İntegralleri çözmek kolay bir iştir, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Belirli ve belirsiz integraller nelerdir? Bir integralin bildiğiniz tek kullanımı, yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklindeki bir kroşe kancası kullanmaksa ulaşılması zor yerler, o zaman hoş geldiniz! İntegralleri nasıl çözeceğinizi ve neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.

"İntegral" kavramını inceliyoruz

Entegrasyon Eski Mısır'da biliniyordu. Tabii ki içinde değil modern biçim, ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi. İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için yine de temel konularda temel bir anlayışa ihtiyacınız olacak. matematiksel analiz. Blogumuzda bulacağınız bu temel bilgilerdir.

Belirsiz integral

Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .

Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle integral ters veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl olduğunu okuyun.

Tüm sürekli fonksiyonlar için bir antiderivatif mevcuttur. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur:

Belirli integral

İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, bir şeklin alanını, düzgün olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen mesafeyi ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Bir integralin sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamı olduğu unutulmamalıdır.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanı nasıl bulunur?

İntegral kullanma! Fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği ile sınırlanan eğrisel yamuğu sonsuz küçük parçalara bölelim. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın yaklaşık bir sonuç vereceğini unutmayın. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:

a ve b noktalarına integralin sınırları denir.

Bari Alibasov ve "İntegral" grubu

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Aptallar için integral hesaplama kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.

• İntegralin türevi integrale eşittir:

• Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:

• Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:

Belirli bir integralin özellikleri

• Doğrusallık:

• İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:

• Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:

Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu daha önce öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integralleri bulmanın birkaç örneğini ele alacağız. Sizi çözümün inceliklerini kendiniz anlamaya davet ediyoruz ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sorun.

Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Sorduğunuzda size integrallerin hesaplanmasıyla ilgili bildikleri her şeyi anlatacaklar. Bizim yardımımızla herhangi bir üçlü veya çizgi integrali kapalı bir yüzeyde bunu yapabileceksiniz.

Hedef:

• Antiderivatif kavramının oluşumu.
• İntegralin algılanmasına hazırlık.
• Hesaplama becerilerinin oluşumu.
• Güzellik duygusunu geliştirmek (alışılmadık olandaki güzelliği görme yeteneği).

Matematiksel analiz, diferansiyel ve integral hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonların ve bunların genellemelerinin incelenmesine adanmış bir dizi matematik dalıdır.

Şimdiye kadar diferansiyel hesap adı verilen matematiksel analizin bir dalını inceledik ve bunun özü "küçük" bir fonksiyonun incelenmesiydi.

Onlar. Her tanım noktasının yeterince küçük komşuluklarındaki bir fonksiyonun incelenmesi. Türev alma işlemlerinden biri türevi (diferansiyel) bulmak ve onu fonksiyonlar çalışmasına uygulamaktır.

Ters problem daha az önemli değildir. Bir fonksiyonun, tanımındaki her bir noktanın yakınındaki davranışı biliniyorsa, o zaman fonksiyon bir bütün olarak nasıl yeniden yapılandırılabilir? tanımının tüm kapsamı boyunca. Bu problem integral hesabı olarak adlandırılan çalışmanın konusudur.

Entegrasyon, farklılaşmanın ters etkisidir. Veya f(x) fonksiyonunu belirli bir f`(x) türevinden geri yüklemek. Latince “integro” kelimesi restorasyon anlamına gelir.

Örnek No.1.

(x)`=3x 2 olsun.
f(x)'i bulalım.

Çözüm:

Türev alma kuralına göre f(x) = x 3 olduğunu tahmin etmek zor değil çünkü (x 3)` = 3x 2
Ancak f(x)'in benzersiz bir şekilde bulunmadığını kolaylıkla fark edebilirsiniz.
f(x) olarak alabiliriz
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, vb.

Çünkü her birinin türevi 3x2'ye eşittir. (Bir sabitin türevi 0'dır). Tüm bu işlevler birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir. Bu yüzden genel çözüm problem f(x)= x 3 +C biçiminde yazılabilir; burada C herhangi bir sabit gerçek sayıdır.

Bulunan f(x) fonksiyonlarından herhangi biri çağrılır PRİMODYUM F`(x)= 3x 2 fonksiyonu için

Tanım. Bir F(x) fonksiyonuna, belirli bir J aralığındaki bir f(x) fonksiyonu için ters türev denir, eğer bu aralıktaki tüm x'ler için F`(x)= f(x) ise. Yani F(x)=x 3 fonksiyonu f(x)=3x 2'nin (- ∞ ; ∞) üzerinde ters türevidir.
Tüm x ~R için eşitlik doğru olduğundan: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Daha önce fark ettiğimiz gibi, bu fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır (bkz. örnek No. 1).

Örnek No.2. F(x)=x fonksiyonu (0; +) aralığındaki tüm f(x)= 1/x için ters türevdir, çünkü bu aralıktaki tüm x'ler için eşitlik geçerlidir.
F'(x)= (x 1/2)'=1/2x -1/2 =1/2x

Örnek No. 3. F(x)=tg3x fonksiyonu f(x)=3/cos3x'in (-n/) aralığındaki ters türevidir. 2; P/ 2),
Çünkü F'(x)=(tg3x)'= 3/cos 2 3x

Örnek No. 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 fonksiyonu f(x)=12cos4x-1/x 2'nin (0;∞) aralığında ters türevidir.
Çünkü F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Ders 2.

Konu: Terstürev. Bir antiderivatif fonksiyonun temel özelliği.

Antiderivatifi incelerken aşağıdakilere güveneceğiz: sonraki ifade. Bir fonksiyonun sabitliğinin işareti: Eğer J aralığında fonksiyonun türevi Ψ(x) 0'a eşitse, bu aralıkta Ψ(x) fonksiyonu sabittir.

Bu ifade geometrik olarak gösterilebilir.

Ψ`(x)=tgα, γde α'nın, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 noktasındaki teğetin eğim açısı olduğu bilinmektedir. J aralığının herhangi bir noktasında Ψ`(υ)=0 ise, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine herhangi bir teğet için tanα=0 δ olur. Bu, fonksiyonun grafiğinin herhangi bir noktasındaki teğetinin apsis eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, belirtilen aralıkta, Ψ(x) fonksiyonunun grafiği y=C düz çizgi parçasıyla çakışır.

Yani, eğer bu aralıkta f`(x)=0 ise, f(x)=c fonksiyonu J aralığında sabittir.

Aslında, J aralığından keyfi bir x 1 ve x 2 için, bir fonksiyonun ortalama değerine ilişkin teoremi kullanarak şunu yazabiliriz:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), çünkü f`(c)=0 ise f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Antitürev fonksiyonunun ana özelliği)

Eğer F(x), J aralığında f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi şu biçimde olur: F(x) + C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt:

x Є J için F`(x) = f (x) olsun, sonra (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) olsun.
J aralığında f(x)'in başka bir terstürevi olan Φ(x)'in var olduğunu varsayalım; Φ`(x) = f(x),
bu durumda (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J için.
Bu, Φ(x) - F(x)'in J aralığında sabit olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla Φ(x) - F(x) = C.
Buradan itibaren Φ(x)= F(x)+C.
Bu, eğer F(x), J aralığında bir f(x) fonksiyonu için bir terstürev ise, bu fonksiyonun tüm terstürevleri kümesinin şu biçimde olduğu anlamına gelir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Sonuç olarak, belirli bir fonksiyonun herhangi iki antiderivatifi birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir.

Örnek: f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun. İlk üçünün grafiğini çizin.

Çözüm: Sin x, f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevlerinden biridir
F(x) = Sin x+C – tüm antitürevlerin kümesi.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrik çizim: Herhangi bir ters türev F(x)+C'nin grafiği, paralel transfer r(0;c) kullanılarak ters türev F(x)'in grafiğinden elde edilebilir.

Örnek: f (x) = 2x fonksiyonu için grafiği t.M (1;4)'ten geçen bir ters türev bulun.

Çözüm: F(x)=x 2 +C – problemin koşullarına göre tüm antitürevlerin kümesi, F(1)=4.
Bu nedenle, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivatifin tanımı.

Bir f(x) fonksiyonunun (a; b) aralığındaki ters türevi, eşitliğin verilen aralıktaki herhangi bir x için geçerli olduğu bir F(x) fonksiyonudur.

C sabitinin türevinin sıfıra eşit olduğu gerçeğini dikkate alırsak eşitlik doğrudur . Bu nedenle, f(x) fonksiyonu, keyfi bir C sabiti için bir F(x)+C ters türevleri kümesine sahiptir ve bu ters türevler, keyfi bir sabit değerle birbirlerinden farklılık gösterir.

Belirsiz integralin tanımı.

f(x) fonksiyonunun antitürevlerinin tamamına bu fonksiyonun belirsiz integrali denir ve şöyle gösterilir: .

İfade denir integrand ve f(x) – integral fonksiyonu. İntegral f(x) fonksiyonunun diferansiyelini temsil eder.

Diferansiyeli verilen bilinmeyen bir fonksiyonu bulma eylemine ne ad verilir? belirsiz entegrasyon, çünkü entegrasyonun sonucu tek bir F(x) fonksiyonu değil, onun antitürevleri F(x)+C'nin bir kümesidir.

Türevin özelliklerine dayanarak formüle edilebilir ve kanıtlanabilir. belirsiz integralin özellikleri(bir antiderivatifin özellikleri).

Belirsiz integralin birinci ve ikinci özelliklerinin ara eşitlikleri açıklama amacıyla verilmiştir.

Üçüncü ve dördüncü özellikleri kanıtlamak için eşitliklerin sağ taraflarının türevlerini bulmak yeterlidir:

Bu türevler integrandlara eşittir, bu da birinci özellikten dolayı bir kanıttır. Son geçişlerde de kullanılır.

Dolayısıyla entegrasyon sorunu ters problem farklılaşma vardır ve bu görevler arasında çok yakın bir bağlantı vardır:

• ilk özellik entegrasyonun kontrol edilmesine izin verir. Yapılan entegrasyonun doğruluğunu kontrol etmek için elde edilen sonucun türevini hesaplamak yeterlidir. Türev alma sonucu elde edilen fonksiyon integrand'a eşit çıkıyorsa bu, entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir;
• Belirsiz integralin ikinci özelliği, bir fonksiyonun bilinen bir diferansiyelinden antitürevini bulmayı sağlar. Belirsiz integrallerin doğrudan hesaplanması bu özelliğe dayanmaktadır.

Bir örneğe bakalım.

Örnek.

x = 1'de değeri bire eşit olan fonksiyonun ters türevini bulun.

Çözüm.

Diferansiyel hesaptan biliyoruz ki (sadece temel temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakın). Böylece, . İkinci mülk olarak . Yani elimizde birçok antiderivatif var. x = 1 için değeri elde ederiz. Koşula göre bu değerin bire eşit olması gerekir, dolayısıyla C = 1 olur. İstenilen antiderivatif formu alacaktır.

Örnek.

Belirsiz integrali bulun ve sonucu türev alarak kontrol edin.

Çözüm.

Trigonometriden çift açılı sinüs formülünü kullanma , Bu yüzden

Antiderivatif fonksiyon ve belirsiz integral

Gerçek 1. İntegral, farklılaşmanın ters etkisidir, yani bir fonksiyonun bilinen türevinden geri getirilmesidir. Böylece işlev geri yüklendi F(X) denir antiderivatif fonksiyon için F(X).

Tanım 1. İşlev F(X F(X) belirli aralıklarla X, eğer tüm değerler için X bu aralıktan itibaren eşitlik geçerlidir F "(X)=F(X), yani bu fonksiyon F(X) antiderivatif fonksiyonun türevidir F(X). .

Örneğin, fonksiyon F(X) = günah X fonksiyonun ters türevidir F(X) = çünkü X tüm sayı doğrusu üzerinde, çünkü herhangi bir x değeri için (günah X)" = (çünkü X) .

Tanım 2. Bir fonksiyonun belirsiz integrali F(X) tüm anti türevlerinin kümesidir. Bu durumda notasyon kullanılır.

∫

F(X)dx

,

işaret nerede ∫ integral işareti olarak adlandırılan fonksiyon F(X) – integral işlevi ve F(X)dx – integrand ifadesi.

Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatifler F(X) , O

∫

F(X)dx = F(X) +C

Nerede C - keyfi sabit (sabit).

Belirsiz bir integral olarak bir fonksiyonun antitürevleri kümesinin anlamını anlamak için aşağıdaki benzetme uygundur. Bir kapı olsun (geleneksel ahşap kapı). İşlevi “kapı olmaktır”. Kapı neyden yapılmış? Ahşaptan yapılmıştır. Bu, "kapı olma" fonksiyonunun integralinin, yani belirsiz integralinin ters türevleri kümesinin, "ağaç olma + C" fonksiyonu olduğu anlamına gelir; burada C bir sabittir ve bu bağlamda bu, örneğin ağacın türünü belirtir. Tıpkı bir kapının bazı aletler kullanılarak ahşaptan yapılması gibi, bir fonksiyonun türevi de bir antiderivatif fonksiyondan "yapılır". türevi çalışırken öğrendiğimiz formüller .

Daha sonra ortak nesnelerin ve bunlara karşılık gelen ters türevlerinin fonksiyon tablosu (“kapı olmak” - “ağaç olmak”, “kaşık olmak” - “metal olmak” vb.) temel tabloya benzer. Aşağıda verilecek olan belirsiz integraller. Belirsiz integraller tablosu, bu fonksiyonların "oluşturulduğu" ters türevleri gösteren ortak fonksiyonları listeler. Belirsiz integrali bulma problemlerinin bir kısmında, çok fazla çaba harcamadan, yani belirsiz integraller tablosunu kullanarak doğrudan entegre edilebilecek integraller verilmiştir. Daha karmaşık problemlerde, tablo integrallerinin kullanılabilmesi için öncelikle integralin dönüştürülmesi gerekir.

Gerçek 2. Bir fonksiyonu ters türev olarak geri yüklerken, keyfi bir sabiti (sabit) hesaba katmalıyız. C ve 1'den sonsuza kadar çeşitli sabitlere sahip bir antiderivatif listesi yazmamak için, keyfi bir sabite sahip bir antiderivatifler seti yazmanız gerekir. Cörneğin şu şekilde: 5 X³+C. Bu nedenle, antiderivatifin ifadesine keyfi bir sabit (sabit) dahil edilir, çünkü antiderivatif bir fonksiyon olabilir, örneğin 5 X³+4 veya 5 X³+3 ve türevi alındığında 4 veya 3 veya herhangi bir sabit sıfıra gider.

Entegrasyon problemini ortaya koyalım: Bu fonksiyon için F(X) böyle bir fonksiyon bul F(X), kimin türevi eşit F(X).

Örnek 1. Bir fonksiyonun antiderivatifleri kümesini bulun

Çözüm. Bu fonksiyon için antiderivatif fonksiyondur

İşlev F(X) fonksiyonun antiderivatifi olarak adlandırılır F(X), eğer türev F(X) eşittir F(X) veya aynı şey olan diferansiyel F(X) eşittir F(X) dx, yani

(2)

Bu nedenle fonksiyon, fonksiyonun ters türevidir. Ancak, için tek antiderivatif değildir. Aynı zamanda işlev olarak da hizmet ederler

Nerede İLE– keyfi sabit. Bu, farklılaşmayla doğrulanabilir.

Dolayısıyla, eğer bir fonksiyon için bir antiderivatif varsa, o zaman bu fonksiyon için sabit bir terim kadar farklılık gösteren sonsuz sayıda antiderivatif vardır. Bir fonksiyonun tüm antiderivatifleri yukarıdaki biçimde yazılmıştır. Bu, aşağıdaki teoremden kaynaklanmaktadır.

Teorem (gerçeğin resmi ifadesi 2). Eğer F(X) – fonksiyonun antiderivatifi F(X) belirli aralıklarla X, o zaman başka herhangi bir antiderivatif F(X) aynı aralıkta şu şekilde gösterilebilir: F(X) + C, Nerede İLE– keyfi sabit.

Bir sonraki örnekte belirsiz integralin özelliklerinden sonra 3. paragrafta verilecek integral tablosuna dönüyoruz. Yukarıdakilerin özünü netleştirmek için bunu tablonun tamamını okumadan önce yapıyoruz. Tablo ve özelliklerden sonra entegrasyon sırasında bunları bütünüyle kullanacağız.

Örnek 2. Setleri bul antiderivatif fonksiyonlar:

Çözüm. Bu fonksiyonların "yaratıldığı" ters türev fonksiyon kümelerini buluyoruz. İntegral tablosundaki formüllerden bahsederken şimdilik bu tür formüllerin olduğunu kabul edelim ve belirsiz integral tablosunu biraz daha inceleyelim.

1) İntegral tablosundan formül (7)'yi uygulamak N= 3, şunu elde ederiz

2) İntegral tablosundaki formül (10)'u kullanarak N= 1/3, elimizde

3) O zamandan beri

daha sonra formül (7)'ye göre N= -1/4 buluruz

İntegral işaretinin altına yazılan fonksiyonun kendisi değildir. F ve diferansiyele göre çarpımı dx. Bu öncelikle antiderivatifin hangi değişken tarafından arandığını belirtmek için yapılır. Örneğin,

, ;

burada her iki durumda da integral eşittir , ancak dikkate alınan durumlarda belirsiz integrallerinin farklı olduğu ortaya çıkar. İlk durumda, bu fonksiyon değişkenin bir fonksiyonu olarak kabul edilir. X ve ikincisinde - bir fonksiyonu olarak z .

Bir fonksiyonun belirsiz integralini bulma işlemine o fonksiyonun integrali denir.

Belirsiz integralin geometrik anlamı

Diyelim ki bir eğri bulmamız gerekiyor y=F(x) ve teğet açının her bir noktasındaki tanjantının belirli bir fonksiyon olduğunu zaten biliyoruz. f(x) bu noktanın apsisi.

Buna göre geometrik anlamda türev, eğrinin belirli bir noktasındaki teğet açısının tanjantı y=F(x) türevin değerine eşit F"(x). Yani böyle bir fonksiyon bulmamız gerekiyor F(x), bunun için F"(x)=f(x). Görevde gerekli işlev F(x) bir antitürevidir f(x). Problemin koşulları tek bir eğri tarafından değil, bir eğri ailesi tarafından karşılanmaktadır. y=F(x)- bu eğrilerden biri ve eksen boyunca paralel ötelemeyle bundan herhangi bir başka eğri elde edilebilir oy.

Antiderivatif fonksiyonunun grafiğine diyelim f(x) integral eğrisi. Eğer F"(x)=f(x), ardından fonksiyonun grafiği y=F(x) integral eğrisi vardır.

Gerçek 3. Belirsiz integral geometrik olarak tüm integral eğrileri ailesi tarafından temsil edilir aşağıdaki resimde olduğu gibi. Her eğrinin koordinatların orijininden uzaklığı, keyfi bir entegrasyon sabiti tarafından belirlenir. C.

Belirsiz integralin özellikleri

Gerçek 4. Teorem 1. Belirsiz bir integralin türevi integrale eşittir ve diferansiyeli de integrale eşittir.

Gerçek 5. Teorem 2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali F(X) fonksiyona eşittir F(X) sabit bir terime kadar , yani

(3)

Teorem 1 ve 2, farklılaşma ve entegrasyonun karşılıklı olarak ters işlemler olduğunu göstermektedir.

Gerçek 6. Teorem 3. İntegralin sabit faktörü belirsiz integralin işaretinden çıkarılabilir , yani

Antiderivatif fonksiyonları bulmanın üç temel kuralı vardır. Karşılık gelen farklılaşma kurallarına çok benzerler.

Kural 1

Eğer F, bir f fonksiyonu için bir ters türev ise ve G, bir g fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman F + G, f + g için bir ters türev olacaktır.

Bir terstürevin tanımı gereği, F' = f. G' = g. Ve bu koşullar karşılandığı için, fonksiyonların toplamının türevini hesaplama kuralına göre sahip olacağız:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Kural 2

Eğer F, bir f fonksiyonu için ters türev ise ve k bir sabittir. O halde k*F, k*f fonksiyonunun ters türevidir. Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır.

Elimizde: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Kural 3

Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi ise ve k ve b bazı sabitlerse ve k sıfıra eşit değilse, o zaman (1/k)*F*(k*x+b) şu şekilde olacaktır: f(k*x+b) fonksiyonunun antiderivatifi.

Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Bu kuralların nasıl uygulandığına dair birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1. Bulmak genel görünüm f(x) = x^3 +1/x^2 fonksiyonunun ters türevleri. x^3 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri (x^4)/4 fonksiyonu olacaktır ve 1/x^2 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri -1/x fonksiyonu olacaktır. İlk kuralı kullanarak şunu elde ederiz:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Örnek 2. f(x) = 5*cos(x) fonksiyonunun ters türevlerinin genel formunu bulalım. cos(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri sin(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi ikinci kuralı kullanırsak:

F(x) = 5*sin(x).

Örnek 3. y = sin(3*x-2) fonksiyonunun ters türevlerinden birini bulun. sin(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri -cos(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanırsak ters türev için bir ifade elde ederiz:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Örnek 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 fonksiyonunun terstürevini bulun

1/x^5 fonksiyonunun terstürevi (-1/(4*x^4)) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanarak şunu elde ederiz.