Grenser gir alle matematikkstudenter mye trøbbel. For å løse en grense må du noen ganger bruke mange triks og velge fra en rekke løsningsmetoder akkurat den som passer for et bestemt eksempel.

I denne artikkelen vil vi ikke hjelpe deg med å forstå grensene for dine evner eller forstå grensene for kontroll, men vi vil prøve å svare på spørsmålet: hvordan forstå grenser i høyere matematikk? Forståelse følger med erfaring, så samtidig vil vi gi flere detaljerte eksempler på løsning av grenser med forklaringer.

Begrepet grense i matematikk

Det første spørsmålet er: hva er denne grensen og grensen for hva? Vi kan snakke om grensene for numeriske sekvenser og funksjoner. Vi er interessert i konseptet med grensen til en funksjon, siden det er dette elevene oftest møter. Men først, den mest generelle definisjonen av en grense:

La oss si at det er en variabel verdi. Hvis denne verdien i endringsprosessen ubegrenset nærmer seg et visst antall en , Det en – grensen for denne verdien.

For en funksjon definert i et bestemt intervall f(x)=y et slikt tall kalles en grense EN , som funksjonen har en tendens til når X , tendens til et visst punkt EN . Punktum EN tilhører intervallet som funksjonen er definert på.

Det høres tungvint ut, men det er skrevet veldig enkelt:

Lim- fra engelsk grense- grense.

Det er også en geometrisk forklaring for å bestemme grensen, men her skal vi ikke fordype oss i teorien, siden vi er mer interessert i den praktiske enn den teoretiske siden av problemstillingen. Når vi sier det X har en tendens til en viss verdi, betyr dette at variabelen ikke tar på seg verdien av et tall, men nærmer seg det uendelig nært.

La oss gi et konkret eksempel. Oppgaven er å finne grensen.

For å løse dette eksemplet erstatter vi verdien x=3 inn i en funksjon. Vi får:

Forresten, hvis du er interessert, les en egen artikkel om dette emnet.

I eksemplene X kan ha en tendens til hvilken som helst verdi. Det kan være et hvilket som helst tall eller uendelig. Her er et eksempel når X har en tendens til det uendelige:

Intuitivt, jo større tall i nevneren, jo mindre verdi vil funksjonen ha. Så, med ubegrenset vekst X betydning 1/x vil avta og nærme seg null.

Som du kan se, for å løse grensen, trenger du bare å erstatte verdien du skal strebe etter i funksjonen X . Dette er imidlertid det enkleste tilfellet. Ofte er det ikke så åpenbart å finne grensen. Innenfor rammene er det usikkerheter av typen 0/0 eller uendelig/uendelig . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ty til triks!

Usikkerhet innenfor

Usikkerhet av formen uendelig/uendelig

La det være en grense:

Hvis vi prøver å erstatte uendelig i funksjonen, vil vi få uendelig i både teller og nevner. Generelt er det verdt å si at det er et visst element av kunst i å løse slike usikkerheter: du må legge merke til hvordan du kan transformere funksjonen på en slik måte at usikkerheten forsvinner. I vårt tilfelle deler vi teller og nevner med X i seniorgraden. Hva vil skje?

Fra eksemplet som allerede er diskutert ovenfor, vet vi at ledd som inneholder x i nevneren vil ha en tendens til null. Da er løsningen til grensen:

For å løse typeusikkerheter uendelig/uendelig del teller og nevner med X i høyeste grad.

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på

En annen type usikkerhet: 0/0

Som alltid, erstatte verdier i funksjonen x=-1 gir 0 i teller og nevner. Se litt nærmere og du vil legge merke til at vi har en andregradsligning i telleren. La oss finne røttene og skrive:

La oss redusere og få:

Så hvis du står overfor type usikkerhet 0/0 – faktor telleren og nevneren.

For å gjøre det lettere for deg å løse eksempler presenterer vi en tabell med grensene for noen funksjoner:

L'Hopitals styre innenfor

En annen kraftig måte å eliminere begge typer usikkerhet. Hva er essensen av metoden?

Hvis det er usikkerhet i grensen, ta den deriverte av telleren og nevneren til usikkerheten forsvinner.

L'Hopitals regel ser slik ut:

Viktig poeng : grensen der de deriverte av telleren og nevneren står i stedet for telleren og nevneren må eksistere.

Og nå - et ekte eksempel:

Det er typisk usikkerhet 0/0 . La oss ta de deriverte av telleren og nevneren:

Voila, usikkerhet løses raskt og elegant.

Vi håper at du vil være i stand til å bruke denne informasjonen nyttig i praksis og finne svaret på spørsmålet "hvordan løse grenser i høyere matematikk." Hvis du trenger å beregne grensen for en sekvens eller grensen for en funksjon på et punkt, og det er absolutt ikke tid til dette arbeidet, kontakt en profesjonell studenttjeneste for en rask og detaljert løsning.

Vet at alle har en annen "skade",
Vet at alle har en annen "skummel".
Ikke døm fra klokketårnet ditt
Det er ukjent hvor mange etasjer det er snakk om.

Ikke se på grensene
Ikke oppfinn grenser med hjernen din.
Hva ville du aldri drømme om i et mareritt?
For noen er det en vanlig ting.

Vit at alle har forskjellige "bør",
Vit at alles "vanskeligheter" er forskjellige.
Imidlertid ideen om helvete
Det er umulig å generalisere og sammenligne.

Vet at sannheten er annerledes,
Og ikke den som serveres på et fat.
Ta en nærmere titt på de hvis skjebner er skremmende,
Dette er de sterkeste menneskene.

Ikke si at jeg ikke husker deg...
Jeg husker alt, mange ganger om dagen
Jeg gjentar telefonnummeret
Men jeg vil aldri ringe deg.
Det føltes som om hjertet mitt var i ferd med å briste
Og på grensen av ensomme dager

De gikk utover horisonten i min sjel.
Det var kjærlighet, det var kjærlighet, det var!
Og det er ingenting å legge til denne setningen.
Vårt magiske slott brant ned til grunnen
Og han la ikke aske for oss å huske.
Jeg husker alt, og jeg husker den blomstrende hagen,
Og gjennom løvet - stråler fra alle kanter,
Som fra et hvitt, hvitt klokketårn
I din sjel - hører du - strømmer det en stille ringing.
Kjærligheten er borte og kommer aldri tilbake,
Og for ikke å savne henne for alltid,
Øynene dine er som to triste soler
De gikk utover horisonten i min sjel.

Jakten på lykke er igjen mislykket...
Og det er en regnfull kveld, det er dystert ute...
Og som barn... smurte jeg syltetøy på en bolle
Og definitivt glad, dumt glad...

Glamour, etikette, diamanter, jacuzzi...
Nå, i tillegg til lykke, i skjebnen til "All inclusive",
Og som barn spiste jeg solsikkefrø,
Og lykke så ut til å ikke ha noen grenser...

Vi har blitt veldig som klovner...
Alle har på seg sminke som ler på utsiden...
Og i barndommen... bare sola brøt gjennom fra himmelen
Og det glade hjertet smilte så mye...

Vi velger ut folk som bokhvete i Askepott...
Ta kontakt med alle du trenger... De som er ulønnsomme går til ovnen...
Og i barndommen trodde klar himmel på oss ...
Hvor er gleden fra lukten av ferskt brød?

Og nå kan vennskap kjøpes også...
Vi har laget det... Vi lever i en verden av pels og lær...
Og som barn reddet de en blanding fra et regnvær...
Og ved å gi lykke, mottok de den.

Vi har mistet oppriktighet og følsomhet gjennom årene...
Vi kom opp med grenser og rammer selv...
Har du en bolle og en krukke med kirsebærsyltetøy?
Så vær glad som faen!

Jeg ser på deg og skjønner at jeg fortsatt elsker deg. Denne kjærligheten er en kronisk sykdom de siste årene. Det bringer så uutholdelig smerte at jeg kaster meg over fullstendig fremmede, prøver å bli lurt av dem, med dem plutselig i disse omfavnelsene vil jeg finne selve smertestillende som ifølge eierne av rynkete hjerter ikke eksisterer i det hele tatt. Jeg forstår at jeg blir lurt, men jeg fortsetter likevel å klemme - jeg kan ikke ta livet av meg ellers, det gjør vondt, det plager, det lar meg ikke sove om natten, så jeg sitter i vinduskarmen og, om et minutt kommer jeg til å skrike hjerteskjærende av tortur av illusjoner. Bør jeg kontakte deg for å få hjelp? Ubrukelig. Du vet om min kjærlighet, men du trenger det ikke, "munnen din er full av uuttrykte følelser." Vi er i samme nett av uansvarlighet, men vi kan ikke hjelpe hverandre. Du legger hendene dine rundt de tynne hvite trådene og stengene og ser et sted utover virkelighetens grenser, i håp om at Gud vet hvem sin hjelp. Og det er bare én forskjell mellom oss: min kjærlighet til deg slo meg nesten opp av beina, og din kjærlighet til noen gir energi og gjenoppliver deg med forventning, om enn villedende. Jeg vil ikke se på deg lenger, jeg driver muligheten for deg ut av hjertet mitt, men dette gjør det enda mer smertefullt. Så han går gjennom lidelsesprosessen i en hvisking, også i håp om at Gud vet hvem sin hjelp. Tid?..

Livet ditt er en fullstendig løgn, porno, hverdagsliv, internettavhengighet og mobiltelefonslaveri. Vel, har jeg ikke rett? Si meg, har du noen gang gjort noe virkelig utenom det vanlige? Aldri. Og det kan du ikke. Vet du hvorfor? Fordi alt dette er utenfor din komfortsone. Du er pakket inn i det. Som i en polypropylenpose. Dere er kjøttstykker, klemt av hverdagens og jobbens rammer. Eller tar jeg feil? Kanskje jeg tar feil? Rett meg.
Kan du for eksempel gi mobiltelefonen din til den første personen du møter? EN? Vanskelig spørsmål. Kan du formatere skruen på datamaskinen din akkurat nå? Dum? Har du drite deg? Vet du hvorfor du ikke gjør dette? Fordi det er ensbetydende med selvmord. Du eksisterer ikke uten den.

Han har vært tjueåtte lange år, og dessuten tjueåtte vintre,

Han holdt på én hemmelighet og var en eksemplarisk ektemann i familien.
Alt så ut til å være som vanlig: min kone lagde middag...
Men plutselig skjedde det noe vondt: han husket hemmeligheten.
Til støyen og den sure lukten av kålsuppe, knurringen fra min forlovede om morgenen,
Han husket alt ned til minste detalj, som om det hadde skjedd i går...
...Hun satt ved vinduet, og det myke vidunderlige måneskinnet
Malte den vakre silhuetten hennes i bleke toner...
Tråder fløt over skuldrene, gled som slanger på brystet...
Og han tenkte overilet: «Jeg skal gifte meg med henne en dag!»
Han husket alt ned til minste detalj: kurvene på linjene, mykheten i leppene ...
Og varmen fra hennes enkle taler, og et enormt eiketre utenfor vinduet.
Et virvar av hender... En sammensmelting av kropper... En kaskade av brunt hår...
Og hvordan han ville ha henne til et punkt av vanvidd, til tårer!
En strøm av skjelvende tilståelser, hvordan han hvisket dem i øret mitt!
En morsom krøll over øret som skalv av pust...
Hun så på ham med øyne våte som natten.
Ordene var like berusende som vin: «Jeg elsker deg... Gi meg en datter...»
Om morgenen mistet han freden: han maset, så kjedet seg...
Så dekket han ansiktet med hånden, satte seg på en stol og var stille.
Kona mumlet, som alltid. Hun skjelte ut den løpske suppen...
Og han bemerket at årene ikke passet henne da hun ble eldre.
Akkurat som hvit farge og hårstrå ikke passer henne.
Og i tjueåtte år var ikke alt seriøst...
Plutselig spratt han opp, tok tak i frakken og glemte hatten og sokkene.
Alle tjueåtte år er ikke det samme... Alle tjueåtte vintre er melankolske.
Fant det huset. Huset har eiketre. Han løp opp trappene som en pil...
Jeg skulle ønske jeg kunne stoppe skjelvingen fra mine kalde lepper, og den ekle feigheten – bort!
Hun drikker sannsynligvis te og pakker seg inn i et sjal...
Og en stille tristhet strømmer fra hennes vakre øyne...
Eller kanskje hun begynte å strikke? Eller kanskje veve blonder?
Det er så mye å fortelle henne! Og det viktigste er å si - jeg beklager...
Hun åpnet døren... Det var et spørsmål i øynene hennes. Hun var tjue år igjen...
En kaskade av brunt hår... En silhuett som er kjent for hjertet...
Det er en liten krøll over øret... Som for mange år siden - akkurat det samme...
"Tar du ikke feil?" - Nei, jeg kunne ikke... Er du Anya? Hennes datter…"
"Og Anya?" - "Mamma er ikke lenger... Hvem er du?" Han snudde seg tilbake:
"Jeg gikk til henne i tjueåtte år..." - Hun ventet på deg... tjuefem...
Hvor svimmel... Hvordan hjertet mitt sank i brystet mitt!
Og han husket ordene hennes med en bønn: "Ikke gå!"
Han bøyde seg. Han trasket bort. Sammenfletting av hender... Sammenslåing av kropper...
Jeg elsker deg... Gi meg en datter... Men han ville virkelig ha en datter.
Så rart. Anya er ikke mer ... jeg gråt ... jeg kastet det inn i stillheten: "Jeg vil elske deg i mange, mange år ... Du alene ..."

P.S. TA VARE PÅ KJÆRLIGHETEN - det er grunnlaget for din lykke...