Kaip analitiniu metodu rasti tiesių susikirtimo tašką. P.6.3 Kaip rasti dviejų tiesių susikirtimo tašką

Jei dvi tiesės nėra lygiagrečios, jos neišvengiamai susikirs viename taške. Atrask koordinates taškų 2 eilučių sankirta leidžiama tiek grafiškai, tiek aritmetiškai, priklausomai nuo to, kokius duomenis pateikia užduotis.

Jums reikės

– dvi tiesios linijos brėžinyje;
– 2 tiesių lygtys.

Instrukcijos

1. Jei grafike linijos jau nubrėžtos, sprendimą raskite grafiškai. Norėdami tai padaryti, tęskite abi arba vieną iš linijų, kad jos susikirstų. Po to pažymėkite susikirtimo tašką ir nuleiskite statmeną nuo jo iki x ašies (kaip įprasta, oh).

2. Naudodami skalės žymes, pažymėtas ašyje, raskite to taško x reikšmę. Jei jis yra teigiama ašies kryptimi (į dešinę nuo nulio ženklo), tada jo reikšmė bus teisinga, kitaip ji bus neigiama.

3. Taip pat teisingai suraskite susikirtimo taško ordinates. Jei taško projekcija yra virš nulio ženklo, ji yra teisinga, jei žemiau, ji yra neigiama. Užrašykite taško koordinates forma (x, y) – tai yra problemos sprendimas.

4. Jei linijos pateiktos formulių y=khx+b forma, užduotį galite išspręsti ir grafiškai: nubrėžkite linijas koordinačių tinklelyje ir raskite sprendimą aukščiau aprašytu būdu.

5. Pabandykite rasti problemos sprendimą naudodami šias formules. Norėdami tai padaryti, sukurkite sistemą iš šių lygčių ir ją išspręskite. Jei lygtys pateiktos forma y=khx+b, tiesiog prilyginkite abi puses x ir raskite x. Tada įkiškite x reikšmę į vieną iš lygčių ir raskite y.

6. Sprendimą galite rasti naudodami Cramerio metodą. Tokiu atveju lygtis sumažinkite į formą A1x+B1y+C1=0 ir A2x+B2y+C2=0. Pagal Cramerio formulę x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), o y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Atkreipkite dėmesį, kad jei vardiklis yra nulis, tada linijos yra lygiagrečios arba sutampa ir, atitinkamai, nesikerta.

7. Jei eilutės erdvėje pateikiamos kanonine forma, prieš pradėdami ieškoti sprendimo patikrinkite, ar linijos lygiagrečios. Norėdami tai padaryti, įvertinkite eksponentus prieš t, jei jie yra proporcingi, tarkime, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t ir x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, tada tiesės lygiagrečios. Be to, linijos gali susikirsti, tokiu atveju sistema neturės sprendimo.

8. Jei sužinosite, kad linijos susikerta, raskite jų susikirtimo tašką. Pirmiausia sulyginkite kintamuosius iš skirtingų eilučių, sąlygiškai pakeisdami t pirmoje eilutėje u, o 2 eilutėje - v. Tarkime, jei jums duotos eilutės x=t-1, y=2t+1, z=t+2 ir x=t+1, y=t+1, z=2t+8, gausite tokias išraiškas kaip u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Iš vienos lygties išreikškite u, pakeiskite ją kita ir raskite v (šiame uždavinyje u=-2,v=-4). Dabar, norėdami rasti susikirtimo tašką, pakeiskite gautas reikšmes vietoj t (nesvarbu, į pirmą ar antrą lygtį) ir gaukite taško x=-3, y=-3, z koordinates. =0.

Laikyti 2 susikertančiais tiesioginis Pakanka juos apsvarstyti plokštumoje, nes dvi susikertančios linijos yra toje pačioje plokštumoje. Žinodami šių lygtis tiesioginis, galima aptikti jų taško koordinatę sankryžų .

Jums reikės

tiesių lygtis

Instrukcijos

1. Dekarto koordinatėse bendroji tiesės lygtis atrodo taip: Ax+By+C = 0. Tegul susikerta dvi tiesės. Pirmosios eilutės lygtis yra Ax+By+C = 0, 2 eilutė Dx+Ey+F = 0. Norint aptikti, reikia nurodyti visus rodiklius (A, B, C, D, E, F). taškas sankryžųšie tiesioginis būtina išspręsti šių 2 tiesinių lygčių sistemą.

2. Norint išspręsti, patogu pirmąją lygtį padauginti iš E, o antrąją iš B. Dėl to lygtys atrodys taip: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Atėmus antrąją lygtį iš pirmosios, gausite: (AE-DB)x = FB-CE. Taigi, x = (FB-CE)/(AE-DB), pirmoji lygtis pradinė sistema Galite padauginti iš D, antrąjį iš A, tada vėl atimkite antrąjį iš pirmojo. Dėl to y = (CD-FA)/(AE-DB) Gautos x ir y reikšmės bus taško koordinatės sankryžų tiesioginis .

3. Lygtys tiesioginis taip pat galima rašyti per kampinį indeksą k, lygų tiesės polinkio kampo liestinei. Šiuo atveju tiesės lygtis yra y = kx+b. Tegu dabar pirmosios eilutės lygtis yra y = k1*x+b1, o antrosios eilutės lygtis y = k2*x+b2.

4. Jei sulyginsime dešiniąsias šių 2 lygčių puses, gausime: k1*x+b1 = k2*x+b2. Iš ten lengva gauti, kad x = (b1-b2)/(k2-k1). Pakeitus šią reikšmę x į bet kurią iš lygčių, paaiškėja: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). X ir y reikšmės nurodys taško koordinates sankryžų tiesioginis.Jei dvi tiesės yra lygiagrečios arba sutampa, vadinasi, jos neturi universalių taškų arba turi nepaprastai daug universalių taškų. Šiais atvejais k1 = k2, taškų koordinačių vardikliai sankryžų išnyks, todėl sistema neturės klasikinio sprendinio Sistema gali turėti tik vieną klasikinį sprendinį, kuris yra besąlyginis, nes dvi besiskiriančios ir nelygiagrečios tiesės gali turėti tik vieną tašką. sankryžų .

Video tema

Dvimatėje erdvėje dvi tiesės susikerta tik viename taške, apibrėžtame koordinatėmis (x,y). Kadangi abi tiesės eina per jų susikirtimo tašką, koordinatės (x, y) turi atitikti abi šias tieses apibūdinančias lygtis. Turėdami papildomų įgūdžių, galite rasti parabolių ir kitų kvadratinių kreivių susikirtimo taškus.

Žingsniai

Dviejų linijų susikirtimo taškas

Parašykite kiekvienos eilutės lygtį, išskirdami kintamąjį „y“ kairėje lygties pusėje. Kiti lygties nariai turėtų būti dedami dešinėje lygties pusėje. Galbūt jums pateiktoje lygtyje vietoj „y“ bus kintamasis f(x) arba g(x); šiuo atveju išskirkite tokį kintamąjį. Norėdami išskirti kintamąjį, atlikite atitinkamą matematiką abiejose lygties pusėse.

Jei linijų lygtys jums nepateiktos, remiantis jums žinoma informacija.
Pavyzdys. Duotos tiesės, aprašytos lygtimis ir y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12 = -2x). Norėdami išskirti „y“ antroje lygtyje, prie abiejų lygties pusių pridėkite skaičių 12:

Ieškote abiejų tiesių susikirtimo taško, tai yra taško, kurio koordinatės (x, y) tenkina abi lygtis. Kadangi kintamasis „y“ yra kiekvienos lygties kairėje pusėje, kiekvienos lygties dešinėje esančias išraiškas galima sulyginti. Užrašykite naują lygtį.
- Pavyzdys. Nes y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) Ir y = 12–2 x (\displaystyle y=12-2x), tada galime parašyti tokią lygybę: .
Raskite kintamojo "x" reikšmę. Naujoje lygtyje yra tik vienas kintamasis „x“. Norėdami rasti „x“, išskirkite tą kintamąjį kairėje lygties pusėje, atlikdami atitinkamą matematiką abiejose lygties pusėse. Turėtumėte gauti x = __ formos lygtį (jei to negalite padaryti, žr. šį skyrių).
- Pavyzdys. x + 3 = 12 - 2 x (\displaystyle x+3 = 12-2x)
- Pridėti 2 x (\displaystyle 2x)į kiekvieną lygties pusę:
- 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- Iš kiekvienos lygties pusės atimkite 3:
- 3 x = 9 (\displaystyle 3x = 9)
- Padalinkite kiekvieną lygties pusę iš 3:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
Naudodami rastą kintamojo „x“ reikšmę apskaičiuokite kintamojo „y“ reikšmę. Norėdami tai padaryti, rastą „x“ reikšmę pakeiskite tiesės lygtimi (bet kuri).
- Pavyzdys. x = 3 (\displaystyle x=3) Ir y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y = 3 + 3)
- y = 6 (\displaystyle y = 6)
Patikrinkite atsakymą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite „x“ reikšmę kita eilutės lygtimi ir raskite „y“ reikšmę. Jei gausite skirtinga prasmė"y", patikrinkite savo skaičiavimų teisingumą.
- Pavyzdys: x = 3 (\displaystyle x=3) Ir y = 12–2 x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
- y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
- y = 6 (\displaystyle y = 6)
- Gavote tą pačią y reikšmę, todėl skaičiavimuose nėra klaidų.
Užsirašykite koordinates (x,y). Apskaičiavę „x“ ir „y“ reikšmes, radote dviejų linijų susikirtimo taško koordinates. Užrašykite susikirtimo taško koordinates (x,y) forma.
- Pavyzdys. x = 3 (\displaystyle x=3) Ir y = 6 (\displaystyle y = 6)
- Taigi dvi tiesės susikerta taške, kurio koordinatės (3,6).
Skaičiavimai ypatingais atvejais. Kai kuriais atvejais kintamojo "x" reikšmės nepavyksta rasti. Bet tai nereiškia, kad padarėte klaidą. Ypatingas atvejis atsiranda, kai įvykdoma viena iš šių sąlygų:
- Jei dvi tiesės yra lygiagrečios, jos nesikerta. Tokiu atveju kintamasis „x“ bus tiesiog sumažintas, o jūsų lygtis pavirs beprasme lygybe (pvz., 0 = 1 (\displaystyle 0 = 1)). Tokiu atveju savo atsakyme užrašykite, kad linijos nesikerta arba nėra sprendimo.
- Jei abi lygtys apibūdina vieną tiesę, susikirtimo taškų bus be galo daug. Tokiu atveju kintamasis „x“ bus tiesiog sumažintas, o jūsų lygtis pavirs griežta lygybe (pvz., 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Tokiu atveju savo atsakyme užrašykite, kad šios dvi eilutės sutampa.
Kvadratinių funkcijų problemos
1. Kvadratinės funkcijos apibrėžimas. Kvadratinės funkcijos atveju vienas ar keli kintamieji turi antrą laipsnį (bet ne aukštesnį), pavyzdžiui, x 2 (\displaystyle x^(2)) arba y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadratinių funkcijų grafikai yra kreivės, kurios gali nesikirsti arba gali susikirsti viename ar dviejuose taškuose. Šiame skyriuje mes jums pasakysime, kaip rasti kvadratinių kreivių susikirtimo tašką arba taškus.
2. Perrašykite kiekvieną lygtį, išskirdami kintamąjį „y“ kairėje lygties pusėje. Kiti lygties nariai turėtų būti dedami dešinėje lygties pusėje.
  - Pavyzdys. Raskite grafikų susikirtimo tašką (-us). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Ir
  - Išskirkite kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje:
  - Ir y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - Šiame pavyzdyje jums duota viena kvadratinė funkcija ir viena tiesinė funkcija. Atminkite, kad jei jums duotos dvi kvadratinės funkcijos, skaičiavimai yra panašūs į toliau nurodytus veiksmus.
3. Sulyginkite kiekvienos lygties dešinėje pusėje esančias išraiškas. Kadangi kintamasis „y“ yra kairėje kiekvienos lygties pusėje, kiekvienos lygties dešinėje esančias išraiškas galima sulyginti.
  - Pavyzdys. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Ir y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Perkelkite visus gautos lygties narius į kairę pusę, o dešinėje parašykite 0. Norėdami tai padaryti, atlikite keletą pagrindinių matematikos. Tai leis jums išspręsti gautą lygtį.
  - Pavyzdys. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - Atimkite "x" iš abiejų lygties pusių:
  - x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - Iš abiejų lygties pusių atimkite 7:
5. Nuspręskite kvadratinė lygtis. Perkeldami visus lygties narius į kairę pusę, gausite kvadratinę lygtį. Jį galima išspręsti trimis būdais: naudojant specialią formulę ir.
  - Pavyzdys. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - Kai suskaičiuojate lygtį, gausite du dvejetainius, kuriuos padauginus gaunama pradinė lygtis. Mūsų pavyzdyje pirmasis terminas x 2 (\displaystyle x^(2)) galima išskaidyti į x * x. Užrašykite tai: (x) (x) = 0
  - Mūsų pavyzdyje laisvasis terminas -6 gali būti suskirstytas į šiuos veiksnius: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - Mūsų pavyzdyje antrasis narys yra x (arba 1x). Pridėkite kiekvieną fiktyvaus termino faktorių porą (mūsų pavyzdyje -6), kol gausite 1. Mūsų pavyzdyje tinkama fiktyvaus termino veiksnių pora yra skaičiai -2 ir 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), nes − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Rasta skaičių pora užpildykite tuščias vietas: .
6. Nepamirškite apie antrąjį dviejų grafikų susikirtimo tašką. Jei problemą išspręsite greitai ir ne itin atsargiai, antrąjį susikirtimo tašką galite pamiršti. Štai kaip rasti dviejų susikirtimo taškų x koordinates:
  - Pavyzdys (faktorizavimas). Jei lygyje. (x – 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2) (x+3) = 0) viena iš išraiškų skliausteliuose bus lygi 0, tada visa lygtis bus lygi 0. Todėl galime parašyti taip: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2 = 0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Ir x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (tai yra, jūs radote dvi lygties šaknis).
  - Pavyzdys (naudojant formulę arba užpildant tobulą kvadratą). Naudojant vieną iš šių metodų, pasirodys sprendimas kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdžio lygtis bus tokia x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Atminkite, kad paėmę kvadratinę šaknį gausite du sprendimus. Mūsų atveju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25)) = 5*5), Ir 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25)) = (-5)*(-5)). Taigi parašykite dvi lygtis ir raskite dvi x reikšmes.
7. Grafikai susikerta viename taške arba nesikerta. Tokios situacijos atsiranda, jei tenkinamos šios sąlygos:
  - Jei grafikai susikerta viename taške, tada kvadratinė lygtis išskaidoma į vienodus veiksnius, pavyzdžiui, (x-1) (x-1) = 0, o kvadratinė šaknis iš 0 atsiranda formulėje ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). Šiuo atveju lygtis turi tik vieną sprendinį.
  - Jei grafikai visai nesikerta, tai lygtis negali būti koeficientinė, o kvadratinė šaknis neigiamas skaičius(Pavyzdžiui, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Tokiu atveju atsakyme parašykite, kad sprendimo nėra.

Spręsdami kai kuriuos geometrinius uždavinius koordinačių metodu, turite rasti tiesių susikirtimo taško koordinates. Dažniausiai tenka ieškoti dviejų plokštumos tiesių susikirtimo taško koordinačių, tačiau kartais reikia nustatyti dviejų tiesių susikirtimo erdvėje taško koordinates. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie taško, kuriame susikerta dvi tiesės, koordinates.

Puslapio naršymas.

Dviejų tiesių susikirtimo taškas yra apibrėžimas.

Pirmiausia apibrėžkime dviejų tiesių susikirtimo tašką.

Taigi, norint rasti dviejų tiesių, apibrėžtų plokštumoje bendromis lygtimis, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti sistemą, sudarytą iš pateiktų tiesių lygčių.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Sprendimas.

Pateikiame dvi bendrąsias linijų lygtis, iš jų sukurkime sistemą: . Gautos lygčių sistemos sprendimus nesunku rasti išsprendus pirmąją jos lygtį kintamojo x atžvilgiu ir šią išraišką pakeičiant antrąja lygtimi:

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

Atsakymas:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 .

Taigi, ieškant dviejų tiesių, apibrėžtų bendromis lygtimis plokštumoje, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomais kintamaisiais sistemą. Bet kas, jei tiesės plokštumoje pateiktos ne bendromis, o kitokio tipo lygtimis (žr. tiesės lygčių tipus plokštumoje)? Tokiais atvejais pirmiausia galite sumažinti tiesių lygtis į bendrą formą ir tik po to rasti susikirtimo taško koordinates.

Pavyzdys.

Ir .

Sprendimas.

Prieš surasdami pateiktų tiesių susikirtimo taško koordinates, jų lygtis sumažiname iki bendra išvaizda. Perėjimas iš parametrinių tiesių lygčių šios eilutės bendroji lygtis yra tokia:

Dabar atlikime reikiamus veiksmus su kanonine tiesės lygtimi:

Taigi, norimos tiesių susikirtimo taško koordinatės yra formos lygčių sistemos sprendimas . Norėdami tai išspręsti, naudojame:

Atsakymas:

M 0 (-5, 1)

Yra dar vienas būdas rasti dviejų plokštumos linijų susikirtimo taško koordinates. Patogu naudoti, kai vieną iš eilučių pateikia formos parametrinės lygtys , o kita – kitokio tipo tiesės lygtis. Šiuo atveju kitoje lygtyje vietoj kintamųjų x ir y galite pakeisti išraiškas Ir , iš kur bus galima gauti reikšmę, atitinkančią nurodytų linijų susikirtimo tašką. Šiuo atveju linijų susikirtimo taškas turi koordinates.

Naudodami šį metodą suraskime ankstesnio pavyzdžio linijų susikirtimo taško koordinates.

Pavyzdys.

Nustatykite tiesių susikirtimo taško koordinates Ir .

Sprendimas.

Pakeiskime tiesios linijos išraišką į lygtį:

Išsprendę gautą lygtį, gauname . Ši reikšmė atitinka bendrą linijų tašką Ir . Apskaičiuojame susikirtimo taško koordinates, į parametrines lygtis pakeisdami tiesia linija:
.

Atsakymas:

M 0 (-5, 1) .

Norėdami užbaigti vaizdą, reikėtų aptarti dar vieną dalyką.

Prieš surandant dviejų plokštumos tiesių susikirtimo taško koordinates, pravartu įsitikinti, ar duotosios tiesės iš tikrųjų susikerta. Jei paaiškėja, kad pradinės tiesės sutampa arba yra lygiagrečios, tada negali būti nė kalbos apie tokių tiesių susikirtimo taško koordinates.

Žinoma, galite apsieiti be tokio patikrinimo ir iš karto sukurti formos lygčių sistemą ir ją išspręsti. Jei lygčių sistema turi unikalų sprendimą, tada ji pateikia taško, kuriame susikerta pradinės tiesės, koordinates. Jei lygčių sistema neturi sprendinių, galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios (nes nėra realiųjų skaičių x ir y poros, kuri vienu metu tenkintų abi duotųjų tiesių lygtis). Iš begalinio skaičiaus sprendinių iki lygčių sistemos išplaukia, kad pradinės tiesės turi be galo daug bendrų taškų, tai yra, jos sutampa.

Pažvelkime į pavyzdžius, kurie tinka šioms situacijoms.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar linijos ir susikerta, o jei susikerta, tada raskite susikirtimo taško koordinates.

Sprendimas.

Duotos tiesių lygtys atitinka lygtis Ir . Išspręskime sistemą, sudarytą iš šių lygčių .

Akivaizdu, kad sistemos lygtys yra tiesiškai išreiškiamos viena per kitą (antroji sistemos lygtis gaunama iš pirmosios, padauginus abi jos dalis iš 4), todėl lygčių sistemoje yra begalinis sprendinių skaičius. Taigi lygtys apibrėžia tą pačią tiesę ir negalime kalbėti apie šių tiesių susikirtimo taško koordinačių radimą.

Atsakymas:

Lygtys ir apibrėžia tą pačią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy, todėl negalime kalbėti apie susikirtimo taško koordinačių radimą.

Pavyzdys.

Raskite tiesių susikirtimo taško koordinates Ir , jei įmanoma.

Sprendimas.

Problemos būklė leidžia, kad linijos negali susikirsti. Iš šių lygčių sukurkime sistemą. Taikykime ją išspręsti, nes tai leidžia mums nustatyti lygčių sistemos suderinamumą ar nesuderinamumą, o jei ji suderinama, rasti sprendimą:

Paskutinė sistemos lygtis po tiesioginio Gauso metodo perėjimo virto neteisinga lygybe, todėl lygčių sistema neturi sprendinių. Iš to galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios, ir negalime kalbėti apie šių linijų susikirtimo taško koordinačių radimą.

Antras sprendimas.

Išsiaiškinkime, ar duotosios linijos susikerta.

- normalios linijos vektorius , ir vektorius yra normalus linijos vektorius . Patikrinkime vykdymą Ir : lygybė yra tiesa, nes todėl duotų tiesių normalieji vektoriai yra kolineariniai. Tada šios linijos yra lygiagrečios arba sutampa. Taigi negalime rasti pradinių tiesių susikirtimo taško koordinačių.

Atsakymas:

Neįmanoma rasti nurodytų tiesių susikirtimo taško koordinačių, nes šios tiesės yra lygiagrečios.

Pavyzdys.

Raskite tiesių 2x-1=0 ir , jei jos susikerta, susikirtimo taško koordinates.

Sprendimas.

Sudarykime lygčių sistemą, kuri yra bendrosios duotų tiesių lygtys: . Šios lygčių sistemos pagrindinės matricos determinantas yra nulis , todėl lygčių sistema turi unikalų sprendinį, kuris nurodo duotųjų tiesių sankirtą.

Norėdami rasti linijų susikirtimo taško koordinates, turime išspręsti sistemą:

Gautas sprendimas suteikia mums linijų susikirtimo taško koordinates, ty 2x-1=0 ir .

Atsakymas:

Dviejų tiesių erdvėje susikirtimo taško koordinačių radimas.

Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės trimatėje erdvėje randamos panašiai.

Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Raskite lygtimis pateiktų dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates erdvėje Ir .

Sprendimas.

Iš pateiktų eilučių lygčių sudarykime lygčių sistemą: . Šios sistemos sprendimas suteiks mums reikiamas linijų susikirtimo taško koordinates erdvėje. Raskime rašytinės lygčių sistemos sprendimą.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą , ir pratęstas - .

Apibrėžkime A ir matricos rangas T. Mes naudojame

Statmena linija

Ši užduotis turbūt viena populiariausių ir paklausiausių mokykliniuose vadovėliuose. Užduotys pagal šią temą yra įvairios. Tai yra dviejų tiesių susikirtimo taško apibrėžimas, taip pat lygties apibrėžimas tiesės, einančios per tašką pradinėje tiesėje bet kokiu kampu.

Šią temą apžvelgsime naudodami duomenis, gautus naudojant skaičiavimus

Būtent ten buvo svarstomas bendrosios tiesės lygties pavertimas lygtimi su kampiniu koeficientu ir atvirkščiai bei likusių tiesės parametrų nustatymas pagal pateiktas sąlygas.

Ko mums trūksta, kad išspręstume problemas, kurioms skirtas šis puslapis?

1. Vieno iš kampų tarp dviejų susikertančių tiesių apskaičiavimo formulės.

Jei turime dvi eilutes, kurias pateikia lygtys:

tada vienas iš kampų apskaičiuojamas taip:

2. Tiesės, kurios nuolydis eina per tam tikrą tašką, lygtis

Iš 1 formulės matome dvi ribines būsenas

a) kai tada ir todėl šios dvi nurodytos tiesės yra lygiagrečios (arba sutampa)

b) kai , Tada Ir todėl šios linijos yra statmenos, tai yra, susikerta stačiu kampu.

Kokie gali būti pradiniai duomenys sprendžiant tokias problemas, išskyrus pateiktą tiesę?

Tiesios linijos taškas ir kampas, kuriuo antroji tiesė jį kerta

Antroji tiesės lygtis

Kokias problemas gali išspręsti robotas?

1. Duotos dvi eilutės (aiškiai arba netiesiogiai, pavyzdžiui, dviem taškais). Apskaičiuokite susikirtimo tašką ir kampus, kuriais jie susikerta.

2. Duota viena tiesė, tiesės taškas ir vienas kampas. Nustatykite tiesės, kuri kerta tam tikrą tiesę tam tikru kampu, lygtį

Pavyzdžiai

Dvi eilutės pateikiamos lygtimis. Raskite šių tiesių susikirtimo tašką ir kampus, kuriais jos susikerta

eilutė_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Gauname tokį rezultatą

Pirmosios eilutės lygtis

y = 2,2 x + (1,2)

Antrosios eilutės lygtis

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Dviejų tiesių susikirtimo kampas (laipsniais)

-42.357454705937

Dviejų linijų susikirtimo taškas

x = -3,5

y = -6,5

Nepamirškite, kad dviejų eilučių parametrai yra atskirti kableliu, o kiekvienos eilutės parametrai – kabliataškiu.

Tiesi linija eina per du taškus (1:-4) ir (5:2). Raskite tiesės, kuri eina per tašką (-2:-8) ir kerta pradinę tiesę 30 laipsnių kampu, lygtį.

Mes žinome vieną tiesią liniją, nes žinome du taškus, per kuriuos ji eina.

Belieka nustatyti antrosios eilutės lygtį. Mes žinome vieną tašką, bet vietoj antrojo nurodomas kampas, kuriuo pirmoji linija kerta antrąją.

Atrodo, kad viskas žinoma, bet čia svarbiausia nedaryti klaidų. Kalbame apie kampą (30 laipsnių) ne tarp x ašies ir linijos, o tarp pirmos ir antros eilučių.

Štai kodėl mes skelbiame taip. Nustatykime pirmosios eilutės parametrus ir išsiaiškinkime, kokiu kampu ji kerta x ašį.

eilutė xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Bendroji lygtis Ax+By+C = 0

Koeficientas A = -6

B faktorius = 4

C faktorius = 22

Koeficientas a= 3,666666666667

Koeficientas b = -5,5

Koeficientas k = 1,5

Pasvirimo kampas į ašį (laipsniais) f = 56,309932474019

Koeficientas p = 3,0508510792386

Koeficientas q = 2,5535900500422

Atstumas tarp taškų = 7,211102550928

Matome, kad pirmoji linija kerta ašį kampu 56,309932474019 laipsnių.

Šaltinio duomenys tiksliai nepasako, kaip antroji eilutė susikerta su pirmąja. Galų gale, jūs galite sukurti dvi linijas, atitinkančias sąlygas: pirmoji pasukama 30 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę, o antroji - 30 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę.

Suskaičiuokime juos

Jei antroji linija pasukta 30 laipsnių PRIEŠ laikrodžio rodyklę, tada antroji eilutė turės susikirtimo su x ašimi laipsnį 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 laipsnių

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Tiesios linijos parametrai duotus parametrus

Bendroji lygtis Ax+By+C = 0

Koeficientas A = 23,011106998916

Koeficientas B = -1,4840558255286

Koeficientas C = 34,149767393603

Tiesės lygtis atkarpose x/a+y/b = 1

Koeficientas a= -1,4840558255286

Koeficientas b = 23,011106998916

Tiesės lygtis su kampiniu koeficientu y = kx + b

Koeficientas k = 15,505553499458

Pasvirimo kampas į ašį (laipsniais) f = 86,309932474019

Normalioji tiesės x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 lygtis

Koeficientas p = -1,4809790664999

Koeficientas q = 3,0771888256405

Atstumas tarp taškų=23,058912962428

Atstumas nuo taško iki tiesės li =

tai yra, mūsų antrosios eilutės lygtis yra y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

Su šiuo internetinis skaičiuotuvas galite rasti plokštumos linijų susikirtimo tašką. Duota detalus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami rasti linijų susikirtimo taško koordinates, nustatykite tiesių lygties tipą („kanoninė“, „parametrinė“ arba „bendra“), langeliuose įveskite linijų lygčių koeficientus ir spustelėkite „Spręsti“. “ mygtuką. Žr. toliau pateiktą teorinę dalį ir skaitinius pavyzdžius.

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Tiesių susikirtimo taškas plokštumoje – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai

1. Bendra forma pateiktas tiesių susikirtimo taškas.

Oxy L 1 ir L 2:

Sukurkime išplėstinę matricą:

Jeigu B" 2 = 0 ir SU" 2 =0, tai tiesinių lygčių sistema turi daug sprendinių. Todėl tiesiai L 1 ir L 2 rungtynės. Jeigu B" 2 = 0 ir SU" 2 ≠0, tada sistema yra nenuosekli, todėl linijos yra lygiagrečios ir neturi bendras taškas. Jeigu B" 2 ≠0, tai tiesinių lygčių sistema turi unikalų sprendimą. Iš antrosios lygties randame y: y=SU" 2 /B" 2 ir gautą reikšmę pakeisdami pirmąja rasta lygtimi x: x=−SU 1 −B 1 y. Gavome linijų susikirtimo tašką L 1 ir L 2: M(x, y).