Leksjon og presentasjon om emnet: "Arcsine. Tabell over arcsines. Formel y=arcsin(x)"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive oppgaver for bygging i rommet

Hva vi skal studere:
1. Hva er arcsine?
2. Arcsine-notasjon.
3. Litt historie.
4. Definisjon.

6. Eksempler.

Hva er arcsine?

Gutter, vi har allerede lært hvordan man løser ligninger for cosinus, la oss nå lære hvordan man løser lignende ligninger for sinus. Tenk på sin(x)= √3/2. For å løse denne ligningen må du konstruere en rett linje y= √3/2 og se på hvilke punkter den skjærer tallsirkelen. Man kan se at den rette linjen skjærer sirkelen i to punkter F og G. Disse punktene vil være løsningen på ligningen vår. La oss redesigne F som x1, og G som x2. Vi har allerede funnet løsningen på denne ligningen og fått: x1= π/3 + 2πk,
og x2= 2π/3 + 2πk.

Å løse denne ligningen er ganske enkelt, men hvordan løser man for eksempel ligningen
sin(x)= 5/6. Selvfølgelig vil denne ligningen også ha to røtter, men hvilke verdier vil tilsvare løsningen på tallsirkelen? La oss se nærmere på ligningen vår sin(x)= 5/6.
Løsningen på ligningen vår vil være to punkter: F= x1 + 2πk og G= x2 ​​​​+ 2πk,
der x1 er lengden på buen AF, x2 er lengden på buen AG.
Merk: x2= π - x1, fordi AF= AC - FC, men FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Men hva er disse punktene?

Stilt overfor en lignende situasjon, kom matematikere opp med et nytt symbol - arcsin(x). Les som arcsine.

Da vil løsningen til ligningen vår skrives slik: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Og løsningen i generell form: x= arcsin(5/6) + 2πk og x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinus er vinkelen (buelengde AF, AG) sinus, som er lik 5/6.

En liten historie om arcsine

Historien om opprinnelsen til symbolet vårt er nøyaktig den samme som arccos. Arcsin-symbolet dukker først opp i verkene til matematikeren Scherfer og den berømte franske vitenskapsmannen J.L. Lagrange. Noe tidligere ble begrepet arcsine vurdert av D. Bernouli, selv om han skrev det med forskjellige symboler.

Disse symbolene ble generelt akseptert først på slutten av 1700-tallet. Prefikset "bue" kommer fra det latinske "arcus" (bue, bue). Dette er ganske i samsvar med betydningen av konseptet: arcsin x er en vinkel (eller man kan si en bue) hvis sinus er lik x.

Definisjon av arcsine

Hvis |a|≤ 1, så er arcsin(a) et tall fra segmentet [- π/2; π/2], hvis sinus er lik a.

Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x)= a en løsning: x= arcsin(a) + 2πk og
x= π - arcsin(a) + 2πk

La oss skrive om:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Gutter, se nøye på de to løsningene våre. Hva tenker du: kan de skrives ned ved hjelp av en generell formel? Merk at hvis det er et plusstegn foran arcsinus, så multipliseres π med partall 2πk, og hvis det er et minustegn, så er multiplikatoren oddetall 2k+1.
Med dette i betraktning, skriver vi ned den generelle formelen for å løse ligningen sin(x)=a:

Det er tre tilfeller der det er å foretrekke å skrive ned løsninger på en enklere måte:

sin(x)=0, deretter x= πk,

sin(x)=1, deretter x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, deretter x= -π/2 + 2πk.

For enhver -1 ≤ a ≤ 1 gjelder likheten: arcsin(-a)=-arcsin(a).

La oss skrive tabellen med cosinusverdier i revers og få en tabell for arcsinus.

Eksempler

1. Regn ut: arcsin(√3/2).
Løsning: La arcsin(√3/2)= x, deretter sin(x)= √3/2. Per definisjon: - π/2 ≤x≤ π/2. La oss se på sinusverdiene i tabellen: x= π/3, fordi sin(π/3)= √3/2 og –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Svar: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Regn ut: arcsin(-1/2).
Løsning: La arcsin(-1/2)= x, deretter sin(x)= -1/2. Per definisjon: - π/2 ≤x≤ π/2. La oss se på sinusverdiene i tabellen: x= -π/6, fordi sin(-π/6)= -1/2 og -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Svar: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Regn ut: arcsin(0).
Løsning: La arcsin(0)= x, så sin(x)= 0. Per definisjon: - π/2 ≤x≤ π/2. La oss se på verdiene til sinusen i tabellen: det betyr x= 0, fordi sin(0)= 0 og - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Svar: arcsin(0)=0.

4. Løs ligningen: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk og x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
La oss se på verdien i tabellen: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Svar: x= -π/4 + 2πk og x= 5π/4 + 2πk.

5. Løs ligningen: sin(x) = 0.
Løsning: La oss bruke definisjonen, så vil løsningen bli skrevet i formen:
x= arcsin(0) + 2πk og x= π - arcsin(0) + 2πk. La oss se på verdien i tabellen: arcsin(0)= 0.
Svar: x= 2πk og x= π + 2πk

6. Løs ligningen: sin(x) = 3/5.
Løsning: La oss bruke definisjonen, så vil løsningen bli skrevet i formen:
x= arcsin(3/5) + 2πk og x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Svar: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Løs ulikheten sin(x) Løsning: Sinus er ordinaten til et punkt på tallsirkelen. Dette betyr: vi må finne punkter hvis ordinat er mindre enn 0,7. La oss tegne en rett linje y=0,7. Den skjærer tallsirkelen i to punkter. Ulikhet y Da vil løsningen på ulikheten være: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arcsine-problemer for uavhengig løsning

1) Beregn: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Løs ligningen: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Løs ulikheten: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Arcsine (y = arcsin x) er den inverse funksjonen til sinus (x = syndig -1 ≤ x ≤ 1 og settet med verdier -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arcsine er noen ganger betegnet som følger:
.

Graf over arcsine-funksjonen

Graf for funksjonen y = arcsin x

Bue-grafen hentes fra sinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til arcsine.

Arccosine, arccos

Arc cosinus (y = arccos x) er den inverse funksjonen til cosinus (x = koselig). Den har et omfang -1 ≤ x ≤ 1 og mange betydninger 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arccosine er noen ganger betegnet som følger:
.

Graf av buekosinusfunksjon

Graf for funksjonen y = arccos x

Buecosinusgrafen hentes fra cosinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til buekosinus.

Paritet

Arcsine-funksjonen er merkelig:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Buekosinusfunksjonen er ikke partall eller oddetall:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Egenskaper - ekstreme, øke, redusere

Funksjonene arcsine og arccosine er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til arcsine og arccosine er presentert i tabellen.

	y = arcsin x	y = arccos x
Omfang og kontinuitet	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Rekkevidde av verdier
Stigende synkende	monotont øker	avtar monotont
Høyere
Minimumskrav
Null, y = 0	x = 0	x = 1
Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Tabell over arcsines og arccosines

Denne tabellen presenterer verdiene til arcsines og arccosines, i grader og radianer, for visse verdier av argumentet.

x	arcsin x		arccos x
	hagl	glad.	hagl	glad.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	-45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formler

Sum- og differanseformler

på eller

kl og

kl og

på eller

kl og

kl og

på

på

på

på

Uttrykk gjennom logaritmer, komplekse tall

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

Derivater

;
.
Se Avledning av arcsine og arccosine derivater > > >

Høyere ordens derivater:
,
hvor er et polynom av grad . Det bestemmes av formlene:
;
;
.

Se Avledning av høyere ordens derivater av arcsine og arccosine > > >

Integraler

Vi gjør erstatningen x = sint. Vi integrerer etter deler, tar i betraktning at -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, koster t ≥ 0:
.

La oss uttrykke arc cosinus gjennom arc sinus:
.

Serieutvidelse

Når |x|< 1 følgende dekomponering finner sted:
;
.

Inverse funksjoner

Inversene til arcsinus og arccosinus er henholdsvis sinus og cosinus.

Følgende formler er gyldige i hele definisjonsdomenet:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Følgende formler er bare gyldige for settet med arcsine- og arccosine-verdier:
arcsin(sin x) = x på
arccos(cos x) = x kl.

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Hva er arcsine, arccosine? Hva er arctangens, arccotangent?

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Til konsepter arcsine, arccosine, arctangens, arccotangent Studentpopulasjonen er på vakt. Han forstår ikke disse begrepene og stoler derfor ikke på denne hyggelige familien.) Men forgjeves. Dette er veldig enkle konsepter. Noe som forresten gjør livet enormt enklere for en kunnskapsrik person når man skal løse trigonometriske ligninger!

Tviler på enkelhet? Forgjeves.) Akkurat her og nå vil du se dette.

Selvfølgelig, for å forstå, ville det være fint å vite hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er. Ja, deres tabellverdier for noen vinkler... I det minste i de mest generelle termer. Da blir det ingen problemer her heller.

Så vi er overrasket, men husk: arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent er bare noen vinkler. Intet mer, intet mindre. Det er en vinkel, si 30°. Og det er et hjørne arcsin0.4. Eller arctg(-1.3). Det finnes alle slags vinkler.) Du kan ganske enkelt skrive ned vinkler på forskjellige måter. Du kan skrive vinkelen i grader eller radianer. Eller du kan - gjennom sinus, cosinus, tangent og cotangens...

Hva betyr uttrykket

arcsin 0,4?

Dette er vinkelen hvis sinus er 0,4! Ja Ja. Dette er betydningen av arcsine. Jeg vil spesifikt gjenta: arcsin 0,4 er en vinkel hvis sinus er lik 0,4.

Det er alt.

For å holde denne enkle tanken i hodet i lang tid, vil jeg til og med gi en oversikt over dette forferdelige begrepet - arcsine:

bue synd 0,4
hjørne, hvis sinus lik 0,4

Som det står skrevet, så blir det hørt.) Nesten. Konsoll bue midler bue(ord bue vet du?), fordi eldgamle mennesker brukte buer i stedet for vinkler, men dette endrer ikke essensen av saken. Husk denne elementære dekodingen av et matematisk begrep! Dessuten, for arccosine, arctangent og arccotangent, skiller dekodingen seg bare i navnet på funksjonen.

Hva er arccos 0.8?
Dette er en vinkel hvis cosinus er 0,8.

Hva er arctg(-1,3)?
Dette er en vinkel hvis tangent er -1,3.

Hva er arcctg 12?
Dette er en vinkel hvis cotangens er 12.

Slik elementær dekoding gjør det forresten mulig å unngå episke tabber.) For eksempel ser uttrykket arccos1,8 ganske solid ut. La oss begynne å dekode: arccos1.8 er en vinkel hvis cosinus er lik 1.8... Hopp-hopp!? 1,8!? Cosinus kan ikke være større enn én!!!

Ikke sant. Uttrykket arccos1,8 gir ikke mening. Og å skrive et slikt uttrykk i et eller annet svar vil underholde inspektøren veldig.)

Elementær, som du kan se.) Hver vinkel har sin egen personlige sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens. Når vi kjenner den trigonometriske funksjonen, kan vi derfor skrive ned selve vinkelen. Dette er hva arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens er ment for. Fra nå av vil jeg kalle hele denne familien med et lite navn - buer. For å skrive mindre.)

Merk følgende! Elementær verbal og bevisst dechiffrering av buer lar deg rolig og trygt løse en rekke oppgaver. Og i uvanlig Bare hun sparer oppgaver.

Er det mulig å bytte fra buer til vanlige grader eller radianer?- Jeg hører et forsiktig spørsmål.)

Hvorfor ikke!? Enkelt. Du kan gå frem og tilbake. Dessuten må dette noen ganger gjøres. Buer er en enkel ting, men det er på en måte roligere uten dem, ikke sant?)

For eksempel: hva er arcsin 0,5?

La oss huske dekodingen: arcsin 0,5 er vinkelen hvis sinus er 0,5. Slå nå på hodet (eller Google)) og husk hvilken vinkel som har en sinus på 0,5? Sinus er lik 0,5 y 30 graders vinkel. Det er det: arcsin 0,5 er en vinkel på 30°. Du kan trygt skrive:

lysbue 0,5 = 30°

Eller, mer formelt, når det gjelder radianer:

Det er det, du kan glemme arcsine og fortsette å jobbe med de vanlige gradene eller radianene.

Hvis du skjønte hva er arcsine, arccosine... Hva er arctangent, arccotangent... Du kan enkelt håndtere for eksempel et slikt monster.)

En uvitende person vil trekke seg tilbake i redsel, ja...) Men en informert person husk avkodingen: arcsinus er vinkelen hvis sinus ... Og så videre. Hvis en kunnskapsrik person også kjenner sinustabellen... Kosinustabellen. Tabell over tangenter og cotangenter, da er det ingen problemer i det hele tatt!

Det er nok å innse at:

Jeg skal tyde det, dvs. La meg oversette formelen til ord: vinkel hvis tangent er 1 (arctg1)- dette er en vinkel på 45°. Eller, som er det samme, Pi/4. Like måte:

og det er det... Vi erstatter alle buene med verdier i radianer, alt reduseres, det gjenstår bare å beregne hvor mye 1+1 er. Det blir 2.) Hvilket er det riktige svaret.

Slik kan (og bør) du bevege deg fra arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens til vanlige grader og radianer. Dette forenkler skumle eksempler!

Ofte, i slike eksempler, er det inne i buene negativ betydninger. Som, arctg(-1.3), eller for eksempel arccos(-0.8)... Dette er ikke et problem. Her er enkle formler for å gå fra negative til positive verdier:

Du trenger for eksempel å bestemme verdien av uttrykket:

Dette kan løses ved hjelp av den trigonometriske sirkelen, men du vil ikke tegne den. Vel ok. Vi flytter fra negativ verdier inne i buekosinus til k positivt i henhold til den andre formelen:

Inne i buen er cosinus til høyre allerede positivt betydning. Hva

du bare må vite. Alt som gjenstår er å erstatte radianer i stedet for buekosinus og beregne svaret:

Det er alt.

Restriksjoner på arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Er det et problem med eksempel 7 - 9? Vel, ja, det er et triks der.)

Alle disse eksemplene, fra 1 til 9, er nøye analysert i seksjon 555. Hva, hvordan og hvorfor. Med alle de hemmelige fellene og triksene. Pluss måter å dramatisk forenkle løsningen på. Denne delen inneholder forresten mye nyttig informasjon og praktiske tips om trigonometri generelt. Og ikke bare i trigonometri. Hjelper mye.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Funksjonene sin, cos, tg og ctg er alltid ledsaget av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Det ene er en konsekvens av det andre, og funksjonspar er like viktige for å jobbe med trigonometriske uttrykk.

Tenk på en tegning av en enhetssirkel, som grafisk viser verdiene til trigonometriske funksjoner.

Hvis vi beregner buer OA, arcos OC, arctg DE og arcctg MK, vil de alle være lik verdien av vinkelen α. Formlene nedenfor gjenspeiler forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene og deres tilsvarende buer.

For å forstå mer om egenskapene til arcsine, er det nødvendig å vurdere dens funksjon. Rute har form av en asymmetrisk kurve som går gjennom koordinatsenteret.

Egenskaper til arcsine:

Hvis vi sammenligner grafene synd Og arcsin, kan to trigonometriske funksjoner ha felles mønstre.

buekosinus

Arccos av et tall er verdien av vinkelen α, hvis cosinus er lik a.

Kurve y = arcos x speiler arcsin x-grafen, med den eneste forskjellen at den passerer gjennom punktet π/2 på OY-aksen.

La oss se på buekosinusfunksjonen mer detaljert:

1. Funksjonen er definert på intervallet [-1; 1].
2. ODZ for arccos - .
3. Grafen er helt plassert i første og andre kvartal, og selve funksjonen er verken partall eller oddetall.
4. Y = 0 ved x = 1.
5. Kurven avtar langs hele lengden. Noen egenskaper til buekosinus faller sammen med cosinusfunksjonen.

Noen egenskaper til buekosinus faller sammen med cosinusfunksjonen.

Kanskje skolebarn vil finne en slik "detaljert" studie av "buer" unødvendig. Men ellers kan enkelte elementære standard eksamensoppgaver føre studentene inn i en blindvei.

Øvelse 1. Angi funksjonene vist i figuren.

Svar: ris. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

I dette eksemplet er det lagt vekt på de små tingene. Vanligvis er elevene svært uoppmerksomme på konstruksjonen av grafer og utseendet til funksjoner. Faktisk, hvorfor huske typen kurve hvis den alltid kan plottes ved hjelp av beregnede punkter. Ikke glem at under testforhold vil tiden brukt på å tegne for en enkel oppgave være nødvendig for å løse mer komplekse oppgaver.

Arctangens

Arctg tallene a er verdien av vinkelen α slik at tangenten er lik a.

Hvis vi vurderer arctangens-grafen, kan vi fremheve følgende egenskaper:

1. Grafen er uendelig og definert på intervallet (- ∞; + ∞).
2. Arctangent er en oddetall funksjon, derfor arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 ved x = 0.
4. Kurven øker gjennom hele definisjonsområdet.

La oss presentere en kort komparativ analyse av tg x og arctg x i form av en tabell.

Arccotangens

Arcctg av et tall - tar en verdi α fra intervallet (0; π) slik at dets cotangens er lik a.

Egenskaper til lysbue-cotangens-funksjonen:

1. Funksjonsdefinisjonsintervallet er uendelig.
2. Utvalget av akseptable verdier er intervallet (0; π).
3. F(x) er verken partall eller oddetall.
4. Gjennom hele dens lengde avtar grafen til funksjonen.

Det er veldig enkelt å sammenligne ctg x og arctg x; du trenger bare å lage to tegninger og beskrive oppførselen til kurvene.

Oppgave 2. Match grafen og notasjonsformen til funksjonen.

Hvis vi tenker logisk, er det tydelig fra grafene at begge funksjonene øker. Derfor viser begge figurene en viss arktanfunksjon. Fra egenskapene til arctangens er det kjent at y=0 ved x = 0,

Svar: ris. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Trigonometriske identiteter arcsin, arcos, arctg og arcctg

Tidligere har vi allerede identifisert forholdet mellom buer og de grunnleggende funksjonene til trigonometri. Denne avhengigheten kan uttrykkes med en rekke formler som lar en uttrykke for eksempel sinusen til et argument gjennom dets arcsinus, arccosinus eller omvendt. Kunnskap om slike identiteter kan være nyttig når man skal løse konkrete eksempler.

Det er også relasjoner for arctg og arcctg:

Et annet nyttig par med formler setter verdien for summen av arcsin og arcos, samt arcctg og arcctg av samme vinkel.

Eksempler på problemløsning

Trigonometrioppgaver kan deles inn i fire grupper: beregn den numeriske verdien av et spesifikt uttrykk, konstruer en graf for en gitt funksjon, finn dens definisjonsdomene eller ODZ og utfør analytiske transformasjoner for å løse eksemplet.

Når du løser den første typen problem, må du følge følgende handlingsplan:

Når du arbeider med funksjonsgrafer, er hovedsaken kunnskap om deres egenskaper og utseendet til kurven. Å løse trigonometriske ligninger og ulikheter krever identitetstabeller. Jo flere formler en elev husker, jo lettere er det å finne svaret på oppgaven.

La oss si at du i Unified State Examination må finne svaret for en ligning som:

Hvis du transformerer uttrykket riktig og bringer det til ønsket form, er det veldig enkelt og raskt å løse det. La oss først flytte arcsin x til høyre side av likheten.

Hvis du husker formelen arcsin (sin α) = α, så kan vi redusere søket etter svar for å løse et system med to ligninger:

Begrensningen på modellen x oppsto, igjen fra egenskapene til arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Når a ≠0, er en del av systemet en andregradsligning med røttene x1 = 1 og x2 = - 1/a. Når a = 0, vil x være lik 1.

Denne artikkelen handler om finne verdiene til arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent gitt nummer. Først skal vi klargjøre hva som kalles betydningen av arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent. Deretter vil vi få hovedverdiene til disse buefunksjonene, hvoretter vi vil forstå hvordan verdiene til buesinus, buecosinus, buetangens og buecotangens finnes ved å bruke tabellene over sinus, cosinus, tangenter og Bradis kotangenser. Til slutt, la oss snakke om å finne arcsine av et tall når arccosine, arctangens eller arccotangens for dette tallet, etc. er kjent.

Sidenavigering.

Verdier av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent

Først av alt er det verdt å finne ut hva "dette" faktisk er. betydningen av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent».

Bradis-tabeller over sinus og cosinus, samt tangenter og cotangenser, lar deg finne verdien av arcsine, arccosine, arctangens og arccotangens for et positivt tall i grader med en nøyaktighet på ett minutt. Her er det verdt å nevne at å finne verdiene til arcsin, arccosine, arctangens og arccotangens for negative tall kan reduseres til å finne verdiene for de tilsvarende buefunksjonene til positive tall ved å gå til formlene arcsin, arccos, arctg og arcctg av motsatte tall av formen arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a og arcctg(−a)=π−arcctg a .

La oss finne ut hvordan du finner verdiene til arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent ved å bruke Bradis-tabellene. Vi vil gjøre dette med eksempler.

La oss finne arcsine-verdien 0,2857. Vi finner denne verdien i sinustabellen (tilfeller når denne verdien ikke er i tabellen vil bli diskutert nedenfor). Det tilsvarer sinus 16 grader 36 minutter. Derfor er den ønskede verdien av arcsine av tallet 0,2857 en vinkel på 16 grader 36 minutter.

Ofte er det nødvendig å ta hensyn til rettelser fra de tre kolonnene til høyre i tabellen. For eksempel, hvis vi trenger å finne arcsine av 0,2863. I følge sinustabellen oppnås denne verdien som 0,2857 pluss en korreksjon på 0,0006, det vil si at verdien på 0,2863 tilsvarer en sinus på 16 grader 38 minutter (16 grader 36 minutter pluss 2 minutters korreksjon).

Hvis tallet hvis arcsine interesserer oss ikke er i tabellen og ikke engang kan oppnås under hensyntagen til korreksjoner, må vi i tabellen finne de to verdiene av sinusene nærmest det, mellom hvilke dette tallet er omsluttet. For eksempel ser vi etter arcsine-verdien på 0,2861573. Dette tallet er ikke i tabellen, og dette tallet kan heller ikke fås ved hjelp av endringer. Deretter finner vi de to nærmeste verdiene 0,2860 og 0,2863, mellom hvilke det opprinnelige tallet er omsluttet; disse tallene tilsvarer sinusene 16 grader 37 minutter og 16 grader 38 minutter. Den ønskede bueverdien på 0,2861573 ligger mellom dem, det vil si at enhver av disse vinkelverdiene kan tas som en omtrentlig bueverdi med en nøyaktighet på 1 minutt.

Buecosinusverdiene, buetangensverdiene og buecotangensverdiene finnes på absolutt samme måte (i dette tilfellet brukes selvfølgelig henholdsvis tabeller over cosinus, tangenter og cotangens).

Finne verdien av arcsin ved å bruke arccos, arctg, arcctg, etc.

La oss for eksempel få vite at arcsin a=−π/12, og vi må finne verdien av arccos a. Vi beregner buekosinusverdien vi trenger: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Situasjonen er mye mer interessant når du, ved å bruke den kjente verdien av arcsine eller arccosine av et tall a, må finne verdien av arctangens eller arccotangens av dette tallet a eller omvendt. Dessverre kjenner vi ikke til formlene som definerer slike sammenhenger. Hvordan være? La oss forstå dette med et eksempel.

La oss vite at arccosinus til et tall a er lik π/10, og vi må beregne arctangensen til dette tallet a. Du kan løse problemet på følgende måte: Bruk den kjente verdien av buekosinus, finn tallet a, og finn deretter buetangensen til dette tallet. For å gjøre dette trenger vi først en tabell med cosinus, og deretter en tabell med tangenter.

Vinkelen π/10 radianer er en vinkel på 18 grader; fra cosinustabellen finner vi at cosinus på 18 grader er omtrent lik 0,9511, da er tallet a i vårt eksempel 0,9511.

Det gjenstår å vende seg til tabellen med tangenter, og med dens hjelp finne den arctangent verdien vi trenger 0,9511, den er omtrent lik 43 grader 34 minutter.

Dette emnet er logisk videreført av materialet i artikkelen. evaluere verdiene til uttrykk som inneholder arcsin, arccos, arctg og arcctg.

Bibliografi.

• Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Education, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Boykov, L. D. Romanova. Samling av problemer for forberedelse til Unified State Exam, del 1, Penza 2003.
• Bradis V. M. Firesifrede matematikktabeller: For generell utdanning. lærebok bedrifter. - 2. utg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2