Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi veya onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bu yazıda bulmak için her türlü sorunu analiz edeceğiz

Haydi hatırlayalım Türevin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada bir teğet çizilirse, o zaman teğetin eğim katsayısı (teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açının tanjantına eşit) fonksiyonun türevine eşittir noktada.

Koordinatlarla teğet üzerinde rastgele bir nokta alalım:

Ve bir dik üçgen düşünün:

Bu üçgende

Buradan

Bu, fonksiyonun grafiğine noktadaki çizilen teğetin denklemidir.

Teğet denklemini yazmak için sadece fonksiyonun denklemini ve teğetin çizildiği noktayı bilmemiz gerekir. Daha sonra ve'yi bulabiliriz.

Teğet denklem problemlerinin üç ana türü vardır.

1. Bir temas noktası verildiğinde

2. Teğet eğim katsayısı, yani fonksiyonun noktadaki türevinin değeri verilir.

3. Teğetin çizildiği ancak teğet noktası olmayan noktanın koordinatları verilmiştir.

Her görev türüne bakalım.

1. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yazın bu noktada .

b) noktasındaki türevin değerini bulun. İlk önce fonksiyonun türevini bulalım

Bulunan değerleri teğet denklemde yerine koyalım:

Denklemin sağ tarafındaki parantezleri açalım. Şunu elde ederiz:

Cevap: .

2. Fonksiyonların grafiğe teğet olduğu noktaların apsisini bulun x eksenine paralel.

Teğet x eksenine paralelse, bu nedenle teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açı sıfırdır, dolayısıyla teğet açısının tanjantı da sıfırdır. Bu, fonksiyonun türevinin değerinin olduğu anlamına gelir temas noktalarında sıfırdır.

a) Fonksiyonun türevini bulun .

b) Türevi sıfıra eşitleyelim ve teğetin eksene paralel olduğu değerleri bulalım:

Her faktörü sıfıra eşitlersek şunu elde ederiz:

Cevap: 0;3;5

3. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemleri yazın , paralel doğrudan .

Teğet bir doğruya paraleldir. Bu doğrunun eğimi -1'dir. Teğet bu doğruya paralel olduğundan eğimi de -1 olur. yani teğetin eğimini biliyoruz ve dolayısıyla, teğet noktasındaki türev değeri.

Bu, teğet denklemi bulmayla ilgili ikinci tür problemdir.

Böylece bize türevin teğet noktasındaki fonksiyonu ve değeri veriliyor.

a) Fonksiyonun türevinin -1'e eşit olduğu noktaları bulun.

İlk önce türev denklemini bulalım.

Türevini -1 sayısına eşitleyelim.

Fonksiyonun noktadaki değerini bulalım.

(duruma göre)

b) Fonksiyonun grafiğine noktasındaki teğetin denklemini bulun.

Fonksiyonun noktadaki değerini bulalım.

(duruma göre).

Bu değerleri teğet denklemde yerine koyalım:

Cevap:

4. Eğrinin teğet denklemini yazın , bir noktadan geçmek

Öncelikle noktanın teğet bir nokta olup olmadığını kontrol edelim. Bir nokta teğet bir nokta ise, o zaman fonksiyonun grafiğine aittir ve koordinatları fonksiyonun denklemini karşılamalıdır. Noktanın koordinatlarını fonksiyon denkleminde yerine koyalım.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negatif sayı eşitlik doğru değildir ve nokta fonksiyonun grafiğine ait değildir ve bir temas noktası değildir.

Bu, teğet denklemini bulma probleminin son türüdür. Öncelikle teğet noktasının apsisini bulmamız gerekiyor.

değerini bulalım.

Temas noktası olalım. Nokta, fonksiyonun grafiğine teğettir. Bu noktanın koordinatlarını teğet denklemde yerine koyarsak doğru eşitliği elde ederiz:

Fonksiyonun bir noktadaki değeri .

Fonksiyonun noktadaki türevinin değerini bulalım.

Öncelikle fonksiyonun türevini bulalım. Bu .

Bir noktadaki türev şuna eşittir: .

İfadeleri teğet denklemin yerine koyalım. Şunun için denklemi elde ederiz:

Bu denklemi çözelim.

Kesrin payını ve paydasını 2 azaltın:

Denklemin sağ tarafını şuna indirgeyelim: ortak payda. Şunu elde ederiz:

Kesrin payını basitleştirelim ve her iki tarafı da çarpalım - bu ifade kesinlikle sıfırdan büyüktür.

Denklemi elde ederiz

Hadi çözelim. Bunun için her iki parçanın karesini alıp sisteme geçelim.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

İlk denklemi çözelim.

Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, alıyoruz

İkinci kök, title="8-3x_0>=0 koşulunu karşılamıyor">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Noktadaki eğriye teğet denklemini yazalım. Bunu yapmak için değeri denklemde değiştirin - Zaten kaydettik.

Cevap:
.

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi

P.Romanov, T.Romanova,
Magnitogorsk,
Çelyabinsk bölgesi

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi

Makale, İTAKA+ Otel Kompleksi'nin desteğiyle yayınlandı. Gemi yapımcılarının Severodvinsk şehrinde kalırken geçici konut bulma sorunuyla karşılaşmayacaksınız. , web sitesinde otel kompleksi“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, günlük ödemeyle şehirde istediğiniz süre için kolayca ve hızlı bir şekilde daire kiralayabilirsiniz.

Açık modern sahne Eğitimin geliştirilmesinde ana görevlerden biri yaratıcı düşünen bir kişiliğin oluşmasıdır. Öğrencilerde yaratıcılık yeteneği ancak araştırma faaliyetlerinin temellerine sistematik olarak dahil olmaları durumunda geliştirilebilir. Öğrencilerin yaratıcı güçlerini, yeteneklerini ve yeteneklerini kullanabilmelerinin temeli tam teşekküllü bilgi ve becerilerden oluşur. Bu bağlamda, okul matematik dersinin her konusu için bir temel bilgi ve beceri sistemi oluşturma sorunu hiç de azımsanmayacak bir öneme sahiptir. Aynı zamanda, tam teşekküllü beceriler, bireysel görevlerin değil, dikkatlice düşünülmüş bir sistemin didaktik hedefi olmalıdır. En geniş anlamda bir sistem, bütünlüğe ve istikrarlı bir yapıya sahip, birbirine bağlı, etkileşimli öğeler kümesi olarak anlaşılmaktadır.

Öğrencilere bir fonksiyonun grafiğine teğet için denklem yazmayı öğreten bir teknik düşünelim. Esasen, teğet denklemi bulmayla ilgili tüm problemler, belirli bir gereksinimi karşılayan bir dizi (paket, aile) çizgi arasından seçim yapma ihtiyacına iner - bunlar belirli bir fonksiyonun grafiğine teğettir. Bu durumda seçimin gerçekleştirileceği satır kümesi iki şekilde belirlenebilir:

a) xOy düzleminde yer alan bir nokta (merkezi çizgi kalemi);
b) açısal katsayı (düz çizgilerden oluşan paralel ışın).

Bu bağlamda, sistemin elemanlarını izole etmek için “Bir fonksiyonun grafiğine teğet” konusunu incelerken iki tür problem belirledik:

1) içinden geçtiği noktanın verdiği teğet üzerindeki problemler;
2) eğiminin verdiği teğet üzerindeki problemler.

Teğet problemlerin çözümüne yönelik eğitim, A.G. tarafından önerilen algoritma kullanılarak gerçekleştirildi. Mordkoviç. Onun temel fark Zaten bilinenlerden, teğet noktasının apsisinin a harfiyle (x0 yerine) gösterilmesi ve dolayısıyla teğet denkleminin şu şekli almasıdır:

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) ile karşılaştırın). Bize göre bu metodolojik teknik, öğrencilerin mevcut noktanın koordinatlarının nerede yazıldığını hızlı ve kolay bir şekilde anlamalarını sağlar. genel teğet denklemi ve temas noktaları nerede.

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemi oluşturma algoritması

1. Teğet noktasının apsisini a harfiyle belirtin.
2. f(a)'yı bulun.
3. f "(x) ve f "(a)'yı bulun.
4. Bulunan a, f(a), f "(a) sayılarını genel teğet denkleminde y = f(a) = f "(a)(x – a) yerine koyun.

Bu algoritma, öğrencilerin bağımsız olarak işlemleri tanımlamaları ve uygulama sıraları temel alınarak derlenebilir.

Uygulama, bir algoritma kullanarak anahtar problemlerin her birinin sıralı çözümünün, bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini aşamalar halinde yazma becerilerini geliştirmenize izin verdiğini ve algoritmanın adımlarının eylemler için referans noktaları görevi gördüğünü göstermiştir. . Bu yaklaşım, P.Ya. tarafından geliştirilen zihinsel eylemlerin kademeli oluşumu teorisine karşılık gelir. Galperin ve N.F. Talyzina.

İlk görev türünde iki temel görev belirlendi:

teğet eğri üzerinde bulunan bir noktadan geçer (problem 1);
teğet eğrinin üzerinde olmayan bir noktadan geçiyor (problem 2).

Görev 1. Fonksiyonun grafiğine teğet için bir denklem yazın M(3; – 2) noktasında.

Çözüm. M(3; – 2) noktası bir teğet noktadır, çünkü

1. a = 3 – teğet noktasının apsisi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – teğet denklemi.

Problem 2. M(– 3; 6) noktasından geçen y = – x 2 – 4x + 2 fonksiyonunun grafiğine tüm teğetlerin denklemlerini yazın.

Çözüm. M(– 3; 6) noktası teğet bir nokta değildir, çünkü f(– 3) 6 (Şekil 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – teğet denklemi.

Teğet M(- 3; 6) noktasından geçer, dolayısıyla koordinatları teğet denklemini sağlar.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 ise teğet denklemi y = 4x + 18 olur.

a = – 2 ise teğet denklem y = 6 biçiminde olur.

İkinci tipte temel görevler aşağıdakiler olacaktır:

teğet bir doğruya paraleldir (sorun 3);
teğet verilen doğruya belirli bir açıyla geçiyor (problem 4).

Problem 3. y = x 3 – 3x 2 + 3 fonksiyonunun grafiğine y = 9x + 1 doğrusuna paralel olan tüm teğetlerin denklemlerini yazın.

Çözüm.

1. a – teğet noktasının apsisi.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ancak diğer taraftan f"(a) = 9 (paralellik koşulu). Bu da 3a 2 – 6a = 9 denklemini çözmemiz gerektiği anlamına geliyor. Kökleri a = – 1, a = 3'tür (Şekil 3). ).

4.1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – teğet denklem;

1) bir = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – teğet denklemi.

Problem 4. y = 0,5x 2 – 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine, y = 0 düz çizgisine 45° açıyla geçen teğetin denklemini yazın (Şekil 4).

Çözüm. f "(a) = tan 45° koşulundan a: a – 3 = 1'i buluruz^a = 4.

1. a = 4 – teğet noktasının apsisi.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3.f"(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – teğet denklemi.

Başka herhangi bir sorunun çözümünün bir veya daha fazla temel sorunun çözümüne bağlı olduğunu göstermek kolaydır. Örnek olarak aşağıdaki iki sorunu düşünün.

1. Teğetler dik açılarda kesişiyorsa ve bunlardan biri parabole apsis 3 noktasında değiyorsa, y = 2x 2 – 5x – 2 parabolüne teğetlerin denklemlerini yazın (Şekil 5).

Çözüm. Teğet noktasının apsisi verildiğinden çözümün ilk kısmı anahtar problem 1'e indirgenir.

1. a = 3 – dik açının kenarlarından birinin teğet noktasının apsisi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – birinci tanjantın denklemi.

izin ver – ilk teğetin eğim açısı. Teğetler birbirine dik olduğundan ikinci teğetin eğim açısı olur. İlk teğetin y = 7x – 20 denkleminden tg'yi elde ederiz a = 7. Hadi bulalım

Bu, ikinci teğetin eğiminin eşit olduğu anlamına gelir.

Diğer çözüm 3. temel göreve gelir.

B(c; f(c)) ikinci doğrunun teğet noktası olsun, o zaman

1. – ikinci teğet noktasının apsisi.
2.
3.
4.
– ikinci teğetin denklemi.

Not. Öğrenciler dik doğruların katsayılarının oranını k 1 k 2 = – 1 olarak bilirlerse teğetin açısal katsayısı daha kolay bulunabilir.

2. Fonksiyonların grafiklerine tüm ortak teğetlerin denklemlerini yazın

Çözüm. Görev, ortak teğetlerin teğet noktalarının apsisini bulmak, yani temel problem 1'i genel biçimde çözmek, bir denklem sistemi hazırlamak ve ardından çözmekten ibarettir (Şekil 6).

1. y = x 2 + x + 1 fonksiyonunun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi a olsun.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3.f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Fonksiyonun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi c olsun
2.
3.f "(c) = c.
4.

Teğetler genel olduğundan,

Yani y = x + 1 ve y = – 3x – 3 ortak teğetlerdir.

Göz önünde bulundurulan görevlerin temel amacı, öğrencileri, belirli araştırma becerilerini (analiz etme, karşılaştırma, genelleme, hipotez öne sürme vb.) gerektiren daha karmaşık problemleri çözerken anahtar problemin türünü bağımsız olarak tanımaya hazırlamaktır. Bu tür görevler, anahtar görevin bir bileşen olarak dahil edildiği herhangi bir görevi içerir. Örnek olarak, teğet ailesinden bir fonksiyon bulma problemini (Problem 1'in tersi) ele alalım.

3. y = x ve y = – 2x doğruları hangi b ve c için y = x 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Çözüm.

y = x düz çizgisinin y = x 2 + bx + c parabolüne göre teğet noktasının apsisi t olsun; p, y = x 2 + bx + c parabolüne sahip y = – 2x düz çizgisinin teğet noktasının apsisidir. O zaman y = x teğet denklemi y = (2t + b)x + c – t 2 formunu, y = – 2x teğet denklemi ise y = (2p + b)x + c – p 2 formunu alacaktır. .

Bir denklem sistemi oluşturup çözelim

Cevap:

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. y = 2x 2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetlerin, grafiğin y = x + 3 doğrusu ile kesiştiği noktalardaki denklemlerini yazınız.

Cevap: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Grafiğin abscissa x 0 = 1 noktasındaki y = x 2 – ax fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet, hangi a değerleri için M(2; 3) noktasından geçer?

Cevap: a = 0,5.

3. y = px – 5 düz çizgisi hangi p değerleri için y = 3x 2 – 4x – 2 eğrisine dokunur?

Cevap: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 fonksiyonunun grafiğinin tüm ortak noktalarını ve bu grafiğe P(0; 16) noktasından çizilen teğeti bulun.

Cevap: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabolü ile düz çizgi arasındaki en kısa mesafeyi bulun

Cevap:

6. y = x 2 – x + 1 eğrisi üzerinde, grafiğe teğetin y – 3x + 1 = 0 düz çizgisine paralel olduğu noktayı bulun.

Cevap: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | fonksiyonunun grafiğine teğetin denklemini yazın. 4x |, iki noktada ona dokunuyor. Bir çizim yapın.

Cevap: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 doğrusunun y = x 4 + 3x 2 + 2x eğrisiyle kesişmediğini kanıtlayın. En yakın noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Cevap:

9. y = x 2 parabolünde apsis x 1 = 1, x 2 = 3 olan iki nokta alınır. Bu noktalardan bir kesen çizilir. Parabolün hangi noktasında teğeti sekantına paralel olacaktır? Sekant ve teğet denklemlerini yazın.

Cevap: y = 4x – 3 – sekant denklemi; y = 4x – 4 – teğet denklemi.

10. q açısını bulun apsisleri 0 ve 1 olan noktalarda çizilmiş, y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine teğetler arasında.

Cevap: q = 45°.

11. Fonksiyonun grafiğinin teğeti hangi noktalarda Ox ekseniyle 135° açı oluşturur?

Cevap: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Eğrinin A(1; 8) noktasında bir teğet çizilir. Koordinat eksenleri arasındaki teğet parçanın uzunluğunu bulun.

Cevap:

13. y = x 2 – x + 1 ve y = 2x 2 – x + 0,5 fonksiyonlarının grafiklerine tüm ortak teğetlerin denklemini yazın.

Cevap: y = – 3x ve y = x.

14. Fonksiyonun grafiğine teğetler arasındaki mesafeyi bulun x eksenine paralel.

Cevap:

15. y = x 2 + 2x – 8 parabolünün x eksenini hangi açılarda kestiğini belirleyin.

Cevap: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (- 6).

16. Fonksiyon grafiği Her biri bu grafiğin koordinatların pozitif yarı eksenleriyle kesiştiği teğetleri onlardan eşit parçalar keserek tüm noktaları bulun.

Cevap: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 doğrusu ve y = x 2 – 1 parabolü M ve N noktalarında kesişir. Parabole teğet olan doğruların M ve N noktalarında kesiştiği K noktasını bulun.

Cevap: K(1; – 9).

18. y = 9x + b doğrusu hangi b değerleri için y = x 3 – 3x + 15 fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Cevap: – 1; 31.

19. y = kx – 10 düz çizgisinin hangi k değerleri için yalnızca bir değeri vardır? ortak nokta y = 2x 2 + 3x – 2 fonksiyonunun grafiği ile? Bulunan k değerleri için noktanın koordinatlarını belirleyin.

Cevap: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. y = bx 3 – 2x 2 – 4 fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 = 2 olan noktada çizilen teğet hangi b değerleri için M(1; 8) noktasından geçer?

Cevap: b = – 3.

21. Tepe noktası Ox ekseni üzerinde olan bir parabol, A(1; 2) ve B(2; 4) noktalarından geçen doğruya B noktasında değiyor. Parabolün denklemini bulun.

Cevap:

22. y = x 2 + kx + 1 parabolünün k katsayısının hangi değeri Ox eksenine değiyor?

Cevap: k = d 2.

23. y = x + 2 düz çizgisi ile y = 2x 2 + 4x – 3 eğrisi arasındaki açıları bulun.

29. Fonksiyonun grafiğine teğetler ile üreteçler arasındaki mesafeyi Ox ekseninin pozitif yönüne göre 45° açıyla bulun.

Cevap:

30. y = x 2 + ax + b formundaki y = 4x – 1 doğrusuna teğet olan tüm parabollerin köşelerinin yerini bulun.

Cevap: düz çizgi y = 4x + 3.

Edebiyat

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Cebir ve analizin başlangıcı: Okul çocukları ve üniversitelere girenler için 3600 problem. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Genç öğretmenler için dördüncü seminer. Konu: Türev Uygulamaları. – M., “Matematik”, Sayı 21/94.
3. Zihinsel eylemlerin kademeli olarak özümsenmesi teorisine dayalı bilgi ve becerilerin oluşumu.

Makale, tanımların ayrıntılı bir açıklamasını, türevin geometrik anlamını grafik gösterimlerle sunmaktadır. Teğet doğrunun denklemi örneklerle ele alınacak, 2. mertebeden eğrilere teğet denklemler bulunacak.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

y = k x + b düz çizgisinin eğim açısına α açısı denir ve bu açı, x ekseninin pozitif yönünden pozitif yönde y = k x + b düz çizgisine kadar ölçülür.

Şekilde x yönü yeşil ok ve yeşil yay ile, eğim açısı ise kırmızı yay ile gösterilmiştir. Mavi çizgi düz çizgiyi ifade eder.

Tanım 2

y = k x + b düz çizgisinin eğimine sayısal katsayı k denir.

Açısal katsayı düz çizginin tanjantına eşittir, başka bir deyişle k = t g α.

Düz bir çizginin eğim açısı yalnızca x'e göre paralelse ve eğim sıfıra eşitse 0'a eşittir çünkü sıfırın tanjantı 0'a eşittir. Bu, denklemin formunun y = b olacağı anlamına gelir.
Eğer y = k x + b düz çizgisinin eğim açısı dar ise, o zaman 0 koşulu sağlanır< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 ve grafikte bir artış var.
Eğer α = π 2 ise doğrunun konumu x'e diktir. Eşitlik x = c ile belirtilir ve c değeri bir gerçek sayıdır.
Düz çizginin eğim açısı y = k x + b genişse, o zaman π 2 koşullarına karşılık gelir< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negatif değer ve grafik azalıyor.

Tanım 3

Sekant, f(x) fonksiyonunun 2 noktasından geçen bir çizgidir. Başka bir deyişle sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki noktadan çizilen düz bir çizgidir.

Şekil A B'nin bir sekant olduğunu ve f(x)'in siyah bir eğri olduğunu, α'nın ise sekantın eğim açısını gösteren kırmızı bir yay olduğunu göstermektedir.

Düz bir çizginin açısal katsayısı eğim açısının tanjantına eşit olduğunda, bir A B C dik üçgeninin tanjantının karşı tarafın bitişik olana oranıyla bulunabileceği açıktır.

Tanım 4

Formun bir sekantını bulmak için bir formül elde ederiz:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, burada A ve B noktalarının apsisleri x A, x B ve f (x A), f (x) değerleridir B) bu noktalardaki değer fonksiyonlarıdır.

Açıkçası, sekantın açısal katsayısı k = f (x B) - f (x A) x B - x A veya k = f (x A) - f (x B) x A - x B eşitliği kullanılarak belirlenir. ve denklem şu şekilde yazılmalıdır: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) veya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant, grafiği görsel olarak 3 parçaya böler: A noktasının solunda, A'dan B'ye ve B'nin sağında. Aşağıdaki şekil, çakıştığı düşünülen üç sekantın olduğunu, yani bunların bir kullanılarak ayarlandığını göstermektedir. benzer denklem.

Tanım gereği, bu durumda düz çizginin ve onun keseninin çakıştığı açıktır.

Bir sekant belirli bir fonksiyonun grafiğini birden çok kez kesebilir. Bir sekant için y = 0 şeklinde bir denklem varsa, sinüzoidle kesişme noktalarının sayısı sonsuzdur.

Tanım 5

f(x) fonksiyonunun grafiğine x 0 noktasında teğet; f (x 0), belirli bir x 0 noktasından geçen düz bir çizgidir; f (x 0), x 0'a yakın birçok x değerine sahip bir segmentin varlığıyla.

Örnek 1

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım. O zaman y = x + 1 fonksiyonuyla tanımlanan doğrunun (1; 2) koordinatlı noktada y = 2 x'e teğet olduğu kabul edilir. Netlik sağlamak için (1; 2)'ye yakın değerlere sahip grafikleri dikkate almak gerekir. Y = 2 x fonksiyonu siyahla gösterilmiştir, mavi çizgi teğet çizgidir ve kırmızı nokta kesişme noktasıdır.

Açıkçası, y = 2 x, y = x + 1 doğrusuyla birleşiyor.

Teğeti belirlemek için, B noktası A noktasına sonsuz yaklaşırken A B teğetinin davranışını düşünmeliyiz. Açıklık sağlamak için bir çizim sunuyoruz.

Mavi çizgiyle gösterilen sekant A B, teğetin kendisinin konumuna yönelir ve sekant α'nın eğim açısı, teğetin kendisinin αx eğim açısına yönelmeye başlayacaktır.

Tanım 6

y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğeti, B'nin A'ya yönelmesiyle, yani B → A'yla kesişen A B'nin sınırlayıcı konumu olarak kabul edilir.

Şimdi bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamını ele almaya geçelim.

f (x) fonksiyonu için A B sekantını ele almaya devam edelim; burada x 0, f (x 0) ve x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ve ∆ x koordinatlarına sahip A ve B, argümanın artışı olarak gösterilir. Artık fonksiyon ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) formunu alacaktır. Açıklık sağlamak için bir çizim örneği verelim.

Ortaya çıkan A B C dik üçgenini düşünün. Çözmek için teğet tanımını kullanırız, yani ∆ y ∆ x = t g α ilişkisini elde ederiz. Teğetin tanımından şu sonuç çıkar: lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Bir noktadaki türev kuralına göre, x 0 noktasındaki f (x) türevine, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir, burada ∆ x → 0 ise bunu f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x olarak gösteririz.

Bundan f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x olduğu sonucu çıkar; burada k x, teğetin eğimi olarak gösterilir.

Yani, f' (x)'in x 0 noktasında var olabileceğini ve fonksiyonun belirli bir grafiğine teğetinin x 0, f 0 (x 0)'a eşit olduğu noktada var olabileceğini bulduk; Teğetin bu noktadaki eğimi, x 0 noktasındaki türevine eşittir. O zaman şunu elde ederiz: k x = f " (x 0) .

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı, grafiğin aynı noktada bir teğetinin varlığı kavramını vermesidir.

Düzlemdeki herhangi bir doğrunun denklemini yazabilmek için içinden geçtiği noktanın açısal katsayısının bulunması gerekir. Kesişme noktasında gösterimi x 0 olarak alınır.

Y = f (x) fonksiyonunun grafiğine x 0, f 0 (x 0) noktasındaki teğet denklemi y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) formunu alır.

Demek istenen şu nihai değer türev f "(x 0) teğetin konumunu, yani lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ve lim x → x 0 - 0 f " (x) koşulu altında dikey olarak belirleyebilirsiniz. = ∞ veya lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) koşulu için hiç yokluk.

Teğetin konumu açısal katsayısının değerine bağlıdır k x = f "(x 0). O x eksenine paralel olduğunda, yaklaşık y - k x = ∞'a paralel olduğunda k k = 0 olduğunu ve formunu elde ederiz. tanjant denklemi x = x 0 k x > 0 ile artar, k x olarak azalır< 0 .

Örnek 2

y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 fonksiyonunun grafiğine (1; 3) koordinatlı noktada teğet için bir denklem derleyin ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar için tanımlandığını biliyoruz. Koordinatları (1; 3) koşuluyla belirtilen noktanın bir teğet noktası olduğunu, bu durumda x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 olduğunu buluruz.

-1 değerine sahip noktanın türevini bulmak gerekir. Bunu anlıyoruz

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

f'(x)'in teğet noktasındaki değeri, eğimin tanjantına eşit olan teğetin eğimidir.

O zaman k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Bundan şu sonuç çıkar: α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cevap: teğet denklem şu formu alır

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Açıklık sağlamak için grafiksel bir örnekte bir örnek veriyoruz.

Orijinal fonksiyonun grafiğinde siyah renk kullanılmıştır, mavi– bir teğetin görüntüsü, kırmızı nokta – teğet noktası. Sağdaki şekil büyütülmüş bir görünümü göstermektedir.

Örnek 3

Belirli bir fonksiyonun grafiğine bir teğetin varlığını belirleme
y = 3 · x - 1 5 + 1 koordinatları (1 ; 1) olan noktada. Bir denklem yazın ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak, belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesinin tüm gerçek sayılar kümesi olarak kabul edildiğini biliyoruz.

Türevini bulmaya geçelim

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Eğer x 0 = 1 ise f' (x) tanımsızdır ancak limitler şu şekilde yazılır: lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ve lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, bu şu anlama gelir: (1; 1) noktasında dikey teğetin varlığı.

Cevap: denklem x = 1 formunu alacaktır, burada eğim açısı π 2'ye eşit olacaktır.

Açıklık sağlamak için, bunu grafiksel olarak gösterelim.

Örnek 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 fonksiyonunun grafiğindeki noktaları bulun; burada

Teğet yoktur;
Teğet x'e paraleldir;
Teğet y = 8 5 x + 4 doğrusuna paraleldir.

Çözüm

Tanımın kapsamına dikkat etmek gerekir. Koşullu olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlı olduğunu biliyoruz. Modülü genişletip sistemi x ∈ - ∞ aralıklarıyla çözüyoruz; 2 ve [-2; + ∞) . Bunu anlıyoruz

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Fonksiyonu ayırt etmek gerekiyor. Bizde buna sahibiz

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = - 2 olduğunda türev mevcut değildir çünkü o noktada tek taraflı limitler eşit değildir:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Fonksiyonun değerini x = - 2 noktasında hesaplıyoruz, buradan şunu elde ediyoruz:

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, yani () noktasındaki teğet - 2; - 2) mevcut olmayacak.
Eğim sıfır olduğunda teğet x'e paraleldir. O zaman k x = t g α x = f "(x 0). Yani, fonksiyonun türevi onu sıfıra getirdiğinde böyle bir x'in değerlerini bulmak gerekir. Yani f' değerleri (x), teğetin x'e paralel olduğu teğet noktaları olacaktır.

x ∈ - ∞ olduğunda; - 2, o zaman - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ve x ∈ (- 2; + ∞) için 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 elde ederiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

İlgili fonksiyon değerlerini hesaplayın

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dolayısıyla - 5; 8 5, -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 fonksiyon grafiğinin gerekli noktaları olarak kabul edilir.

Çözümün grafiksel gösterimine bakalım.

Siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, kırmızı noktalar ise teğet noktalarıdır.

Doğrular paralel olduğunda açısal katsayılar eşittir. Daha sonra fonksiyon grafiğinde eğimin 8 5 değerine eşit olacağı noktaları aramanız gerekir. Bunu yapmak için, y "(x) = 8 5 formundaki bir denklemi çözmeniz gerekir. Daha sonra, eğer x ∈ - ∞; - 2 ise, şunu elde ederiz: - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 ve eğer x ∈ ( - 2 ; + ∞), o zaman 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Diskriminant sıfırdan küçük olduğundan birinci denklemin kökleri yoktur. Bunu bir kenara yazalım

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başka bir denklemin iki gerçek kökü vardır, o zaman

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Fonksiyonun değerlerini bulmaya geçelim. Bunu anlıyoruz

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Değerleri olan puanlar - 1; 4 15, 5; 8 3, teğetlerin y = 8 5 x + 4 doğrusuna paralel olduğu noktalardır.

Cevap: siyah çizgi - fonksiyonun grafiği, kırmızı çizgi - y = 8 5 x + 4'ün grafiği, mavi çizgi - - 1 noktalarındaki teğetler; 4 15, 5; 8 3.

Verilen fonksiyonlar için sonsuz sayıda teğet olabilir.

Örnek 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 fonksiyonunun y = - 2 x + 1 2 düz çizgisine dik olan tüm mevcut teğetlerinin denklemlerini yazın.

Çözüm

Teğet denklemini derlemek için doğruların diklik durumuna göre teğet noktasının katsayısını ve koordinatlarını bulmak gerekir. Tanım şu şekildedir: Düz çizgilere dik olan açısal katsayıların çarpımı -1'e eşittir, yani k x · k ⊥ = - 1 şeklinde yazılır. Açısal katsayının çizgiye dik olması ve k ⊥ = - 2'ye eşit olması durumunda k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 olur.

Şimdi temas noktalarının koordinatlarını bulmanız gerekiyor. Belirli bir fonksiyon için x'i ve ardından değerini bulmanız gerekir. Noktadaki türevin geometrik anlamından
x 0 bunu elde ederiz k x = y "(x 0). Bu eşitlikten temas noktaları için x'in değerlerini buluruz.

Bunu anlıyoruz

y " (x 0) = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ günah 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu trigonometrik denklem Teğet noktalarının koordinatlarını hesaplamak için kullanılacaktır.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk veya x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z bir tamsayılar kümesidir.

x temas noktası bulundu. Şimdi y'nin değerlerini aramaya devam etmeniz gerekiyor:

y 0 = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 veya y 0 = - 4 5 + 1 3

Bundan 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 teğetlik noktalarıdır.

Cevap: gerekli denklemler şu şekilde yazılacaktır:

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Görsel bir gösterim için, bir fonksiyonu ve bir koordinat çizgisi üzerinde bir teğeti düşünün.

Şekilde fonksiyonun [-10; 10 ], burada siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, mavi çizgiler ise y = - 2 x + 1 2 formunun verilen çizgisine dik olan teğetlerdir. Kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

2. dereceden eğrilerin kanonik denklemleri tek değerli fonksiyonlar değildir. Onlar için teğet denklemler bilinen şemalara göre derlenmiştir.

Bir daireye teğet

Merkezi x c e n e r noktasında olan bir daire tanımlamak için; y c e n t e r ve yarıçap R ise, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formülünü uygulayın.

Bu eşitlik iki fonksiyonun birleşimi olarak yazılabilir:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

İlk fonksiyon şekilde gösterildiği gibi üstte, ikincisi ise altta bulunur.

x 0 noktasındaki bir çemberin denklemini derlemek için; Üst veya alt yarım daire içinde bulunan y 0, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r veya y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formundaki bir fonksiyonun grafiğinin denklemini bulmalısınız. belirtilen noktada y merkezi.

X merkez noktalarındayken; y merkezi + R ve x merkezi; y c e n t e r - R teğetleri, y = y c e n t e r + R ve y = y c e n t e r - R denklemleriyle ve x c e n t e r + R noktalarında verilebilir; y merkez ve
x merkezi r - R ; y c e n t e r, y'ye paralel olacaktır, o zaman x = x c e n t e r + R ve x = x c e n t e r - R biçiminde denklemler elde ederiz.

Bir elipse teğet

Elipsin xmerkezde bir merkezi olduğunda; y c e n t e r yarı eksenleri a ve b ile, bu durumda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 denklemi kullanılarak belirtilebilir.

Bir elips ve bir daire, üst ve alt yarım elips olmak üzere iki fonksiyonun birleştirilmesiyle gösterilebilir. O zaman bunu anlıyoruz

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Teğetler elipsin köşelerinde bulunuyorsa, x veya y civarında paraleldirler. Aşağıda, netlik sağlamak için şekli düşünün.

Örnek 6

X değerlerinin x = 2'ye eşit olduğu noktalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 elipsine teğet denklemini yazın.

Çözüm

x = 2 değerine karşılık gelen teğet noktaları bulmak gerekir. Elipsin mevcut denklemini yerine koyarız ve şunu buluruz:

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 ve 2; - 5 3 2 + 5 üst ve alt yarım elipse ait teğet noktalardır.

Elipsin denklemini y'ye göre bulma ve çözmeye geçelim. Bunu anlıyoruz

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Açıkçası, üst yarı elips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ve alt yarı elips y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 formundaki bir fonksiyon kullanılarak belirtilir.

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet için bir denklem oluşturmak için standart bir algoritma uygulayalım. 2 noktasındaki ilk teğet için denklemi yazalım; 5 3 2 + 5 şöyle görünecek

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

İkinci teğetin denkleminin bu noktada bir değerle olduğunu buluyoruz.
2; - 5 3 2 + 5 formunu alır

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiksel olarak teğetler aşağıdaki gibi gösterilir:

Abartıya teğet

Bir hiperbolün merkezi x merkezde olduğunda; y merkezi ve köşeler x merkezi + α ; y merkezi ve x merkezi - α ; y c e n t e r eşitsizliği x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, köşeleri x c e n t e r ise; y merkezi + b ve x merkezi; y c e n t e r - b , bu durumda x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 eşitsizliği kullanılarak belirtilir .

Bir hiperbol, formun iki birleşik fonksiyonu olarak temsil edilebilir

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r veya y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y ce n t e r y = - b a · (x - x merkezi) 2 + a 2 + y merkezi

İlk durumda teğetlerin y'ye paralel olduğunu, ikinci durumda ise x'e paralel olduklarını görüyoruz.

Bir hiperbolün teğet denklemini bulmak için teğet noktasının hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir. Bunu belirlemek için denklemlerde yerine koyma ve özdeşliği kontrol etmek gerekir.

Örnek 7

7 noktasında x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolüne teğet için bir denklem yazın; - 3 3 - 3 .

Çözüm

Bir hiperbolün bulunması için çözüm kaydını 2 fonksiyon kullanarak dönüştürmek gerekir. Bunu anlıyoruz

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ve y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Koordinatları 7 olan belirli bir noktanın hangi fonksiyona ait olduğunu belirlemek gerekir; - 3 3 - 3 .

Açıkçası, ilk fonksiyonu kontrol etmek için y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 gereklidir, bu durumda nokta grafiğe ait değildir, çünkü eşitlik sağlanmıyor.

İkinci fonksiyon için elimizde y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 bulunur, bu da noktanın verilen grafiğe ait olduğu anlamına gelir. Buradan eğimi bulmalısınız.

Bunu anlıyoruz

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cevap: teğet denklem şu şekilde temsil edilebilir:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Açıkça şu şekilde tasvir edilmiştir:

Bir parabole teğet

X 0, y (x 0) noktasında y = a x 2 + b x + c parabolüne teğet için bir denklem oluşturmak için standart bir algoritma kullanmanız gerekir, o zaman denklem y = y "(x) formunu alacaktır 0) x - x 0 + y ( x 0) Tepe noktasındaki böyle bir teğet x'e paraleldir.

x = a y 2 + b y + c parabolünü iki fonksiyonun birleşimi olarak tanımlamalısınız. Bu nedenle denklemi y için çözmemiz gerekiyor. Bunu anlıyoruz

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Bunu grafiksel olarak şu şekilde gösterelim:

Bir x 0, y (x 0) noktasının bir fonksiyona ait olup olmadığını bulmak için standart algoritmaya göre yavaşça ilerleyin. Böyle bir teğet, parabole göre y'ye paralel olacaktır.

Örnek 8

Teğet açımız 150° olduğunda x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafiğine teğetin denklemini yazın.

Çözüm

Çözüme parabolü iki fonksiyon olarak temsil ederek başlıyoruz. Bunu anlıyoruz

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Eğimin değeri bu fonksiyonun x 0 noktasındaki türevinin değerine ve eğim açısının tanjantına eşittir.

Şunu elde ederiz:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Buradan temas noktaları için x değerini belirliyoruz.

İlk fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Açıkçası, negatif bir değere sahip olduğumuz için gerçek kökler yok. Böyle bir fonksiyon için 150° açıya sahip bir teğetin olmadığı sonucuna varıyoruz.

İkinci fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temas noktalarımızın 23 4 olduğunu biliyoruz; - 5 + 3 4 .

Cevap: teğet denklem şu formu alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafiksel olarak şu şekilde gösterelim: