Funksjon- dette er en ting som forbinder to (eller flere) variabler med hverandre. Med andre ord hjelper funksjonen å finne én variabel hvis vi vet verdien av den andre variabelen. For eksempel, hvis vi har 100 rubler i lommen, og en sjokoladeplate koster 50 rubler, kan vi kjøpe 2 sjokoladeplater. Hvis vi har 200 rubler i lommen, kan vi kjøpe 4 sjokolader. I dette tilfellet er den første variabelen mengden vi har i lommen, og den andre variabelen er antall sjokolader vi kan kjøpe. Kostnaden for en sjokoladebar er 50 rubler, det avhenger ikke av hvor mye penger vi har, så denne verdien er konstant.

Du kan opprette en funksjon for denne saken: y = 50X, Hvor på- penger i lommen, X- antall sjokolader.

Naturligvis kan funksjoner være mer komplekse. Men for å løse OGE-oppgaver i matematikk er det nok å vite hvordan grafene til grunnleggende funksjoner ser ut.

1. Funksjon av formen y = kx + b (rett linje)

I denne funksjonen k Og b dette er tall. Funksjonen kan skrives inn i ulike former: y = x,y = 2x, y = 3x – 4, y = -9x +44, y= osv. Hovedtrekket er tilstedeværelsen av x ( X) til første potens (det vil si alle tilfeller når vi ikke deler med X).
Antall k i dette tilfellet bestemmer den i hvilken retning linjen helles. Hvis k > 0 , så øker funksjonen til høyre. Hvis k < 0 , så øker funksjonen til venstre.


Antall b y. Hvis b >0 , så skjærer grafen y-aksen over origo, Hvis b < 0 - nedenfor.

2. Funksjon av formen y = ax 2 + bx +c (parabel)

I denne funksjonen a, b, c– tall. Funksjonen kan skrives i forskjellige former: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10,y = -x 2 – 9x +1,y=– 7 osv. Hovedtrekket er tilstedeværelsen av x i annen ( x 2).

Antall EN er ansvarlig for hvilken retning (opp eller ned) grenene på parablen er rettet (jeg kaller det også et glad smilefjes og et trist smilefjes). Hvis en > 0 , så en munter smiley, Hvis en < 0 - lei seg.

Nummer b er ansvarlig for hvilken retning (høyre eller venstre) startpunktet til parabelen (bøyepunktet) er forskjøvet i forhold til aksen y. Hvis b > 0 , så flyttes grafen til venstre, Hvis b < 0 - til høyre.

Antall c – dette er skjæringspunktet mellom grafen og aksen y. Hvis c >0 , så skjærer grafen aksen y over opprinnelsen, Hvis c < 0 - nedenfor.

3. Funksjon av formen y = k/x + b (hyperbola)

Denne funksjonen ligner i utseende på den rette linjefunksjonen, med unntak av at X er i nevneren. Dette er akkurat henne særpreg. Antall k har ansvar for å tilrettelegge funksjonen i kvartaler, Hvis k > 0 , da er grenene til hyperbelen lokalisert i første og tredje kvartal, Hvis k < 0 , så er grenene plassert i andre og fjerde kvartal.

Antall EN er ansvarlig for å flytte hele funksjonen ned ( EN < 0 ) eller opp ( en > 0 ).

4. Funksjon av formen y = a (direkte)

I dette tilfellet ser funksjonen ut rett, parallelt med aksen X . For eksempel på= 2, dette er en rett linje som går parallelt med aksen X og skjærer aksen på på punkt 2.

5. Funksjon av formen y = √x

Denne typen finnes sjelden i oppgaver, men det er bedre å huske. Det er praktisk talt en parabel, men rotert med klokken 90 0, og mangler også sin nedre halvdel. Hvis det ikke er klart, bare se på bildet:

Den deriverte av en funksjon $y = f(x)$ ved et gitt punkt $x_0$ er grensen for forholdet mellom økningen til en funksjon og den tilsvarende økningen av argumentet, forutsatt at sistnevnte har en tendens til null:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Differensiering er operasjonen for å finne den deriverte.

Tabell over derivater av noen elementære funksjoner

Grunnleggende regler for differensiering

1. Den deriverte av summen (differansen) er lik summen (differansen) av de deriverte

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Finn den deriverte av funksjonen $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Den deriverte av en sum (differanse) er lik summen (differansen) av deriverte.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat av produktet

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Finn den deriverte $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivat av kvotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Finn den deriverte $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte ekstern funksjon til den deriverte av den indre funksjonen

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Fysisk betydning av derivatet

Hvis et materialpunkt beveger seg rettlinjet og dets koordinater endres avhengig av tid i henhold til loven $x(t)$, så er den øyeblikkelige hastigheten til dette punktet lik den deriverte av funksjonen.

Punktet beveger seg langs koordinatlinjen i henhold til loven $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, der $x(t)$ er koordinaten til tiden $t$. På hvilket tidspunkt vil punktets hastighet være lik $12$?

1. Hastighet er den deriverte av $x(t)$, så la oss finne den deriverte av den gitte funksjonen

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. For å finne på hvilket tidspunkt $t$ hastigheten var lik $12$, lager og løser vi ligningen:

Geometrisk betydning av derivat

Husk at ligningen til en rett linje som ikke er parallell med koordinataksene kan skrives på formen $y = kx + b$, der $k$ er helningen til den rette linjen. Koeffisienten $k$ er lik tangenten til helningsvinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til $Ox$-aksen.

Den deriverte av funksjonen $f(x)$ i punktet $х_0$ er lik helningen $k$ til tangenten til grafen på dette punktet:

Derfor kan vi skape en generell likhet:

$f"(x_0) = k = tanα$

I figuren øker tangenten til funksjonen $f(x)$, derfor er koeffisienten $k > 0$. Siden $k > 0$, så er $f"(x_0) = tanα > 0$. Vinkelen $α$ mellom tangenten og den positive retningen $Ox$ er spiss.

I figuren reduseres tangenten til funksjonen $f(x)$, derfor reduseres koeffisienten $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

I figuren er tangenten til funksjonen $f(x)$ parallell med $Ox$-aksen, derfor er koeffisienten $k = 0$, derfor $f"(x_0) = tan α = 0$. punkt $x_0$ hvor $f "(x_0) = 0$, kalt ekstremum.

Figuren viser en graf for funksjonen $y=f(x)$ og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen $x_0$. Finn verdien av den deriverte av funksjonen $f(x)$ ved punktet $x_0$.

Tangenten til grafen øker, derfor $f"(x_0) = tan α > 0$

For å finne $f"(x_0)$ finner vi tangenten til helningsvinkelen mellom tangenten og den positive retningen til $Ox$-aksen. For å gjøre dette bygger vi tangenten til trekanten $ABC$.

La oss finne tangenten til vinkelen $BAC$. (Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Svar: $0,25$

Den deriverte brukes også til å finne intervallene for økende og minkende funksjoner:

Hvis $f"(x) > 0$ på et intervall, øker funksjonen $f(x)$ på dette intervallet.

Hvis $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figuren viser grafen til funksjonen $y = f(x)$. Finn blant punktene $х_1,х_2,х_3...х_7$ de punktene der den deriverte av funksjonen er negativ.

Som svar, skriv ned antallet av disse punktene.

Figuren viser grafen til funksjonen y = f(x) og tangenten til denne i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="På bildet viser grafen til funksjonen y = f(x ) og tangenten til den i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Figuren viser grafen til funksjonen y = f(x) og tangenten til denne i punktet med abscissen x 0. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-1;17). Finn reduksjonsintervallene til funksjonen f(x). I svaret ditt angir du lengden på den største av dem. f(x)

0 på intervallet, deretter funksjonen f(x)" title="Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x). Finn blant punktene x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 og x 7 er punktene der den deriverte av funksjonen f(x) er positiv. Skriv ned antall punkter som er funnet på intervallet funksjon f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x). Finn blant punktene x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 og x 7 de punktene der den deriverte av funksjonen f(x) er positiv. Som svar, skriv ned antall poeng funnet. Hvis f (x) > 0 på et intervall, så øker funksjonen f (x) på dette intervallet. Svar: 2 0 på intervallet, deretter funksjonen f(x)"> 0 på intervallet, så øker funksjonen f(x) på dette intervallet Svar: 2"> 0 på intervallet, deretter funksjonen f(x)" title= "På Figuren viser grafen til funksjonen y = f(x). Finn blant punktene x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 og x 7 de punktene hvor avledet av funksjonen f(x) er positiv. Skriv ned antallet poeng som er funnet på intervallet."> title="Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x). Finn blant punktene x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 og x 7 de punktene der den deriverte av funksjonen f(x) er positiv. Som svar, skriv ned antall poeng funnet. Hvis f (x) > 0 på et intervall, vil funksjonen f(x)"> !}

Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-9; 2). På hvilket tidspunkt på segmentet -8; -4 funksjon f(x) tar høyeste verdi? På segmentet -8; -4 f(x)

Funksjonen y = f(x) er definert på intervallet (-5; 6). Figuren viser en graf av funksjonen y = f(x). Finn blant punktene x 1, x 2, ..., x 7 de punktene der den deriverte av funksjonen f(x) er lik null. Som svar, skriv ned antall poeng funnet. Svar: 3 punkter x 1, x 4, x 6 og x 7 er ekstremumpunkter. Ved punkt x 4 er det ingen f (x)

Litteratur 4 Algebra og begynnende analyseklasse. Lærebok for generelle utdanningsinstitusjoner, grunnleggende nivå / Sh. A. Alimov og andre, - M.: Utdanning, Semenov A. L. Unified State Examination: 3000 problemer i matematikk. – M.: Publishing House “Exam”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. En visuell guide til algebra og begynnelsen av analyse med eksempler for klassetrinn 7-11. – M.: Ilexa, Elektronisk ressursÅpen bank med Unified State Examination-oppgaver.