Lektion og præsentation om emnet: "Arcsine. Tabel over arcsines. Formel y=arcsin(x)"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral-onlinebutikken til klasse 10 fra 1C
Softwaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Løsning af problemer i geometri. Interaktive opgaver til bygning i rummet

Hvad vi vil studere:
1. Hvad er arcsine?
2. Arcsine notation.
3. Lidt historie.
4. Definition.

6. Eksempler.

Hvad er arcsine?

Gutter, vi har allerede lært, hvordan man løser ligninger for cosinus, lad os nu lære, hvordan man løser lignende ligninger for sinus. Overvej sin(x)= √3/2. For at løse denne ligning skal du konstruere en ret linje y= √3/2 og se på hvilke punkter den skærer talcirklen. Det kan ses, at den rette linje skærer cirklen i to punkter F og G. Disse punkter vil være løsningen på vores ligning. Lad os omdanne F som x1 og G som x2. Vi har allerede fundet løsningen til denne ligning og opnået: x1= π/3 + 2πk,
og x2= 2π/3 + 2πk.

At løse denne ligning er ret simpelt, men hvordan løser man f.eks. ligningen
sin(x)= 5/6. Denne ligning vil naturligvis også have to rødder, men hvilke værdier svarer til løsningen på talcirklen? Lad os se nærmere på vores ligning sin(x)= 5/6.
Løsningen til vores ligning vil være to punkter: F= x1 + 2πk og G= x2 ​​​​+ 2πk,
hvor x1 er længden af ​​buen AF, x2 er længden af ​​buen AG.
Bemærk: x2= π - x1, fordi AF= AC - FC, men FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Men hvad er disse punkter?

Stillet over for en lignende situation kom matematikere med et nyt symbol - arcsin(x). Læst som arcsine.

Så vil løsningen til vores ligning blive skrevet som følger: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Og løsningen i generel form: x= arcsin(5/6) + 2πk og x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinus er vinklen (buelængde AF, AG) sinus, som er lig med 5/6.

En lille historie om arcsine

Historien om oprindelsen af ​​vores symbol er nøjagtig den samme som arccos. Arcsin-symbolet dukker først op i værker af matematikeren Scherfer og den berømte franske videnskabsmand J.L. Lagrange. Noget tidligere blev begrebet arcsine overvejet af D. Bernouli, selvom han skrev det med forskellige symboler.

Disse symboler blev først generelt accepteret i slutningen af ​​det 18. århundrede. Præfikset "bue" kommer fra det latinske "arcus" (bue, bue). Dette er helt i overensstemmelse med betydningen af ​​begrebet: arcsin x er en vinkel (eller man kan sige en bue), hvis sinus er lig med x.

Definition af arcsine

Hvis |a|≤ 1, så er arcsin(a) et tal fra segmentet [- π/2; π/2], hvis sinus er lig med a.

Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x)= a en løsning: x= arcsin(a) + 2πk og
x= π - arcsin(a) + 2πk

Lad os omskrive:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Gutter, se nøje på vores to løsninger. Hvad synes du: kan de skrives ned ved hjælp af en generel formel? Bemærk, at hvis der er et plustegn foran arcsinus, så ganges π med det lige tal 2πk, og hvis der er et minustegn, så er multiplikatoren ulige 2k+1.
Med dette i betragtning, skriver vi den generelle formel ned for at løse ligningen sin(x)=a:

Der er tre tilfælde, hvor det er at foretrække at nedskrive løsninger på en enklere måde:

sin(x)=0, derefter x= πk,

sin(x)=1, derefter x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, derefter x= -π/2 + 2πk.

For enhver -1 ≤ a ≤ 1 gælder ligheden: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Lad os skrive tabellen med cosinusværdier omvendt og få en tabel for arcsinus.

Eksempler

1. Beregn: arcsin(√3/2).
Løsning: Lad arcsin(√3/2)= x, derefter sin(x)= √3/2. Per definition: - π/2 ≤x≤ π/2. Lad os se på sinusværdierne i tabellen: x= π/3, fordi sin(π/3)= √3/2 og –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Svar: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Beregn: arcsin(-1/2).
Løsning: Lad arcsin(-1/2)= x, derefter sin(x)= -1/2. Per definition: - π/2 ≤x≤ π/2. Lad os se på sinusværdierne i tabellen: x= -π/6, fordi sin(-π/6)= -1/2 og -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Svar: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Beregn: arcsin(0).
Løsning: Lad arcsin(0)= x, derefter sin(x)= 0. Per definition: - π/2 ≤x≤ π/2. Lad os se på værdierne af sinus i tabellen: det betyder x= 0, fordi sin(0)= 0 og - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Svar: arcsin(0)=0.

4. Løs ligningen: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk og x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Lad os se på værdien i tabellen: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Svar: x= -π/4 + 2πk og x= 5π/4 + 2πk.

5. Løs ligningen: sin(x) = 0.
Løsning: Lad os bruge definitionen, så vil løsningen blive skrevet i formen:
x= arcsin(0) + 2πk og x= π - arcsin(0) + 2πk. Lad os se på værdien i tabellen: arcsin(0)= 0.
Svar: x= 2πk og x= π + 2πk

6. Løs ligningen: sin(x) = 3/5.
Løsning: Lad os bruge definitionen, så vil løsningen blive skrevet i formen:
x= arcsin(3/5) + 2πk og x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Svar: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Løs uligheden sin(x) Løsning: Sinus er ordinaten af ​​et punkt på talcirklen. Det betyder: vi skal finde punkter, hvis ordinat er mindre end 0,7. Lad os tegne en ret linje y=0,7. Den skærer talcirklen i to punkter. Ulighed y Så vil løsningen på uligheden være: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arcsine-problemer til uafhængig løsning

1) Beregn: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Løs ligningen: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Løs uligheden: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Arcsine (y = arcsin x) er den omvendte funktion af sinus (x = syndig -1 ≤ x ≤ 1 og værdisættet -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arcsine er nogle gange betegnet som følger:
.

Graf over arcsine funktion

Graf for funktionen y = arcsin x

Bue-grafen fås fra sinusgrafen, hvis abscisse- og ordinatakserne byttes om. For at eliminere tvetydighed er intervallet af værdier begrænset til det interval, over hvilket funktionen er monotonisk. Denne definition kaldes hovedværdien af ​​arcsine.

Arccosine, arccos

Arc cosinus (y = arccos x) er den inverse funktion af cosinus (x = hyggelig). Det har et omfang -1 ≤ x ≤ 1 og mange betydninger 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arccosine betegnes nogle gange som følger:
.

Graf af bue cosinus funktion

Graf for funktionen y = arccos x

Bue-cosinus-grafen fås fra cosinus-grafen, hvis abscisse- og ordinatakserne byttes om. For at eliminere tvetydighed er intervallet af værdier begrænset til det interval, over hvilket funktionen er monotonisk. Denne definition kaldes hovedværdien af ​​buecosinus.

Paritet

Arcsine-funktionen er ulige:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Buecosinusfunktionen er ikke lige eller ulige:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Egenskaber - ekstrema, stigning, fald

Funktionerne arcsine og arccosine er kontinuerte i deres definitionsdomæne (se bevis for kontinuitet). Hovedegenskaberne for arcsine og arccosine er præsenteret i tabellen.

	y = arcsin x	y = arccos x
Omfang og kontinuitet	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Vifte af værdier
Stigende, faldende	monotont stiger	monotont aftager
Højdepunkter
Minimumskrav
Nuller, y = 0	x = 0	x = 1
Skær punkter med ordinataksen, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Tabel over arcsines og arccosines

Denne tabel præsenterer værdierne af arcsines og arccosines, i grader og radianer, for visse værdier af argumentet.

x	arcsin x		arccos x
	hagl	glad.	hagl	glad.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formler

Sum- og differensformler

på eller

kl og

kl og

på eller

kl og

kl og

på

på

på

på

Udtryk gennem logaritmer, komplekse tal

Udtryk gennem hyperbolske funktioner

Derivater

;
.
Se Afledning af arcsin og arccosinderivater > > >

Afledte af højere orden:
,
hvor er et polynomium af grad. Det bestemmes af formlerne:
;
;
.

Se Afledning af højere ordens derivater af arcsine og arccosine > > >

Integraler

Vi foretager substitutionen x = synd t. Vi integrerer efter dele, idet vi tager højde for, at -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, koster t ≥ 0:
.

Lad os udtrykke arc cosinus gennem arc sinus:
.

Serieudvidelse

Når |x|< 1 følgende nedbrydning finder sted:
;
.

Omvendte funktioner

Inverserne af arcsinus og arccosinus er henholdsvis sinus og cosinus.

Følgende formler er gyldige i hele definitionsdomænet:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Følgende formler er kun gyldige på sættet af arcsine og arccosine værdier:
arcsin(sin x) = x på
arccos(cos x) = x kl.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.

Hvad er arcsine, arccosine? Hvad er arctangens, arccotangent?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Til begreber arcsine, arccosine, arctangens, arccotangent Elevpopulationen er på vagt. Han forstår ikke disse udtryk og stoler derfor ikke på denne dejlige familie.) Men forgæves. Det er meget simple begreber. Hvilket i øvrigt gør livet enormt lettere for en vidende person, når man skal løse trigonometriske ligninger!

Tvivl om enkelhed? Forgæves.) Lige her og nu vil du se dette.

For forståelsen ville det selvfølgelig være rart at vide, hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er. Ja, deres tabelværdier for nogle vinkler... I hvert fald i de mest generelle termer. Så bliver der heller ingen problemer her.

Så vi er overraskede, men husk: arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent er blot nogle vinkler. Ikke mere, ikke mindre. Der er en vinkel, f.eks. 30°. Og der er et hjørne arcsin0.4. Eller arctg(-1.3). Der findes alle slags vinkler.) Man kan ganske enkelt skrive vinkler ned på forskellige måder. Du kan skrive vinklen i grader eller radianer. Eller du kan - gennem sin sinus, cosinus, tangent og cotangens...

Hvad betyder udtrykket

arcsin 0,4?

Dette er en vinkel, hvis sinus er 0,4! Ja Ja. Dette er betydningen af ​​arcsine. Jeg vil specifikt gentage: arcsin 0,4 er en vinkel, hvis sinus er lig med 0,4.

Det er alt.

For at holde denne enkle tanke i dit hoved i lang tid, vil jeg endda give en oversigt over dette forfærdelige udtryk - arcsine:

bue synd 0,4
hjørne, hvis sinus lig med 0,4

Som det er skrevet, så høres det.) Næsten. Konsol bue midler bue(ord bue ved du det?), fordi oldtidens mennesker brugte buer i stedet for vinkler, men det ændrer ikke på sagens essens. Husk denne elementære afkodning af et matematisk udtryk! For arccosine, arctangens og arccotangent adskiller afkodningen sig desuden kun i navnet på funktionen.

Hvad er arccos 0.8?
Dette er en vinkel, hvis cosinus er 0,8.

Hvad er arctg(-1,3)?
Dette er en vinkel, hvis tangent er -1,3.

Hvad er arcctg 12?
Dette er en vinkel, hvis cotangens er 12.

Sådan elementær afkodning gør det i øvrigt muligt at undgå episke bommerter.) For eksempel ser udtrykket arccos1,8 ret solidt ud. Lad os begynde at afkode: arccos1.8 er en vinkel, hvis cosinus er lig med 1.8... Hop-hop!? 1,8!? Cosinus kan ikke være større end én!!!

Højre. Udtrykket arccos1,8 giver ikke mening. Og at skrive et sådant udtryk i et eller andet svar vil i høj grad underholde inspektøren.)

Elementær, som du kan se.) Hver vinkel har sin egen personlige sinus og cosinus. Og næsten alle har deres egen tangent og cotangens. Derfor kan vi, ved at kende den trigonometriske funktion, nedskrive selve vinklen. Dette er hvad arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens er beregnet til. Fra nu af vil jeg kalde hele denne familie ved et lille navn - buer. For at skrive mindre.)

Opmærksomhed! Elementær verbale og bevidst dechifrering af buer giver dig mulighed for roligt og trygt at løse en række opgaver. Og i usædvanlig Kun hun gemmer opgaver.

Er det muligt at skifte fra buer til almindelige grader eller radianer?- Jeg hører et forsigtigt spørgsmål.)

Hvorfor ikke!? Let. Du kan gå frem og tilbage. Desuden skal dette nogle gange gøres. Buer er en simpel ting, men det er på en eller anden måde roligere uden dem, ikke?)

For eksempel: hvad er arcsin 0,5?

Lad os huske afkodningen: arcsin 0,5 er den vinkel, hvis sinus er 0,5. Tænd nu hovedet (eller Google)) og husk, hvilken vinkel der har en sinus på 0,5? Sinus er lig med 0,5 år 30 graders vinkel. Det er det: arcsin 0,5 er en vinkel på 30°. Du kan roligt skrive:

lysbue 0,5 = 30°

Eller mere formelt med hensyn til radianer:

Det er det, du kan glemme arcsine og fortsætte med at arbejde med de sædvanlige grader eller radianer.

Hvis du indså hvad er arcsine, arccosine... Hvad er arctangent, arccotangent... Du kan sagtens håndtere for eksempel sådan et monster.)

En uvidende person vil vige i rædsel, ja...) Men en informeret person husk afkodningen: arcsinus er den vinkel, hvis sinus... Og så videre. Hvis en kyndig person også kender sinustabellen... Cosinustabellen. Tabel over tangenter og cotangenter, så er der ingen problemer overhovedet!

Det er nok at indse, at:

Jeg vil tyde det, dvs. Lad mig oversætte formlen til ord: vinkel, hvis tangent er 1 (arctg1)- dette er en vinkel på 45°. Eller, som er det samme, Pi/4. Ligeledes:

og det er det... Vi erstatter alle buerne med værdier i radianer, alt er reduceret, det eneste der er tilbage er at beregne, hvor meget 1+1 er. Det bliver 2.) Hvilket er det rigtige svar.

Sådan kan du (og bør) bevæge dig fra arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens til almindelige grader og radianer. Dette forenkler i høj grad skræmmende eksempler!

Ofte, i sådanne eksempler, er der inde i buerne negativ betydninger. Som arctg(-1.3), eller for eksempel arccos(-0.8)... Dette er ikke et problem. Her er enkle formler for at gå fra negative til positive værdier:

Du skal f.eks. bestemme værdien af ​​udtrykket:

Dette kan løses ved hjælp af den trigonometriske cirkel, men du vil ikke tegne den. Nå okay. Vi flytter fra negativ værdier inden for buecosinus af k positiv efter den anden formel:

Inde i buen er cosinus til højre allerede positiv betyder. Hvad

du skal bare vide det. Tilbage er blot at erstatte radianer i stedet for buecosinus og beregne svaret:

Det er alt.

Restriktioner på arcsine, arccosine, arctangens, arccotangent.

Er der et problem med eksempel 7 - 9? Nå, ja, der er et eller andet trick der.)

Alle disse eksempler, fra 1 til 9, er nøje analyseret i afsnit 555. Hvad, hvordan og hvorfor. Med alle de hemmelige fælder og tricks. Plus måder at forenkle løsningen dramatisk på. I øvrigt indeholder dette afsnit en masse nyttige oplysninger og praktiske tips om trigonometri generelt. Og ikke kun i trigonometri. Hjælper meget.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Funktionerne sin, cos, tg og ctg er altid ledsaget af arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent. Det ene er en konsekvens af det andet, og funktionspar er lige så vigtige for at arbejde med trigonometriske udtryk.

Overvej en tegning af en enhedscirkel, som grafisk viser værdierne af trigonometriske funktioner.

Hvis vi beregner buer OA, arcos OC, arctg DE og arcctg MK, så vil de alle være lig med værdien af ​​vinklen α. Formlerne nedenfor afspejler forholdet mellem de grundlæggende trigonometriske funktioner og deres tilsvarende buer.

For at forstå mere om egenskaberne af arcsine, er det nødvendigt at overveje dens funktion. Tidsplan har form af en asymmetrisk kurve, der går gennem koordinatcentret.

Egenskaber af arcsine:

Hvis vi sammenligner graferne synd Og arcsin, kan to trigonometriske funktioner have fælles mønstre.

bue cosinus

Arccos af et tal er værdien af ​​vinklen α, hvis cosinus er lig med a.

Kurve y = arcos x spejler arcsin x-grafen, med den eneste forskel, at den passerer gennem punktet π/2 på OY-aksen.

Lad os se mere detaljeret på arc cosinus-funktionen:

1. Funktionen er defineret i intervallet [-1; 1].
2. ODZ for arccos - .
3. Grafen er helt placeret i første og andet kvartal, og selve funktionen er hverken lige eller ulige.
4. Y = 0 ved x = 1.
5. Kurven aftager langs hele dens længde. Nogle egenskaber ved buecosinus falder sammen med cosinusfunktionen.

Nogle egenskaber ved buecosinus falder sammen med cosinusfunktionen.

Måske vil skolebørn finde en sådan "detaljeret" undersøgelse af "buer" unødvendig. Men ellers kan nogle elementære standard eksamensopgaver føre eleverne ind i en blindgyde.

Øvelse 1. Angiv funktionerne vist på figuren.

Svar: ris. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

I dette eksempel er der lagt vægt på de små ting. Typisk er eleverne meget uopmærksomme på konstruktionen af ​​grafer og funktionernes udseende. Ja, hvorfor huske kurvetypen, hvis den altid kan plottes ved hjælp af beregnede punkter. Glem ikke, at under testforhold vil den tid, der bruges på at tegne til en simpel opgave, være nødvendig for at løse mere komplekse opgaver.

Arctangens

Arctg tallene a er værdien af ​​vinklen α, således at dens tangent er lig med a.

Hvis vi betragter arctangent-grafen, kan vi fremhæve følgende egenskaber:

1. Grafen er uendelig og defineret på intervallet (- ∞; + ∞).
2. Arctangent er en ulige funktion, derfor arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 ved x = 0.
4. Kurven øges gennem hele definitionsområdet.

Lad os præsentere en kort komparativ analyse af tg x og arctg x i form af en tabel.

Arccotangens

Arcctg af et tal - tager en værdi α fra intervallet (0; π), således at dets cotangens er lig med a.

Egenskaber for lysbue-cotangensfunktionen:

1. Funktionsdefinitionsintervallet er uendeligt.
2. Intervallet af acceptable værdier er intervallet (0; π).
3. F(x) er hverken lige eller ulige.
4. I hele dens længde falder grafen for funktionen.

Det er meget enkelt at sammenligne ctg x og arctg x; du skal blot lave to tegninger og beskrive kurvernes opførsel.

Opgave 2. Match grafen og funktionens notationsform.

Hvis vi tænker logisk, er det tydeligt på graferne, at begge funktioner er stigende. Derfor viser begge figurer en vis arktanfunktion. Fra arctangensens egenskaber vides det, at y=0 ved x = 0,

Svar: ris. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Trigonometriske identiteter arcsin, arcos, arctg og arcctg

Tidligere har vi allerede identificeret forholdet mellem buer og trigonometriens grundlæggende funktioner. Denne afhængighed kan udtrykkes ved en række formler, der gør det muligt at udtrykke for eksempel et arguments sinus gennem dets arcsinus, arccosinus eller omvendt. Kendskab til sådanne identiteter kan være nyttig, når man skal løse konkrete eksempler.

Der er også relationer for arctg og arcctg:

Et andet nyttigt par formler angiver værdien for summen af ​​arcsin og arcos, såvel som arcctg og arcctg af samme vinkel.

Eksempler på problemløsning

Trigonometriopgaver kan opdeles i fire grupper: beregn den numeriske værdi af et specifikt udtryk, konstruer en graf for en given funktion, find dens definitionsdomæne eller ODZ og udfør analytiske transformationer for at løse eksemplet.

Når du løser den første type problem, skal du overholde følgende handlingsplan:

Når man arbejder med funktionsgrafer, er det vigtigste kendskab til deres egenskaber og kurvens udseende. Løsning af trigonometriske ligninger og uligheder kræver identitetstabeller. Jo flere formler en elev husker, jo lettere er det at finde svaret på opgaven.

Lad os sige, at du i Unified State Examination skal finde svaret på en ligning som:

Hvis du transformerer udtrykket korrekt og bringer det til den ønskede form, er det meget enkelt og hurtigt at løse det. Lad os først flytte arcsin x til højre side af ligheden.

Hvis du husker formlen arcsin (sin α) = α, så kan vi reducere søgen efter svar til at løse et system med to ligninger:

Begrænsningen på modellen x opstod, igen fra egenskaberne af arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Når a ≠0, er en del af systemet en andengradsligning med rødderne x1 = 1 og x2 = - 1/a. Når a = 0, vil x være lig med 1.

Denne artikel handler om finde værdierne af arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent givet nummer. Først vil vi afklare, hvad der kaldes betydningen af ​​arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent. Dernæst vil vi få hovedværdierne for disse buefunktioner, hvorefter vi vil forstå, hvordan værdierne af buesinus, buecosinus, buetangens og buecotangens findes ved hjælp af tabellerne for sinus, cosinus, tangenter og Bradis cotangenser. Lad os endelig tale om at finde arcsinus for et tal, når arccosinus, arctangens eller arccotangens af dette tal osv. er kendt.

Sidenavigation.

Værdier af arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent

Først og fremmest er det værd at finde ud af, hvad "dette" faktisk er. betydningen af ​​arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent».

Bradis-tabeller over sinus og cosinus, samt tangenter og cotangenser, giver dig mulighed for at finde værdien af ​​arcsine, arccosine, arctangens og arccotangens af et positivt tal i grader med en nøjagtighed på et minut. Her er det værd at nævne, at det at finde værdierne af arcsin, arccosine, arctangens og arccotangens af negative tal kan reduceres til at finde værdierne af de tilsvarende buefunktioner af positive tal ved at vende til formlerne arcsin, arccos, arctg og arcctg af modsatte tal af formen arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a og arcctg(−a)=π−arcctg a .

Lad os finde ud af, hvordan man finder værdierne af arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent ved hjælp af Bradis-tabellerne. Det vil vi gøre med eksempler.

Lad os finde arcsinusværdien 0,2857. Vi finder denne værdi i sinustabellen (tilfælde, hvor denne værdi ikke er i tabellen, vil blive diskuteret nedenfor). Det svarer til sinus 16 grader 36 minutter. Derfor er den ønskede værdi af arcsine af tallet 0,2857 en vinkel på 16 grader 36 minutter.

Ofte er det nødvendigt at tage højde for rettelser fra de tre kolonner til højre i tabellen. For eksempel, hvis vi skal finde arcsinus på 0,2863. Ifølge sinustabellen opnås denne værdi som 0,2857 plus en korrektion på 0,0006, det vil sige, at værdien på 0,2863 svarer til en sinus på 16 grader 38 minutter (16 grader 36 minutter plus 2 minutters korrektion).

Hvis tallet, hvis arcsine interesserer os, ikke er i tabellen og ikke engang kan opnås under hensyntagen til korrektioner, skal vi i tabellen finde de to værdier af sinusene tættest på det, mellem hvilke dette tal er indesluttet. For eksempel leder vi efter arcsine-værdien på 0,2861573. Dette tal er ikke i tabellen, og dette tal kan heller ikke opnås ved hjælp af ændringsforslag. Så finder vi de to nærmeste værdier 0,2860 og 0,2863, mellem hvilke det oprindelige tal er indesluttet; disse tal svarer til sinus på 16 grader 37 minutter og 16 grader 38 minutter. Den ønskede bueværdi på 0,2861573 ligger mellem dem, det vil sige, at enhver af disse vinkelværdier kan tages som en omtrentlig bueværdi med en nøjagtighed på 1 minut.

Buecosinusværdierne, buetangensværdierne og buecotangensværdierne findes på absolut samme måde (i dette tilfælde bruges selvfølgelig henholdsvis tabeller over cosinus, tangenter og cotangens).

At finde værdien af ​​arcsin ved hjælp af arccos, arctg, arcctg osv.

Lad os for eksempel vide, at arcsin a=−π/12, og vi skal finde værdien af ​​arccos a. Vi beregner den buecosinusværdi, vi har brug for: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Situationen er meget mere interessant, når du ved at bruge den kendte værdi af arcsin eller arccosine af et tal a skal finde værdien af ​​arctangens eller arccotangens af dette tal a eller omvendt. Desværre kender vi ikke de formler, der definerer sådanne forbindelser. Hvordan skal man være? Lad os forstå dette med et eksempel.

Lad os vide, at arccosinus for et tal a er lig med π/10, og vi skal beregne arctangensen af ​​dette tal a. Du kan løse problemet på følgende måde: Brug den kendte værdi af buecosinus, find tallet a, og find derefter buetangensen for dette tal. For at gøre dette har vi først brug for en tabel med cosinus og derefter en tabel med tangenter.

Vinklen π/10 radianer er en vinkel på 18 grader; fra cosinustabellen finder vi, at cosinus på 18 grader er omtrent lig med 0,9511, så er tallet a i vores eksempel 0,9511.

Det er tilbage at vende sig til tabellen over tangenter, og med dens hjælp finde den arctangent værdi, vi har brug for 0,9511, det er omtrent lig med 43 grader 34 minutter.

Dette emne er logisk videreført af materialet i artiklen. evaluering af værdierne af udtryk, der indeholder arcsin, arccos, arctg og arcctg.

Bibliografi.

• Algebra: Lærebog for 9. klasse. gns. skole/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Uddannelse, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra og begyndelsen af ​​analyse: Lærebog. for 10-11 klassetrin. gns. skole - 3. udg. - M.: Uddannelse, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begyndelsen af ​​analysen: Proc. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. udgave - M.: Uddannelse, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Boykov, L. D. Romanova. Samling af problemer til forberedelse til Unified State Exam, del 1, Penza 2003.
• Bradis V.M. Firecifrede matematiske tabeller: Til almen uddannelse. lærebog virksomheder. - 2. udg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2