Funkcijos su logaritmais (didžiausia ir mažiausia reikšmė). Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio bus skiriama didžiausių ir mažiausių funkcijos reikšmių radimo problemoms. Į vieningą valstybinį egzaminą įtraukta problemų grupė – tai logaritmų problemos. Su tyrimo funkcijomis susijusios užduotys yra įvairios. Be logaritminių funkcijų, gali būti: funkcijos su trigonometrinėmis funkcijomis, trupmeninės-racionalinės funkcijos ir kt.
Bet kokiu atveju rekomenduoju dar kartą peržiūrėti straipsnyje „“. Jei suprantate šią medžiagą ir turite gerus įgūdžius ieškant išvestinių priemonių, galite be vargo išspręsti bet kurią šios temos problemą.
Leiskite man priminti algoritmą, kaip rasti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę tam tikrame segmente:
1. Apskaičiuokite išvestinę.
2. Prilyginame jį nuliui ir išsprendžiame lygtį.
3. Nustatykite, ar gautos šaknys (išvestinės nuliai) priklauso šiam segmentui. Pažymime tuos, kurie priklauso.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos ribose ir taškuose (gautuose ankstesnėje pastraipoje), priklausančiuose šiai atkarpai.
Apsvarstykime užduotis:
Raskite funkcijos y=5x–ln (x+5) mažiausią reikšmę 5 atkarpoje [–4,5;0].
Būtina apskaičiuoti funkcijos reikšmę intervalo galuose ir ekstremaliuose taškuose, jei tokių yra šiame intervale, ir pasirinkti mažiausią iš jų.
Apskaičiuojame išvestinę, prilyginame ją nuliui ir išsprendžiame lygtį.
Raskime duotosios funkcijos išvestinę:
Raskime išvestinės nulius tam tikrame segmente:
*Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui.
Taškas x= – 4 priklauso duotam intervalui.
Taigi funkcijos reikšmę apskaičiuojame taškuose: – 4,5; - 4; 0.
Galima apskaičiuoti (arba analizuoti) gautas reikšmes su logaritmais. Ir pamatysite, kad mažiausia funkcijos reikšmė šiame segmente yra „– 20“.
Tačiau jų skaičiuoti nebūtina. Kodėl? Žinome, kad atsakymas turi būti sveikas skaičius arba baigtinė dešimtainė trupmena (tai yra B dalies vieningo valstybinio egzamino sąlyga). Tačiau reikšmės su logaritmais: – 22,5 – ln 0,5 5 ir – ln3125 tokio atsakymo neduos.
x=–4 funkcija įgyja minimalią reikšmę, išvestinės ženklus galite nustatyti intervalais iš (– 5: – 4) ir (– 4; + ∞ ).
Dabar informacija tiems, kurie neturi jokių sunkumų dėl išvestinių finansinių priemonių ir supranta, kaip išspręsti tokias problemas. Kaip apsieiti neapskaičiavus išvestinės ir be nereikalingų skaičiavimų?
Taigi, jei atsižvelgsime į tai, kad atsakymas turi būti sveikas skaičius arba baigtinė dešimtainė trupmena, tada tokią reikšmę galime gauti tik tada, kai x yra sveikas skaičius arba sveikasis skaičius su baigtiniu dešimtainis ir tuo pat metu po logaritmo ženklu skliausteliuose turėsime vienetą arba skaičių e. Priešingu atveju negalėsime gauti sutartos vertės. Ir tai įmanoma tik esant x = – 4.
Tai reiškia, kad šiuo metu funkcijos reikšmė bus mažiausia, apskaičiuokime ją:
Atsakymas: – 20
Spręskite patys:
Raskite atkarpoje [–2,5;0] mažiausią funkcijos y=3x– ln (x+3) 3 reikšmę.
Raskite didžiausią funkcijos y=ln reikšmę (x+5) 5 – 5x atkarpoje [–4,5;0].
Raskite atkarpoje didžiausią funkcijos y=x 2 –13x+11∙lnx+12 reikšmę.
Norint rasti mažiausią atkarpos funkcijos reikšmę, reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę jos galuose ir šio intervalo kraštutiniuose taškuose, jei tokių yra.
Apskaičiuokime išvestinę, prilyginkime ją nuliui ir išspręskime gautą lygtį:
Nusprendęs kvadratinė lygtis, mes gauname
Taškas x = 1 priklauso tam tikram intervalui.
Taškas x = 22/4 jam nepriklauso.
Taigi apskaičiuojame funkcijos reikšmę taškuose:
Žinome, kad atsakymas yra sveikasis skaičius arba baigtinė dešimtainė trupmena, o tai reiškia, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra 0. Pirmuoju ir trečiuoju atveju tokios reikšmės negausime, nes šių trupmenų natūralusis logaritmas negaus. duoti tokį rezultatą.
Be to, įsitikinkite, kad taškex = 1 funkcija įgyja didžiausią reikšmę, išvestinės ženklus galite nustatyti intervalais nuo (0:1 ) ir (1 ; + ∞ ).
Kaip išspręsti tokio tipo problemas neskaičiuojant išvestinės?
Jei atsižvelgsime į tai, kad atsakymas turi būti sveikas skaičius arba baigtinė dešimtainė trupmena, tai ši sąlyga užtikrinama tik tada, kai x yra sveikas skaičius arba sveikasis skaičius su baigtine dešimtaine trupmena ir tuo pačiu turime vienetą arba skaičių e po logaritmo ženklu.
Tai įmanoma tik tada, kai x = 1.
Tai reiškia, kad taške x = 1 (arba 14/14) funkcijos reikšmė bus didžiausia, apskaičiuokime:
Atsakymas: 0
Spręskite patys:
Raskite atkarpoje didžiausią funkcijos y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 reikšmę.
Atkreipiu dėmesį, kad tokių užduočių sprendimo būdas nerandant išvestinių gali būti naudojamas tik siekiant sutaupyti laiko skaičiuojant užduotį pačiame Vieningame valstybiniame egzamine. Ir tik tuo atveju, jei puikiai suprantate, kaip išspręsti tokias problemas, surandant išvestinę (naudojant algoritmą) ir gerai tai darote. Neabejotina, kad spręsdamas be išvestinės privalai turėti tam tikrą analitikos patirtį.
Yra daug „keblių“ metodų, kurie kartais padeda atlikti konkrečias užduotis, ir neįmanoma jų visų prisiminti. Svarbu suprasti sprendimo principus ir savybes. Jei siejate viltis su kokia nors technika, ji gali tiesiog nepasiteisinti dėl paprastos priežasties: ją tiesiog pamiršite arba vieningo valstybinio egzamino metu gausite tokią užduotį, kurią matote pirmą kartą.
Mes ir toliau svarstysime užduotis šioje skiltyje, nepraleiskite to!
Tai viskas. Linkiu sėkmės!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Su šia paslauga galite Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumas. Taip pat galite rasti didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalai.
Funkcijų įvedimo taisyklės:
Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga
Lygtis f" 0 (x *) = 0 yra būtina sąlyga vieno kintamojo funkcijos ekstremumas, t.y. taške x * pirmoji funkcijos išvestinė turi išnykti. Jis nustato stacionarius taškus x c, kuriuose funkcija nedidėja arba nemažėja.Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga
Tegu f 0 (x) yra du kartus diferencijuojamas aibei D priklausančio x atžvilgiu. Jei taške x * įvykdoma sąlyga:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Tada taškas x * yra funkcijos lokalaus (pasaulio) minimumo taškas.
Jei taške x * įvykdoma sąlyga:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.
1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausia vertė funkcijos: segmente .
Sprendimas. 
Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1
2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Raskime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra funkcijos minimalūs taškai; 
, o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.
3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Reikėtų pažymėti, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos net ir diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažam rajonui vienoje taško x 0 pusėje arba abiejose pusėse išvestinė keičia ženklą. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.
1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį ir patikrinkite, ar joje yra visas segmentas.
2. Nustatykite visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, randame funkcijos išvestinę, prilyginame ją nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis.
3. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taip pat x = a ir x = b.
5. Iš gautų funkcijų reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią – jos bus tokios, kurių ieškome.
10) Pakankama sąlyga išgaubimui (įgaubimui). Jei antroji dvigubai diferencijuojamos funkcijos išvestinė yra teigiama (neigiama) aibėje X, tai šioje aibėje funkcija žemyn (aukštyn) yra išgaubta.
11) Būtina sąlyga posūkio taškams. Du kartus nepertraukiamai diferencijuojamos funkcijos antroji išvestinė f""(x) vingio taške x0 lygi nuliui, t.y. f""(x0) = 0.
12) Pakankama sąlyga posūkio taškams. Jei antroji dvigubai diferencijuojamos funkcijos išvestinė keičia savo ženklą eidama per tašką x0, kuriame f""(x0) = 0, tai x0 yra jos grafiko vingio taškas.
6.Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas.
Funkcijų dalinės išvestinės z = f(x,y) vadinamos funkcijos prieaugio santykio ribomis z = z(x,y) iki atitinkamo argumento prieaugio kryptimis Oi arba OU adresu Δx → 0 Ir Δу → 0 atitinkamai:
Dalinė išvestinė x atžvilgiu:
Skaičiuodami atsižvelkite į y = const.
Dalinė išvestinė y atžvilgiu:
Skaičiuodami atsižvelkite į x = const.
Vadinama visų dviejų kintamųjų nurodytos funkcijos argumentų verčių porų aibė G šios funkcijos apibrėžimo sritis.
Iškviečiama funkcija z = f(x,y). tęstinis taške M0(x0,y0), jei jis apibrėžtas šiame taške ir jo kaimynystėje ir tenkina
Skaičius A vadinamas funkcijos riba z = f(x,y) taške M0(x0,y0):
Tiesinė (santykinė delta x ir delta ig) bendros funkcijos prieaugio dalis vadinama pilnas diferencialas ir žymimas dz:
kur deix ir deigric yra nepriklausomų kintamųjų diferencialai, kurie pagal apibrėžimą yra lygūs atitinkamiems prieaugiams
Taškas (x 0; y 0) vadinamas tašku maksimali funkcija z = f(x; y) (x 0; y 0) Dėl
= <δ f(x; y)≤ f(x 0; y 0).
Taškas (x 0; y 0) vadinamas tašku minimali funkcija z = f(x; y) , jei visur taško kaimynystėje (x 0; y 0) Dėl
= <δ f(x; y) ≥ f(x 0; y 0).
Tegul yra lygties nurodytas paviršius 
. Plokštuma, kurioje yra visos paviršiaus linijų, einančių per tam tikrą tašką, liestinės 
, paskambino liestinės plokštumaį paviršių taške M0.
Tiesi linija, nubrėžta per tašką paviršiai , statmena liestinės plokštumai vadinama normalus paviršiui.
Jei paviršius pateikiamas lygtimi , tada šio paviršiaus liestinės plokštumos taške lygtis parašyta forma: , o paviršiaus normaliojo lygtis tame pačiame taške yra tokia:
Būtinos diferencijavimo sąlygos: jei funkcija f yra diferencijuojama taške x0, tai šiame taške ji turi dalines išvestines visų kintamųjų atžvilgiu, jei funkcija f yra diferencijuojama taške x0, tai šiame taške ji yra tolydi.
Pakankamos sąlygos diferencijuoti: Tegul funkcija f() yra apibrėžta kurioje nors taško x0 kaimynystėje. Tegul funkcija šioje kaimynystėje turi ištisines dalines išvestines visų kintamųjų atžvilgiu, tada funkcija f šiame taške yra diferencijuojama.
Būtinos sąlygos ekstremumo buvimas
: arba bent vienos dalinės išvestinės nėra.
Pakankamos sąlygos ekstremumo buvimas
dviejų kintamųjų funkcijos:Jei > 0
tada a) > 0
funkcija turi minimumą ( min)
IN) < 0 funkcija turi maksimalų ( maks)
Jeigu<0 Tai jokio ekstremumo.
Jeigu= 0, tada būtina atlikti papildomus tyrimus naudojant aukštesnio laipsnio išvestines.
Sudėtingi skaičiai
Apibrėžimai:
1) Sudėtingas skaičius- realiųjų skaičių aibės išplėtimas, paprastai žymimas . Bet koks kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip formali suma , kur ir yra realieji skaičiai ir yra įsivaizduojamas vienetas.
2) Iškviečiamas kompleksinio skaičiaus užrašymas forma , algebrinė forma kompleksinis skaičius.
3) Vadinamas skaičių atitinkančio taško spindulio vektoriaus kampas (radianais). argumentas skaičiai ir žymimas .
4) Modulis kompleksinis skaičius yra atitinkamo kompleksinės plokštumos taško spindulio vektoriaus ilgis (arba, kas yra tas pats, atstumas tarp kompleksinės plokštumos taško, atitinkančio šį skaičių, ir koordinačių pradžios).
Kompleksinio skaičiaus modulis žymimas ir apibrėžiamas išraiška 
. Dažnai žymimas raidėmis arba . Jei tai realusis skaičius, tai jis sutampa su šio tikrojo skaičiaus absoliučia verte.
5) Jei kompleksinis skaičius, vadinasi, skaičius vadinamas konjugatas(arba kompleksinis konjugatas) į (taip pat žymimas ). Kompleksinėje plokštumoje konjuguoti skaičiai gaunami kaip vienas kito veidrodiniai vaizdai tikrosios ašies atžvilgiu. Konjuguoto skaičiaus modulis yra toks pat kaip ir pradinio, o jų argumentai skiriasi ženklu.
6) Jei kompleksinio skaičiaus tikroji ir menamoji dalys išreiškiamos moduliu ir argumentu ( , ), tai bet kuris kompleksinis skaičius, išskyrus nulį, gali būti parašytas trigonometrinės formos e
7) Apibrėžimas kompleksinių skaičių sandaugai nustatomas taip, kad skaičiai a + b·i ir a′ + b′·i gali būti padauginti kaip algebriniai dvejetainiai, o skaičius i turi savybę i 2 =−1.
8) Leisti būti savavališkai natūralusis skaičius . n-oji kompleksinio skaičiaus šaknis z yra toks kompleksinis skaičius, kad .
9) Eksponentinė kompleksinių skaičių rašymo forma
Kur yra eksponento išplėtimas kompleksinio eksponento atveju.
Savybės ir teoremos:
1) Dviejų kompleksinių skaičių sandauga algebrine forma yra kompleksinis skaičius, kurio modulis lygus veiksnių modulių sandaugai, o argumentas lygus veiksnių argumentų sumai.
2) Tam, kad padauginkite du kompleksinius skaičius trigonometrine formaįrašus reikia padauginti iš jų modulių ir pridėti argumentus. Leisti , Kur ir , Kur yra du savavališki kompleksiniai skaičiai, parašyti trigonometrine forma. Tada .
3) Moivre'o formulė kompleksiniams skaičiams teigia, kad bet kuriam
4) Tam, kad padalinti kompleksinį skaičių (a 1 + b 1 i) į kitą kompleksinį skaičių ( a 2 + b 2 i), tai yra rasti 
, reikia padauginti ir skaitiklį, ir vardiklį iš skaičiaus, susieto su vardikliu.
5) 
8.Vieno kintamojo funkcijų integralinis skaičiavimas.
1) Antidarinys
Funkcija F(x), kuri yra diferencijuojama tam tikrame intervale (a,b), vadinama funkcijos f(x) antiderivatine šiame intervale, jei kiekvieno x (a,b) lygybė yra teisinga
2) Neapibrėžtas integralas
Jei F(x) yra funkcijos f(x) antidarinė tam tikrame intervale, tai išraiška F(x)+C vadinama neapibrėžtuoju funkcijos f(x) integralu ir žymima
3) Apibrėžtinis integralas
Tam tikros funkcijos f(x) apibrėžtuoju integralu tam tikrame segmente turime omenyje atitinkamą jos antidarinės prieaugį, t.y.
4) Netinkamas nenutrūkstamos funkcijos integralas
Tegul funkcija f(x) yra tolydi a ≤x≤b ir turi nutrūkimo tašką ties x=b. Tada formule nustatomas atitinkamas netinkamas nenutrūkstančios funkcijos integralas
ir vadinama konvergentine arba divergentine, priklausomai nuo to, ar dešinėje lygybės pusėje riba egzistuoja, ar neegzistuoja
5) Netinkamas integralas su begaliniu integravimo intervalu
Tegul funkcija f(x) yra tolydi, kai a≤x≤b+∞. Tada pagal apibrėžimą
Jei riba egzistuoja, tai integralas kairėje lygybės pusėje vadinamas konvergentiniu ir jo reikšmė nustatoma pagal formulę; antraip lygybė praranda prasmę, integralas kairėje vadinamas divergentiniu ir jam nepriskiriama jokia skaitinė reikšmė
Savybės ir teoremos
6) Neapibrėžtinio integralo integravimo dalimis formulė
7) Suformuluokite trupmeninių-racionalių funkcijų integravimo taisykles
1. Padalinkite skaitiklį iš vardiklio
2. Q(x) =(x- )(x- )…
3. Trupmeną išplečiame į paprastųjų trupmenų sumą; ; ; ;
1 ir 2 tipų trupmenų integralas apskaičiuojamas įvedant funkciją po diferencialo ženklu 3 ir 4, pirmiausia vardiklyje pasirenkamas visas kvadratas.
8) Suformuluokite trigonometrinių funkcijų integravimo taisyklę
9) Suformuluokite apibrėžtojo integralo savybes
1. Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo, t.y.
2. Apibrėžtinis integralas su tomis pačiomis ribomis lygus nuliui
3. Perstatant integracijos ribas, apibrėžtasis integralas keičia savo ženklą į priešingą. 
4. Jei integravimo intervalas yra padalintas į baigtinį dalinių intervalų skaičių, tai intervalo perimtas apibrėžtasis integralas yra lygus apibrėžtųjų integralų, perimtų per visus jo dalinius intervalus, sumai.
5. Pastovus koeficientas gali būti išimtas iš apibrėžtojo integralo ženklo
6. Baigtinio skaičiaus ištisinių funkcijų algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus tai pačiai šių funkcijų apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai
10) Niutono-Leibnizo formulė
Jei f yra tęstinis intervale, o F yra bet kokia jo antidarinė šiame intervale, tada lygybė galioja
11) Integravimo dalimis į apibrėžtąjį integralą formulė
Dėl trumpumo naudojame žymėjimą
2) Suformuluokite neapibrėžtinio integralo savybes
1. Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus integrandui, o neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui
2. Nuolat diferencijuojamos funkcijos diferencialo neapibrėžtasis integralas yra lygus pačiai šiai funkcijai iki pastovaus nario
3. Iš neapibrėžtinio integralo ženklo galima paimti nenulinį pastovų koeficientą
4. Baigtinio skaičiaus ištisinių funkcijų algebrinės sumos neapibrėžtasis integralas yra lygus tai pačiai šių funkcijų neapibrėžtųjų integralų algebrinei sumai.
5) Kintamojo pokytis neapibrėžtajame integrale
Tarkime, kad turime rasti integralą. Įveskime naują kintamąjį t, nustatydami x= (t), kur (t) yra ištisinė funkcija su tolydine išvestine, kuri turi atvirkštinę funkciją t=Ψ(t). Tada dešinėje pusėje po integravimo reikia atlikti pakeitimą t=Ψ(x)
3) Integralų lentelė
Logaritmai
Eksponentinės funkcijos
Neracionalios funkcijos
Trigonometrinės funkcijos
12) Kintamojo pasikeitimas apibrėžtajame integrale
Funkcija f(x) yra ištisinė intervale, funkcija x= (t) turi nuolatinę išvestinę intervale [, kai a≤ (t)≤b ir =a, =b
13) Plokščios figūros ploto apskaičiavimas
Tegul funkcija f(x) yra tolydi intervale. Jei f(x)≥0 į , tai kreivinės trapecijos, apribotos tiesių y=f(x), y=0, x=a, x=b, plotas bus išreikštas integralu:
Jei f(x)≤0 įjungtas , tai –f(x)≥0 įjungtas . Todėl atitinkamos kreivinės trapecijos plotas S randamas pagal formulę
Poliarinėse koordinatėse
PAMOKŲ PLANAS Nr.100
Matematikos disciplina
Specialybė
1 kurso grupė C 153
Pamokos tema: Didžiausios ir mažiausios funkcijų reikšmės
Pamokos tipas:žinių įtvirtinimo ir įgūdžių ugdymo pamoka
Pamokos tipas: praktinė pamoka
Tikslai:
– edukacinis: sukurkite algoritmą, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente. Atlikti pirminį algoritmo konsolidavimą ir pirminę asimiliacijos kontrolę;
– ugdyti: ugdyti loginį mąstymą, skaičiavimo įgūdžius;
– edukacinis: skatinti mokinių savarankiškumą, savęs pažinimą, savikūrą ir savirealizaciją.
Užduotys:
Privalote žinoti: Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes
Turi mokėti: įgytas žinias pritaikyti praktikoje
Susiformavusios kompetencijos:
– bendras: gerai 1-9
– profesionalus: PC 1.1. – PC 4.3.
Kursų teikimas: kortelės, gerai
Tarpdisciplininiai ryšiai: pamoka tema „Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės“ siejama su tokiomis temomis kaip: „Išvestinės apibrėžimas, jos geometrinė ir fizinė reikšmė“, „Pagrindinių elementariųjų funkcijų dariniai“, „Antra išvestinė, jos fizinė reikšmė“, „Greičio ir pagreičio radimas naudojant išvestinę“, „Sudėtingų funkcijų diferencijavimas“, „Pastovumo ženklas, funkcijos padidėjimas ir sumažėjimas“, „Funkcijos ekstremumai. Funkcijos iki ekstremumo tyrimas“, „Funkcijos tyrimas naudojant išvestinę“, „Išvestinės taikymas grafų darybai“, „Išvestinės taikymas funkcijų tyrimui ir konstravimui“, „Grafo išgaubtumas funkcijos, vingio taškai“, „Sprendimo pratimai tema: „Išvestinė ir jos taikymas“
Mokymo metodai: aktyvūs: žodinis, vaizdinis
Pamokos eiga
Pamokos organizavimas (3 min.).
Perduokite pamokos temą ir tikslus. (4 min.)
Pagrindinių žinių atnaujinimas kaip perėjimas prie naujų žinių įsisavinimo. (7 min.)
Norėdami studijuoti naują temą, turime pakartoti medžiagą, kurią apėmėme. Tai padarysite žodžiu atlikdami šias užduotis. Sąsiuvinyje užsirašykite tik atsakymus į kiekvieną dalyką. (3 min.)
Naudodami funkcijos y=f(x) grafiką raskite:
1.Funkcijos apibrėžimo sritis.
2. Taškų, kuriuose f`(x)=0, abscisės
3. Taškų, kuriuose f`(x) nėra, abscisės.
4. Didžiausia funkcijos reikšmė. (Unaib.).
5. Mažiausia funkcijos reikšmė (Unaim.).
Mokytojas: Kokie taškai vadinami stacionariais?
Studentas: Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė f / (x) = 0, vadinami stacionariais.
Mokytojas: Norint rasti stacionarius taškus, reikia: rasti funkcijos f / (x) išvestinę ir išspręsti lygtį f / (x)= 0
Naujų žinių bendravimas ir įsisavinimas su įgytų žinių įtvirtinimu. (41 min.)
Algoritmas, skirtas rasti mažiausią ir didžiausią tolydžios funkcijos y= reikšmesf(x) segmente [a; b]
rasti f "(x);
suraskite taškus, kuriuose f "(x)=0 arba f "(x) neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje;
apskaičiuokite funkcijos y=f "(x) reikšmes 2 veiksme gautuose taškuose ir atkarpos galuose ir iš jų pasirinkite didžiausią ir mažiausią; tai bus atitinkamai didžiausia ir mažiausia reikšmės atkarpoje esančios funkcijos y=f(x), kuri gali būti žymima taip: max y(x) ir min y(x).
Pavyzdys.
Raskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente.
Raskime kritinius taškus.
Kadangi funkcijos išvestinė apibrėžiama bet kuriai X, išspręskime lygtį
Naujos medžiagos konsolidavimas. Problemų sprendimas.
1 variantas.
Rasti U maks. ir U vardas. Funkcijos y=2-8x+6 atkarpoje [-1;4]
Pasirinkite taškus, priklausančius atkarpai [-1;4]
3. Raskite y(-1)
2 variantas.
Rasti U maks. ir U vardas. Funkcijos y=+4x-3 atkarpoje
Raskite stacionarius taškus išsprendę lygtį y´=0
Pasirinkite taškus, priklausančius atkarpai [-3;2]
3. Raskite y(-3)
Ir pasirinktuose taškuose antrame žingsnyje
Pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes iš rastų verčių.
Užduoties sprendimas iš vadovėlio
Savarankiškas darbas
1 variantas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos y = x 2 + 4x reikšmes atkarpoje [-3;6].
Atsakymo variantai:
a) min y(x)= -12, max y(x)= -5; b) min y(x)= -4, maks. y(x)= 60; c) min y(x)= –12, maks. y(x)= 4
[-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6]
2 variantas. Nustatykite atkarpoje didžiausią ir mažiausią funkcijos y = x 2 -2x reikšmes.
Atsakymo variantai:
a) min y(x)= -1, max y(x)= -3/4; b) min y(x)= -1, max y(x)= 8; c) min y(x)= -3/4, maks. y(x)= -1
3 variantas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos y = 3x 2 + 6x reikšmes atkarpoje [-2;2].
Atsakymo variantai:
a) min y(x)= -4, max y(x)= 0; b) min y(x)= -20, max y(x)= 0; c) min y(x)= -3, maks. y(x)= 24
[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]
4 variantas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos y = 2x 2 - 2x reikšmes atkarpoje [-1;3].
Atsakymo variantai:
a) min y(x)= -0,5, max y(x)= 12; b) min y(x)= 4, maks. y(x)= 5; c) min y(x)= 0, maks. y(x)= 5
[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]
Apibendrinant pamoką. (5 minutės.)
Ką mes šiandien veikėme klasėje?
Kas patiko, kokios veiklos rūšys?
Studentų darbų analizė, vertinimas
Pamokos refleksija. (5 minutės.)
Tęskite sakinius:
Šiandien sužinojau...
Mane sudomino užduotis...
Sunkiausia užduotis man buvo...
Pamoka man patiko...
man nepatiko ta veikla...
Užklasinis savarankiškas darbas. (5 minutės.)
