Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti. Funksiyanın ifrat hissəsi

Loqarifmli funksiyalar (ən böyük və ən kiçik qiymət). Bu məqalə funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmaq problemlərinə yönəldiləcəkdir. Vahid Dövlət İmtahanına daxil edilmiş bir qrup problem var - bunlar logarifmlərlə bağlı problemlərdir. Tədqiqat funksiyaları ilə bağlı tapşırıqlar müxtəlifdir. Loqarifmik funksiyalara əlavə olaraq bunlar ola bilər: triqonometrik funksiyalı funksiyalar, kəsr-rasional funksiyalar və s.

Hər halda, "" məqaləsində göstərilən nəzəriyyəni bir daha nəzərdən keçirməyi məsləhət görürəm. Əgər bu materialı başa düşürsünüzsə və törəmələri tapmaqda yaxşı bacarığınız varsa, o zaman bu mövzuda istənilən problemi çətinlik çəkmədən həll edə bilərsiniz.

Verilmiş seqmentdə funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq üçün alqoritmi xatırlatmaq istəyirəm:

1. Törəməni hesablayın.

2. Onu sıfıra bərabərləşdiririk və tənliyi həll edirik.

3. Yaranan köklərin (törəmənin sıfırları) bu seqmentə aid olub-olmadığını müəyyənləşdirin. Aid olanları qeyd edirik.

4. Seqmentin sərhədlərində və bu seqmentə aid olan nöqtələrdə (əvvəlki bənddə əldə edilmiş) funksiyanın qiymətlərini hesablayırıq.

Tapşırıqları nəzərdən keçirək:

y=5x–ln (x+5) 5 funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın seqmentdə [–4,5;0].

Funksiyanın dəyərini intervalın sonunda və bu intervalda varsa, ekstremum nöqtələrində hesablamaq və onlardan ən kiçikini seçmək lazımdır.

Törəmə hesablayırıq, onu sıfıra bərabərləşdiririk və tənliyi həll edirik.

Verilmiş funksiyanın törəməsini tapaq:

Verilmiş seqmentdə törəmənin sıfırlarını tapaq:

*Numerator sıfıra bərabər olduqda kəsr sıfıra bərabərdir.

x= – 4 nöqtəsi verilmiş intervala aiddir.

Beləliklə, funksiyanın qiymətini nöqtələrdə hesablayırıq: – 4.5; - 4; 0.

Əldə etdiyimiz loqarifmlərlə dəyərlər hesablana bilər (və ya təhlil edilə bilər). Və görəcəksiniz ki, bu seqmentdə funksiyanın ən kiçik dəyəri “– 20”dir.

Ancaq onları hesablamaq lazım deyil. Niyə? Biz bilirik ki, cavab ya tam ədəd, ya da sonlu onluq kəsr olmalıdır (bu, B Hissəsindəki Vahid Dövlət İmtahanının şərtidir). Lakin loqarifmli qiymətlər: – 22,5 – ln 0,5 5 və – ln3125 belə cavab verməyəcək.

x=–4 funksiyası minimum qiymət alır, törəmənin işarələrini (-dən) intervallarla təyin edə bilərsiniz.– 5: – 4) və (– 4; + ∞ ).

İndi törəmələrlə heç bir çətinlik çəkməyənlər və bu cür problemləri necə həll edəcəyini başa düşənlər üçün məlumat. Törəmə hesablamadan və lazımsız hesablamalar olmadan necə edə bilərsiniz?

Deməli, nəzərə alsaq ki, cavab tam və ya sonlu onluq kəsr olmalıdır, onda belə bir dəyəri yalnız x tam və ya sonlu tam ədəd olduqda ala bilərik. onluq və eyni zamanda, mötərizədə loqarifmin işarəsi altında vahid və ya e rəqəmi olacaq.Əks halda, razılaşdırılmış dəyəri əldə edə bilməyəcəyik. Və bu yalnız x = – 4-də mümkündür.

Bu o deməkdir ki, bu nöqtədə funksiyanın dəyəri ən kiçik olacaq, onu hesablayaq:

Cavab: – 20

Özünüz üçün qərar verin:

[–2.5;0] seqmentində y=3x– ln (x+3) 3 funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın.

y=ln (x+5) funksiyasının ən böyük qiymətini tapın. 5 - 5x seqmentdə [–4,5;0].

y=x 2 –13x+11∙lnx+12 funksiyasının seqmentdə ən böyük qiymətini tapın.

Seqmentdə funksiyanın ən kiçik qiymətini tapmaq üçün funksiyanın uclarında, əgər varsa, bu intervalın ekstremum nöqtələrindəki qiymətini hesablamaq lazımdır.

Törəməni hesablayaq, onu sıfıra bərabərləşdirək və yaranan tənliyi həll edək:

Qərar verərək kvadrat tənlik, alırıq

x = 1 nöqtəsi verilmiş intervala aiddir.

x = 22/4 nöqtəsi ona aid deyil.

Beləliklə, nöqtələrdə funksiyanın dəyərini hesablayırıq:

Biz bilirik ki, cavab tam ədəd və ya sonlu onluq kəsrdir, yəni funksiyanın ən böyük qiyməti 0-dır. Birinci və üçüncü hallarda biz belə bir qiymət almayacağıq, çünki bu kəsrlərin natural loqarifmi alınmayacaq. belə bir nəticə verin.

Bundan əlavə, nöqtədə olduğundan əmin olunx = 1 funksiyası maksimum dəyərini alır, törəmənin əlamətlərini (0) -dan intervallarla təyin edə bilərsiniz.:1 ) və (1 ; + ∞ ).

Törəmə hesablamadan bu tip problemi necə həll etmək olar?

Nəzərə alsaq ki, cavab tam və ya sonlu onluq kəsr olmalıdır, onda bu şərt yalnız x tam və ya sonlu onluq kəsrli tam ədəd olduqda və eyni zamanda vahid və ya e ədədi olduqda təmin edilir. loqarifm işarəsi altında.

Bu yalnız x = 1 olduqda mümkündür.

Bu o deməkdir ki, x = 1 (və ya 14/14) nöqtəsində funksiyanın dəyəri ən böyük olacaq, onu hesablayaq:

Cavab: 0

Özünüz üçün qərar verin:

y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 funksiyasının seqmentdə ən böyük qiymətini tapın.

Qeyd edirəm ki, törəmələri tapmadan bu cür tapşırıqların həlli üsulu yalnız Vahid Dövlət İmtahanının özündə tapşırığı hesablayarkən vaxta qənaət etmək üçün istifadə edilə bilər. Və yalnız bu cür problemlərin törəməni tapmaqla (alqoritmdən istifadə etməklə) necə həll edəcəyini mükəmməl başa düşsəniz və bunu bacarsanız. Heç bir şübhə yoxdur ki, törəmə olmadan həll edərkən analitikada müəyyən təcrübəyə malik olmalısınız.

Bəzən konkret tapşırıqları yerinə yetirməyə kömək edən bir çox “çətin” üsullar var və onların hamısını xatırlamaq mümkün deyil. Həllin prinsiplərini və xüsusiyyətlərini başa düşmək vacibdir. Əgər ümidlərinizi hansısa texnikaya bağlasanız, o, sadəcə olaraq sadə bir səbəbdən işləməyə bilər: onu sadəcə unudacaqsınız və ya Vahid Dövlət İmtahanında ilk dəfə gördüyünüz bir növ tapşırıq alacaqsınız.

Bu bölmədəki tapşırıqları nəzərdən keçirməyə davam edəcəyik, bunu qaçırmayın!

Hamısı budur. Sənə uğurlar arzu edirəm!

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Bu xidmətlə siz edə bilərsiniz funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın həlli Word-də formatlanmış bir f(x) dəyişəni. Əgər f(x,y) funksiyası verilmişdirsə, ona görə də tapmaq lazımdır iki dəyişənli funksiyanın ekstremumu. Siz də tapa bilərsiniz artan və azalan funksiya intervalları.

Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları:

Bir dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün zəruri şərt

f" 0 (x *) = 0 tənliyidir zəruri şərt bir dəyişənin funksiyasının ekstremumu, yəni. x * nöqtəsində funksiyanın birinci törəməsi itməlidir. O, funksiyanın artmadığı və ya azalmadığı stasionar x c nöqtələrini müəyyən edir.

Bir dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün kafi şərt

D çoxluğuna aid olan x-ə görə f 0 (x) iki dəfə diferensiallana bilsin. Əgər x * nöqtəsində şərt yerinə yetirilirsə:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Onda x * nöqtəsi funksiyanın yerli (qlobal) minimum nöqtəsidir.

Əgər x * nöqtəsində şərt yerinə yetirilirsə:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Onda x * nöqtəsi lokal (qlobal) maksimumdur.

Nümunə №1. Ən böyük tapın və ən kiçik dəyər funksiyaları: seqmentdə.
Həll.

Kritik nöqtə bir x 1 = 2 (f’(x)=0) təşkil edir. Bu nöqtə seqmentə aiddir. (x=0 nöqtəsi kritik deyil, çünki 0∉).
Seqmentin uclarında və kritik nöqtədə funksiyanın dəyərlərini hesablayırıq.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cavab: f min = 5 / 2 at x=2; x=1-də f max =9

Nümunə № 2. Daha yüksək dərəcəli törəmələrdən istifadə edərək y=x-2sin(x) funksiyasının ekstremumunu tapın.
Həll.
Funksiyanın törəməsini tapın: y’=1-2cos(x) . Kritik nöqtələri tapaq: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y’’=2sin(x) tapırıq, hesablayırıq, bu o deməkdir ki, x= π / 3 +2πk, k∈Z funksiyanın minimum nöqtələridir; , yəni x=- π / 3 +2πk, k∈Z funksiyanın maksimum nöqtələridir.

Nümunə № 3. x=0 nöqtəsinin yaxınlığında ekstremum funksiyasını tədqiq edin.
Həll. Burada funksiyanın ekstremumunu tapmaq lazımdır. Ekstremum x=0 olarsa, onun növünü tapın (minimum və ya maksimum). Tapılan nöqtələr arasında x = 0 yoxdursa, f(x=0) funksiyasının qiymətini hesablayın.
Qeyd etmək lazımdır ki, verilmiş nöqtənin hər tərəfindəki törəmə işarəsini dəyişmədikdə, mümkün vəziyyətlər hətta diferensiallanan funksiyalar üçün belə ola bilər: x 0 nöqtəsinin bir tərəfində və ya hər iki tərəfdə ixtiyari kiçik qonşuluq üçün törəmə işarəni dəyişir. Bu nöqtələrdə funksiyaları ekstremumda öyrənmək üçün başqa üsullardan istifadə etmək lazımdır.

1. Funksiyanın tərif sahəsini tapın və onun bütün seqmenti ehtiva edib-etmədiyini yoxlayın.

2. Seqmentə düşən bütün stasionar nöqtələri təyin edin. Bunun üçün funksiyanın törəməsini tapırıq, onu sıfıra bərabərləşdiririk, yaranan tənliyi həll edirik və uyğun kökləri seçirik.

3. Əgər stasionar nöqtələr yoxdursa və ya onların heç biri seqmentə düşmürsə, onda növbəti nöqtəyə keçin.

4. Seçilmiş stasionar nöqtələrdə (əgər varsa), həmçinin x = a və x = b-də funksiyanın dəyərlərini hesablayırıq.

5. Alınan funksiya qiymətlərindən ən böyüyü və ən kiçikini seçin - onlar bizim axtardığımız olacaq.

10) Qabarıqlıq (konkavlik) üçün kifayət qədər şərt.Əgər iki dəfə diferensiallanan funksiyanın ikinci törəməsi X çoxluğunda müsbət (mənfi) olarsa, bu çoxluqda funksiya aşağı (yuxarı) qabarıqdır.

11) Bükülmə nöqtələri üçün zəruri şərt. İki dəfə davamlı diferensiallanan funksiyanın x0 əyilmə nöqtəsində ikinci törəməsi f""(x) sıfıra bərabərdir, yəni. f""(x0) = 0.

12) Bükülmə nöqtələri üçün kifayət qədər şərt.İki dəfə diferensiallanan funksiyanın ikinci törəməsi f""(x0) = 0 olan x0 nöqtəsindən keçərkən işarəsini dəyişirsə, x0 onun qrafikinin əyilmə nöqtəsidir.

6.Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabları.

Funksiyaların qismən törəmələri z = f(x,y) funksiyanın artımlarının nisbətinin hədləri adlanır z = z(x,y) istiqamətlərdə müvafiq arqumentin artımına Oh və ya OU saat Δx → 0 Və Δу → 0 müvafiq olaraq:

X-ə görə qismən törəmə:

Hesablayarkən y = const nəzərə alın.

y-ə görə qismən törəmə:

Hesablayarkən x = const nəzərə alın.

İki dəyişənin verilmiş funksiyasının arqumentlərinin bütün cüt dəyərlərinin G dəsti deyilir. bu funksiyanın təyini sahəsi.

z = f(x,y) funksiyası çağırılır davamlı M0(x0,y0) nöqtəsində, əgər bu nöqtədə və onun qonşuluğunda müəyyən edilirsə və qane edirsə.

A nömrəsi deyilir funksiyanın limiti z = f(x,y) M0(x0,y0) nöqtəsində:

Funksiyanın ümumi artımının xətti (delta x və delta ig-ə nisbətən) hissəsi adlanır. tam diferensial və dz ilə işarələnir:

burada deix və deigric müstəqil dəyişənlərin diferensiallarıdır və tərifinə görə müvafiq artımlara bərabərdirlər.

Nöqtə (x 0; y 0) nöqtə adlanır maksimum funksiya z = f(x; y) (x 0; y 0)üçün

= <δ f(x; y)≤ f(x 0; y 0).

Nöqtə (x 0; y 0) nöqtə adlanır minimum funksiya z = f(x; y) , əgər nöqtənin məhəlləsində hər yerdə (x 0; y 0)üçün

= <δ f(x; y) ≥ f(x 0; y 0).

Tənliklə verilmiş bir səth olsun . Müəyyən bir nöqtədən keçən səthdəki xətlərə toxunan bütün xətlərin yerləşdiyi müstəvi , çağırdı tangens müstəvisi M0 nöqtəsində səthə.

Bir nöqtədən keçən düz xətt səthlər , tangens müstəvisinə perpendikulyar deyilir səthə normaldır.

Səth tənliklə verilirsə , onda nöqtədə bu səthə toxunan müstəvinin tənliyi şəklində yazılır: , eyni nöqtədə səthə olan normalın tənliyi isə belədir:

Diferensiallıq üçün zəruri şərtlər: f funksiyası x0 nöqtəsində diferensiallanarsa, bu nöqtədə onun bütün dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələri olur.əgər f funksiyası x0 nöqtəsində diferensiallanarsa, o zaman bu nöqtədə davamlıdır.

Diferensiallıq üçün kifayət qədər şərtlər: f() funksiyası x0 nöqtəsinin hansısa qonşuluğunda müəyyən edilsin. Qoy bu qonşuluqdakı funksiyanın bütün dəyişənlərə münasibətdə davamlı qismən törəmələri olsun, onda f funksiyası bu nöqtədə diferensiallana bilər.

Lazımi şərtlər ekstremumun mövcudluğu : və ya ən azı bir qismən törəmə mövcud deyil.

Kifayət qədər şərait ekstremumun mövcudluğu iki dəyişənin funksiyaları:> 0 olarsa

sonra a) > 0 funksiyanın minimumu var ( min)

IN) < 0 funksiyanın maksimumu var ( maks)

Əgər<0 Bu ekstremum yoxdur.

Əgər= 0, onda daha yüksək dərəcəli törəmələrdən istifadə etməklə əlavə tədqiqat lazımdır.

Kompleks ədədlər

Təriflər:

1) Kompleks nömrə- adətən ilə işarələnən həqiqi ədədlər çoxluğunun genişləndirilməsi. İstənilən mürəkkəb ədəd formal cəmi kimi təqdim edilə bilər, burada və real ədədlərdir və xəyali vahiddir.

2) Kompleks ədədin , , şəklində yazılması deyilir cəbri forma kompleks ədəd.

3) ədədə uyğun gələn nöqtənin radius vektorunun bucağı (radianla) adlanır arqumentədəddir və ilə işarələnir.

4) Modul kompleks ədədin kompleks müstəvisinin müvafiq nöqtəsinin radius vektorunun uzunluğudur (və ya eyni olan, bu ədədə uyğun olan kompleks müstəvinin nöqtəsi ilə koordinatların başlanğıcı arasındakı məsafə).

Kompleks ədədin modulu ifadə ilə işarələnir və müəyyən edilir . Çox vaxt və ya hərfləri ilə işarələnir. Əgər həqiqi ədəddirsə, bu həqiqi ədədin mütləq qiyməti ilə üst-üstə düşür.

5) Əgər mürəkkəb ədəddirsə, o zaman nömrə çağırılır qoşma(və ya mürəkkəb birləşmə) üçün (həmçinin ilə işarələnir). Mürəkkəb müstəvidə konjugat nömrələr real oxa nisbətən bir-birinin güzgü təsvirləri kimi alınır. Konjugat sayının modulu orijinal ilə eynidir və onların arqumentləri işarə ilə fərqlənir.

6) Mürəkkəb ədədin həqiqi və xəyali hissələri modul və arqument ( , ) vasitəsilə ifadə edilirsə, sıfırdan başqa istənilən kompleks ədədi yazmaq olar. triqonometrik formalar e

7) Tərif kompleks ədədlərin hasilləri elə qurulmuşdur ki, a + bi və a′ + b′i ədədləri cəbri binomlar kimi vurula bilsin və i ədədi i 2 =−1 xassəsinə malikdir.

8) İxtiyari natural ədəd olsun . kompleks ədədin n-ci kökü z kompleks ədəddir ki, .

9) Kompleks ədədlərin yazılmasının eksponensial forması

Mürəkkəb eksponent halı üçün eksponensiyanın genişlənməsi haradadır.

Xüsusiyyətlər və teoremlər:

1) Cəbri formada iki kompleks ədədin hasili modulu amillərin modullarının hasilinə, arqumenti isə amillərin arqumentlərinin cəminə bərabər olan kompleks ədəddir.

2) etmək üçün triqonometrik formada iki kompleks ədədi çarpın qeydləri modulları ilə çoxaltmaq və arqumentləri əlavə etmək lazımdır. , burada və , burada triqonometrik formada yazılmış iki ixtiyari kompleks ədəd olsun. Sonra .

3) Moivre düsturu kompleks ədədlər üçün hər hansı üçün olduğunu bildirir

4) etmək üçün mürəkkəb ədədi bölmək (a 1 + b 1 i) başqa kompleks ədədə ( a 2 + b 2 i), yəni tapın , siz həm payı, həm də məxrəci məxrəcə birləşdirilən ədədlə vurmalısınız.

8.Bir dəyişənli funksiyaların inteqral hesabları.

1) Antiderivativ

Müəyyən (a,b) intervalında diferensiallanan F(x) funksiyası, əgər hər bir x (a,b) üçün bərabərlik doğru olarsa, bu intervalda f(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır.

2) Qeyri-müəyyən inteqral

Əgər F(x) müəyyən intervalda f(x) funksiyası üçün əks törəmədirsə, onda F(x)+C ifadəsi f(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı adlanır və işarəsi ilə işarələnir.

3) Müəyyən inteqral

Verilmiş f(x) funksiyasının verilmiş seqmentdə müəyyən inteqralı dedikdə onun əks törəməsinin müvafiq artımını nəzərdə tuturuq, yəni.

4) Kesikli funksiyanın düzgün olmayan inteqralı

f(x) funksiyası davamlı a ≤x≤b olsun və x=b-də kəsilmə nöqtəsi olsun. Sonra kəsikli funksiyanın uyğun olmayan inteqralı düsturla müəyyən edilir

və bərabərliyin sağ tərəfindəki limitin mövcud olub-olmamasından asılı olaraq konvergent və ya divergent adlanır.

5) Sonsuz inteqrasiya intervalı ilə düzgün olmayan inteqral

a≤x≤b+∞ üçün f(x) funksiyası kəsilməz olsun. Sonra təriflə

Əgər limit mövcuddursa, onda bərabərliyin sol tərəfindəki inteqrala yaxınlaşma deyilir və onun qiyməti düsturla müəyyən edilir; əks halda bərabərlik mənasını itirir, soldakı inteqrala divergent deyilir və ona heç bir ədədi qiymət verilmir.

Xassələr və teoremlər

6) Qeyri-müəyyən inteqralda hissələr üzrə inteqrasiya düsturu

7) Kəsr-rasional funksiyaların inteqrasiyası qaydalarını tərtib edin

1. Payı məxrəcə bölün

2. Q(x) =(x- )(x- )…

3. Kəsiri sadə kəsrlərin cəminə genişləndiririk; ; ; ;

1 və 2 tipli kəsrlərin inteqralı diferensialın işarəsi altında funksiyanı daxil etməklə hesablanır, 3 və 4, əvvəlcə məxrəcdə tam kvadrat seçilir.

8) Triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası qaydasını tərtib edin

9) Müəyyən inteqralın xassələrini tərtib edin

1. Müəyyən inteqralın qiyməti inteqrasiya dəyişəninin təyinatından asılı deyil, yəni.

2. Eyni hədləri olan müəyyən inteqral sıfıra bərabərdir

3. İnteqrasiya hədlərini yenidən təşkil edərkən müəyyən inteqral işarəsini əksinə dəyişir.

4. İnteqrasiya intervalı sonlu sayda qismən intervallara bölünürsə, onda interval üzərində alınan müəyyən inteqral onun bütün qismən intervalları üzərindən alınan müəyyən inteqralların cəminə bərabərdir.

5. Sabit amili müəyyən inteqralın işarəsindən çıxarmaq olar

6. Sonlu sayda fasiləsiz funksiyaların cəbri cəminin müəyyən inteqralı bu funksiyaların müəyyən inteqrallarının eyni cəbri cəminə bərabərdir.

10) Nyuton-Leybnits düsturu

Əgər f intervalda fasiləsizdirsə və F bu intervalda onun hər hansı antitörəvidirsə, onda bərabərlik qüvvədədir

11) Müəyyən inteqralda hissələr üzrə inteqrasiya düsturu

Qısalıq üçün qeyddən istifadə edirik

2) Qeyri-müəyyən inteqralın xassələrini tərtib edin

1. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqrada, qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi isə inteqrada bərabərdir.

2. Davamlı diferensiallanan funksiyanın diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı sabit həddə qədər bu funksiyanın özünə bərabərdir.

3. Qeyri-müəyyən inteqralın işarəsindən sıfırdan fərqli sabit amil çıxarıla bilər

4. Sonlu sayda fasiləsiz funksiyaların cəbri cəminin qeyri-müəyyən inteqralı bu funksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının eyni cəbri cəminə bərabərdir.

5) Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişməsi

Tutaq ki, inteqralı tapmalıyıq. Gəlin x= (t) təyin edən yeni t dəyişənini təqdim edək, burada (t) t=Ψ(t) tərs funksiyası olan kəsilməz törəmə ilə fasiləsiz funksiyadır. İnteqrasiyadan sonra sağ tərəfdə t=Ψ(x) əvəzləməsi edilməlidir.

3) İnteqrallar cədvəli

Loqarifmlər

Eksponensial funksiyalar

İrrasional funksiyalar

Triqonometrik funksiyalar

12) Müəyyən inteqralda dəyişənin dəyişməsi

f(x) funksiyası intervalda fasiləsizdir, x= (t) funksiyası [ intervalında a≤ (t)≤b və =a, =b ilə davamlı törəməyə malikdir.

13) Düz fiqurun sahəsinin hesablanması

f(x) funksiyası fasiləsiz olsun. Əgər f(x)≥0 -də olarsa, onda y=f(x), y=0, x=a, x=b xətləri ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsi inteqraldan istifadə etməklə ifadə olunacaq:

Əgər f(x)≤0 açıqdırsa, onda –f(x)≥0 . Buna görə də müvafiq əyrixətti trapezoidin S sahəsi düsturla tapılır

Qütb koordinatlarında

DƏRS PLANI No 100

İntizam Riyaziyyatı

İxtisas

Kurs 1 qrup C 153

Dərsin mövzusu: Funksiyaların ən böyük və ən kiçik qiymətləri

Dərsin növü: biliklərin möhkəmləndirilməsi və bacarıqların inkişafı dərsi

Dərsin növü: praktiki dərs

Məqsədlər:

– təhsil: Seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmaq üçün alqoritm yaradın. Alqoritmin mənimsənilməsinə ilkin konsolidasiya və ilkin nəzarəti həyata keçirmək;

– inkişaf etdirmək: Məntiqi təfəkkür, hesablama bacarıqlarını inkişaf etdirmək;

– tərbiyəvi: tələbələrdə müstəqilliyi, özünü tanımağı, özünü yaratmağı və özünü həyata keçirməyi təşviq etmək.

Tapşırıqlar:

Bilməlidir: Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmağı

Bacarmalıdır: əldə edilmiş bilikləri praktikada tətbiq etməyi

Formalaşmış səlahiyyətlər:

– ümumi: OK 1-9

– peşəkar: PC 1.1. – PC 4.3.

Dərslərin verilməsi: kartlar, tamam

Fənlərarası əlaqələr:“Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri” mövzusunda dərs “Törəmənin tərifi, onun həndəsi və fiziki mənası”, “Əsas elementar funksiyaların törəmələri”, “İkinci törəmə, onun fiziki məna”, “Törəmədən istifadə edərək sürət və sürətlənmənin tapılması”, “Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması”, “Funksiyanın sabitlik əlaməti, artıb-azalması”, “Funksiyanın ekstremalları. Funksiyanın ekstremuma qədər tədqiqi”, “Törəmədən istifadə edərək funksiyanın tədqiqi”, “Törəmənin qrafiklərin qurulmasına tətbiqi”, “Törəmənin funksiyaların öyrənilməsi və qurulmasına tətbiqi”, “Qrafikin qabarıqlığı. funksiyanın, əyilmə nöqtələrinin", "Mövzu üzrə tapşırıqların həlli: "Törəmə və onun tətbiqi"

Tədris metodları: aktiv: şifahi, vizual

Dərsin gedişatı

Dərsin təşkili (3 dəq.).

Dərsin mövzusunu və məqsədlərini bildirin. (4 dəq.)

Yeni biliklərin mənimsənilməsinə keçid kimi əsas biliklərin yenilənməsi. (7 dəq.)

Yeni mövzunu öyrənmək üçün keçdiyimiz materialı təkrarlamalıyıq. Bunu aşağıdakı tapşırıqları şifahi şəkildə yerinə yetirməklə edəcəksiniz. Dəftərinizdə hər bir bəndin yalnız cavablarını yazın. (3 dəq.)

y=f(x) funksiyasının qrafikindən istifadə edərək tapın:

1.Funksiyanın təyini sahəsi.

2. f`(x)=0 olan nöqtələrin absisləri

3. f`(x)-in mövcud olmadığı nöqtələrin absisləri.

4. Funksiyanın ən böyük qiyməti. (Uneyb.).

5. Funksiyanın ən kiçik qiyməti (Unaim.).

Müəllim: Hansı nöqtələrə stasionar deyilir?

Tələbə: f / (x) = 0 funksiyasının törəməsinin olduğu nöqtələr stasionar adlanır.

Müəllim: Stasionar nöqtələri tapmaq üçün sizə lazımdır: f / (x) funksiyasının törəməsini tapın və f / (x)= tənliyini həll edin. 0

Əldə edilmiş biliklərin konsolidasiyası ilə yeni biliklərin ünsiyyəti və mənimsənilməsi. (41 dəq.)

Davamlı y= funksiyasının ən kiçik və ən böyük qiymətlərinin tapılması alqoritmif(x) seqmentdə [a; b]

f "(x) tapın;

f "(x)=0 və ya f "(x)-in olmadığı nöqtələri tapın və onlardan seqment daxilində olanları seçin;

2-ci addımda və seqmentin uclarında əldə edilən nöqtələrdə y=f "(x) funksiyasının qiymətlərini hesablayın və onlardan ən böyüyü və ən kiçikini seçin; onlar müvafiq olaraq ən böyük və ən kiçik qiymətlər olacaqlar. y=f(x) funksiyasının seqmentində, onu aşağıdakı kimi işarələmək olar: max y(x) və min y(x).

Misal.

Seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapaq.

Gəlin kritik nöqtələri tapaq.

Hər hansı bir funksiyanın törəməsi müəyyən edildiyi üçün X, tənliyini həll edək

Yeni materialın konsolidasiyası. Problemin həlli.

Seçim 1.

U max tapın. və U adı. [-1;4] seqmentində y=2-8x+6 funksiyaları

Seqmentə aid nöqtələri seçin [-1;4]

3. y(-1)-i tapın

Seçim 2.

U max tapın. və U adı. Seqmentdə y=+4x-3 funksiyaları

y´=0 tənliyini həll etməklə stasionar nöqtələri tapın