Farklı olanlarla kesirler nasıl eklenir? Farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplanması ve çıkarılması (temel kurallar, en basit durumlar)

Kesirli eylemler. Bu yazımızda örneklere, her şeye detaylı bir şekilde açıklamalarla bakacağız. Sıradan kesirleri ele alacağız. Ondalık sayılara daha sonra bakacağız. Tamamını izleyip sırayla incelemenizi tavsiye ederim.

1. Kesirlerin toplamı, kesirlerin farkı.

Kural: Paydaları eşit olan kesirler eklenirken sonuç bir kesirdir - paydası aynı kalır ve payı kesirlerin paylarının toplamına eşit olacaktır.
Kural: Kesirlerin farkını hesaplarken aynı paydalar bir kesir elde ederiz - payda aynı kalır ve ikincinin payı, ilk kesrin payından çıkarılır.

Paydaları eşit olan kesirlerin toplamı ve farkının biçimsel gösterimi:

Örnekler (1):

Sıradan kesirler verildiğinde her şeyin basit olduğu açıktır, peki ya karıştırılırsa? Karmaşık bir şey yok...

Seçenek 1– bunları sıradan olanlara dönüştürebilir ve daha sonra hesaplayabilirsiniz.

Seçenek 2– tamsayı ve kesirli kısımlarla ayrı ayrı “çalışabilirsiniz”.

Örnekler (2):

Daha fazla:

Ve eğer ikisinin farkı verilirse karışık kesirler ve ilk kesrin payı ikincinin payından küçük mü olacak? Ayrıca iki şekilde hareket edebilirsiniz.

Örnekler (3):

*Adi kesirlere dönüştürüldü, fark hesaplandı, elde edilen bileşik kesir karışık kesire dönüştürüldü.

*Tamsayı ve kesirli parçalara ayırdık, üç elde ettik, sonra 3'ü 2 ve 1'in toplamı olarak, biri de 11/11 olarak sunduk, sonra 11/11 ile 7/11 arasındaki farkı bulup sonucu hesapladık. . Yukarıdaki dönüşümlerin anlamı, bir birimi alıp (seçmek) ve onu ihtiyacımız olan paydaya sahip bir kesir şeklinde sunmak, ardından bu kesirden bir başkasını çıkarabiliriz.

Başka bir örnek:

Sonuç: evrensel bir yaklaşım vardır - eşit paydalara sahip karışık kesirlerin toplamını (farkını) hesaplamak için, bunlar her zaman uygunsuz olanlara dönüştürülebilir ve ardından gerekli işlemi gerçekleştirebilir. Bundan sonra sonuç bileşik kesir ise, bunu karışık kesire dönüştürüyoruz.

Yukarıda paydaları eşit olan kesirlerin örneklerine baktık. Paydalar farklıysa ne olur? Bu durumda kesirler aynı paydaya indirgenir ve belirtilen işlem gerçekleştirilir. Bir kesri değiştirmek (dönüştürmek) için kesrin temel özelliği kullanılır.

Basit örneklere bakalım:

Bu örneklerde, kesirlerden birinin paydaları eşit olacak şekilde nasıl dönüştürülebileceğini hemen görüyoruz.

Kesirleri aynı paydaya indirmenin yollarını belirlersek, buna adını vereceğiz. BİRİNCİ YÖNTEM.

Yani, bir kesri "tahmin ederken" hemen bu yaklaşımın işe yarayıp yaramayacağını bulmanız gerekir - büyük paydanın küçük olana bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz. Ve eğer bölünebilirse, dönüşümü gerçekleştiririz - her iki kesrin paydaları eşit olacak şekilde pay ve paydayı çarparız.

Şimdi şu örneklere bakın:

Bu yaklaşım onlar için geçerli değildir. Kesirleri ortak paydaya indirmenin yolları da var;

İKİNCİ Yöntem.

Birinci kesrin payını ve paydasını ikincinin paydasıyla, ikinci kesrin payını ve paydasını birincinin paydasıyla çarpıyoruz:

*Aslında paydalar eşitlendiğinde kesirleri azaltıyoruz. Daha sonra, eşit paydalara sahip kesirleri toplama kuralını kullanıyoruz.

Örnek:

*Bu yöntem evrensel olarak adlandırılabilir ve her zaman işe yarar. Tek dezavantajı, hesaplamalardan sonra daha da azaltılması gereken bir kesirle karşılaşabilmenizdir.

Bir örneğe bakalım:

Pay ve paydanın 5'e bölünebildiği görülebilir:

Yöntem ÜÇ.

Paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmanız gerekir. Olacak olan bu ortak payda. Bu nasıl bir sayı? Bu, sayıların her birine bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

Bakın, işte iki sayı: 3 ve 4, onlara bölünebilen birçok sayı var - bunlar 12, 24, 36, ... Bunlardan en küçüğü 12. Veya 6 ve 15, 30'a bölünüyorlar, 60, 90 .... En küçüğü 30'dur. Soru şu: Bu en küçük ortak katı nasıl belirleyeceğiz?

Net bir algoritma var, ancak çoğu zaman bu, hesaplamalar yapılmadan hemen yapılabilir. Örneğin yukarıdaki örneklere göre (3 ve 4, 6 ve 15) herhangi bir algoritmaya gerek yok, büyük sayıları (4 ve 15) aldık, ikiye katladık ve bunların ikinci sayıya bölünebildiğini gördük, ancak sayı çiftleri bölünebilir. diğerleri olsun, örneğin 51 ve 119.

Algoritma. Birkaç sayının en küçük ortak katını belirlemek için şunları yapmalısınız:

- her sayıyı BASİT faktörlere ayırın

— BÜYÜK olanın ayrışmasını yazın

- diğer sayıların EKSİK faktörleriyle çarpın

Örneklere bakalım:

50 ve 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

ayrışmada Daha bir beş eksik

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 ve 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

Daha büyük bir sayının açılımında iki ve üç eksik

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

*İki asal sayının en küçük ortak katı çarpımlarıdır

Soru! İkinci yöntemi kullanabildiğinize ve sonuçta ortaya çıkan kesri basitçe azaltabildiğinize göre, en az ortak katı bulmak neden faydalıdır? Evet mümkündür, ancak her zaman uygun değildir. 48∙72 = 3456 ile çarparsanız 48 ve 72 sayılarının paydasına bakın. Daha küçük sayılarla çalışmanın daha keyifli olduğunu kabul edeceksiniz.

Örneklere bakalım:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

daha büyük bir sayının açılımında üçlü eksik

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Şimdi ilk yöntemi kullanalım:

*Hesaplamalardaki farka bakın, ilk durumda minimum sayıda var, ancak ikincisinde bir kağıt parçası üzerinde ayrı ayrı çalışmanız gerekiyor ve aldığınız kesirin bile azaltılması gerekiyor. LOC'yi bulmak işi önemli ölçüde basitleştirir.

Daha fazla örnek:

*İkinci örnekte açıkça görülüyor ki en küçük sayı 40 ve 60'a bölünebilen sayı 120'ye eşittir.

SONUÇ! GENEL BİLGİSAYAR ALGORİTMASI!
— tamsayı kısmı varsa kesirleri sıradan kesirlere indirgeriz.
- kesirleri ortak paydaya getiriyoruz (öncelikle bir paydanın diğerine bölünebilir olup olmadığına bakıyoruz; bölünebiliyorsa bu diğer kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz; bölünemiyorsa diğer yöntemleri kullanarak hareket ediyoruz) yukarıda belirtilmiştir).
- Paydaları eşit olan kesirler aldıktan sonra işlemler (toplama, çıkarma) gerçekleştiriyoruz.
- gerekirse sonucu azaltırız.
- gerekirse parçanın tamamını seçin.

2. Kesirlerin çarpımı.

Kural basit. Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpılır:

Örnekler:

$\frac63$ kesirini düşünün. $\frac63 =6:3 = 2$ olduğundan değeri 2'dir. Pay ve payda 2 ile çarpılırsa ne olur? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Açıkçası kesrin değeri değişmedi, dolayısıyla $\frac(12)(6)$ çünkü y de 2'ye eşit. pay ve paydayı çarpın 3 ile $\frac(18)(9)$ elde edilir veya 27 ile $\frac(162)(81)$ elde edilir veya 101 ile $\frac(606)(303)$ elde edilir. Bu durumların her birinde payı paydaya bölerek elde ettiğimiz kesrin değeri 2'dir. Yani değişmemiştir.

Diğer fraksiyonlarda da aynı durum gözlenmektedir. $\frac(120)(60)$ (2'ye eşit) kesirinin payı ve paydası 2'ye (sonuç $\frac(60)(30)$) veya 3'e (sonuç: $\frac(40)(20) $) veya 4 (sonuç $\frac(30)(15)$) vb. olursa, her durumda kesrin değeri değişmeden kalır ve 2'ye eşit olur.

Bu kural eşit olmayan kesirler için de geçerlidir. tam sayı.

$\frac(1)(3)$ kesirinin pay ve paydası 2 ile çarpılırsa $\frac(2)(6)$ elde edilir, yani kesrin değeri değişmemiştir. Ve aslında pastayı 3 parçaya bölüp birini alırsanız ya da 6 parçaya bölüp 2 parça alırsanız her iki durumda da aynı miktarda pasta elde edersiniz. Dolayısıyla $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ sayıları aynıdır. Genel bir kural formüle edelim.

Herhangi bir kesrin pay ve paydası, kesrin değeri değişmeden aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.

Bu kuralın çok faydalı olduğu ortaya çıkıyor. Örneğin, her zaman olmasa da bazı durumlarda büyük sayılarla yapılan işlemlerden kaçınmaya izin verir.

Örneğin, $\frac(126)(189)$ kesirinin pay ve paydasını 63'e bölerek hesaplaması çok daha kolay olan $\frac(2)(3)$ kesrini elde edebiliriz. Başka bir örnek. $\frac(155)(31)$ kesirinin pay ve paydasını 31'e bölebilir ve 5:1=5 olduğundan $\frac(5)(1)$ veya 5 kesirini elde edebiliriz.

Bu örnekte ilk kez karşılaştık paydası 1 olan kesir. Bu tür kesirler hesaplamalarda önemli bir rol oynar. Herhangi bir sayının 1'e bölünebileceğini ve değerinin değişmeyeceğini unutmamak gerekir. Yani $\frac(273)(1)$ 273'e eşittir; $\frac(509993)(1)$ eşittir 509993 vb. Bu nedenle, her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğinden sayıları 'ye bölmemiz gerekmez.

Paydası 1 olan bu tür kesirlerle, diğer tüm kesirlerle aynı aritmetik işlemleri gerçekleştirebilirsiniz: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Bir tamsayıyı, çizginin altında bir birim olacak şekilde kesir olarak temsil etmenin ne işe yaradığını sorabilirsiniz, çünkü bir tamsayıyla çalışmak daha uygundur. Ancak asıl mesele şu ki, bir tam sayıyı kesir olarak temsil etmek, aynı anda hem tam sayılarla hem de kesirlerle uğraşırken bize çeşitli işlemleri daha verimli bir şekilde gerçekleştirme fırsatı verir. Örneğin, öğrenmek için farklı paydalara sahip kesirleri toplama. $\frac(1)(3)$ ve $\frac(1)(5)$ eklememiz gerektiğini varsayalım.

Yalnızca paydaları eşit olan kesirleri toplayabileceğimizi biliyoruz. Bu, kesirleri paydaları eşit olacak şekilde nasıl azaltacağımızı öğrenmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu durumda yine bir kesrin payını ve paydasını değerini değiştirmeden aynı sayıyla çarpabileceğimiz gerçeğine ihtiyacımız olacak.

Öncelikle $\frac(1)(3)$ kesirinin pay ve paydasını 5 ile çarpın. $\frac(5)(15)$ elde ederiz, kesrin değeri değişmemiştir. Daha sonra $\frac(1)(5)$ kesirinin pay ve paydasını 3 ile çarpıyoruz. $\frac(3)(15)$ elde ediyoruz, yine kesrin değeri değişmemiş. Bu nedenle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Şimdi bu sistemi hem tamsayı hem de kesirli kısımlar içeren sayıların toplanmasında uygulamaya çalışalım.

$3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ eklemeliyiz. Öncelikle tüm terimleri kesirlere dönüştürelim ve şunu elde edelim: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Şimdi tüm kesirleri ortak bir paydaya getirmemiz gerekiyor, bunun için birinci kesrin payını ve paydasını 12, ikincisini 4 ve üçüncüsünü 3 ile çarpıyoruz. Sonuç olarak $\frac(36) elde ediyoruz. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, bu da $\frac(55)(12)$'a eşittir. Eğer kurtulmak istiyorsan uygunsuz kesir bir tam sayı ve bir kesirden oluşan bir sayıya dönüştürülebilir: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ veya $4\frac(7) )(12)$.

İzin verilen tüm kurallar kesirlerle işlemler Az önce incelediğimiz , negatif sayılar için de geçerlidir. Yani -1: 3 $\frac(-1)(3)$ olarak ve 1: (-3) $\frac(1)(-3)$ olarak yazılabilir.

Hem negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölünmesi hem de pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölünmesi negatif sayılarla sonuçlanacağı için her iki durumda da cevap negatif bir sayı olacaktır. yani

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ veya $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Bu şekilde yazıldığında eksi işareti pay veya paydayı ayrı ayrı değil, kesrin tamamını ifade eder.

Öte yandan, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ şeklinde yazılabilir ve negatif bir sayının negatif bir sayıya bölünmesi pozitif bir sayı verdiğinden $\frac olur. (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$ şeklinde yazılabilir.

Negatif kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması, pozitif kesirlerin eklenmesi ve çıkarılmasıyla aynı şemaya göre gerçekleştirilir. Örneğin $1-1\frac13$ nedir? Her iki sayıyı da kesir olarak temsil edelim ve $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ elde edelim. Kesirleri ortak bir paydaya getirip $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, yani $\frac(3)(3)-\ elde edelim. frac(4) (3)$ veya $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Kesirlerin eklenmesi.

Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.

Üç durumu sırasıyla ele alacağız:

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
3. Karışık sayıların eklenmesi.

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.

Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.

AB segmentini alalım (Şekil 17), bir olarak alalım ve 5 eşit parçaya bölelim, sonra bu segmentin AC kısmı AB segmentinin 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD segmentinin kısmı şuna eşit olacaktır: 2/5 AB.

Çizimden, AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı açıktır; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu terimler ve ortaya çıkan toplam göz önüne alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın değişmediğini görüyoruz.

Bundan aşağıdaki kuralı elde ederiz: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.

Kesirleri toplayalım: 3/4 + 3/8 Öncelikle en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekiyor:

6/8 + 3/8 ara bağlantısı yazılamadı; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.

Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için öncelikle bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı etiketlemelisiniz.

Bir örnek ele alalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörleri yazacağız):

3. Karışık sayıların eklenmesi.

Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.

Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:

Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:

§ 88. Kesirlerin çıkarılması.

Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Bir örneğe bakalım:

13 / 15 - 4 / 15

AB parçasını alalım (Şek. 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.

4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:

Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.

Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Örnek. 3/4 - 5/8

Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:

Ara madde 6/8 - 5/8 netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır, ancak daha sonra atlanabilir.

Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.

Bir örneğe bakalım:

3. Karışık sayılarda çıkarma.

Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.

Çıkarılan ve çıkanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:

Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ancak çıkarılanın kesirli kısmının azaltılanın kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:

§ 89. Kesirlerin çarpımı.

Kesir çarpmasını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak.

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her bir terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.

Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:

Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,

Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için

veya paydasını azaltarak , eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.

Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür sorunlara örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.

Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların fiyatı ne kadardı?

Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?

Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda ne kadar tuğla evler?

İşte bunlardan bazıları çok sayıda görev Belirli bir sayının karşılaştığımız kısımlarını bulmak için. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.

Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:

Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:

300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).

300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü iki katına çıkarmanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:

100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).

Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,

400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).

400'ün dörtte üçünü hesaplamak için elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:

100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).

Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:

Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.

3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.

Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.

Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.

Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.

Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıkça anlaşılmaktadır: bir tamsayıyı (çarpımı) bir kesirle (çarpımı) çarpmak, çarpımın bu kesrini bulmak anlamına gelir.

Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.

Ancak şimdi ilginç ve önemli bir soru ortaya çıkıyor: Eşit sayıların toplamını bulmak ve bir sayının kesirini bulmak gibi görünüşte farklı olan işlemlere neden aritmetikte aynı "çarpma" kelimesi denir?

Bunun nedeni önceki eylemin (sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (sayıyı kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden yola çıktığımız anlamına gelir.

Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?

Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).

Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 m'si ne kadara mal olur?”

Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.

Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.

Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.

Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?

Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:

Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.

50'nin 1/4'ü 50/4;

50 sayısının 3/4'ü

Buradan.

Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?

12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,

12 sayısının 5/8'i .

Buradan,

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.

Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.

Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:

4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir; yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden (çarpan) faktördeki kesri bulmanız gerekir.

Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.

Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?

Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.

3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:

5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:

Böylece,

Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.

5/8'in 1/9'u,

5/8 sayısının 4/9'u .

Böylece,

Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:

Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.

Bu kural genel görünümşu şekilde yazılabilir:

Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:

5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı sayıların çarpılmasında kullanılır. Bu, çarpımın, faktörün veya her iki faktörün karışık sayılarla ifade edildiği durumlarda bunların yerine uygunsuz kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini uygunsuz bir kesire dönüştürelim ve sonra elde edilen kesirleri bir kesirle bir kesirle çarpma kuralına göre çarpalım:

Kural. Tam sayılı sayıları çarpmak için önce bunları birbirine dönüştürmeniz gerekir. uygunsuz kesirler ve sonra kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpın.

Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:

6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi birine değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yediye bölünmemiş.

Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.

Genel olarak (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.

Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.

Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek

2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mudilere öder.

Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.

ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.

Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.

"Yüzde" kelimesi ödünç alınmıştır. Latince dili ve kökü "cent" yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Böyle bir ifadenin anlamı, başlangıçta antik Roma Faiz, borçlunun borç verene “yüzde bir” ödediği paraydı. "Yüzde" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).

Mesela fabrika geçen ay ürünlerinin 1/100'ünü kusurlu üretti demek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusurlu üretti. Fabrika belirlenen plandan 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine fabrika planı yüzde 4 oranında aştı diyeceğiz.

Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.

2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.

Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.

Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.

Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:

Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine, belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:

7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.

Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?

Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).

Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.

Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.

Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. 11 yaşındaki çocuklar %21, 12 yaşındaki çocuklar %61 ve 13 yaşındaki çocuklar ise %18'i oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?

Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.

Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi şunu yapalım:

1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?

2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?

3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?

Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu şunu gösteriyor toplam sayı kamptaki çocuklar %100 olarak alınmıştır.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Görevde belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

Bu problemi çözmek için 1.200'ün kesrini 5 kere bulmanız gerekiyor.

1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Şimdi hesaplamayı yapalım:

2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:

3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?

4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

5) İşçi ne kadar para biriktirdi?

Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.

Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.

§ 90. Kesirlerin bölünmesi.

Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.

Bölme işlemi, tamsayılar bölümünde de belirtildiği gibi, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan bir işlemdir.

Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle, tamsayılar alanında tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölen her zaman tamsayıya göre bölünen ürün değildir. Bir kesirle çarpmayı tanıttıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün görebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).

Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.

Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.

2. Bir kesri tam sayıya bölmek.

6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.

Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:

Bu durumda pay 6 3'e bölünebildiğinden payın 3 katına çıkarılması gerekir.

Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını bu sayıyla çarparak aynı payı bırakarak.

3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.

5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1/2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.

Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.

Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10

Kontrol edelim:

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmek istiyorsunuz. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şekil 19).

Şekil 19

6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak sonuçta ortaya çıkan 2'lik 18 parçayı birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,

Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 6'da 2/3'ün kaç katı var sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Önce şunu bulalım: 6'da 1/3'ün kaç katı var? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:

Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, bir sayıyı § 38'de belirtilen bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

4. Bir kesri bir kesire bölmek.

Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesrinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).

Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacak. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:

Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 bilinmeyen numara X 15/16

Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X öyle,

32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .

Buradan,

Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

5. Karışık sayıların bölümü.

Tam sayılı kesirleri bölerken, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeli, sonra elde edilen kesirleri bölme kurallarına göre bölmelisiniz. kesirli sayılar. Bir örneğe bakalım:

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:

Şimdi bölelim:

Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.

6. Verilen kesirden bir sayı bulma.

Arasında çeşitli görevler Kesirlerde bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği kesirler vardır ve bu sayıyı bulmanız gerekir. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesrini bulmak gerekiyordu, burada bir sayının kesrini veriyordu ve bu sayıyı kendisinin bulması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.

Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?

Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.

Evin 150 penceresi vardı.

Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?

Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:

1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).

Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,

500 8 = 4.000 (kg).

Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.

Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural elde edilebilir.

Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.

Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, özellikle sonuncusunda açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).

Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.

Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:

Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.

7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.

Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)

Sorunun anlamı şu ki, bir miktar parayı bir tasarruf bankasına yatırdım ve orada bir yıl kaldım. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?

Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:

Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.

Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı yüzde 64 oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?

Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.

Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:

Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.

Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu yanıtı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?

Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:

§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.

2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.

Belirli bir kesrin tersini elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:

3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5

Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.

Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:

1/3, ters 3; 1/5, ters 5

Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılardan bahsedeceğiz.

Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: payın yerine paydayı koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının ters sayısını da elde edebilirsiniz. Bu da 7'nin ters sayısının 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1

Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının tersi, birinin belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilir. Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Hatta 5/9 kesrinin tersini yazmamız gerekirse 1 alıp 5/9'a bölebiliriz yani.

Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:

Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.

Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .

Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.

6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:

Lütfen öde özel ilgi ifadeye getirin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .

İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılmasıyla değiştirilebilir.

Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.

Kesir hesaplayıcı Kesirlerle işlemleri hızlı bir şekilde hesaplamak için tasarlanan bu program, kesirleri kolayca toplamanıza, çarpmanıza, bölmenize veya çıkarmanıza yardımcı olacaktır.

Modern okul çocukları zaten 5. sınıfta kesirleri incelemeye başlıyor ve onlarla yapılan alıştırmalar her yıl daha karmaşık hale geliyor. Okulda öğrendiğimiz matematik terimleri ve nicelikler hayatta nadiren işimize yarayabilir. yetişkin hayatı. Ancak kesirler, logaritma ve kuvvetlerden farklı olarak günlük yaşamda (mesafe ölçme, eşyaları tartma vb.) oldukça sık görülür. Hesap makinemiz kesirlerle hızlı işlemler için tasarlanmıştır.

Öncelikle kesirlerin ne olduğunu ve ne olduğunu tanımlayalım. Kesirler bir sayının diğerine oranıdır; bir birimin tam sayıdaki kesirlerinden oluşan bir sayıdır.

Kesir türleri:

Sıradan
Ondalık
Karışık

Örnek sıradan kesirler:

Üstteki değer pay, alttaki değer ise paydadır. Çizgi bize üstteki sayının alttaki sayıya bölünebileceğini gösterir. Bu yazı biçimi yerine tire yatay olduğunda farklı yazabilirsiniz. Örneğin eğimli bir çizgi koyabilirsiniz:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Ondalık Sayılar en popüler kesir türüdür. Virgülle ayrılmış bir tamsayı ve kesirli kısımdan oluşurlar.

Ondalık kesirlere örnek:

0,2 veya 6,71 veya 0,125

Bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Bu kesrin değerini bulmak için tam sayıyı ve kesri toplamanız gerekir.

Karışık kesirlere örnek:

Web sitemizdeki kesir hesaplayıcı, kesirlerle ilgili her türlü matematiksel işlemi çevrimiçi olarak hızlı bir şekilde gerçekleştirebilir:

Ek
Çıkarma
Çarpma
Bölüm

Hesaplamayı gerçekleştirmek için alanlara sayıları girmeniz ve bir eylem seçmeniz gerekir. Kesirler için pay ve paydayı doldurmanız gerekir; tam sayı yazılamayabilir (kesir sıradansa). "Eşit" butonuna tıklamayı unutmayın.

Hesap makinesinin yalnızca hazır bir cevap değil, kesirlerle bir örneği çözme sürecini anında sağlaması uygundur. Ayrıntılı çözüm sayesinde bu materyali okul sorunlarını çözmek ve kapsanan materyale daha iyi hakim olmak için kullanabilirsiniz.

Örnek hesaplamayı yapmanız gerekir:

Göstergeleri form alanlarına girdikten sonra şunu elde ederiz:

Kendi hesaplamanızı yapmak için verileri forma girin.

Kesir hesaplayıcı

İki kesir girin:

		+ - * :

İlgili bölümler.

Bu dersimizde toplama ve çıkarma işlemleri işlenecektir. cebirsel kesirler farklı paydalarla. Farklı paydalara sahip ortak kesirleri nasıl toplayıp çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bunu yapmak için kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir. Cebirsel kesirlerin aynı kurallara uyduğu ortaya çıktı. Aynı zamanda cebirsel kesirleri ortak bir paydaya nasıl indireceğimizi zaten biliyoruz. Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri 8. sınıf dersinin en önemli ve en zor konularından biridir. Üstelik bu konu ileride okuyacağınız cebir dersinde de pek çok konu içerisinde yer alacaktır. Dersin bir parçası olarak, farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerde toplama ve çıkarma kurallarını inceleyeceğiz ve ayrıca bir dizi tipik örneği analiz edeceğiz.

düşünelim en basit örnek sıradan kesirler için.

Örnek 1. Kesirleri ekleyin: .

Çözüm:

Kesirleri toplama kuralını hatırlayalım. Başlamak için kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir. Adi kesirlerin ortak paydası: en küçük ortak kat(LCM) orijinal paydaların.

Tanım

Hem sayılara hem de sayılara bölünebilen en küçük doğal sayı.

LCM'yi bulmak için paydaları asal faktörlere ayırmanız ve ardından her iki paydanın genişletilmesinde yer alan tüm asal faktörleri seçmeniz gerekir.

; . O halde sayıların LCM'si iki ikili ve iki üçlü içermelidir: .

Ortak paydayı bulduktan sonra, her kesir için ek bir faktör bulmanız gerekir (aslında ortak paydayı karşılık gelen kesrin paydasına bölmeniz gerekir).

Daha sonra her kesir elde edilen ek faktörle çarpılır. Önceki derslerde toplamayı ve çıkarmayı öğrendiğimiz paydaları aynı olan kesirler elde ediyoruz.

Şunu elde ederiz: .

Cevap:.

Şimdi farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplamını ele alalım. Öncelikle paydası sayı olan kesirlere bakalım.

Örnek 2. Kesirleri ekleyin: .

Çözüm:

Çözüm algoritması önceki örneğe tamamen benzer. Bu kesirlerin ortak paydasını ve her biri için ek faktörleri bulmak kolaydır.

Cevap:.

Öyleyse formüle edelim Farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplama ve çıkarma algoritması:

1. Kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.

2. Kesirlerin her biri için ek faktörleri bulun (ortak paydayı verilen kesrin paydasına bölerek).

3. Payları karşılık gelen ek faktörlerle çarpın.

4. Paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma kurallarını kullanarak kesirleri ekleyin veya çıkarın.

Şimdi paydasında harf ifadeleri bulunan kesirlerle ilgili bir örneği ele alalım.

Örnek 3. Kesirleri ekleyin: .

Çözüm:

Her iki paydadaki harf ifadeleri aynı olduğundan sayıların ortak paydasını bulmalısınız. Son ortak payda şöyle görünecektir: . Dolayısıyla bu örneğin çözümü şuna benzer:.

Cevap:.

Örnek 4. Kesirleri çıkarma: .

Çözüm:

Ortak bir payda seçerken "hile yapamıyorsanız" (bunu çarpanlara ayıramaz veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanamazsınız), o zaman her iki kesirin paydalarının çarpımını ortak payda olarak almanız gerekir.

Cevap:.

Genel olarak bu tür örnekleri çözerken en zor iş ortak bir payda bulmaktır.

Daha karmaşık bir örneğe bakalım.

Örnek 5. Basitleştirin: .

Çözüm:

Ortak bir payda bulurken, öncelikle orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmaya çalışmalısınız (ortak paydayı basitleştirmek için).

Bu özel durumda:

O zaman ortak paydayı belirlemek kolaydır: .