbolet i stedet for ordet "prosent".

Du må imidlertid huske at i beregninger er %-tegnet vanligvis ikke skrevet det kan skrives i problemstillingen og i sluttresultatet. Når du utfører beregninger, må du skrive en brøk med en nevner på 100 i stedet for et helt tall med dette symbolet.

Du må kunne erstatte et heltall med det angitte ikonet med en brøkdel med en nevner på 100:

Omvendt må du venne deg til å skrive et heltall med det angitte symbolet i stedet for en brøk med en nevner på 100:

7. Finne prosentandelen av et gitt tall.

Oppgave 1. Skolen fikk 200 kubikkmeter. m ved, med bjørkeved som utgjør 30 %. Hvor mye bjørkeved var det?

Meningen med denne oppgaven er at bjørkeved bare utgjorde en del av veden som ble levert til skolen, og denne delen er uttrykt i brøken 30/100. Dette betyr at vi har en oppgave å finne en brøkdel av et tall. For å løse det må vi multiplisere 200 med 30/100 (problemer med å finne brøken av et tall løses ved å multiplisere tallet med brøken.).

Dette betyr at 30 % av 200 tilsvarer 60.

Fraksjonen 30/100 som oppstår i denne oppgaven kan reduseres med 10. Det ville være mulig å gjøre denne reduksjonen helt fra begynnelsen; løsningen på problemet ville ikke ha endret seg.

Oppgave 2. Det var 300 barn i ulike aldre i leiren. Barn 11 år utgjorde 21 %, barn 12 år utgjorde 61 % og til slutt 13 år gamle barn utgjorde 18 %. Hvor mange barn i hver alder var det i leiren?

I denne oppgaven må du utføre tre beregninger, dvs. finne antall barn 11 år gamle, deretter 12 år og til slutt 13 år gamle.

Dette betyr at her må du finne brøkdelen av tallet tre ganger. La oss gjøre dette:

1) Hvor mange 11 år gamle barn var det?

2) Hvor mange 12 år gamle barn var det?

3) Hvor mange 13 år gamle barn var det?

Etter å ha løst problemet, er det nyttig å legge til tallene som er funnet; summen deres skal være 300:

63 + 183 + 54 = 300

Det bør også bemerkes at summen av prosentene gitt i problemstillingen er 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Dette tyder på det totalt antall barn i leiren ble tatt som 100 %.

3 a d a h a 3. Arbeideren mottok 1200 rubler per måned. Av dette brukte han 65 % på mat, 6 % på leiligheter og oppvarming, 4 % på gass, elektrisitet og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % spart. Hvor mye penger ble brukt på behovene angitt i oppgaven?

For å løse dette problemet må du finne brøkdelen av 1200 5 ganger.

1) Hvor mye penger ble brukt på mat? Problemet sier at denne utgiften er 65 % av den totale inntekten, dvs. 65/100 av tallet 1200. La oss regne ut:

2) Hvor mye betalte du for en leilighet med oppvarming? På samme måte som den forrige, kommer vi til følgende beregning:

3) Hvor mye betalte du for gass, strøm og radio?

4) Hvor mye penger ble brukt på kulturelle behov?

5) Hvor mye penger sparte arbeideren?

For å sjekke er det nyttig å legge sammen tallene som finnes i disse 5 spørsmålene. Beløpet skal være 1200 rubler. All inntjening tas som 100 %, noe som er enkelt å sjekke ved å legge sammen prosenttallene som er oppgitt i problemstillingen.

Vi løste tre problemer. Til tross for at disse problemene handlet om forskjellige ting (levering av ved til skolen, antall barn i ulike aldre, arbeiderens utgifter), ble de løst på samme måte. Dette skjedde fordi det i alle problemer var nødvendig å finne flere prosent av gitte tall.

§ 90. Brøkdeling.

Når vi studerer brøkdeling, vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Del et heltall med et heltall.
2. Å dele en brøk på et helt tall
3. Å dele et helt tall på en brøk.
4. Å dele en brøk på en brøk.
5. Deling av blandede tall.
6. Finne et tall fra den gitte brøken.
7. Finne et tall etter prosentandelen.

La oss vurdere dem sekvensielt.

1. Del et heltall med et heltall.

Som det ble indikert i avsnittet om heltall, er divisjon en handling som består i det faktum at gitt produktet av to faktorer (dividende) og en av disse faktorene (divisor), finnes en annen faktor.

Vi så på å dele et heltall med et heltall i delen om heltall. Vi møtte to tilfeller av deling der: divisjon uten en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og divisjon med en rest (100: 9 = 11 og 1 rest). Vi kan derfor si at når det gjelder heltall, er nøyaktig deling ikke alltid mulig, fordi utbyttet ikke alltid er produktet av divisor med heltall. Etter å ha introdusert multiplikasjon med en brøk, kan vi vurdere ethvert tilfelle av å dele heltall mulig (bare divisjon med null er ekskludert).

For eksempel betyr å dele 7 med 12 å finne et tall hvis produkt med 12 vil være lik 7. Et slikt tall er brøken 7 / 12 fordi 7 / 12 12 = 7. Et annet eksempel: 14: 25 = 14 / 25, fordi 14 / 25 25 = 14.

For å dele et helt tall med et helt tall, må du derfor lage en brøk hvis teller er lik utbyttet og nevneren er lik divisor.

2. Å dele en brøk på et helt tall.

Del brøken 6 / 7 med 3. I henhold til definisjonen av divisjon gitt ovenfor, har vi her produktet (6 / 7) og en av faktorene (3); det kreves å finne en andre faktor som, multiplisert med 3, vil gi det gitte produktet 6/7. Det skal selvsagt være tre ganger mindre enn dette produktet. Dette betyr at oppgaven som ble lagt foran oss var å redusere brøken 6/7 med 3 ganger.

Vi vet allerede at å redusere en brøk kan gjøres enten ved å redusere telleren eller øke nevneren. Derfor kan du skrive:

I dette tilfellet er telleren 6 delelig med 3, så telleren bør reduseres med 3 ganger.

La oss ta et annet eksempel: 5 / 8 delt på 2. Her er ikke telleren 5 delelig med 2, noe som betyr at nevneren må multipliseres med dette tallet:

Basert på dette kan en regel lages: For å dele en brøk med et helt tall, må du dele telleren til brøken på det hele tallet.(hvis mulig), forlater den samme nevneren, eller multipliser nevneren til brøken med dette tallet, og forlater den samme telleren.

3. Å dele et helt tall på en brøk.

La det være nødvendig å dele 5 på 1/2, dvs. finne et tall som etter å ha multiplisert med 1/2 vil gi produktet 5. Dette tallet må selvsagt være større enn 5, siden 1/2 er en egen brøk. , og når du multipliserer et tall, må produktet av en egenbrøk være mindre enn produktet som multipliseres. For å gjøre dette klarere, la oss skrive handlingene våre som følger: 5: 1 / 2 = X , som betyr x 1/2 = 5.

Vi må finne et slikt tall X , som, hvis multiplisert med 1/2, ville gi 5. Siden å multiplisere et bestemt tall med 1/2 betyr å finne 1/2 av dette tallet, så derfor 1/2 av det ukjente tallet X er lik 5, og hele tallet X dobbelt så mye, dvs. 5 2 = 10.

Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

La oss sjekke:

La oss se på et annet eksempel. La oss si at du vil dele 6 med 2/3. La oss først prøve å finne ønsket resultat ved hjelp av tegningen (fig. 19).

Fig.19

La oss tegne et segment AB lik 6 enheter og dele hver enhet i 3 like deler. I hver enhet er tre tredjedeler (3/3) av hele segmentet AB 6 ganger større, dvs. e. 18/3. Ved hjelp av små parentes kobler vi sammen de 18 resulterende segmentene på 2; Det vil bare være 9 segmenter. Dette betyr at brøken 2/3 er inneholdt i 6 enheter 9 ganger, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 ganger mindre enn 6 hele enheter. Derfor,

Hvordan få dette resultatet uten en tegning ved å bruke beregninger alene? La oss resonnere slik: vi må dele 6 med 2/3, det vil si at vi må svare på spørsmålet hvor mange ganger 2/3 er inneholdt i 6. La oss først finne ut: hvor mange ganger 1/3 er inneholdt i 6? I en hel enhet er det 3 tredjedeler, og i 6 enheter er det 6 ganger mer, dvs. 18 tredjedeler; for å finne dette tallet må vi gange 6 med 3. Dette betyr at 1/3 er inneholdt i b enheter 18 ganger, og 2/3 er inneholdt i b enheter ikke 18 ganger, men halvparten så mange ganger, dvs. 18: 2 = 9 Derfor, når vi delte 6 med 2/3, gjorde vi følgende:

Herfra får vi regelen for å dele et helt tall med en brøk. For å dele et helt tall med en brøk, må du multiplisere hele tallet med nevneren til den gitte brøken, og for å gjøre dette produktet til telleren, dele det med telleren til den gitte brøken.

La oss skrive regelen med bokstaver:

For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å dele et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38. Vær oppmerksom på at den samme formelen ble oppnådd der.

Ved deling er forkortelser mulige, for eksempel:

4. Å dele en brøk på en brøk.

La oss si at vi må dele 3/4 på 3/8. Hva vil tallet som resulterer fra divisjon bety? Det vil svare på spørsmålet hvor mange ganger brøken 3/8 er inneholdt i brøken 3/4. For å forstå dette problemet, la oss lage en tegning (fig. 20).

La oss ta et segment AB, ta det som ett, dele det i 4 like deler og merke 3 slike deler. Segment AC vil være lik 3/4 av segment AB. La oss nå dele hvert av de fire opprinnelige segmentene i to, så vil segmentet AB deles i 8 like deler og hver slik del vil være lik 1/8 av segmentet AB. La oss koble 3 slike segmenter med buer, da vil hvert av segmentene AD og DC være lik 3/8 av segmentet AB. Tegningen viser at et segment lik 3/8 er inneholdt i et segment lik 3/4 nøyaktig 2 ganger; Dette betyr at resultatet av deling kan skrives som følger:

3 / 4: 3 / 8 = 2

La oss se på et annet eksempel. La oss si at vi må dele 15/16 med 3/32:

Vi kan resonnere slik: vi må finne et tall som, etter å ha multiplisert med 3/32, vil gi et produkt lik 15/16. La oss skrive beregningene slik:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ukjent nummer X er 15/16

1/32 av et ukjent antall X er,

32 / 32 tall X sminke.

Derfor,

For å dele en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med nevneren til den andre, og multiplisere nevneren til den første brøken med telleren til den andre, og gjøre det første produktet til telleren, og den andre nevneren.

La oss skrive regelen med bokstaver:

Ved deling er forkortelser mulige, for eksempel:

5. Deling av blandede tall.

Ved deling av blandede tall må de først konverteres til uekte brøker og del deretter de resulterende brøkene i henhold til reglene for deling av brøktall. La oss se på et eksempel:

La oss konvertere blandede tall til uekte brøker:

La oss nå dele:

Derfor, for å dele blandede tall, må du konvertere dem til uekte brøker og deretter dele ved å bruke regelen for å dele brøker.

6. Finne et tall fra den gitte brøken.

Mellom ulike oppgaver på brøker, noen ganger er det de der verdien av en brøkdel av et ukjent tall er gitt, og du må finne dette tallet. Denne typen problemer vil være det motsatte av problemet med å finne brøkdelen av et gitt tall; der ble det gitt et tall og det var påkrevd å finne en brøkdel av dette tallet, her ble det gitt en brøkdel av et tall og det ble påkrevd å finne dette tallet selv. Denne ideen vil bli enda tydeligere hvis vi går over til å løse denne typen problemer.

Oppgave 1. Den første dagen glaserte glassmestrene 50 vinduer, som er 1/3 av alle vinduene i det bygde huset. Hvor mange vinduer er det i dette huset?

Løsning. Problemstillingen sier at 50 glassvinduer utgjør 1/3 av alle vinduene i huset, noe som betyr at det er 3 ganger flere vinduer totalt, dvs.

Huset hadde 150 vinduer.

Oppgave 2. Butikken solgte 1500 kg mel, som er 3/8 av det totale mellageret butikken hadde. Hva var butikkens opprinnelige tilførsel av mel?

Løsning. Fra forholdene i problemet er det klart at 1500 kg solgt mel utgjør 3/8 av det totale lageret; dette betyr at 1/8 av denne reserven vil være 3 ganger mindre, dvs. for å beregne den må du redusere 1500 med 3 ganger:

1.500:3 = 500 (dette er 1/8 av reserven).

Helt klart vil hele tilbudet være 8 ganger større. Derfor,

500 8 = 4000 (kg).

Opprinnelig lager av mel i butikken var 4000 kg.

Fra vurdering av dette problemet kan følgende regel utledes.

For å finne et tall fra en gitt verdi av brøken, er det nok å dele denne verdien med telleren til brøken og multiplisere resultatet med nevneren til brøken.

Vi løste to oppgaver ved å finne et tall gitt brøken. Slike problemer, som er spesielt tydelig fra den siste, løses ved to handlinger: divisjon (når en del er funnet) og multiplikasjon (når hele tallet er funnet).

Men etter at vi har lært deling av brøker, kan oppgavene ovenfor løses med én handling, nemlig: divisjon med brøk.

For eksempel kan den siste oppgaven løses i en handling som dette:

I fremtiden vil vi løse problemer med å finne et tall fra brøken med én handling - divisjon.

7. Finne et tall etter prosentandelen.

I disse problemene må du finne et tall som kjenner noen få prosent av det tallet.

Oppgave 1. I begynnelsen av dette året mottok jeg 60 rubler fra sparebanken. inntekt fra beløpet jeg la inn i sparing for ett år siden. Hvor mye penger har jeg lagt i sparebanken? (Kassediskene gir innskytere 2 % avkastning per år.)

Meningen med problemet er at jeg la en viss sum penger i en sparebank og ble der i ett år. Etter et år mottok jeg 60 rubler fra henne. inntekt, som er 2/100 av pengene jeg satt inn. Hvor mye penger la jeg inn?

Når vi derfor kjenner en del av disse pengene, uttrykt på to måter (i rubler og brøker), må vi finne hele, ennå ukjente, beløp. Dette er et vanlig problem med å finne et tall gitt brøken. Følgende problemer løses ved deling:

Dette betyr at 3000 rubler ble satt inn i sparebanken.

Oppgave 2. Fiskere oppfylte månedsplanen med 64 % på to uker, og høstet 512 tonn fisk. Hva var planen deres?

Fra forholdene til problemet er det kjent at fiskerne fullførte en del av planen. Denne delen er lik 512 tonn, som er 64 % av planen. Vi vet ikke hvor mange tonn fisk som må tilberedes i henhold til planen. Å finne dette nummeret vil være løsningen på problemet.

Slike problemer løses ved deling:

Det betyr at det etter planen skal tilberedes 800 tonn fisk.

Oppgave 3. Toget gikk fra Riga til Moskva. Da han passerte den 276. kilometeren spurte en av passasjerene en forbipasserende konduktør hvor mye av reisen de allerede hadde tilbakelagt. Til dette svarte konduktøren: "Vi har allerede dekket 30 % av hele reisen." Hva er avstanden fra Moskva til Riga?

Fra problemforholdene er det klart at 30 % av ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi må finne hele avstanden mellom disse byene, dvs. for denne delen, finne helheten:

§ 91. Gjensidige tall. Erstatte divisjon med multiplikasjon.

La oss ta brøken 2/3 og erstatte telleren i stedet for nevneren, vi får 3/2. Vi har det motsatte av denne brøken.

For å få en brøk som er den inverse av en gitt brøk, må du sette telleren i stedet for nevneren, og nevneren i stedet for telleren. På denne måten kan vi få gjensidigheten til enhver brøk. For eksempel:

3/4, revers 4/3; 5/6, omvendt 6/5

To brøker som har egenskapen at telleren til den første er nevneren til den andre, og nevneren til den første er telleren til den andre, kalles gjensidig omvendt.

La oss nå tenke på hvilken brøk som vil være den gjensidige av 1/2. Det vil selvsagt være 2/1, eller bare 2. Ved å se etter den inverse brøkdelen av den gitte, fikk vi et heltall. Og denne saken er ikke isolert; tvert imot, for alle brøker med en teller på 1 (en), vil de gjensidige være heltall, for eksempel:

1/3, revers 3; 1/5, omvendt 5

Siden vi ved å finne gjensidige brøker også møtte heltall, vil vi i det følgende ikke snakke om gjensidige brøker, men om gjensidige tall.

La oss finne ut hvordan du skriver det inverse av et heltall. For brøker kan dette løses enkelt: du må sette nevneren i stedet for telleren. På samme måte kan du få den inverse av et heltall, siden et hvilket som helst heltall kan ha en nevner på 1. Dette betyr at inversen av 7 vil være 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil inversen være 1/10, siden 10 = 10/1

Denne ideen kan uttrykkes annerledes: gjensidigheten til et gitt tall oppnås ved å dele en med et gitt tall. Dette utsagnet gjelder ikke bare for hele tall, men også for brøker. Faktisk, hvis vi trenger å skrive inversen av brøken 5/9, kan vi ta 1 og dele den på 5/9, dvs.

La oss nå påpeke én ting eiendom gjensidige tall, som vil være nyttige for oss: produktet av gjensidige tall er lik en. Faktisk:

Ved å bruke denne egenskapen kan vi finne gjensidige tall på følgende måte. La oss si at vi må finne inversen av 8.

La oss betegne det med bokstaven X , deretter 8 X = 1, derfor X = 1/8. La oss finne et annet tall som er inversen av 7/12 og angi det med bokstaven X , deretter 7/12 X = 1, derfor X = 1: 7 / 12 eller X = 12 / 7 .

Vi introduserte her konseptet med gjensidige tall for litt å supplere informasjonen om å dele brøker.

Når vi deler tallet 6 med 3/5, gjør vi følgende:

Vennligst betal spesiell oppmerksomhet til uttrykket og sammenlign det med det gitte: .

Hvis vi tar uttrykket separat, uten sammenheng med det forrige, er det umulig å løse spørsmålet om hvor det kom fra: fra å dele 6 med 3/5 eller fra å multiplisere 6 med 5/3. I begge tilfeller skjer det samme. Derfor kan vi si at å dele ett tall med et annet kan erstattes ved å multiplisere utbyttet med inversen av divisor.

Eksemplene vi gir nedenfor bekrefter denne konklusjonen fullt ut.

) og nevner for nevner (vi får nevneren til produktet).

Formel for å multiplisere brøker:

For eksempel:

Før du begynner å multiplisere tellere og nevnere, må du sjekke om brøken kan reduseres. Hvis du kan redusere brøken, vil det være lettere for deg å gjøre ytterligere beregninger.

Å dele en vanlig brøk med en brøk.

Å dele brøker som involverer naturlige tall.

Det er ikke så skummelt som det virker. Som ved addisjon konverterer vi heltallet til en brøk med én i nevneren. For eksempel:

Multiplisere blandede fraksjoner.

Regler for å multiplisere brøker (blandet):

konvertere blandede fraksjoner til uekte fraksjoner;
multiplisere tellerne og nevnerne av brøker;
reduser fraksjonen;
Hvis du får en uekte brøk, så konverterer vi uekte brøk til en blandet brøk.

Vær oppmerksom!Å multiplisere blandet fraksjon til en annen blandet brøk, må du først konvertere dem til form av uekte brøker, og deretter multiplisere dem i henhold til regelen for å multiplisere vanlige brøker.

Den andre måten å multiplisere en brøk med et naturlig tall.

Det kan være mer praktisk å bruke den andre metoden for å multiplisere en vanlig brøk med et tall.

Vær oppmerksom!Å multiplisere en brøk med naturlig tall Det er nødvendig å dele nevneren til brøken med dette tallet, og la telleren være uendret.

Fra eksemplet gitt ovenfor er det klart at dette alternativet er mer praktisk å bruke når nevneren til en brøk deles uten en rest med et naturlig tall.

Fleretasjes brøker.

På videregående støter man ofte på tre-etasjers (eller flere) brøker. Eksempel:

For å bringe en slik brøk til sin vanlige form, bruk divisjon gjennom 2 poeng:

Vær oppmerksom! Ved deling av brøker er rekkefølgen på delingen svært viktig. Vær forsiktig, det er lett å bli forvirret her.

Vennligst merk For eksempel:

Når du deler en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøken, bare invertert:

Praktiske tips for å multiplisere og dele brøker:

1. Det viktigste når du arbeider med brøkuttrykk er nøyaktighet og oppmerksomhet. Gjør alle beregninger nøye og nøyaktig, konsentrert og tydelig. Det er bedre å skrive noen ekstra linjer i utkastet enn å gå seg vill i hodeberegninger.

2. I oppgaver med ulike typer brøker, gå til typen vanlige brøker.

3. Vi reduserer alle brøker til det ikke lenger er mulig å redusere.

4. Vi transformerer brøkuttrykk på flere nivåer til vanlige ved å bruke divisjon gjennom 2 punkter.

5. Del en enhet med en brøk i hodet, bare snu brøken.

Du kan gjøre alt med brøk, inkludert divisjon. Denne artikkelen viser inndelingen av vanlige brøker. Definisjoner vil bli gitt og eksempler vil bli diskutert. La oss dvele i detalj ved å dele brøker med naturlige tall og omvendt. Å dele en vanlig brøk med et blandet tall vil bli diskutert.

Å dele brøker

Divisjon er det motsatte av multiplikasjon. Ved deling finnes den ukjente faktoren med det kjente produktet av en annen faktor, hvor dens gitte betydning er bevart med vanlige brøker.

Hvis det er nødvendig å dele en vanlig brøk a b med c d, så for å bestemme et slikt tall må du multiplisere med divisoren c d, dette vil til slutt gi utbyttet a b. La oss få et tall og skrive det a b · d c , der d c er inversen av c d-tallet. Likheter kan skrives ved hjelp av egenskapene til multiplikasjon, nemlig: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, hvor uttrykket a b · d c er kvotienten for å dele a b med c d.

Herfra får vi og formulerer regelen for å dele vanlige brøker:

Definisjon 1

For å dele en vanlig brøk a b med c d, må du multiplisere utbyttet med den resiproke av divisoren.

La oss skrive regelen i form av et uttrykk: a b: c d = a b · d c

Reglene for divisjon kommer ned til multiplikasjon. For å holde fast ved det, må du ha en god forståelse for å multiplisere brøker.

La oss gå videre til å vurdere inndelingen av vanlige brøker.

Eksempel 1

Del 9 7 med 5 3. Skriv resultatet som en brøk.

Løsning

Tallet 5 3 er den gjensidige brøken 3 5. Det er nødvendig å bruke regelen for å dele vanlige brøker. Vi skriver dette uttrykket som følger: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Svare: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Når du reduserer brøker, skiller du ut hele delen hvis telleren er større enn nevneren.

Eksempel 2

Del 8 15: 24 65. Skriv svaret som en brøk.

Løsning

For å løse må du gå fra divisjon til multiplikasjon. La oss skrive det i denne formen: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Det er nødvendig å foreta en reduksjon, og dette gjøres som følger: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Velg hele delen og få 13 9 = 1 4 9.

Svare: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Å dele en ekstraordinær brøk med et naturlig tall

Vi bruker regelen for å dele en brøk med et naturlig tall: for å dele a b på et naturlig tall n, trenger du bare å multiplisere nevneren med n. Herfra får vi uttrykket: a b: n = a b · n.

Delingsregelen er en konsekvens av multiplikasjonsregelen. Derfor vil representasjon av et naturlig tall som en brøk gi en likhet av denne typen: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Tenk på denne delingen av en brøk med et tall.

Eksempel 3

Del brøken 16 45 med tallet 12.

Løsning

La oss bruke regelen for å dele en brøk med et tall. Vi får et uttrykk på formen 16 45: 12 = 16 45 · 12.

La oss redusere brøkdelen. Vi får 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Svare: 16 45: 12 = 4 135 .

Å dele et naturlig tall med en brøk

Delingsregelen er lik O regelen for å dele et naturlig tall med en ordinær brøk: for å dele et naturlig tall n med en ordinær brøk a b, er det nødvendig å multiplisere tallet n med det resiproke av brøken a b.

Basert på regelen har vi n: a b = n · b a, og takket være regelen om å multiplisere et naturlig tall med en vanlig brøk, får vi uttrykket vårt på formen n: a b = n · b a. Det er nødvendig å vurdere denne inndelingen med et eksempel.

Eksempel 4

Del 25 med 15 28.

Løsning

Vi må gå fra divisjon til multiplikasjon. La oss skrive det i form av uttrykket 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. La oss redusere brøken og få resultatet i form av brøken 46 2 3.

Svare: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Å dele en brøk med et blandet tall

Når du deler en vanlig brøk med et blandet tall, kan du enkelt begynne å dele vanlige brøker. Du må konvertere et blandet tall til en uekte brøk.

Eksempel 5

Del brøken 35 16 med 3 1 8.

Løsning

Siden 3 1 8 er et blandet tall, la oss representere det som en uekte brøk. Da får vi 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. La oss nå dele brøker. Vi får 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Svare: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Å dele et blandet tall gjøres på samme måte som vanlige tall.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

En brøk er en eller flere deler av en helhet, som vanligvis antas å være én (1). Som med naturlige tall, kan du utføre alle grunnleggende aritmetiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, divisjon, multiplikasjon) med brøker for å gjøre dette, må du kjenne til funksjonene ved å jobbe med brøker og skille mellom deres typer. Det finnes flere typer brøker: desimal og ordinær, eller enkel. Hver brøktype har sine egne spesifikasjoner, men når du først forstår hvordan du håndterer dem, vil du kunne løse eventuelle eksempler med brøker, siden du vil kjenne til de grunnleggende prinsippene for å utføre aritmetiske beregninger med brøker. La oss se på eksempler på hvordan man deler en brøk på et helt tall ved hjelp av ulike typer brøker

Hvordan dele en enkel brøk med et naturlig tall?
Vanlige eller enkle brøker er brøker som skrives i form av et tallforhold der utbyttet (telleren) er angitt øverst i brøken, og deleren (nevneren) til brøken er angitt nederst. Hvordan dele en slik brøk med et helt tall? La oss se på et eksempel! La oss si at vi må dele 8/12 på 2.

For å gjøre dette må vi utføre en rekke handlinger:

Derfor, hvis vi står overfor oppgaven med å dele en brøk med et helt tall, vil løsningsdiagrammet se omtrent slik ut:

På lignende måte kan du dele enhver vanlig (enkel) brøk med et heltall.

Hvordan dele en desimal på et helt tall?
En desimal er en brøk som oppnås ved å dele en enhet i ti, tusen og så videre deler. Aritmetikk med desimaler er ganske enkelt.

La oss se på et eksempel på hvordan man deler en brøk på et helt tall. La oss si at vi må dele desimalbrøken 0,925 med det naturlige tallet 5.