Arksinüs (y = ark sin x) sinüsün ters fonksiyonudur (x = günahkar -1 ≤ x ≤ 1 ve değerler kümesi -π /2 ≤ y ≤ π/2.
günah(arcsin x) = x
arksin(sin x) = x

Arcsine bazen şu şekilde gösterilir:
.

Ark sinüs fonksiyonunun grafiği

y = fonksiyonunun grafiği ark sin x

Ark sinüs grafiği, apsis ve ordinat eksenleri değiştirilirse sinüs grafiğinden elde edilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için değer aralığı, fonksiyonun monoton olduğu aralıkla sınırlıdır. Bu tanıma arksinüsün temel değeri denir.

Arccosin, arccos

Ark kosinüs (y = arkcos x) kosinüsün ters fonksiyonudur (x = samimi). Bir kapsamı var -1 ≤ x ≤ 1 ve birçok anlam 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(çünkü x) = x

Arkosinüs bazen şu şekilde gösterilir:
.

Ark kosinüs fonksiyonunun grafiği

y = fonksiyonunun grafiği arkcos x

Ark kosinüs grafiği, apsis ve ordinat eksenleri değiştirilirse kosinüs grafiğinden elde edilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için değer aralığı, fonksiyonun monoton olduğu aralıkla sınırlıdır. Bu tanıma ark kosinüsün temel değeri denir.

Parite

Ark sinüs fonksiyonu tektir:
arksin(- x) = arksin(-sin arksin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arksin x

Ark kosinüs fonksiyonu çift veya tek değildir:
arkcos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Özellikler - ekstremum, artış, azalma

Arksinüs ve arkkosinüs fonksiyonları kendi tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Arksinüs ve arkkosinin ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

	y = ark sin x	y = arkcos x
Kapsam ve süreklilik	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Değer aralığı
Artan azalan	monoton olarak artar	monoton olarak azalır
Yüksekler
Minimumlar
Sıfırlar, y = 0	x = 0	x = 1
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Arsinüsler ve arkkosinüsler tablosu

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için ark sinüsleri ve ark kosinüs değerlerini derece ve radyan cinsinden sunar.

X	ark sin x		arkcos x
	dolu	memnun.	dolu	memnun.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formüller

Toplam ve fark formülleri

veya

ve

ve

veya

ve

ve

en

en

en

en

Logaritmalar ve karmaşık sayılar yoluyla ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

Türevler

;
.
Bkz. Arksinüs ve arkkosinüs türevlerinin türetilmesi > > >

Yüksek dereceli türevler:
,
derece polinomu nerede. Formüllerle belirlenir:
;
;
.

Bkz. Arksinüs ve arkkosinüsün yüksek dereceli türevlerinin türetilmesi > > >

İntegraller

x = yerine koymayı yaparız günah. -π/ değerini dikkate alarak parçalara göre integral alıyoruz. 2 ≤ t ≤ π/2, çünkü t ≥ 0:
.

Ark kosinüsünü ark sinüsü üzerinden ifade edelim:
.

Seri genişletme

Ne zaman |x|< 1 aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:
;
.

Ters fonksiyonlar

Arksinüs ve arkkosinüsün tersleri sırasıyla sinüs ve kosinüstür.

Aşağıdaki formüller tüm tanım alanı boyunca geçerlidir:
günah(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Aşağıdaki formüller yalnızca ark sinüs ve ark kosinüs değerleri kümesinde geçerlidir:
arksin(sin x) = x en
arccos(çünkü x) = x.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Ark sinüs, ark kosinüs nedir? Arktanjant, arkkotanjant nedir?

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Kavramlara arksinüs, arkkosinüs, arktanjant, arkkotanjant Öğrenci topluluğu temkinli. Bu şartları anlamıyor ve bu nedenle bu güzel aileye güvenmiyor.) Ama boşuna. Bunlar çok basit kavramlar. Bu arada, trigonometrik denklemleri çözerken bilgili bir kişinin hayatı son derece kolaylaşır!

Basitlik konusunda şüpheniz mi var? Boşuna.) Tam burada ve şimdi bunu göreceksiniz.

Elbette anlamak için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu bilmek güzel olurdu. Evet, bazı açılar için tablo değerleri... En azından en genel anlamda. O zaman burada da hiçbir sorun olmayacak.

Biz de şaşırdık ama unutmayın: arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant sadece bazı açılardır. Ne fazla ne az. 30° gibi bir açı var. Ve bir köşe var arcsin0.4. Veya arctg(-1,3). Her türlü açı vardır.) Açıları farklı şekillerde yazabilirsiniz. Açıyı derece veya radyan cinsinden yazabilirsiniz. Ya da sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant aracılığıyla yapabilirsiniz...

İfade ne anlama geliyor?

arksin 0.4?

Bu, sinüsü 0,4 olan bir açıdır.! Evet evet. Arsin'in anlamı budur. Özellikle tekrar edeceğim: arcsin 0,4, sinüsü 0,4'e eşit olan bir açıdır.

Bu kadar.

Bu basit düşünceyi uzun süre kafanızda tutmak için, bu korkunç terimin - arksinüsün - bir dökümünü bile vereceğim:

yay günah 0,4
köşe, bunun sinüsü 0,4'e eşit

Nasıl yazılırsa öyle duyulur.) Neredeyse. Konsol yay araç yay(kelime kemer biliyor musun?), çünkü eski insanlar açı yerine yay kullanıyorlardı ama bu, konunun özünü değiştirmiyor. Matematiksel bir terimin bu temel kod çözümünü hatırlayın! Ayrıca arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant için kod çözme yalnızca fonksiyonun adında farklılık gösterir.

Arccos 0.8 nedir?
Bu, kosinüsü 0,8 olan bir açıdır.

Arctg(-1,3) nedir?
Bu, tanjantı -1,3 olan bir açıdır.

Arcctg 12 nedir?
Bu, kotanjantı 12 olan bir açıdır.

Bu tür temel kod çözme, bu arada, epik hatalardan kaçınmanıza olanak tanır.) Örneğin, arccos1,8 ifadesi oldukça saygın görünüyor. Kod çözmeye başlayalım: arccos1.8, kosinüsü 1.8'e eşit olan bir açıdır... Atla-atla!? 1.8!? Kosinüs birden büyük olamaz!!!

Sağ. Arccos1,8 ifadesi mantıklı değil. Ve bazı cevaplarda böyle bir ifadenin yazılması müfettişi çok eğlendirecektir.)

Gördüğünüz gibi temel.) Her açının kendi kişisel sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır. Bu nedenle trigonometrik fonksiyonu bilerek açının kendisini yazabiliriz. Arksinüsler, arkkosinüsler, arktanjantlar ve arkkotanjantların amacı budur. Şu andan itibaren tüm aileye küçük bir isimle hitap edeceğim - kemerler. Daha az yazmak için.)

Dikkat! Temel sözlü ve bilinçli Kemerlerin şifresini çözmek, çeşitli görevleri sakin ve güvenli bir şekilde çözmenize olanak tanır. Ve olağan dışı Görevleri kurtaran tek kişi o.

Yaylardan sıradan derecelere veya radyanlara geçiş mümkün müdür?- Dikkatli bir soru duyuyorum.)

Neden!? Kolayca. Oraya gidip dönebilirsin. Üstelik bazen bunun yapılması gerekir. Kemerler basit bir şeydir ama onlar olmadan bir şekilde daha sakin olur, değil mi?)

Örneğin: arcsin 0.5 nedir?

Kod çözmeyi hatırlayalım: arcsin 0,5 sinüsü 0,5 olan açıdır.Şimdi başınızı (veya Google'ı) açın ve hangi açının sinüsü 0,5 olduğunu hatırlıyor musunuz? Sinüs 0,5 y'ye eşittir 30 derece açı. Bu kadar: arcsin 0,5, 30°'lik bir açıdır. Güvenle yazabilirsiniz:

arksin 0,5 = 30°

Veya daha resmi olarak radyan cinsinden:

İşte bu kadar, ark sinüsünü unutabilir ve normal derece veya radyanla çalışmaya devam edebilirsiniz.

Eğer fark ettiysen ark sinüs nedir, ark kosinüs... Arktanjant, arkkotanjant nedir...Örneğin böyle bir canavarla kolayca başa çıkabilirsiniz.)

Cahil insan dehşet içinde geri çekilir evet...) Ama bilgili insan kod çözmeyi unutmayın: ark sinüs sinüsü olan açıdır... vb. Bilgili bir kişi sinüs tablosunu da biliyorsa... Kosinüs tablosu. Teğet ve kotanjant tablosu, o zaman hiçbir sorun kalmaz!

Şunun farkına varmanız yeterlidir:

Şifresini çözeceğim, yani. Formülü kelimelere çevireyim: tanjantı 1 olan açı (arctg1)- bu 45°'lik bir açıdır. Veya aynısı Pi/4. Aynı şekilde:

işte bu kadar... Tüm kemerleri radyan cinsinden değerlerle değiştiriyoruz, her şey azaltılıyor, geriye 1+1'in ne kadar olduğunu hesaplamak kalıyor. 2 olacaktır.) Hangisi doğru cevaptır.

Arksinüslerden, arkkosinüslerden, arktanjantlardan ve arkkotanjantlardan sıradan derece ve radyanlara bu şekilde geçebilirsiniz (ve geçmelisiniz). Bu, korkutucu örnekleri büyük ölçüde basitleştirir!

Çoğu zaman bu tür örneklerde kemerlerin içinde olumsuz anlamlar. Mesela arctg(-1.3) veya örneğin arccos(-0.8)... Bu bir sorun değil. Negatif değerlerden pozitif değerlere geçiş için basit formüller şunlardır:

Diyelim ki ifadenin değerini belirlemek için ihtiyacınız var:

Bu trigonometrik daire kullanılarak çözülebilir, ancak onu çizmek istemezsiniz. İyi tamam. Buradan hareket ediyoruz olumsuz k'nin ark kosinüsü içindeki değerler pozitif ikinci formüle göre:

Sağdaki yay kosinüsünün içinde zaten pozitif Anlam. Ne

sadece bilmelisin. Geriye kalan tek şey ark kosinüs yerine radyanları koymak ve cevabı hesaplamaktır:

Bu kadar.

Arksinüs, arkkosinüs, arktanjant, arkkotanjant ile ilgili kısıtlamalar.

Örnek 7 - 9'da bir sorun mu var? Evet, burada bir hile var.)

1'den 9'a kadar olan tüm bu örnekler Bölüm 555'te dikkatlice analiz edilmektedir. Ne, nasıl ve neden. Tüm gizli tuzaklar ve hilelerle. Ayrıca çözümü önemli ölçüde basitleştirmenin yolları. Bu arada, bu bölüm genel olarak trigonometri hakkında pek çok faydalı bilgi ve pratik ipucu içeriyor. Ve sadece trigonometride değil. Çok yardımcı oluyor.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Sin, cos, tg ve ctg fonksiyonlarına her zaman arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve fonksiyon çiftleri trigonometrik ifadelerle çalışırken eşit derecede önemlidir.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini grafiksel olarak gösteren bir birim daire çizimini düşünün.

OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsak, bunların hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, temel trigonometrik fonksiyonlar ve bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtmaktadır.

Arsinüsün özelliklerini daha iyi anlamak için fonksiyonunu dikkate almak gerekir. Takvim koordinat merkezinden geçen asimetrik bir eğri formuna sahiptir.

Arsin'in özellikleri:

Grafikleri karşılaştırırsak günah Ve arksinİki trigonometrik fonksiyonun ortak desenleri olabilir.

ark kosinüs

Bir sayının Arcco'su, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.

Eğri y = arkos x arcsin x grafiğini yansıtır, tek farkı OY ekseni üzerindeki π/2 noktasından geçmesidir.

Ark kosinüs fonksiyonuna daha detaylı bakalım:

1. Fonksiyon [-1; 1].
2. Arccos için ODZ - .
3. Grafiğin tamamı birinci ve ikinci çeyrekte yer alır ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
4. x = 1'de Y = 0.
5. Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Belki okul çocukları "kemerler" üzerine bu kadar "ayrıntılı" bir çalışmayı gereksiz bulacaktır. Ancak aksi takdirde bazı temel standart sınav görevleri öğrencileri çıkmaz sokağa sürükleyebilir.

1. Egzersiz.Şekilde gösterilen fonksiyonları belirtiniz.

Cevap: pirinç. 1 – 4, Şekil 2 – 1.

Bu örnekte vurgu küçük şeylere yapılmıştır. Tipik olarak öğrenciler grafiklerin oluşturulması ve fonksiyonların görünümü konusunda çok dikkatsizdirler. Aslında, her zaman hesaplanan noktalar kullanılarak çizilebiliyorsa neden eğri tipini hatırlayasınız ki? Test koşullarında, basit bir görev için çizim yapmak için harcanan zamanın daha karmaşık görevleri çözmek için gerekli olacağını unutmayın.

arktanjant

Arctg a sayıları, tanjantı a'ya eşit olacak şekilde α açısının değeridir.

Arktanjant grafiğini dikkate alırsak aşağıdaki özellikleri vurgulayabiliriz:

1. Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanır.
2. Arktanjant tek bir fonksiyondur, dolayısıyla arktan (- x) = - arktan x.
3. x = 0'da Y = 0.
4. Eğri tüm tanım aralığı boyunca artar.

Tg x ve arctg x'in kısa bir karşılaştırmalı analizini tablo halinde sunalım.

Arkotanjant

Bir sayının arkı - kotanjantı a'ya eşit olacak şekilde (0; π) aralığından bir α değeri alır.

Yay kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

1. Fonksiyon tanımı aralığı sonsuzdur.
2. Kabul edilebilir değerlerin aralığı (0; π) aralığıdır.
3. F(x) ne çift ne de tektir.
4. Fonksiyonun grafiği tüm uzunluğu boyunca azalır.

Ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir; sadece iki çizim yapıp eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.

Görev 2. Fonksiyonun grafiğini ve notasyon formunu eşleştirin.

Mantıklı düşünürsek her iki fonksiyonun da arttığı grafiklerden açıkça görülmektedir. Bu nedenle her iki şekil de belirli bir arktan işlevi sergiliyor. Arktanjantın özelliklerinden x = 0'da y=0 olduğu bilinmektedir,

Cevap: pirinç. 1 – 1, şekil. 2 – 4.

Trigonometrik kimlikler arcsin, arcos, arctg ve arcctg

Daha önce kemerler ile trigonometrinin temel fonksiyonları arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılık, örneğin bir argümanın sinüsünü ark sinüsü, ark kosinüsü veya tam tersi yoluyla ifade etmeye izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi, belirli örnekleri çözerken faydalı olabilir.

Arctg ve arcctg için de ilişkiler vardır:

Başka bir kullanışlı formül çifti, aynı açının arcctg ve arcctg'sinin yanı sıra arcsin ve arcos toplamının değerini ayarlar.

Problem çözme örnekleri

Trigonometri görevleri dört gruba ayrılabilir: belirli bir ifadenin sayısal değerini hesaplamak, belirli bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak, tanım alanını veya ODZ'yi bulmak ve örneği çözmek için analitik dönüşümler gerçekleştirmek.

İlk tür sorunu çözerken aşağıdaki eylem planına uymalısınız:

Fonksiyon grafikleriyle çalışırken asıl önemli olan bunların özellikleri ve eğrinin görünümü hakkında bilgi sahibi olmaktır. Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek kimlik tablolarını gerektirir. Öğrenci ne kadar çok formülü hatırlarsa, görevin cevabını bulmak o kadar kolay olur.

Diyelim ki Birleşik Devlet Sınavında aşağıdaki gibi bir denklemin cevabını bulmanız gerekiyor:

İfadeyi doğru bir şekilde dönüştürüp istediğiniz forma getirirseniz çözmek çok basit ve hızlı olur. Öncelikle arcsin x'i eşitliğin sağ tarafına taşıyalım.

Formülü hatırlıyorsanız arksin (sin α) = α, o zaman cevap arayışını iki denklemden oluşan bir sistemin çözümüne indirgeyebiliriz:

X modeli üzerindeki kısıtlama yine arcsin'in özelliklerinden kaynaklanmıştır: x [-1 için ODZ; 1]. a ≠0 olduğunda sistemin bir kısmı kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a olan ikinci dereceden bir denklemdir. a = 0 olduğunda x 1'e eşit olacaktır.

Programın başlarında öğrenciler trigonometrik denklemleri çözme konusunda bir fikir edindiler, ark kosinüs ve ark sinüs kavramlarına aşina oldular ve cos t = a ve sin t = a denklemlerinin çözüm örneklerine aşina oldular. Bu video eğitiminde tg x = a ve ctg x = a denklemlerini çözmeye bakacağız.

Bu konuyu incelemeye başlamak için tg x = 3 ve tg x = - 3 denklemlerini göz önünde bulundurun. Eğer tg x = 3 denklemini bir grafik kullanarak çözersek, y = tg x ve fonksiyonlarının grafiklerinin kesişiminin olduğunu göreceğiz. y = 3'ün sonsuz sayıda çözümü vardır, burada x = x 1 + πk. X 1 değeri, y = tan x ve y = 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktasının x koordinatıdır. Yazar arktanjant kavramını ortaya koymaktadır: arktan 3, tan'ı 3'e eşit olan bir sayıdır ve bu sayı -π/2 ila π/2 aralığına aittir. Arktanjant kavramını kullanarak tan x = 3 denkleminin çözümü x = arktan 3 + πk olarak yazılabilir.

Benzetme yoluyla tg x = - 3 denklemi çözülür.y = tg x ve y = - 3 fonksiyonlarının oluşturulmuş grafiklerinden, grafiklerin kesişim noktalarının ve dolayısıyla denklemlerin çözümlerinin olacağı açıktır. x = x 2 + πk olsun. Arktanjant kullanılarak çözüm x = arktan (- 3) + πk olarak yazılabilir. Bir sonraki şekilde arctg (- 3) = - arctg 3 olduğunu görüyoruz.

Arktanjantın genel tanımı şu şekildedir: Arktanjant a, tanjantı a'ya eşit olan -π/2 ile π/2 aralığındaki bir sayıdır. O halde tan x = a denkleminin çözümü x = arctan a + πk'dir.

Yazar örnek 1'i veriyor. Arctan ifadesine bir çözüm bulun. Gösterimi tanıtalım: bir sayının arktanjantı x'e eşittir, o zaman tg x verilen sayıya eşit olacaktır, burada x -π'den itibaren parçaya aittir. /2 ila π/2. Önceki konulardaki örneklerde olduğu gibi bir değerler tablosu kullanacağız. Bu tabloya göre bu sayının tanjantı x = π/3 değerine karşılık gelmektedir. Denklemin çözümünü yazalım: Belirli bir sayının arktanjantı π/3'e eşittir, π/3 aynı zamanda -π/2 ila π/2 aralığına da aittir.

Örnek 2 - Negatif bir sayının arktanjantını hesaplayın. Arctg (- a) = - arctg a eşitliğini kullanarak x'in değerini giriyoruz. Örnek 2'ye benzer şekilde -π/2'den π/2'ye kadar olan parçaya ait olan x'in değerini yazıyoruz. Değer tablosundan x = π/3 olduğunu buluyoruz, dolayısıyla -- tg x = - π/3. Denklemin cevabı - π/3'tür.

Örnek 3'ü ele alalım. tg x = 1 denklemini çözün. x = arktan 1 + πk olduğunu yazın. Tabloda tg 1 değeri x = π/4 değerine karşılık gelir, dolayısıyla arctg 1 = π/4 olur. Bu değeri orijinal x formülünde yerine koyalım ve x = π/4 + πk cevabını yazalım.

Örnek 4: tan x = - 4.1'i hesaplayın. Bu durumda x = arktan (- 4,1) + πk. Çünkü Bu durumda arctg değerini bulmak mümkün değil; cevap x = arctg (- 4.1) + πk şeklinde görünecektir.

Örnek 5'te tg x > 1 eşitsizliğinin çözümü ele alınmakta ve bunu çözmek için y = tan x ve y = 1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturuyoruz. Şekilde görüldüğü gibi bu grafikler x = noktalarında kesişiyor. π/4 + πk. Çünkü bu durumda tg x > 1, grafikte y = 1 grafiğinin üzerinde bulunan ve x'in π/4 ila π/2 aralığına ait olduğu teğetsel bölgeyi vurguluyoruz. Cevabı π/4 + πk olarak yazıyoruz< x < π/2 + πk.

Daha sonra, cot x = a denklemini düşünün. Şekilde birçok kesişim noktasına sahip olan y = cot x, y = a, y = - a fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir. Çözümler x = x 1 + πk şeklinde yazılabilir; burada x 1 = arcctg a ve x = x 2 + πk, burada x 2 = arcctg (- a). x 2 = π - x 1 olduğuna dikkat edilmelidir. Bu, arcctg (- a) = π - arcctg a eşitliğini ifade eder. Ark kotanjantının tanımı aşağıdadır: Ark kotanjantı a, kotanjantı a'ya eşit olan 0 ila π aralığındaki bir sayıdır. сtg x = a denkleminin çözümü şu şekilde yazılır: x = arcctg a + πk.

Video dersinin sonunda bir diğer önemli sonuca varıyoruz - a'nın sıfıra eşit olmaması koşuluyla ctg x = a ifadesi tg x = 1/a şeklinde yazılabilir.

METİN KOD ÇÖZME:

tg x = 3 ve tg x = - 3 denklemlerini çözmeyi düşünelim. İlk denklemi grafiksel olarak çözdüğümüzde, apsislerini yazdığımız y = tg x ve y = 3 fonksiyonlarının grafiklerinin sonsuz sayıda kesişme noktasına sahip olduğunu görüyoruz. şeklinde

x = x 1 + πk, burada x 1, y = 3 düz çizgisinin, tanımın icat edildiği teğetoidin ana dalı ile kesişme noktasının apsisidir (Şekil 1).

arktan 3 (üçün yay tanjantı).

Arctg 3 nasıl anlaşılır?

Bu, tanjantı 3 olan ve bu sayı (-;) aralığına ait bir sayıdır. O zaman tg x = 3 denkleminin tüm kökleri x = arktan 3+πk formülüyle yazılabilir.

Benzer şekilde, tg x = - 3 denkleminin çözümü x = x 2 + πk formunda yazılabilir; burada x 2, y = - 3 düz çizgisinin ana dalı ile kesişme noktasının apsisidir. tanjantoid (Şekil 1), bunun için arktg(- 3) (yay teğet eksi üç) tanımı kullanılır. O zaman denklemin tüm kökleri şu formülle yazılabilir: x = arctan(-3)+ πk. Şekil arctg(- 3)= - arctg 3'ü göstermektedir.

Arktanjantın tanımını formüle edelim. Arktanjant a, tanjantı a'ya eşit olan (-;) aralığından bir sayıdır.

Eşitlik sıklıkla kullanılır: arctg(-a) = -arctg a, bu herhangi bir a için geçerlidir.

Arktanjantın tanımını bilerek denklemin çözümü hakkında genel bir sonuca varabiliriz.

tg x= a: tg x = a denkleminin bir çözümü vardır: x = arktan a + πk.

Örneklere bakalım.

ÖRNEK 1. Arktanı hesaplayın.

Çözüm. Arctg = x olsun, sonra tgх = ve xϵ (-;) olsun. Değer tablosunu göster Dolayısıyla tg = ve ϵ (-;) olduğundan x = olur.

Yani arktan =.

ÖRNEK 2. Arktanı (-) hesaplayın.

Çözüm. Arctg(- a) = - arctg a eşitliğini kullanarak şunu yazarız:

arktg(-) = - arktg. - arctg = x olsun, o zaman - tgх = ve xϵ (-;) olsun. Bu nedenle x =, çünkü tg = ve ϵ (-;). Değer tablosunu göster

Bunun anlamı - arctg=- tgх= - .

ÖRNEK 3. tgх = 1 denklemini çözün.

1. Çözüm formülünü yazın: x = arktan 1 + πk.

2. Arktanjantın değerini bulun

tg ='den beri. Değer tablosunu göster

Yani arctan1= .

3. Bulunan değeri çözüm formülüne koyun:

ÖRNEK 4. tgх = - 4.1 denklemini çözün (teğet x eşittir eksi dört nokta bir).

Çözüm. Çözüm formülünü yazalım: x = arktan (- 4.1) + πk.

Arktanjantın değerini hesaplayamadığımız için çözümü elde edilen haliyle denkleme bırakacağız.

ÖRNEK 5. tgх 1 eşitsizliğini çözün.

Çözüm. Grafiksel olarak çözeceğiz.

1. Bir teğet oluşturalım

y = tgx ve düz çizgi y = 1 (Şekil 2). x = + πk gibi noktalarda kesişirler.

2. Tgх 1 koşuluna göre, teğetoidin ana dalının y = 1 düz çizgisinin üzerinde bulunduğu x ekseni aralığını seçelim. Bu aralıktır (;).

3. Fonksiyonun periyodikliğini kullanıyoruz.

Özellik 2. y=tg x ana periyodu π olan periyodik bir fonksiyondur.

y = tgх fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak cevabı yazıyoruz:

(;). Cevap çift eşitsizlik olarak yazılabilir:

Şimdi ctg x = a denklemine geçelim. Pozitif ve negatif a denkleminin çözümünün grafiksel bir gösterimini sunalım (Şekil 3).

y = ctg x ve y = a fonksiyonlarının grafikleri ve ayrıca

y=ctg x ve y=-a

apsisleri aşağıdaki gibi görünen sonsuz sayıda ortak noktaya sahiptir:

x = x 1 +, burada x 1, y = a düz çizgisinin teğetoidin ana dalı ile kesişme noktasının apsisidir ve

x 1 = arkctg a;

x = x 2 +, burada x 2, doğrunun kesişme noktasının apsisidir

y = - a, tanjantoidin ana dalı ile ve x 2 = arcсtg (- a).

x 2 = π - x 1 olduğuna dikkat edin. O halde önemli bir eşitlik yazalım:

arkсtg (-a) = π - arkсtg а.

Tanımı formüle edelim: yay kotanjantı a, kotanjantı a'ya eşit olan (0;π) aralığından bir sayıdır.

ctg x = a denkleminin çözümü şu şekilde yazılır: x = arcctg a + .

Lütfen ctg x = a denkleminin şu şekle dönüştürülebileceğini unutmayın.

tg x = , a = 0 durumu hariç.

Bu makale hakkındadır arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerlerini bulma verilen numara. Öncelikle arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantın anlamını açıklığa kavuşturacağız. Daha sonra bu yay fonksiyonlarının ana değerlerini elde edeceğiz, ardından sinüs, kosinüs, teğet ve Bradis tablolarını kullanarak ark sinüs, ark kosinüs, ark tanjant ve ark kotanjant değerlerinin nasıl bulunduğunu anlayacağız. kotanjantlar. Son olarak bir sayının arkkosinüsü, arktanjantı veya arkkotanjantı vb. bilindiğinde arksinüsünü bulma konusuna değinelim.

Sayfada gezinme.

Arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerleri

Her şeyden önce “bunun” gerçekte ne olduğunu bulmaya değer. arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantın anlamı».

Bradis'in sinüs ve kosinüs tablolarının yanı sıra teğet ve kotanjant tabloları, pozitif bir sayının arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerini bir dakikalık doğrulukla derece cinsinden bulmanızı sağlar. Burada, negatif sayıların arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerlerini bulmanın, pozitif sayıların karşılık gelen arkfonksiyonlarının değerlerini arcsin, arccos, arctg ve formüllerine dönerek bulmaya indirgenebileceğini belirtmekte fayda var. arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a, arctg(−a)=−arctg a ve arcctg(−a)=π−arcctg a formundaki zıt sayıların arcctg'si.

Bradis tablolarını kullanarak arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerlerini nasıl bulacağımızı bulalım. Bunu örneklerle yapacağız.

0,2857 ark sinüs değerini bulmamız gerekiyor. Bu değeri sinüs tablosunda buluyoruz (bu değerin tabloda olmadığı durumlar aşağıda tartışılacaktır). Sinüs 16 derece 36 dakikaya karşılık gelir. Dolayısıyla 0,2857 sayısının arksinüsünün istenilen değeri 16 derece 36 dakikalık bir açıdır.

Genellikle tablonun sağındaki üç sütundaki düzeltmelerin dikkate alınması gerekir. Örneğin 0,2863'ün ark sinüsünü bulmamız gerekiyorsa. Sinüs tablosuna göre bu değer 0,2857 artı 0,0006 düzeltme olarak elde edilir, yani 0,2863 değeri 16 derece 38 dakikalık sinüse (16 derece 36 dakika artı 2 dakika düzeltme) karşılık gelir.

Ark sinüsü bizi ilgilendiren sayı tabloda değilse ve düzeltmeler dikkate alınarak bile elde edilemiyorsa, o zaman tabloda bu sayının arasına dahil edildiği, kendisine en yakın sinüslerin iki değerini bulmamız gerekir. Örneğin 0,2861573'ün ark sinüs değerini arıyoruz. Bu sayı tabloda yer almadığı gibi, değişikliklerle de bu sayıya ulaşılamaz. Daha sonra orijinal sayının dahil edildiği en yakın iki değeri 0,2860 ve 0,2863'ü buluruz; bu sayılar 16 derece 37 dakika ve 16 derece 38 dakikanın sinüslerine karşılık gelir. İstenilen arksinüs değeri 0,2861573 bunların arasındadır, yani bu açı değerlerinden herhangi biri 1 dakikalık doğrulukla yaklaşık arksinüs değeri olarak alınabilir.

Ark kosinüs değerleri, ark tanjant değerleri ve ark kotanjant değerleri tamamen aynı şekilde bulunur (bu durumda elbette sırasıyla kosinüs, teğet ve kotanjant tabloları kullanılır).

Arccos, arctg, arcctg, vb. kullanarak arcsin değerini bulma.

Örneğin, arcsin a=−π/12 olduğunu biliyoruz ve arccos a'nın değerini bulmamız gerekiyor. İhtiyacımız olan ark kosinüs değerini hesaplıyoruz: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Bir a sayısının arksinüsünün veya arkkosinüsünün bilinen değerini kullanarak, bu a sayısının arktanjantının veya arkkotanjantının değerini veya tam tersini bulmanız gerektiğinde durum çok daha ilginçtir. Ne yazık ki bu tür bağlantıları tanımlayan formülleri bilmiyoruz. Nasıl olunur? Bunu bir örnekle anlayalım.

Bir a sayısının arkkosinüsünün π/10'a eşit olduğunu ve bu a sayısının arktanjantını hesaplamamız gerektiğini bize bildirin. Sorunu şu şekilde çözebilirsiniz: Ark kosinüsün bilinen değerini kullanarak a sayısını bulun ve ardından bu sayının ark tanjantını bulun. Bunu yapmak için önce bir kosinüs tablosuna, sonra da teğet tablosuna ihtiyacımız var.

π/10 radyan açısı 18 derecelik bir açıdır; kosinüs tablosundan 18 derecelik kosinüsün yaklaşık olarak 0,9511'e eşit olduğunu buluyoruz, bu durumda örneğimizdeki a sayısı 0,9511'dir.

Teğet tablosuna dönmeye devam ediyor ve ihtiyacımız olan arktanjant değerini bulmamız sayesinde 0,9511, yaklaşık 43 derece 34 dakikaya eşit.

Bu konu makaledeki materyal tarafından mantıksal olarak devam ettirilmektedir. arcsin, arccos, arctg ve arcctg içeren ifadelerin değerlerinin değerlendirilmesi.

Kaynakça.

• Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: hasta - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
• Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Boykov, L. D. Romanova. Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmaya yönelik sorunların toplanması, bölüm 1, Penza 2003.
• Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları: Genel eğitim için. ders kitabı kuruluşlar. - 2. baskı. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: hasta. ISBN 5-7107-2667-2