§ 87. Kesirlerin eklenmesi.

Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.

Üç durumu sırasıyla ele alacağız:

1. Kesirleri kullanarak toplama aynı paydalar.
2. Kesirlerin eklenmesi farklı paydalar.
3. Karışık sayıların eklenmesi.

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.

Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.

AB segmentini alalım (Şekil 17), bir olarak alalım ve 5 eşit parçaya bölelim, sonra bu segmentin AC kısmı AB segmentinin 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD segmentinin kısmı şuna eşit olacaktır: 2/5 AB.

Çizimden AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı görülmektedir; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu terimler ve ortaya çıkan toplam dikkate alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın ise değişmeden kaldığını görüyoruz.

Bundan aşağıdaki kuralı elde ederiz: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.

Kesirleri toplayalım: 3 / 4 + 3 / 8 Önce en küçüğüne indirilmeleri gerekiyor ortak payda:

6/8 + 3/8 ara bağlantısı yazılamadı; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.

Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için öncelikle bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı etiketlemelisiniz.

Bir örnek ele alalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörleri yazacağız):

3. Karışık sayıların eklenmesi.

Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.

Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:

Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:

§ 88. Kesirlerin çıkarılması.

Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Bir örneğe bakalım:

13 / 15 - 4 / 15

AB parçasını alalım (Şek. 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.

4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:

Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.

Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Örnek. 3/4 - 5/8

Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:

Ara madde 6/8 - 5/8 netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır, ancak daha sonra atlanabilir.

Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.

Bir örneğe bakalım:

3. Karışık sayılarda çıkarma.

Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.

Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:

Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ancak, çıkarılanın kesirli kısmının azaltılanın kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:

§ 89. Kesirlerin çarpımı.

Kesir çarpmasını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her bir terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.

Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:

Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,

Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için

veya paydasını azaltarak , eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.

Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür problemlere örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.

Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların fiyatı ne kadardı?

Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?

Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda ne kadar tuğla evler?

İşte bunlardan bazıları çok sayıda görev Belirli bir sayının karşılaştığımız kısımlarını bulmak için. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.

Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:

Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:

300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).

300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü iki katına çıkarmanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:

100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).

Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,

400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).

400'ün dörtte üçünü hesaplamak için elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:

100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).

Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:

Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.

3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.

Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.

Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.

Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.

Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıkça anlaşılmaktadır: bir tamsayıyı (çarpımı) bir kesirle (çarpımı) çarpmak, çarpımın bu kesrini bulmak anlamına gelir.

Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.

Ancak şimdi ilginç ve önemli bir soru ortaya çıkıyor: Eşit sayıların toplamını bulmak ve bir sayının kesirini bulmak gibi görünüşte farklı olan işlemlere neden aritmetikte aynı "çarpma" kelimesi denir?

Bunun nedeni, önceki eylemin (sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (sayıyı kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden yola çıktığımız anlamına gelir.

Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?

Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).

Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 m'si ne kadara mal olur?”

Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.

Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.

Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.

Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?

Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:

Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.

50'nin 1/4'ü 50/4;

50 sayısının 3/4'ü

Buradan.

Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?

12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,

12 sayısının 5/8'i .

Buradan,

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.

Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.

Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:

4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir; yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden (çarpan) faktördeki kesri bulmanız gerekir.

Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.

Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?

Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.

3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:

5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:

Böylece,

Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.

5/8'in 1/9'u,

5/8 sayısının 4/9'u .

Böylece,

Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:

Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.

Bu kural genel görünümşu şekilde yazılabilir:

Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:

5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı sayıların çarpılmasında kullanılır. Bu, çarpımın, faktörün veya her iki faktörün karışık sayılarla ifade edildiği durumlarda bunların yerine uygunsuz kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini uygunsuz bir kesire dönüştürelim ve sonra elde edilen kesirleri bir kesirle bir kesirle çarpma kuralına göre çarpalım:

Kural. Tam sayılı sayıları çarpmak için, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:

6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi birine değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yediye bölünmemiş.

Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.

Genel olarak, (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.

Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.

Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek

2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mevduat sahiplerine öder.

Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.

ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.

Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.

"Yüzde" kelimesi ödünç alınmıştır. Latince dili ve kökü "cent" yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Böyle bir ifadenin anlamı, başlangıçta antik Roma Faiz, borçlunun borç verene “yüzde bir” ödediği paraydı. "Sent" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).

Mesela fabrika geçen ay ürünlerinin 1/100'ünü kusurlu üretti demek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusurlu üretti. Fabrika belirlenen plandan 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine fabrika planı yüzde 4 oranında aştı diyeceğiz.

Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:

1. Kitap fiyatları önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.

2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.

Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.

Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.

Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:

Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:

7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.

Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?

Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).

Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.

Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.

Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. Yüzde 21'ini 11 yaşındaki çocuklar, yüzde 61'ini 12 yaşındaki çocuklar ve yüzde 18'ini ise 13 yaşındaki çocuklar oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?

Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.

Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi şunu yapalım:

1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?

2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?

3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?

Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu şunu gösteriyor toplam sayı kamptaki çocuklar %100 olarak alınmıştır.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Görevde belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

Bu problemi çözmek için 1.200'ün kesrini 5 kere bulmanız gerekiyor.

1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Şimdi hesaplamayı yapalım:

2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:

3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?

4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

5) İşçi ne kadar para biriktirdi?

Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.

Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.

§ 90. Kesirlerin bölünmesi.

Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.

Bölme işlemi, tamsayılar bölümünde de belirtildiği gibi, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan bir işlemdir.

Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle, tamsayılar alanında tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölen her zaman tamsayıya göre bölünen ürün değildir. Bir kesirle çarpmayı tanıttıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün görebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).

Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.

Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.

2. Bir kesri bir tam sayıya bölmek.

6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.

Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:

Bu durumda pay 6 3'e bölünebildiğinden payın 3 katına çıkarılması gerekir.

Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını aynı payda bırakarak bu sayıyla çarpın.

3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.

5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1/2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.

Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.

Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10

Kontrol edelim:

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmek istiyorsunuz. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şek. 19).

Şekil 19

6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak sonuçta ortaya çıkan 2'lik 18 parçayı birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,

Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 2/3'ün kaç katı 6'da bulunur sorusuna cevap vermemiz gerekiyor. Önce şunu bulalım: 1/3'ün kaç katı 6'da bulunur? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:

Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

4. Bir kesri bir kesire bölmek.

Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesrinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).

Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacak. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:

Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 bilinmeyen numara X 15/16

Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X öyle,

32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .

Buradan,

Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

5. Karışık sayıların bölümü.

Tam sayılı kesirleri bölerken, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeli, sonra elde edilen kesirleri bölme kurallarına göre bölmelisiniz. kesirli sayılar. Bir örneğe bakalım:

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:

Şimdi bölelim:

Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.

6. Verilen kesirden bir sayı bulma.

Arasında çeşitli görevler Kesirlerde bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği kesirler vardır ve bu sayıyı bulmanız gerekir. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesrini bulmak gerekiyordu, burada bir sayının kesrini veriyordu ve bu sayıyı kendisinin bulması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.

Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?

Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.

Evin 150 penceresi vardı.

Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?

Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:

1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).

Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,

500 8 = 4.000 (kg).

Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.

Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural çıkarılabilir.

Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.

Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, sonuncusunda özellikle açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).

Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.

Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:

Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.

7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.

Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)

Sorunun anlamı şu ki, bir miktar parayı bir tasarruf bankasına yatırdım ve orada bir yıl kaldım. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?

Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:

Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.

Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı yüzde 64 oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?

Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.

Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:

Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.

Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu yanıtı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?

Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:

§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.

2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.

Belirli bir kesrin tersini elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:

3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5

Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.

Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:

1/3, ters 3; 1/5, ters 5

Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılardan bahsedeceğiz.

Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: paydayı payın yerine koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının ters sayısını da elde edebilirsiniz. Bu da 7'nin ters sayısının 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1

Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının karşılığı, birinin belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilir. Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Hatta 5/9 kesrinin tersini yazmamız gerekirse 1 alıp 5/9'a bölebiliriz yani.

Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:

Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.

Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .

Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.

6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:

Lütfen öde özel ilgi ifadeye getirin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .

İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılarak değiştirilebilir.

Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.

Bu yazıda nasıl olduğunu anlayacağız karışık sayıların bölünmesi. Öncelikle karışık sayıları bölme kuralının ana hatlarını çizelim ve örneklerin çözümlerini ele alalım. Daha sonra bölmeye odaklanacağız karışık sayı doğal sayı ve bölmeye göre doğal sayı karışık bir sayıya. Sonuç olarak, karışık bir sayıyı ortak bir kesire nasıl böleceğimize bakalım.

Sayfada gezinme.

Karışık bir sayıyı karışık bir sayıya bölme

Karışık sayıların bölünmesi sıradan kesirleri bölmeye indirgenebilir. Bunu yapmak için karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürmek yeterlidir.

Haydi yazalım karışık sayıları bölme kuralı: Karışık bir sayıyı karışık bir sayıya bölmek için şunları yapmanız gerekir:

• karşılık gelenleri böl sıradan kesirler.

Geriye karışık sayıları bölme örneğine bakmaya devam ediyoruz.

Örnek.

Bir karma sayının bir karma sayıya bölünmesinin sonucu nedir?

Çözüm.

Tam sayılı kesirlerin bölünmesini sıradan kesirlerin bölünmesine indirgemek için, karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürürüz, şunu elde ederiz: Ve .

Böylece, . Şimdi sıradan kesirleri bölme kuralını kullanalım: . Bu aşamada kesri azaltabilirsiniz: . Bu, karışık sayıların bölünmesini tamamlar.

Cevap:

.

Karışık bir sayıyı doğal sayıya bölme

Karışık bir sayıyı doğal sayıya bölme sıradan bir kesrin bir doğal sayıya bölünmesine yol açar. Bunu yapmak için, bölünen karışık sayıyı bileşik kesire dönüştürmek yeterlidir.

Örnek.

Karışık sayıyı doğal sayı olan 75'e bölün.

Çözüm.

İlk önce karışık sayıdan diğerine geçiyoruz uygunsuz kesir: , Daha sonra . Sıradan kesri doğal bir sayıya bölmek kalır: . İndirgeme işleminden sonra, karışık bir sayının 75 doğal sayısına bölünmesiyle elde edilen bölüm olan 1/20 kesirini elde ederiz.

Cevap:

Doğal bir sayıyı tam sayılı bir sayıya bölmek

Doğal bir sayıyı tam sayılı bir sayıya bölmek Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesirle değiştirdikten sonra, doğal bir sayının ortak bir kesire bölünmesine indirgenir. Açıklık sağlamak için, örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

40 doğal sayısını bir tam sayıya bölün.

Çözüm.

Öncelikle karışık sayıyı uygunsuz kesir olarak temsil edelim: .

Artık bölme işlemine geçebiliriz, elde ederiz. Ortaya çıkan kesir indirgenemez (bkz. indirgenebilir ve indirgenemez kesirler), ancak uygun değildir, bu nedenle tüm parçayı ondan ayırmanız gerekir, elimizde . Bu, bir doğal sayının tam sayıya bölünmesini tamamlar.

Bölünme belirir. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız adi kesirlerin bölünmesi. Öncelikle sıradan kesirleri bölme kuralını vereceğiz ve kesirleri bölme örneklerine bakacağız. Daha sonra sıradan bir kesri bir doğal sayıya ve sayıları da bir kesre bölmeye odaklanacağız. Son olarak, ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya nasıl böleceğimize bakalım.

Sayfada gezinme.

Ortak bir kesri ortak bir kesire bölmek

Bölmenin çarpma işleminin tersi olduğu bilinmektedir (bkz. bölme ve çarpma arasındaki bağlantı). Yani bölme, ürün ve başka bir faktör bilindiğinde bilinmeyen bir faktörün bulunmasını içerir. Sıradan kesirleri bölerken de bölmenin aynı anlamı korunur.

Sıradan kesirleri bölme örneklerine bakalım.

Kesirleri azaltmayı ve tüm parçayı yanlış kesirden ayırmayı unutmamamız gerektiğini unutmayın.

Ortak bir kesri bir doğal sayıya bölmek

Hemen vereceğiz kesri bir doğal sayıya bölme kuralı: a/b kesrini bir n doğal sayısına bölmek için payı aynı bırakıp paydayı n ile çarpmanız gerekir, yani .

Bu bölme kuralı doğrudan sıradan kesirleri bölme kuralından gelir. Aslında bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek aşağıdaki eşitliklere yol açar: .

Bir kesri bir sayıya bölme örneğine bakalım.

Örnek.

16/45 kesrini 12 doğal sayısına bölün.

Çözüm.

Bir kesri bir sayıya bölme kuralına göre, . Kısaltmayı yapalım: . Bu bölüm tamamlandı.

Cevap:

.

Doğal bir sayıyı kesre bölme

Kesirleri bölme kuralı benzerdir doğal sayıyı kesre bölme kuralı: Bir n doğal sayısını ortak bir a/b kesrine bölmek için, n sayısını a/b kesirinin tersiyle çarpmanız gerekir.

Belirtilen kurala göre, ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı, onun formda yeniden yazılmasına izin verir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek.

25 doğal sayısını 15/28 kesrine bölün.

Çözüm.

Bölme işleminden çarpma işlemine geçelim, elimizde . Parçanın tamamını küçültüp seçtikten sonra elde ederiz.

Cevap:

.

Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek

Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek sıradan kesirleri bölmeye kolayca indirgenir. Bunu yapmak için yürütmek yeterlidir

T ders türü: ONZ (yeni bilginin keşfi - aktiviteye dayalı öğretim yönteminin teknolojisinin kullanılması).

Ana hedefler:

1. Bir kesri bir doğal sayıya bölmenin yollarını bulun;
2. Bir kesri doğal sayıya bölme yeteneğini geliştirmek;
3. Kesirlerin bölünmesini tekrarlayın ve güçlendirin;
4. Kesirleri azaltma, problemleri analiz etme ve çözme yeteneğini geliştirin.

Ekipman tanıtım malzemesi:

1. Bilgiyi güncellemeye yönelik görevler:

İfadeleri karşılaştırın:

Referans:

2. Deneme (bireysel) görevi.

1. Bölmeyi gerçekleştirin:

2. Tüm hesaplama zincirini gerçekleştirmeden bölme işlemini gerçekleştirin: .

Standartlar:

• Bir kesri bir doğal sayıya bölerken paydayı bu sayıyla çarpabilirsiniz ancak payı aynı bırakabilirsiniz.

• Pay bir doğal sayıya bölünebiliyorsa, bir kesri bu sayıya bölerken payı sayıya bölebilir ve paydayı aynı bırakabilirsiniz.

Ders ilerlemesi

I. Eğitim faaliyetleri için motivasyon (kendi kaderini tayin etme).

Sahnenin amacı:

1. Eğitim faaliyetleri açısından öğrencinin gereksinimlerinin güncellenmesini organize etmek (“zorunluluk”);
2. Tematik çerçeveler oluşturmak için öğrenci etkinlikleri düzenleyin (“Yapabilirim”);
3. Öğrencinin eğitim faaliyetlerine dahil edilmeye yönelik içsel bir ihtiyaç geliştirmesi için koşullar yaratın ("istiyorum").

Aşama I'de eğitim sürecinin organizasyonu.

Merhaba! Hepinizi matematik dersinde gördüğüme sevindim. Umarım karşılıklıdır.

Çocuklar, son derste hangi yeni bilgileri edindiniz? (Kesirleri bölün).

Sağ. Kesirlerde bölme işlemi yapmanıza ne yardımcı olur? (Kural, özellikler).

Bu bilgiye nerede ihtiyacımız var? (Örneklerde, denklemlerde, problemlerde).

Tebrikler! Son dersteki ödevleri iyi yaptın. Bugün yeni bilgileri kendiniz keşfetmek ister misiniz? (Evet).

O zaman - hadi gidelim! Dersin mottosu da “Komşunu izleyerek matematiği öğrenemezsin!” cümlesi olacak.

II. Bilginin güncellenmesi ve bir deneme eylemindeki bireysel zorlukların düzeltilmesi.

Sahnenin amacı:

1. Yeni bilgi oluşturmaya yetecek öğrenilen eylem yöntemlerinin güncellenmesini organize edin. Bu yöntemleri sözlü olarak (konuşmada) ve sembolik olarak (standart) kaydedin ve genelleştirin;
2. Zihinsel operasyonların gerçekleştirilmesini organize etmek ve bilişsel süreçler yeni bilginin inşası için yeterli;
3. Bir deneme eylemi ve bunun bağımsız olarak uygulanması ve gerekçelendirilmesi için motive etmek;
4. Bir deneme eylemi için bireysel bir görev sunun ve yeni eğitim içeriğini belirlemek için onu analiz edin;
5. Dersin eğitim hedefinin ve konusunun belirlenmesini organize etmek;
6. Bir deneme eyleminin uygulanmasını organize etmek ve zorluğu düzeltmek;
7. Alınan yanıtların bir analizini düzenleyin ve bir deneme eyleminin gerçekleştirilmesinde veya gerekçelendirilmesinde karşılaşılan bireysel zorlukları kaydedin.

Aşama II'de eğitim sürecinin organizasyonu.

Önden, tabletler (bireysel panolar) kullanarak.

1. İfadeleri karşılaştırın:

(Bu ifadeler eşittir)

Hangi ilginç şeyleri fark ettiniz? (Her ifadede bölenin pay ve paydası, bölenin pay ve paydası aynı sayıda arttırılmıştır. Böylece ifadelerdeki bölen ve bölenler birbirine eşit kesirlerle temsil edilmiştir).

İfadenin anlamını bulun ve tabletinize yazın. (2)

Bu sayıyı kesirli olarak nasıl yazabilirim?

Bölme işlemini nasıl gerçekleştirdiniz? (Çocuklar kuralı telaffuz eder, öğretmen tahtaya harf sembolleri asar)

2. Yalnızca sonuçları hesaplayın ve kaydedin:

3. Sonuçları toplayın ve cevabı yazın. (2)

Görev 3'te elde edilen sayının adı nedir? (Doğal)

Bir kesri bir doğal sayıya bölebileceğinizi düşünüyor musunuz? (Evet, deneyeceğiz)

Bunu dene.

4. Bireysel (deneme) görevi.

Bölmeyi gerçekleştirin: (yalnızca örnek a)

Bölmek için hangi kuralı kullandınız? (Kesirleri kesirlere bölme kuralına göre)

Şimdi kesri aşağıdakilerden daha büyük bir doğal sayıya bölün. basit bir şekilde, tüm hesaplama zincirini gerçekleştirmeden: (örnek b). Bunun için sana 3 saniye veriyorum.

Kim görevi 3 saniyede tamamlayamadı?

Kim yaptı? (Öyle bir şey yok)

Neden? (Yolu bilmiyoruz)

Ne aldın? (Zorluk)

Sizce sınıfta ne yapacağız? (Kesirleri doğal sayılara bölme)

Aynen öyle, defterlerinizi açın ve dersin konusunu yazın: "Bir kesri doğal sayıya bölmek."

Kesirleri nasıl böleceğinizi zaten bildiğiniz halde bu konu neden yeni geliyor? (Yeni bir yola ihtiyaç var)

Sağ. Bugün bir kesrin doğal sayıya bölünmesini kolaylaştıran bir teknik geliştireceğiz.

III. Sorunun yerinin ve nedeninin belirlenmesi.

Sahnenin amacı:

1. Tamamlanan operasyonların restorasyonunu organize edin ve zorluğun ortaya çıktığı yeri - adımı, operasyonu - kaydedin (sözlü ve sembolik);
2. Öğrencilerin eylemlerinin, kullanılan yöntemle (algoritma) ve dış konuşmada zorluğun nedeninin - bu tür ilk problemi çözmek için eksik olan belirli bilgi, beceri veya yeteneklerin - sabitlenmesi ile korelasyonunu düzenleyin.

Aşama III'te eğitim sürecinin organizasyonu.

Hangi görevi tamamlamanız gerekiyordu? (Hesaplama zincirinin tamamını gözden geçirmeden bir kesri doğal bir sayıya bölün)

Zorlanmanıza ne sebep oldu? (Hızlı bir yöntemle kısa sürede çözemezdik)

Derste kendimize hangi hedefi koyuyoruz? (Bulmak hızlı yol bir kesrin bir doğal sayıya bölünmesi)

Sana ne yardımcı olacak? (Kesirleri bölmek için zaten bilinen bir kural)

IV. Bir problemden kurtulmak için bir proje oluşturmak.

Sahnenin amacı:

1. Proje hedefinin açıklığa kavuşturulması;
2. Yöntem seçimi (açıklama);
3. Araçların belirlenmesi (algoritma);
4. Hedefe ulaşmak için bir plan oluşturmak.

Aşama IV'te eğitim sürecinin organizasyonu.

Test görevine dönelim. Kesirlerde bölme kuralına göre böldüğünüzü mü söylediniz? (Evet)

Bunu yapmak için doğal bir sayıyı kesirle değiştirmek ister misiniz? (Evet)

Hangi adımın (veya adımların) atlanabileceğini düşünüyorsunuz?

(Çözüm zinciri tahtada açıktır:

Analiz edin ve bir sonuç çıkarın. (1. Adım)

Cevap yoksa, sizi sorularla yönlendiririz:

Doğal bölen nereye gitti? (Paydaya doğru)

Pay değişti mi? (HAYIR)

Peki hangi adımı “atlayabilirsiniz”? (1. Adım)

Eylem planı:

• Bir kesrin paydasını bir doğal sayıyla çarpın.
• Payını değiştirmiyoruz.
• Yeni bir kesir elde ediyoruz.

V. İnşa edilen projenin uygulanması.

Sahnenin amacı:

1. Eksik bilgiyi edinmeyi amaçlayan inşa edilmiş projenin uygulanması için iletişimsel etkileşimi organize edin;
2. Konuşma ve işaretlerde oluşturulmuş eylem yönteminin kaydını düzenleyin (bir standart kullanarak);
3. Başlangıçtaki problemin çözümünü organize edin ve zorluğun nasıl aşılacağını kaydedin;
4. Yeni bilginin genel doğasının açıklığa kavuşturulmasını organize edin.

Aşama V'de eğitim sürecinin organizasyonu.

Şimdi test senaryosunu hızlı bir şekilde yeni bir şekilde çalıştırın.

Artık görevi hızlı bir şekilde tamamlayabildiniz mi? (Evet)

Bunu nasıl yaptığını açıkla? (Çocuklar konuşur)

Bu, yeni bir bilgi edindiğimiz anlamına gelir: bir kesri doğal sayıya bölme kuralı.

Tebrikler! Çiftler halinde söyleyin.

Daha sonra bir öğrenci sınıfta konuşuyor. Kural-algoritmayı sözlü olarak ve bir standart şeklinde tahtaya sabitliyoruz.

Şimdi harf tanımlarını girin ve kuralımızın formülünü yazın.

Öğrenci tahtaya şu kuralı söyleyerek yazar: Bir kesri doğal bir sayıya bölerken paydayı bu sayıyla çarpabilirsiniz, ancak payı aynı bırakabilirsiniz.

(Herkes formülü defterlerine yazar).

Şimdi cevaba özellikle dikkat ederek test görevini çözme zincirini tekrar analiz edin. Ne yaptın? (15 kesirinin payı 3 sayısına bölünür (azaltılır)

Bu sayı nedir? (Doğal, bölen)

Peki bir kesri bir doğal sayıya başka nasıl bölebilirsiniz? (Kontrol edin: Bir kesrin payı bu doğal sayıya bölünüyorsa, payı bu sayıya bölebilir ve sonucu paya yazabilirsiniz. yeni kesir ve paydayı aynı bırakın)

Bu yöntemi formül olarak yazın. (Öğrenci kuralı söylerken tahtaya yazar. Herkes formülü defterlerine yazar.)

İlk yönteme dönelim. Eğer a:n? (Evet öyle genel yöntem)

Peki ikinci yöntemi kullanmak ne zaman uygundur? (Bir kesrin payının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi)

VI. Dış konuşmada telaffuzla birincil konsolidasyon.

Sahnenin amacı:

1. Dış konuşmadaki telaffuzlarıyla (önden, çiftler veya gruplar halinde) standart problemleri çözerken çocukların yeni bir eylem yöntemini özümsemesini düzenleyin.

VI. Aşamada eğitim sürecinin organizasyonu.

Yeni bir şekilde hesaplayın:

• 363 (a; d) - tahtada kuralın söylenmesiyle gerçekleştirilir.
• 363 (e; f) - örneğe göre kontrol edilen çiftler halinde.

VII. Standarda göre kendi kendine test ile bağımsız çalışma.

Sahnenin amacı:

1. Yeni bir eylem şekli için öğrencilerin görevleri bağımsız olarak tamamlamalarını organize edin;
2. Standartla karşılaştırmaya dayalı olarak kendi kendine testi düzenleyin;
3. Yürütme sonuçlarına göre bağımsız çalışma yeni bir eylem biçiminin asimilasyonu üzerine düşünceyi organize etmek.

Aşama VII'de eğitim sürecinin organizasyonu.

Yeni bir şekilde hesaplayın:

• 363(b;c)

Öğrenciler standardı kontrol eder ve uygulamanın doğruluğunu işaretler. Hataların nedenleri analiz edilerek hatalar düzeltilir.

Öğretmen hata yapan öğrencilere sebebinin ne olduğunu sorar.

Bu aşamada her öğrencinin bağımsız olarak çalışmalarını kontrol etmesi önemlidir.

VIII. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama.

Sahnenin amacı:

1. Yeni bilginin uygulama sınırlarının belirlenmesini organize etmek;
2. Anlamlı sürekliliği sağlamak için gerekli eğitim içeriğinin tekrarını düzenleyin.

Aşama VIII'de eğitim sürecinin organizasyonu.

Gelecekteki eğitim faaliyetlerine yön vermek için dersteki çözülmemiş zorlukların kaydını düzenlemek;

Bir tartışma düzenleyin ve ödevin kaydedilmesini sağlayın.

Aşama IX'da eğitim sürecinin organizasyonu.

1. Diyalog:

Çocuklar, bugün hangi yeni bilgileri keşfettiniz? (Basit bir şekilde bir kesirin bir doğal sayıya nasıl bölüneceğini öğrendim)

Genel bir yöntem formüle edin. (Diyorlar ki)

Hangi şekilde ve hangi durumlarda kullanılabilir? (Diyorlar ki)

Yeni yöntemin avantajı nedir?

Ders hedefimize ulaştık mı? (Evet)

Hedefinize ulaşmak için hangi bilgiyi kullandınız? (Diyorlar ki)

Senin için her şey yolunda gitti mi?

Zorluklar nelerdi?

2. Ev ödevi: madde 3.2.4.; 365(l, n, o, p); 370 numara.

3. Öğretmen: Bugün herkesin aktif olmasına ve bu zorluktan kurtulmanın bir yolunu bulmasına sevindim. Ve en önemlisi yenisini açarken ve kurarken komşu değillerdi. Ders için teşekkürler çocuklar!

Bölme dahil kesirlerle her şeyi yapabilirsiniz. Bu makale sıradan kesirlerin bölünmesini göstermektedir. Tanımlar verilecek ve örnekler tartışılacaktır. Kesirleri doğal sayılara bölme ve bunun tersini ayrıntılı olarak ele alalım. Ortak bir kesrin tam sayılı bir sayıya bölünmesi tartışılacaktır.

Kesirleri bölme

Bölme çarpma işleminin tersidir. Bölme işleminde bilinmeyen faktör, başka bir faktörün bilinen çarpımı ile bulunur ve sıradan kesirlerle verilen anlamı korunur.

Ortak bir kesir a b'yi c d'ye bölmek gerekiyorsa, o zaman böyle bir sayıyı belirlemek için c d böleni ile çarpmanız gerekir, bu sonuçta a b temettüsünü verecektir. Bir sayı alalım ve bunu a b · d c olarak yazalım; burada d c, c d sayısının tersidir. Eşitlikler çarpmanın özellikleri kullanılarak yazılabilir, yani: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, burada a b · d c ifadesi a b'nin c d'ye bölünmesinin bölümüdür.

Buradan sıradan kesirleri bölme kuralını elde edip formüle ediyoruz:

Tanım 1

Ortak bir kesri a b'ye c d'ye bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.

Kuralı bir ifade biçiminde yazalım: a b: c d = a b · d c

Bölme kuralları çarpma işlemine bağlıdır. Buna bağlı kalabilmek için kesirlerle çarpma konusunda iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir.

Sıradan kesirlerin bölünmesini düşünmeye devam edelim.

Örnek 1

9 7'yi 5 3'e bölün. Sonucu kesir olarak yazın.

Çözüm

5 3 sayısı, 3 5'in karşılıklı kesridir. Sıradan kesirleri bölmek için kuralı kullanmak gerekir. Bu ifadeyi şu şekilde yazıyoruz: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Cevap: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kesirleri azaltırken pay paydadan büyükse tüm kısmı ayırın.

Örnek 2

8 15'i böl: 24 65. Cevabı kesirli olarak yazın.

Çözüm

Çözmek için bölme işleminden çarpma işlemine geçmeniz gerekir. Şu şekilde yazalım: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Azaltma yapılması gerekir ve bu şu şekilde yapılır: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Parçanın tamamını seçin ve 13 9 = 1 4 9 elde edin.

Cevap: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Olağanüstü bir kesri doğal bir sayıya bölmek

Bir kesri doğal sayıya bölme kuralını kullanırız: a b'yi doğal sayı n'ye bölmek için paydayı n ile çarpmanız yeterlidir. Buradan şu ifadeyi elde ederiz: a b: n = a b · n.

Bölme kuralı çarpma kuralının bir sonucudur. Bu nedenle, bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek şu türden bir eşitliği verecektir: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Bir kesrin bu sayıya bölünmesini düşünün.

Örnek 3

16 45 kesrini 12 sayısına bölün.

Çözüm

Bir kesri bir sayıya bölme kuralını uygulayalım. 16 45: 12 = 16 45 · 12 formunda bir ifade elde ederiz.

Kesri azaltalım. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 elde ederiz.

Cevap: 16 45: 12 = 4 135 .

Doğal bir sayıyı kesre bölme

Bölme kuralı benzer O bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle bölme kuralı: bir doğal sayı n'yi sıradan bir kesir a b'ye bölmek için, n sayısını a b kesirinin tersi ile çarpmak gerekir.

Kurala göre elimizde n: a b = n · b a bulunur ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı sayesinde ifademizi n: a b = n · b a biçiminde elde ederiz. Bu ayrımı bir örnekle ele almak gerekir.

Örnek 4

25'i 15 28'e bölün.

Çözüm

Bölme işleminden çarpma işlemine geçmemiz gerekiyor. 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 ifadesi şeklinde yazalım. Kesri azaltalım ve sonucu 46 2 3 kesri şeklinde elde edelim.

Cevap: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek

Ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya bölerken, ortak kesirleri kolayca bölmeye başlayabilirsiniz. Karışık bir sayıyı yanlış kesire dönüştürmeniz gerekir.

Örnek 5

35 16 kesrini 3 1 8'e bölün.

Çözüm

3 1 8 karışık bir sayı olduğundan, bunu bileşik kesir olarak gösterelim. O zaman 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 elde ederiz. Şimdi kesirleri bölelim. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 elde ederiz

Cevap: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Karışık bir sayının bölünmesi normal sayılarla aynı şekilde yapılır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.