อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ คืออะไร? อาร์กแทนเจนต์ อาร์กโคแทนเจนต์ คืออะไร? อาร์กไซน์ สูตร กราฟของฟังก์ชันอาร์กไซน์ บทเรียนและการนำเสนอ นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "Arcsine ตารางส่วนโค้ง สูตร y=arcsin(x)"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

คู่มือและตัวจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10 จาก 1C
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"
เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานแบบโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ

เราจะศึกษาอะไร:
1. อาร์คไซน์คืออะไร?
2. สัญกรณ์อาร์กไซน์
3. ประวัติเล็กน้อย.
4. คำจำกัดความ

6. ตัวอย่าง.

อาร์คซีนคืออะไร?

พวกเราได้เรียนรู้วิธีแก้สมการโคไซน์ไปแล้ว ตอนนี้เรามาเรียนรู้วิธีแก้สมการที่คล้ายกันสำหรับไซน์กันดีกว่า พิจารณา บาป(x)= √3/2 ในการแก้สมการนี้ คุณต้องสร้างเส้นตรง y= √3/2 แล้วดูว่าจุดใดตัดกับวงกลมตัวเลข จะเห็นได้ว่าเส้นตรงตัดวงกลมที่จุด F และ G สองจุด จุดเหล่านี้จะเป็นคำตอบของสมการของเรา ลองกำหนด F ใหม่เป็น x1 และ G เป็น x2 กัน เราพบคำตอบของสมการนี้แล้วและได้: x1= π/3 + 2πk
และ x2= 2π/3 + 2πk

การแก้สมการนี้ค่อนข้างง่าย แต่จะแก้อย่างไร เช่น สมการ
บาป(x)= 5/6 แน่นอนว่าสมการนี้จะมีรากสองอันด้วย แต่ค่าใดจะสอดคล้องกับคำตอบของวงกลมตัวเลข? มาดูสมการของเรา sin(x)= 5/6 กันดีกว่า
การแก้สมการของเราจะเป็นสองจุด: F= x1 + 2πk และ G= x2 + 2πk
โดยที่ x1 คือความยาวของส่วนโค้ง AF, x2 คือความยาวของส่วนโค้ง AG
หมายเหตุ: x2= π - x1 เพราะ AF= เอซี - เอฟซี แต่เอฟซี= AG, AF= เอซี - AG= π - x1
แต่ประเด็นเหล่านี้คืออะไร?

เมื่อต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกัน นักคณิตศาสตร์จึงเกิดสัญลักษณ์ใหม่ขึ้นมา - arcsin(x) อ่านเป็นอาร์คซีน

จากนั้นคำตอบของสมการของเราจะเขียนได้ดังนี้: x1= อาร์คซิน(5/6), x2= π -อาร์คซิน(5/6)

และคำตอบในรูปแบบทั่วไป: x= อาร์คซิน(5/6) + 2πk และ x= π - อาร์คซิน(5/6) + 2πk
อาร์กไซน์คือมุม (ความยาวส่วนโค้ง AF, AG) ไซน์ ซึ่งเท่ากับ 5/6

ประวัติเล็กน้อยของอาร์คซีน

ประวัติความเป็นมาของต้นกำเนิดของสัญลักษณ์ของเรานั้นเหมือนกับของอาร์คคอสทุกประการ สัญลักษณ์อาร์คซินปรากฏครั้งแรกในผลงานของนักคณิตศาสตร์ Scherfer และนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง J.L. ลากรองจ์ ก่อนหน้านี้ D. Bernouli พิจารณาแนวคิดเรื่องอาร์คซีนแม้ว่าเขาจะเขียนด้วยสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันก็ตาม

สัญลักษณ์เหล่านี้เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปเมื่อปลายศตวรรษที่ 18 เท่านั้น คำนำหน้า "arc" มาจากภาษาละติน "arcus" (bow, arc) ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับความหมายของแนวคิดนี้: อาร์คซิน x คือมุม (หรือใครๆ ก็เรียกว่าส่วนโค้ง) ซึ่งไซน์มีค่าเท่ากับ x

ความหมายของอาร์คไซน์

ถ้า |a|≤ 1 แล้ว arcsin(a) จะเป็นตัวเลขจากเซกเมนต์ [- π/2; π/2] ซึ่งมีไซน์เท่ากับ a

ถ้า |a|≤ 1 ดังนั้นสมการ sin(x)= a มีคำตอบ: x= arcsin(a) + 2πk และ
x= π - ส่วนโค้ง(a) + 2πk

มาเขียนใหม่:

x= π - ส่วนโค้งซิน(a) + 2πk = -ส่วนโค้งซิน(a) + π(1 + 2k)

พวกคุณดูวิธีแก้ปัญหาทั้งสองของเราอย่างละเอียด คุณคิดอย่างไร: สามารถเขียนโดยใช้สูตรทั่วไปได้หรือไม่? โปรดทราบว่าหากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าอาร์คไซน์ π จะถูกคูณด้วยเลขคู่ 2πk และหากมีเครื่องหมายลบ ตัวคูณจะเป็นเลขคี่ 2k+1
เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจึงเขียนสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการ sin(x)=a:

มีสามกรณีที่ควรเขียนวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีที่ง่ายกว่า:

บาป(x)=0 จากนั้น x= πk

บาป(x)=1 จากนั้น x= π/2 + 2πk

sin(x)=-1 จากนั้น x= -π/2 + 2πk

สำหรับ -1 ≤ a ≤ 1 ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่: arcsin(-a)=-arcsin(a)

ลองเขียนตารางค่าโคไซน์แบบย้อนกลับและรับตารางสำหรับอาร์คไซน์

ตัวอย่าง

1. คำนวณ: อาร์คซิน(√3/2)
วิธีแก้: ให้อาร์คซิน(√3/2)= x แล้วก็บาป(x)= √3/2 ตามคำนิยาม: - π/2 ≤x≤ π/2 ลองดูค่าไซน์ในตาราง: x= π/3 เพราะ บาป(π/3)= √3/2 และ –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2
คำตอบ: อาร์คซิน(√3/2)= π/3

2. คำนวณ: อาร์คซิน (-1/2)
คำตอบ: ให้อาร์คซิน(-1/2)= x แล้วบาป(x)= -1/2 ตามคำนิยาม: - π/2 ≤x≤ π/2 ลองดูค่าไซน์ในตาราง: x= -π/6 เพราะ บาป(-π/6)= -1/2 และ -π/2 ≤-π/6≤ π/2
คำตอบ: อาร์คซิน(-1/2)=-π/6

3. คำนวณ: อาร์คซิน (0)
วิธีแก้: ให้อาร์คซิน(0)= x แล้วบาป(x)= 0 ตามนิยาม: - π/2 ≤x≤ π/2 ลองดูค่าของไซน์ในตาราง: มันหมายถึง x= 0 เพราะ บาป(0)= 0 และ - π/2 ≤ 0 ≤ π/2 คำตอบ: อาร์คซิน(0)=0

4. แก้สมการ: sin(x) = -√2/2
x= ส่วนโค้ง(-√2/2) + 2πk และ x= π - ส่วนโค้ง(-√2/2) + 2πk
ลองดูค่าในตาราง: อาร์คซิน (-√2/2)= -π/4
คำตอบ: x= -π/4 + 2πk และ x= 5π/4 + 2πk

5. แก้สมการ: sin(x) = 0
วิธีแก้ไข: ลองใช้คำจำกัดความ แล้วคำตอบจะเขียนอยู่ในรูปแบบ:
x= ส่วนโค้งซิน(0) + 2πk และ x= π - ส่วนโค้งซิน(0) + 2πk ลองดูค่าในตาราง: arcsin(0)= 0
คำตอบ: x= 2πk และ x= π + 2πk

6. แก้สมการ: sin(x) = 3/5
วิธีแก้ไข: ลองใช้คำจำกัดความ แล้วคำตอบจะเขียนอยู่ในรูปแบบ:
x= ส่วนโค้ง(3/5) + 2πk และ x= π - ส่วนโค้ง(3/5) + 2πk
คำตอบ: x= (-1) n - อาร์คซิน(3/5) + πk

7. แก้อสมการ sin(x) วิธีแก้ปัญหา: ไซน์คือพิกัดของจุดบนวงกลมจำนวน ซึ่งหมายความว่า: เราจำเป็นต้องค้นหาจุดที่มีพิกัดน้อยกว่า 0.7 ลองวาดเส้นตรง y=0.7 ตัดกันวงกลมตัวเลขที่จุดสองจุด อสมการ y จากนั้นคำตอบของอสมการจะเป็น: -π – arcsin(0.7) + 2πk

ปัญหาอาร์คไซน์สำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ

1) คำนวณ: a) อาร์คซิน(√2/2), b) อาร์คซิน(1/2), c) อาร์กซิน(1), d) อาร์คซิน(-0.8)
2) แก้สมการ: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0.25,
จ) บาป(x) = -1.2
3) แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) บาป (x)> 0.6, ข) บาป (x)≤ 1/2

อาร์คไซน์ (y = อาร์คซิน x) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ (x = บาป -1 ≤ x ≤ 1และเซตของค่า -π /2 ≤ y ≤ π/2.
บาป(อาร์กซิน x) = x
อาร์คซิน(บาป x) = x

อาร์คไซน์บางครั้งแสดงดังนี้:
.

กราฟของฟังก์ชันอาร์คไซน์

กราฟของฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

กราฟอาร์คไซน์จะได้มาจากกราฟไซน์ถ้าสลับแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด เพื่อขจัดความคลุมเครือ ช่วงของค่าจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก คำจำกัดความนี้เรียกว่าค่าหลักของอาร์คไซน์

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

อาร์คโคไซน์ (y = อาร์คคอส x) คือฟังก์ชันผกผันของโคไซน์ (x = อบอุ่นสบาย). มันมีขอบเขต -1 ≤ x ≤ 1และความหมายมากมาย 0 ≤ y ≤ π.
cos(อาร์คคอส x) = x
ส่วนโค้ง(cos x) = x

อาร์คโคซีนบางครั้งแสดงดังนี้:
.

กราฟของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์

กราฟของฟังก์ชัน y = อาร์คคอส x

กราฟอาร์คโคไซน์จะได้มาจากกราฟโคไซน์ ถ้าสลับแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด เพื่อขจัดความคลุมเครือ ช่วงของค่าจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก คำจำกัดความนี้เรียกว่าค่าหลักของอาร์คโคไซน์

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันอาร์คไซน์เป็นเลขคี่:
อาร์คซิน(- x) = อาร์คซิน(-ซิน อาร์คซิน x) = อาร์คซิน(บาป(-อาร์คซิน x)) = - อาร์คซิน x

ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ไม่เป็นคู่หรือคี่:
อาร์คคอส(- x) = อาร์คคอส(-cos อาร์คคอส x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - ส่วนโค้ง x ≠ ± ส่วนโค้ง x

คุณสมบัติ - สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันอาร์กไซน์และอาร์กโคไซน์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของอาร์คไซน์และอาร์คโคซีนแสดงอยู่ในตาราง

	ย = อาร์คซิน x	ย = อาร์คคอส x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
ช่วงของค่า
จากน้อยไปมากจากมากไปน้อย	เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ	ลดลงอย่างน่าเบื่อ
เสียงสูง
ขั้นต่ำ
ศูนย์, y = 0	x= 0	x= 1
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	ย = π/ 2

ตารางอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์

ตารางนี้แสดงค่าของอาร์กไซน์และอาร์กโคไซน์ในหน่วยองศาและเรเดียนสำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์

x	อาร์คซิน x		อาร์คคอส x
	ลูกเห็บ	ยินดี.	ลูกเห็บ	ยินดี.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

สูตร

สูตรผลรวมและผลต่าง

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่

ที่

นิพจน์ผ่านลอการิทึม จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

อนุพันธ์

;
.
ดูที่มาของอาร์คไซน์และอนุพันธ์อาร์คโคไซน์ > > >

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น:
,
พหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน . ถูกกำหนดโดยสูตร:
;
;
.

ดูที่มาของอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์ > > >

ปริพันธ์

เราทำการทดแทน x = บาป. เราอินทิเกรตทีละส่วน โดยคำนึงถึงว่า -π/ 2 ≤ เสื้อ ≤ π/2, เพราะเสื้อ ≥ 0:
.

ลองแสดงอาร์คโคไซน์ผ่านอาร์คไซน์:
.

การขยายซีรีส์

เมื่อ |x|< 1 การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:
;
.

ฟังก์ชันผกผัน

ส่วนผกผันของอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์คือไซน์และโคไซน์ตามลำดับ

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ:
บาป(อาร์กซิน x) = x
cos(อาร์คคอส x) = x .

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้เฉพาะกับชุดของค่าอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์เท่านั้น:
อาร์คซิน(บาป x) = xที่
ส่วนโค้ง(cos x) = xที่ .

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ คืออะไร? อาร์กแทนเจนต์ อาร์กโคแทนเจนต์ คืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

สู่แนวความคิด อาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์, อาร์กแทนเจนต์, อาร์กโคแทนเจนต์ ประชากรนักศึกษาระมัดระวัง เขาไม่เข้าใจข้อกำหนดเหล่านี้ดังนั้นจึงไม่ไว้วางใจครอบครัวที่น่ารักนี้) แต่ก็เปล่าประโยชน์ นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ซึ่งทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมากสำหรับผู้ที่มีความรู้เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ!

สงสัยเรื่องความเรียบง่าย? เปล่าประโยชน์) ที่นี่และตอนนี้คุณจะเห็นสิ่งนี้

แน่นอนว่า เพื่อความเข้าใจ คงจะดีถ้ารู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร ใช่ ค่าแบบตารางสำหรับบางมุม... อย่างน้อยก็ในแง่ทั่วไปที่สุด จากนั้นจะไม่มีปัญหาที่นี่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงแปลกใจ แต่จำไว้ว่า: อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์เป็นเพียงบางมุมไม่มากไม่น้อย. มีมุมพูดว่า 30° และมีมุมหนึ่ง อาร์คซิน0.4. หรือ อาร์คจี(-1.3) มุมมีหลายประเภท) คุณสามารถเขียนมุมได้หลายวิธี คุณสามารถเขียนมุมเป็นองศาหรือเรเดียนได้ หรือคุณสามารถ - ผ่านไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมัน...

การแสดงออกหมายถึงอะไร

อาร์คซิน 0.4 ?

นี่คือมุมที่มีไซน์เป็น 0.4! ใช่ ๆ. นี่คือความหมายของอาร์คซีน ฉันจะทำซ้ำโดยเฉพาะ: อาร์คซิน 0.4 คือมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.4

นั่นคือทั้งหมดที่

เพื่อให้ความคิดง่ายๆ นี้อยู่ในหัวของคุณเป็นเวลานาน ฉันจะแจกแจงคำศัพท์ที่น่ากลัวนี้ - อาร์คไซน์:

ส่วนโค้ง บาป 0,4
มุม, ไซน์ของสิ่งนั้น เท่ากับ 0.4

ตามที่เขียนไว้ก็ได้ยินอย่างนั้น) เกือบแล้ว คอนโซล ส่วนโค้งวิธี ส่วนโค้ง(คำ โค้งคุณรู้ไหม?) เพราะ คนโบราณใช้ส่วนโค้งแทนมุม แต่ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของเรื่อง จำการถอดรหัสคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์เบื้องต้นนี้ไว้! นอกจากนี้ สำหรับอาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ การถอดรหัสจะแตกต่างกันเฉพาะในชื่อของฟังก์ชันเท่านั้น

อาร์คคอส 0.8 คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีโคไซน์เป็น 0.8

arctg(-1,3) คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีแทนเจนต์เป็น -1.3

arcctg 12 คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีโคแทนเจนต์เป็น 12

การถอดรหัสเบื้องต้นดังกล่าวช่วยให้สามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดครั้งใหญ่ได้) ตัวอย่างเช่นนิพจน์ arccos1,8 ดูค่อนข้างน่านับถือ มาเริ่มถอดรหัสกัน: arccos1.8 คือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 1.8... Jump-jump!? 1.8!? โคไซน์ต้องไม่มากกว่า 1!!!

ขวา. นิพจน์ arccos1,8 ไม่สมเหตุสมผล และการเขียนสำนวนเช่นนี้ในคำตอบบางข้อจะทำให้ผู้ตรวจสอบสนุกสนานอย่างมาก)

อย่างที่คุณเห็นในระดับประถมศึกษา) แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์ส่วนตัวของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นของตัวเอง ดังนั้นเมื่อทราบฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เราก็สามารถเขียนมุมลงไปได้ นี่คือสิ่งที่อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์มีไว้สำหรับ ต่อไปนี้ฉันจะเรียกทั้งครอบครัวนี้ด้วยชื่อจิ๋ว - ส่วนโค้งให้พิมพ์น้อยลง)

ความสนใจ! วาจาเบื้องต้นและ มีสติการถอดรหัสส่วนโค้งช่วยให้คุณแก้ไขงานต่างๆได้อย่างใจเย็นและมั่นใจ และใน ผิดปกติมีเพียงเธอเท่านั้นที่บันทึกงาน

เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนจากส่วนโค้งเป็นองศาหรือเรเดียนธรรมดา?- ฉันได้ยินคำถามที่ระมัดระวัง)

ทำไมจะไม่ล่ะ!? อย่างง่ายดาย. คุณสามารถไปที่นั่นและกลับได้ นอกจากนี้บางครั้งก็ต้องทำสิ่งนี้ ส่วนโค้งเป็นสิ่งที่เรียบง่าย แต่ถ้าไม่มีมันก็จะสงบกว่าใช่ไหม?)

ตัวอย่างเช่น: arcsin 0.5 คืออะไร?

จำการถอดรหัส: อาร์คซิน 0.5 คือมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.5ตอนนี้เปิดหัวของคุณ (หรือ Google)) แล้วจำได้ไหมว่ามุมใดมีไซน์เท่ากับ 0.5? ไซน์เท่ากับ 0.5 y มุม 30 องศา. แค่นั้นแหละ: อาร์คซิน 0.5 คือมุม 30°คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

อาร์คซิน 0.5 = 30°

หรืออย่างเป็นทางการมากขึ้นในแง่ของเรเดียน:

เพียงเท่านี้ คุณก็สามารถลืมอาร์คไซน์แล้วทำงานต่อโดยใช้องศาหรือเรเดียนตามปกติได้

ถ้าคุณตระหนัก อาร์คไซน์คืออะไร อาร์คโคไซน์... อาร์กแทนเจนต์คืออะไร อาร์คโคแทนเจนต์...คุณสามารถจัดการกับสัตว์ประหลาดเช่นนี้ได้อย่างง่ายดาย)

คนโง่จะถอยกลับด้วยความสยดสยอง ใช่...) แต่คนมีความรู้ จำการถอดรหัส:อาร์คไซน์คือมุมที่มีไซน์... และอื่นๆ ถ้าผู้มีความรู้รู้ตารางไซน์ด้วย... ตารางโคไซน์ ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ก็ไม่มีปัญหาแต่อย่างใด!

ก็เพียงพอที่จะตระหนักว่า:

ฉันจะถอดรหัสมันนั่นคือ ให้ฉันแปลสูตรเป็นคำ: มุมที่มีแทนเจนต์เป็น 1 (arctg1)- นี่คือมุม 45° หรือซึ่งเหมือนกันคือ ไพ/4 เช่นเดียวกัน:

เท่านี้ก็เรียบร้อย... เราแทนที่ส่วนโค้งทั้งหมดด้วยค่าเรเดียน ทุกอย่างลดลง ที่เหลือก็แค่คำนวณว่า 1+1 เป็นเท่าใด จะเป็น 2.) ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

นี่คือวิธีที่คุณสามารถ (และควร) ย้ายจากอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ไปเป็นองศาและเรเดียนธรรมดา สิ่งนี้ทำให้ตัวอย่างที่น่ากลัวง่ายขึ้นมาก!

บ่อยครั้งในตัวอย่างนี้จะมีอยู่ภายในส่วนโค้ง เชิงลบความหมาย เช่น arctg(-1.3) หรือ เช่น arccos(-0.8)... นี่ไม่ใช่ปัญหา ต่อไปนี้เป็นสูตรง่ายๆ ในการย้ายจากค่าลบไปเป็นค่าบวก:

คุณต้องพูดเพื่อกำหนดค่าของนิพจน์:

ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ แต่คุณคงไม่อยากวาดมัน โอเค. เราย้ายจาก เชิงลบค่าภายในโคไซน์ส่วนโค้งของ k เชิงบวกตามสูตรที่สอง:

ภายในอาร์คโคไซน์ทางขวาอยู่แล้ว เชิงบวกความหมาย. อะไร

คุณก็ต้องรู้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่เรเดียนแทนอาร์คโคไซน์แล้วคำนวณคำตอบ:

นั่นคือทั้งหมดที่

ข้อจำกัดของอาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์, อาร์กแทนเจนต์, อาร์กโคแทนเจนต์

มีปัญหากับตัวอย่างที่ 7 - 9 หรือไม่? ใช่แล้ว มีเคล็ดลับบางอย่างอยู่ที่นั่น)

ตัวอย่างทั้งหมดนี้ตั้งแต่ข้อ 1 ถึงข้อ 9 มีการวิเคราะห์อย่างละเอียดในมาตรา 555 อะไร อย่างไร และเพราะเหตุใด ด้วยกับดักและลูกเล่นที่เป็นความลับทั้งหมด พร้อมวิธีอื่นๆ ที่ทำให้โซลูชันง่ายขึ้นอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ในส่วนนี้ประกอบด้วยข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมายและเคล็ดลับเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับตรีโกณมิติโดยทั่วไป และไม่ใช่แค่ในตรีโกณมิติเท่านั้น ช่วยได้มาก.

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชัน sin, cos, tg และ ctg มักจะมาพร้อมกับอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันหนึ่งเป็นผลมาจากอีกฟังก์ชันหนึ่ง และคู่ของฟังก์ชันก็มีความสำคัญพอๆ กันสำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ

พิจารณาการวาดวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบกราฟิก

หากเราคำนวณส่วนโค้ง OA, arcos OC, arctg DE และ arcctg MK แล้วพวกมันทั้งหมดจะเท่ากับค่าของมุม α สูตรด้านล่างสะท้อนถึงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานกับส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน

เพื่อให้เข้าใจถึงคุณสมบัติของอาร์คไซน์มากขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาหน้าที่ของมันด้วย กำหนดการ มีรูปแบบเส้นโค้งไม่สมมาตรผ่านจุดศูนย์กลางพิกัด

คุณสมบัติของอาร์คซีน:

หากเราเปรียบเทียบกราฟ บาปและ อาร์คซินฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันสามารถมีรูปแบบที่เหมือนกันได้

โคไซน์ส่วนโค้ง

ส่วนโค้งของตัวเลขคือค่าของมุม α ซึ่งมีโคไซน์เท่ากับ a

เส้นโค้ง y = ส่วนโค้ง xสะท้อนกราฟอาร์คซิน x โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือกราฟนี้ผ่านจุด π/2 บนแกน OY

ลองดูฟังก์ชันอาร์คโคไซน์โดยละเอียด:

ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [-1; 1].
ODZ สำหรับ arccos - .
กราฟจะอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งและไตรมาสที่สองทั้งหมด และฟังก์ชันนั้นไม่เป็นคู่หรือคี่
Y = 0 ที่ x = 1
เส้นโค้งจะลดลงตามความยาวทั้งหมด คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์ตรงกับฟังก์ชันโคไซน์

คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์ตรงกับฟังก์ชันโคไซน์

บางทีเด็กนักเรียนอาจพบว่าการศึกษา "ส่วนโค้ง" แบบ "ละเอียด" เช่นนี้ไม่จำเป็น อย่างไรก็ตาม ไม่เช่นนั้น งานสอบมาตรฐานระดับประถมศึกษาบางงานอาจทำให้นักเรียนเข้าสู่ทางตันได้

แบบฝึกหัดที่ 1ระบุฟังก์ชั่นที่แสดงในภาพ

คำตอบ:ข้าว. 1 – 4, รูปที่ 2 – 1.

ในตัวอย่างนี้ เน้นที่สิ่งเล็กๆ น้อยๆ โดยปกติแล้ว นักเรียนจะไม่สนใจการสร้างกราฟและรูปลักษณ์ของฟังก์ชันมากนัก เหตุใดจึงต้องจำประเภทของเส้นโค้งหากสามารถพล็อตโดยใช้จุดที่คำนวณได้เสมอ อย่าลืมว่าภายใต้เงื่อนไขการทดสอบจะต้องใช้เวลาในการวาดภาพสำหรับงานง่ายๆ เพื่อแก้ไขงานที่ซับซ้อนมากขึ้น

อาร์คแทนเจนต์

อาร์คท์จีตัวเลข a คือค่าของมุม α โดยที่แทนเจนต์ของมุมนั้นเท่ากับ a

หากเราพิจารณากราฟอาร์กแทนเจนต์ เราสามารถเน้นคุณสมบัติต่อไปนี้:

กราฟไม่มีที่สิ้นสุดและกำหนดไว้ในช่วงเวลา (- ∞; + ∞)
อาร์กแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น อาร์กแทน (- x) = - อาร์กแทน x
Y = 0 ที่ x = 0
เส้นโค้งจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

ให้เรานำเสนอการวิเคราะห์เปรียบเทียบโดยย่อของ tg x และ arctg x ในรูปแบบของตาราง

อาร์คโคแทนเจนต์

ส่วนโค้งของตัวเลข - รับค่า α จากช่วง (0; π) โดยที่โคแทนเจนต์ของมันเท่ากับ a

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์:

ช่วงคำจำกัดความของฟังก์ชันคืออนันต์
ช่วงของค่าที่ยอมรับได้คือช่วง (0; π)
F(x) ไม่เป็นคู่หรือคี่
กราฟของฟังก์ชันจะลดลงตลอดความยาวทั้งหมด

การเปรียบเทียบ ctg x และ arctg x นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องสร้างภาพวาดสองภาพและอธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้ง

ภารกิจที่ 2จับคู่กราฟและรูปแบบสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน

หากเราคิดอย่างมีเหตุผล จากกราฟจะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันทั้งสองเพิ่มขึ้น ดังนั้นตัวเลขทั้งสองจึงแสดงฟังก์ชันอาร์คแทนที่แน่นอน จากคุณสมบัติของอาร์กแทนเจนต์ เป็นที่ทราบกันว่า y=0 ที่ x = 0

คำตอบ:ข้าว. 1 – 1, รูปที่. 2 – 4.

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ arcsin, arcos, arctg และ arcctg

ก่อนหน้านี้ เราได้ระบุความสัมพันธ์ระหว่างส่วนโค้งและฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติแล้ว การพึ่งพานี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตรจำนวนหนึ่งที่อนุญาตให้แสดงได้ เช่น ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ผ่านอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ หรือในทางกลับกัน ความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ดังกล่าวจะมีประโยชน์เมื่อแก้ไขตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์สำหรับ arctg และ arcctg:

สูตรที่มีประโยชน์อีกคู่หนึ่งจะตั้งค่าสำหรับผลรวมของอาร์คซินและอาร์คอส รวมถึงค่าอาร์คต์จีและอาร์ซีทีจีที่มีมุมเดียวกัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งานตรีโกณมิติสามารถแบ่งออกเป็นสี่กลุ่ม: คำนวณค่าตัวเลขของนิพจน์เฉพาะ สร้างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความหรือ ODZ และดำเนินการแปลงเชิงวิเคราะห์เพื่อแก้ตัวอย่าง

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทแรก คุณต้องปฏิบัติตามแผนปฏิบัติการต่อไปนี้:

เมื่อทำงานกับกราฟฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติและลักษณะของกราฟ การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการต้องใช้ตารางข้อมูลประจำตัว ยิ่งนักเรียนจำสูตรได้มากเท่าใด ก็จะยิ่งค้นหาคำตอบของงานได้ง่ายขึ้นเท่านั้น

สมมติว่าใน Unified State Examination คุณต้องค้นหาคำตอบสำหรับสมการ เช่น:

หากคุณแปลงนิพจน์ได้อย่างถูกต้องและนำไปเป็นรูปแบบที่ต้องการการแก้ไขจะง่ายและรวดเร็วมาก ก่อนอื่น ลองย้ายอาร์คซิน x ไปทางด้านขวาของค่าเท่ากัน

หากจำสูตรได้ อาร์คซิน (บาป α) = αจากนั้นเราสามารถลดการค้นหาคำตอบในการแก้ระบบสมการสองสมการได้:

ข้อจำกัดของโมเดล x เกิดขึ้นอีกครั้งจากคุณสมบัติของอาร์กซิน: ODZ สำหรับ x [-1; 1]. เมื่อ ≠0 ส่วนหนึ่งของระบบคือสมการกำลังสองที่มีราก x1 = 1 และ x2 = - 1/a เมื่อ a = 0 x จะเท่ากับ 1

บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ การค้นหาค่าของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์หมายเลขที่กำหนด ก่อนอื่นเราจะอธิบายสิ่งที่เรียกว่าความหมายของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ต่อไปเราจะรับค่าหลักของฟังก์ชันส่วนโค้งเหล่านี้หลังจากนั้นเราจะเข้าใจว่าค่าของอาร์กไซน์, โคไซน์อาร์ค, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์นั้นพบได้อย่างไรโดยใช้ตารางของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และแบรดิส โคแทนเจนต์ สุดท้ายนี้ เรามาพูดถึงการค้นหาอาร์คไซน์ของตัวเลขเมื่อทราบอาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ หรืออาร์คโคแทนเจนต์ของตัวเลขนี้ ฯลฯ

การนำทางหน้า

ค่าอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์

ก่อนอื่น ควรทำความเข้าใจก่อนว่า "สิ่งนี้" แท้จริงแล้วคืออะไร ความหมายของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์».

ตารางไซน์และโคไซน์ของ Bradis รวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณค้นหาค่าของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ของจำนวนบวกในหน่วยองศาด้วยความแม่นยำหนึ่งนาที ที่นี่เป็นที่น่าสังเกตว่าการค้นหาค่าของอาร์คไซน์, อาร์คโคซีน, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ของจำนวนลบสามารถลดลงเพื่อค้นหาค่าของอาร์กฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของจำนวนบวกโดยหันไปใช้สูตร arcsin, arccos, arctg และ arcctg ของจำนวนตรงข้ามของรูปแบบ arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a และ arcctg(−a)=π−arcctg a

เรามาดูวิธีการค้นหาค่าของอาร์กไซน์, อาร์คโคซีน, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์โดยใช้ตาราง Bradis เราจะทำเช่นนี้ด้วยตัวอย่าง

ให้เราต้องหาค่าอาร์คไซน์ 0.2857 เราพบค่านี้ในตารางไซน์ (กรณีที่ค่านี้ไม่ได้อยู่ในตารางจะมีการหารือด้านล่าง) สอดคล้องกับไซน์ 16 องศา 36 นาที ดังนั้น ค่าอาร์คไซน์ที่ต้องการของเลข 0.2857 จึงเป็นมุม 16 องศา 36 นาที

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องคำนึงถึงการแก้ไขจากสามคอลัมน์ทางด้านขวาของตาราง เช่น หากเราต้องการหาอาร์คไซน์ของ 0.2863 ตามตารางไซน์ ค่านี้ได้เป็น 0.2857 บวกการแก้ไข 0.0006 นั่นคือค่า 0.2863 สอดคล้องกับไซน์ 16 องศา 38 นาที (16 องศา 36 นาทีบวกการแก้ไข 2 นาที)

หากตัวเลขที่เราสนใจอาร์กไซน์ไม่ได้อยู่ในตารางและไม่สามารถรับได้โดยคำนึงถึงการแก้ไขด้วยซ้ำในตารางเราจำเป็นต้องค้นหาค่าสองค่าของไซน์ที่ใกล้เคียงที่สุดซึ่งระหว่างนั้นตัวเลขนี้จะถูกล้อมรอบ ตัวอย่างเช่น เรากำลังมองหาค่าอาร์คไซน์เท่ากับ 0.2861573 หมายเลขนี้ไม่ได้อยู่ในตาราง และไม่สามารถรับหมายเลขนี้ได้โดยใช้การแก้ไขเช่นกัน จากนั้นเราจะพบค่าที่ใกล้เคียงที่สุดสองค่า 0.2860 และ 0.2863 ซึ่งอยู่ระหว่างนั้นโดยปิดหมายเลขเดิมไว้ ตัวเลขเหล่านี้สอดคล้องกับไซน์ของ 16 องศา 37 นาที และ 16 องศา 38 นาที ค่าอาร์กไซน์ที่ต้องการคือ 0.2861573 อยู่ระหว่างค่าเหล่านั้น นั่นคือค่ามุมใดๆ เหล่านี้สามารถใช้เป็นค่าอาร์กไซน์โดยประมาณด้วยความแม่นยำ 1 นาที

ค่าโคไซน์ส่วนโค้งค่าส่วนโค้งแทนเจนต์และค่าส่วนโค้งโคแทนเจนต์นั้นพบในลักษณะเดียวกันอย่างแน่นอน (ในกรณีนี้แน่นอนว่าจะใช้ตารางโคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามลำดับ)

ค้นหาค่าของ arcsin โดยใช้ arccos, arctg, arcctg ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น บอกให้เราทราบว่า arcsin a=−π/12 และเราต้องค้นหาค่าของ arccos a เราคำนวณค่าอาร์คโคไซน์ที่เราต้องการ: ส่วนโค้ง a=π/2−ส่วนโค้ง a=π/2−(−π/12)=7π/12.

สถานการณ์จะน่าสนใจกว่ามาก เมื่อต้องใช้ค่าที่ทราบของอาร์คไซน์หรืออาร์คโคไซน์ของตัวเลข a คุณจำเป็นต้องค้นหาค่าของอาร์กแทนเจนต์หรืออาร์กโคแทนเจนต์ของตัวเลข a หรือในทางกลับกัน ขออภัย เราไม่ทราบสูตรที่กำหนดการเชื่อมต่อดังกล่าว จะเป็นอย่างไร? มาทำความเข้าใจเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

บอกให้เราทราบว่าอาร์คโคไซน์ของจำนวน a เท่ากับ π/10 และเราต้องคำนวณค่าอาร์กแทนเจนต์ของจำนวน a นี้ คุณสามารถแก้ปัญหาได้ดังนี้: ใช้ค่าที่ทราบของโคไซน์ส่วนโค้ง หาตัวเลข a แล้วหาค่าแทนเจนต์ส่วนโค้งของตัวเลขนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องมีตารางโคไซน์ก่อน แล้วตามด้วยตารางแทนเจนต์

มุม π/10 เรเดียนคือมุม 18 องศา จากตารางโคไซน์ เราพบว่าโคไซน์ของ 18 องศามีค่าประมาณเท่ากับ 0.9511 จากนั้นตัวเลข a ในตัวอย่างของเราคือ 0.9511

ยังคงต้องหันไปที่ตารางแทนเจนต์ และด้วยความช่วยเหลือในการหาค่าอาร์กแทนเจนต์ที่เราต้องการ 0.9511 จะเท่ากับประมาณ 43 องศา 34 นาที

หัวข้อนี้ต่อเนื่องจากเนื้อหาในบทความ การประเมินค่าของนิพจน์ที่มี arcsin, arccos, arctg และ arcctg.

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - M.: การศึกษา, 1990. - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
I.V. Boykov, L.D. Romanova รวบรวมปัญหาการเตรียมตัวสอบ Unified State ตอนที่ 1 Penza 2003
แบรดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: เพื่อการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ฉบับที่ 2 - อ.: อีแร้ง, 2542.- 96 หน้า: ป่วย ไอ 5-7107-2667-2