Grænser giver alle matematikstuderende en masse problemer. For at løse en grænse skal du nogle gange bruge en masse tricks og vælge fra en række forskellige løsningsmetoder, præcis den der passer til et bestemt eksempel.

I denne artikel vil vi ikke hjælpe dig med at forstå grænserne for dine evner eller forstå grænserne for kontrol, men vi vil forsøge at besvare spørgsmålet: hvordan forstår man grænser i højere matematik? Forståelse følger med erfaring, så vi vil samtidig give flere detaljerede eksempler på løsning af grænser med forklaringer.

Begrebet grænse i matematik

Det første spørgsmål er: hvad er denne grænse og grænsen for hvad? Vi kan tale om grænserne for numeriske sekvenser og funktioner. Vi er interesserede i begrebet grænsen for en funktion, da det er det, eleverne oftest møder. Men først, den mest generelle definition af en grænse:

Lad os sige, at der er en variabel værdi. Hvis denne værdi i forandringsprocessen ubegrænset nærmer sig et vist antal -en , At -en – grænsen for denne værdi.

For en funktion defineret i et bestemt interval f(x)=y sådan et tal kaldes en grænse EN , som funktionen har tendens til hvornår x , tendens til et vist punkt EN . Prik EN hører til det interval, som funktionen er defineret på.

Det lyder besværligt, men det er skrevet meget enkelt:

Lim- fra engelsk begrænse- grænse.

Der er også en geometrisk forklaring på at bestemme grænsen, men her vil vi ikke dykke ned i teorien, da vi er mere interesserede i den praktiske end den teoretiske side af problemstillingen. Når vi siger det x har tendens til en eller anden værdi, betyder det, at variablen ikke antager værdien af ​​et tal, men nærmer sig det uendeligt tæt på.

Lad os give et specifikt eksempel. Opgaven er at finde grænsen.

For at løse dette eksempel erstatter vi værdien x=3 ind i en funktion. Vi får:

Forresten, hvis du er interesseret, så læs en separat artikel om dette emne.

I eksempler x kan have en tendens til enhver værdi. Det kan være et hvilket som helst tal eller uendeligt. Her er et eksempel på hvornår x har en tendens til det uendelige:

Intuitivt, jo større tal i nævneren, jo mindre værdi vil funktionen tage. Altså med ubegrænset vækst x betyder 1/x vil falde og nærme sig nul.

Som du kan se, for at løse grænsen, skal du blot erstatte den værdi, du skal stræbe efter, i funktionen x . Dette er dog det enkleste tilfælde. Ofte er det ikke så indlysende at finde grænsen. Inden for grænserne er der usikkerheder af typen 0/0 eller uendelig/uendelighed . Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Gå til tricks!

Usikkerheder indeni

Usikkerhed af formen uendelighed/uendelighed

Lad der være en grænse:

Hvis vi forsøger at erstatte uendelighed i funktionen, får vi uendelighed i både tælleren og nævneren. Generelt er det værd at sige, at der er et vist element af kunst i at løse sådanne usikkerheder: du skal lægge mærke til, hvordan du kan transformere funktionen på en sådan måde, at usikkerheden forsvinder. I vores tilfælde dividerer vi tæller og nævner med x i senioruddannelsen. Hvad vil der ske?

Fra eksemplet, der allerede er diskuteret ovenfor, ved vi, at led, der indeholder x i nævneren, vil tendere mod nul. Så er løsningen til grænsen:

For at løse typeusikkerheder uendelig/uendelighed dividere tæller og nævner med x i højeste grad.

I øvrigt! Til vores læsere er der nu 10% rabat på

En anden form for usikkerhed: 0/0

Som altid erstatter værdier i funktionen x=-1 giver 0 i tæller og nævner. Se lidt nærmere, og du vil bemærke, at vi har en andengradsligning i tælleren. Lad os finde rødderne og skrive:

Lad os reducere og få:

Så hvis du står over for typeusikkerhed 0/0 – faktor tæller og nævner.

For at gøre det nemmere for dig at løse eksempler præsenterer vi en tabel med grænserne for nogle funktioner:

L'Hopitals styre indeni

En anden effektiv måde at eliminere begge typer usikkerhed på. Hvad er essensen af ​​metoden?

Hvis der er usikkerhed i grænsen, skal du tage den afledede af tælleren og nævneren, indtil usikkerheden forsvinder.

L'Hopitals regel ser således ud:

Vigtigt punkt : grænsen, inden for hvilken de afledte af tæller og nævner står i stedet for tæller og nævner skal eksistere.

Og nu - et rigtigt eksempel:

Der er typisk usikkerhed 0/0 . Lad os tage de afledte af tælleren og nævneren:

Voila, usikkerhed løses hurtigt og elegant.

Vi håber, at du vil være i stand til at anvende denne information i praksis og finde svaret på spørgsmålet "hvordan man løser grænser i højere matematik." Hvis du skal beregne grænsen for en sekvens eller grænsen for en funktion på et punkt, og der absolut ikke er tid til dette arbejde, så kontakt en professionel studenterservice for en hurtig og detaljeret løsning.

Ved, at alle har en anden "skade",
Vid, at alle har en anden "skræmmende".
Døm ikke ud fra dit klokketårn
Det er uvist, hvor mange etager der er.

Se ikke på grænserne
Opfind ikke grænser med din hjerne.
Hvad ville du aldrig drømme om i et mareridt?
For nogle er det en almindelig ting.

Ved, at alle har forskellige "bør",
Vid, at alles "besvær" er forskellig.
Men ideen om helvede
Det er umuligt at generalisere og sammenligne.

Vid, at sandheden er anderledes,
Og ikke den, der serveres på et fad.
Se nærmere på dem, hvis skæbne er skræmmende,
Det er de stærkeste mennesker.

Sig ikke at jeg ikke kan huske dig...
Jeg husker alt, mange gange om dagen
Jeg gentager telefonnummeret
Men jeg vil aldrig ringe til dig.
Det føltes som om mit hjerte var ved at gå i stykker
Og på grænsen af ​​ensomme dage

De gik ud over horisonten i min sjæl.
Der var kærlighed, der var kærlighed, der var!
Og der er intet at tilføje til denne sætning.
Vores magiske slot brændte ned til grunden
Og han efterlod ikke aske for os at huske.
Jeg husker alt, og jeg husker den blomstrende have,
Og gennem løvet - stråler fra alle sider,
Som fra et hvidt, hvidt klokketårn
I din sjæl - hører du - vælter en stille ringetone.
Kærligheden er væk og vil aldrig vende tilbage,
Og for ikke at savne hende for evigt,
Dine øjne er som to triste sole
De gik ud over horisonten i min sjæl.

Jagten på lykke er igen mislykket...
Og det er en regnfuld aften, det er dystert udenfor...
Og som barn... smører jeg marmelade på en bolle
Og bestemt glad, dumt glad...

Glamour, etikette, diamanter, jacuzzi...
Nu, ud over lykke, i skæbnen for "Alt inklusive",
Og som barn spiste jeg solsikkefrø,
Og lykke syntes at have ingen grænser...

Vi er blevet meget som klovne...
Alle har makeup på, der griner udenpå...
Og i barndommen... brød kun solen igennem fra himlen
Og det glade hjerte smilede så meget...

Vi udvælger folk som boghvede i Askepot...
Kontakt alle du har brug for... Dem der er urentable går til ovnen...
Og i barndommen troede klar himmel på os...
Hvor er glæden fra duften af ​​frisk brød?

Og nu kan venskab også købes...
Vi lavede det... Vi lever i en verden af ​​pels og læder...
Og i barndommen reddede de blandingen fra regnen ...
Og ved at give lykke modtog de den.

Vi har mistet oprigtighed og følsomhed gennem årene...
Vi kom selv med grænser og rammer...
Har du en bolle og en krukke kirsebærsyltetøj?
Så vær så glad!

Jeg ser på dig og indser, at jeg stadig elsker dig. Denne kærlighed er en kronisk sygdom i de senere år. Det bringer så uudholdelig smerte, at jeg kaster mig over fuldstændig fremmede, der prøver at blive bedraget af dem, med dem pludselig i disse omfavnelser vil jeg finde selve det smertestillende middel, som ifølge ejerne af rynkede hjerter slet ikke eksisterer. Jeg forstår godt, at jeg bliver snydt, men jeg fortsætter alligevel med at kramme – jeg kan ikke slå mig selv ihjel ellers, det gør ondt, det piner, det lader mig ikke sove om natten, så jeg sidder i vindueskarmen og, om endnu et minut vil jeg skrige hjerteskærende af tortur af illusioner. Skal jeg kontakte dig for at få hjælp? Ubrugelig. Du kender til min kærlighed, men du har ikke brug for det, "din mund er fuld af uudtalte følelser." Vi er i samme net af uansvarlighed, men vi kan ikke hjælpe hinanden. Du vikler dine hænder om de tynde hvide tråde og stænger og ser et sted ud over virkelighedens grænser i håb om, at Gud ved, hvis hjælp. Og der er kun én forskel mellem os: min kærlighed til dig slog mig næsten op af mine fødder, og din kærlighed til nogen giver næring til og genopliver dig med forventning, om end vildledende. Jeg vil ikke se på dig mere, jeg driver muligheden for dig ud af mit hjerte, men det gør det endnu mere smertefuldt. Så han går gennem lidelsesprocessen i en hvisken, også i håb om, at Gud ved, hvis hjælp. Tid?..

Dit liv er en komplet løgn, porno, hverdagsliv, internetafhængighed og mobiltelefonslaveri. Jamen, har jeg ikke ret? Sig mig, har du nogensinde gjort noget virkelig ud over det sædvanlige? Aldrig. Og det kan du ikke. Ved du hvorfor? Fordi alt dette er uden for din komfortzone. Du er pakket ind i det. Som i en polypropylenpose. I er kødstykker, klemt af hverdagens og arbejdets rammer. Eller tager jeg fejl? Måske tager jeg fejl? Ret mig.
Kan du for eksempel give din mobiltelefon til den første person, du møder? EN? Vanskeligt spørgsmål. Kan du formatere skruen på din computer lige nu? Dum? Har du skidt dig? Ved du hvorfor du ikke gør dette? For det er ensbetydende med selvmord. Du eksisterer ikke uden den.



Han har været otteogtyve lange år, og desuden otteogtyve vintre,

Han holdt på én hemmelighed og var en eksemplarisk ægtemand i familien.
Alt så ud til at være som det plejer: min kone var ved at forberede middag...
Men pludselig skete der noget slemt: han huskede hemmeligheden.
Til larmen og den sure lugt af kålsuppe, brokken fra min forlovede om morgenen,
Han huskede alt ned til mindste detalje, som om det var sket i går...
...Hun sad ved vinduet, og det bløde vidunderlige måneskin
Malede hendes smukke silhuet i blege toner...
Strenge flød over skuldrene, gled som slanger på brystet...
Og han tænkte overilet: "Jeg vil gifte mig med hende en dag!"
Han huskede alt ned til mindste detalje: linjernes kurver, læbernes blødhed...
Og varmen fra hendes simple taler, og et kæmpe egetræ uden for vinduet.
Et virvar af hænder... En sammensmeltning af kroppe... En kaskade af brunt hår...
Og hvor ville han have hende til et punkt af vanvid, til tårer!
En strøm af rystende bekendelser, hvor hviskede han dem i mit øre!
En sjov krølle over øret, der rystede af vejrtrækning...
Hun så på ham med øjne våde som natten.
Ordene var lige så berusende som vin: "Jeg elsker dig... Giv mig en datter..."
Om morgenen mistede han freden: han bøvlede, så kedede han sig...
Så, mens han dækkede sit ansigt med hånden, satte han sig på en stol og tav.
Konen brokkede sig som altid. Hun skældte den løbske suppe ud...
Og han bemærkede, at årene ikke passede hende, da hun blev ældre.
Ligesom hvid farve og hårstrå af farvet hår ikke klæder hende.
Og i otteogtyve år var alt på en eller anden måde ikke seriøst...
Pludselig sprang han op, greb sin frakke og glemte sin hat og sokker.
Alle otteogtyve år er ikke ens... Alle otteogtyve vintre er melankolske.
Fandt det hus. Huset har et egetræ. Han løb op ad trappen som en pil...
Jeg ville ønske, jeg kunne stoppe skælven fra de kolde læber, og den modbydelige fejhed – væk!
Hun drikker sikkert te og pakker sig ind i et sjal...
Og en stille sorg flyder fra hendes smukke øjne...
Eller måske begyndte hun at strikke? Eller måske væve blonder?
Der er så meget at fortælle hende! Og det vigtigste er at sige - jeg er ked af det...
Hun åbnede døren... Der var et spørgsmål i hendes øjne. Hun var tyve år igen...
En kaskade af brunt hår... En silhuet, der er kendt for hjertet...
Der er en lille krølle over øret... Ligesom for mange år siden - præcis det samme...
"Du tager ikke fejl?" “Nej, jeg kunne ikke... Er du Anya?” Vera. Hendes datter…"
"Og Anya?" - "Mor er ikke mere... Hvem er du?" Han vendte tilbage:
"Jeg gik til hende i otteogtyve år..." - Hun ventede på dig... Femogtyve...
Hvor svimmel... Hvor sank mit hjerte i mit bryst!
Og han huskede hendes ord med en bøn: "Gå ikke!"
Han bøjede sig. Han traskede væk. Sammenfletning af hænder... Sammensmeltning af kroppe...
Jeg elsker dig... Giv mig en datter... Men han ville virkelig have en datter.
Hvor underligt. Anya er ikke mere... jeg græd... jeg kastede det ind i stilheden: "Jeg vil elske dig i mange, mange år... Du alene..."

P.S. PAS PÅ KÆRLIGHED - det er grundlaget for din lykke...



En kvinde, der tilgiver meget ofte og holder ud i meget lang tid, forlader ofte uventet og for altid!