Mange elever gjør de samme feilene når de jobber med brøker. Og alt fordi de glemmer grunnleggende regler aritmetikk. I dag skal vi gjenta disse reglene på spesifikke oppgaver som jeg gir i timene mine.

Her er oppgaven jeg tilbyr til alle som forbereder seg til Unified State Exam i matematikk:

Oppgave. En nise spiser 150 gram mat per dag. Men hun vokste opp og begynte å spise 20 % mer. Hvor mange gram fôr spiser grisen nå?

Ikke riktig avgjørelse. Dette er et prosentproblem som koker ned til ligningen:

Mange (veldig mange) reduserer tallet 100 i telleren og nevneren til en brøk:

Dette er feilen min elev gjorde akkurat den dagen da han skrev denne artikkelen. Tall som er avkortet er merket med rødt.

Unødvendig å si var svaret feil. Døm selv: grisen spiste 150 gram, men begynte å spise 3150 gram. Økningen er ikke 20 %, men 21 ganger, d.v.s. med 2000 %.

For å unngå slike misforståelser, husk den grunnleggende regelen:

Bare multiplikatorer kan reduseres. Vilkårene kan ikke reduseres!

Dermed ser den riktige løsningen på det forrige problemet slik ut:

Tall som er forkortet i teller og nevner er markert med rødt. Som du kan se, er telleren produktet, nevneren er det ordinært nummer. Derfor er reduksjonen helt lovlig.

Arbeid med proporsjoner

Et annet problemområde er proporsjoner. Spesielt når variabelen er på begge sider. For eksempel:

Oppgave. Løs ligningen:

Feil løsning - noen mennesker bokstavelig talt klør etter å forkorte alt med m:

Reduserte variabler vises i rødt. Uttrykket 1/4 = 1/5 viser seg å være fullstendig tull, disse tallene er aldri like.

Og nå - den riktige avgjørelsen. I hovedsak er det vanlig lineær ligning. Det kan løses enten ved å flytte alle elementene til én side, eller ved den grunnleggende proporsjonsegenskapen:

Mange lesere vil innvende: "Hvor er feilen i den første løsningen?" Vel, la oss finne ut av det. La oss huske regelen for å jobbe med ligninger:

Enhver ligning kan deles og multipliseres med et hvilket som helst tall, ikke-null.

Gikk du glipp av trikset? Du kan bare dele på tall ikke-null. Spesielt kan du dele med en variabel m bare hvis m != 0. Men hva om, tross alt, m = 0? La oss erstatte og sjekke:

Vi fikk riktig numerisk likhet, dvs. m = 0 er roten til ligningen. For de resterende m != 0 får vi et uttrykk på formen 1/4 = 1/5, som naturligvis er feil. Dermed er det ingen ikke-null røtter.

Konklusjon: å sette det hele sammen

Så for å løse rasjonelle brøklikninger, husk tre regler:

1. Bare multiplikatorer kan reduseres. Tillegg er ikke mulig. Lær derfor å faktorisere telleren og nevneren;
2. Hovedegenskapen til proporsjon: produktet av de ekstreme elementene er lik produktet av de midterste;
3. Ligninger kan bare multipliseres og divideres med andre tall k enn null. Saken k = 0 må kontrolleres separat.

Husk disse reglene og ikke gjør feil.

Brøker og deres reduksjon er et annet tema som begynner i 5. klasse. Her dannes grunnlaget for denne handlingen, og så trekkes disse ferdighetene som en tråd inn i høyere matematikk. Hvis eleven ikke forstår, kan han ha problemer i algebra. Derfor er det bedre å forstå noen få regler en gang for alle. Og husk også ett forbud og bryt det aldri.

Fraksjon og dens reduksjon

Hver elev vet hva det er. Eventuelle to siffer plassert mellom en horisontal linje oppfattes umiddelbart som en brøk. Imidlertid forstår ikke alle at et hvilket som helst tall kan bli det. Hvis det er et heltall, så kan det alltid deles på en, og da får du en uekte brøk. Men mer om det senere.

Begynnelsen er alltid enkel. Først må du finne ut hvordan du reduserer en riktig brøkdel. Det vil si en der telleren er mindre enn nevneren. For å gjøre dette, må du huske den grunnleggende egenskapen til en brøkdel. Den sier at når man multipliserer (i tillegg til å dele) telleren og nevneren samtidig med samme tall, oppnås en ekvivalent brøk.

Divisjonshandlinger som utføres på denne eiendommen og resulterer i en reduksjon. Det vil si å forenkle det mest mulig. En brøk kan reduseres så lenge det er felles faktorer over og under linjen. Når de ikke lenger er der, er reduksjon umulig. Og de sier at denne brøkdelen er irreduserbar.

To måter

1.Trinnvis reduksjon. Den bruker en estimeringsmetode der begge tallene er delt på den minste fellesfaktoren som eleven legger merke til. Hvis det etter den første sammentrekningen er klart at dette ikke er slutten, så fortsetter delingen. Inntil fraksjonen blir irreduserbar.

2. Finne den største felles deleren for telleren og nevneren. Dette er den mest rasjonelle måten å redusere brøker på. Det innebærer å faktorisere telleren og nevneren i primfaktorer. Blant dem må du da velge alle de samme. Produktet deres vil gi den største felles faktoren som fraksjonen reduseres med.

Begge disse metodene er likeverdige. Eleven oppfordres til å mestre dem og bruke den han liker best.

Hva om det er bokstaver og addisjons- og subtraksjonsoperasjoner?

Den første delen av spørsmålet er mer eller mindre klar. Bokstaver kan forkortes akkurat som tall. Hovedsaken er at de fungerer som multiplikatorer. Men mange har problemer med den andre.

Viktig å huske! Du kan bare redusere tall som er faktorer. Hvis de er innkallinger, er det umulig.

For å forstå hvordan du reduserer brøker som har form av et algebraisk uttrykk, må du forstå regelen. Først uttrykker du telleren og nevneren som et produkt. Da kan du redusere dersom fellesfaktorer dukker opp. For å representere det i form av multiplikatorer, er følgende teknikker nyttige:

• gruppering;
• bracketing;
• bruk av forkortede multiplikasjonsidentiteter.

Dessuten gjør sistnevnte metode det mulig å umiddelbart få vilkårene i form av multiplikatorer. Derfor bør den alltid brukes hvis et kjent mønster er synlig.

Men dette er ikke skummelt ennå, da dukker det opp oppgaver med grader og røtter. Det er da du trenger å få mot og lære deg et par nye regler.

Uttrykk med grad

Brøk. Telleren og nevneren er produktet. Det er bokstaver og tall. Og de er også hevet til en makt, som også består av termer eller faktorer. Det er noe å være redd for.

For å forstå hvordan du reduserer brøker med potenser, må du lære to ting:

• hvis eksponenten inneholder en sum, kan den dekomponeres i faktorer, hvis potenser vil være de opprinnelige leddene;
• hvis forskjellen, så utbytte og divisor, vil den første ha minuend til makten, den andre vil ha subtrahend.

Etter å ha fullført disse trinnene, blir de totale multiplikatorene synlige. I slike eksempler er det ikke nødvendig å beregne alle potenser. Det er nok å ganske enkelt redusere grader med samme eksponenter og baser.

For å endelig mestre hvordan du reduserer brøker med potenser, trenger du mye øvelse. Etter flere lignende eksempler vil handlinger utføres automatisk.

Hva om uttrykket inneholder en rot?

Den kan også forkortes. Bare igjen, etter reglene. Dessuten er alle de som er beskrevet ovenfor sanne. Generelt, hvis spørsmålet er hvordan du reduserer en brøkdel med røtter, må du dele.

Det kan også deles inn i irrasjonelle uttrykk. Det vil si at hvis telleren og nevneren inneholder identiske faktorer, omsluttet under tegnet til roten, kan de trygt reduseres. Dette vil forenkle uttrykket og fullføre oppgaven.

Hvis irrasjonaliteten etter reduksjonen forblir under brøklinjen, må du bli kvitt den. Med andre ord, multipliser telleren og nevneren med det. Hvis vanlige faktorer dukker opp etter denne operasjonen, må de reduseres igjen.

Det handler nok bare om hvordan man kan redusere brøker. Det er få regler, men bare ett forbud. Forkort aldri terminer!

I denne artikkelen skal vi se på grunnleggende operasjoner med algebraiske brøker:

• reduserende fraksjoner
• multiplisere brøker
• dele brøker

La oss begynne med reduksjoner algebraiske brøker .

Det ser ut til algoritmeåpenbar.

Til redusere algebraiske brøker, trenger å

1. Faktor telleren og nevneren til brøken.

2. Reduser like faktorer.

Imidlertid gjør skolebarn ofte feilen med å "redusere" ikke faktorene, men vilkårene. For eksempel er det amatører som "reduserer" brøker med og får som et resultat, noe som selvfølgelig ikke er sant.

La oss se på eksempler:

1. Reduser en brøkdel:

1. La oss faktorisere telleren ved å bruke formelen til kvadratet av summen, og nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen

2. Del teller og nevner med

2. Reduser en brøkdel:

1. La oss faktorisere telleren. Siden telleren inneholder fire termer, bruker vi gruppering.

2. La oss faktorisere nevneren. Vi kan også bruke gruppering.

3. La oss skrive ned brøken vi fikk og redusere de samme faktorene:

Multiplisere algebraiske brøker.

Når vi multipliserer algebraiske brøker, multipliserer vi telleren med telleren, og multipliserer nevneren med nevneren.

Viktig! Det er ikke nødvendig å skynde seg å multiplisere telleren og nevneren til en brøk. Etter at vi har skrevet ned produktet av tellerne av brøkene i telleren, og produktet av nevnerne i nevneren, må vi faktorisere hver faktor og redusere brøken.

La oss se på eksempler:

3. Forenkle uttrykket:

1. La oss skrive produktet av brøker: i telleren produktet av tellerne, og i nevneren produktet av nevnerne:

2. La oss faktorisere hver parentes:

Nå må vi redusere de samme faktorene. Legg merke til at uttrykkene og bare avviker i tegn: og som et resultat av å dele det første uttrykket med det andre får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker i henhold til følgende regel:

Det vil si For å dele med en brøk, må du multiplisere med den "omvendte".

Vi ser at å dele brøker kommer ned til å multiplisere, og Multiplikasjon kommer til syvende og sist ned på å redusere brøker.

La oss se på et eksempel:

4. Forenkle uttrykket:

Online kalkulator utfører reduksjon av algebraiske brøker i samsvar med regelen om å redusere brøker: erstatte den opprinnelige brøken med en lik brøk, men med en mindre teller og nevner, dvs. samtidig deling av telleren og nevneren av en brøk med deres felles største felles deler(NIKKE). Kalkulatoren viser også detaljert løsning, som vil hjelpe deg å forstå rekkefølgen av reduksjonen.

Gitt:

Løsning:

Utfører fraksjonsreduksjon

sjekke muligheten for å utføre algebraisk brøkreduksjon

1) Bestemmelse av den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren for en brøk

bestemme den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren for en algebraisk brøk

2) Redusere telleren og nevneren for en brøk

redusere telleren og nevneren for en algebraisk brøk

3) Velge hele delen av en brøk

skille hele delen av en algebraisk brøk

4) Konvertering av en algebraisk brøk til en desimalbrøk

konvertere en algebraisk brøk til desimal

Hjelp til nettsideutvikling av prosjektet

Kjære besøkende på nettstedet.
Hvis du ikke klarte å finne det du lette etter, må du huske å skrive om det i kommentarfeltet, hva som mangler på nettstedet. Dette vil hjelpe oss å forstå i hvilken retning vi må bevege oss videre, og andre besøkende vil snart kunne motta nødvendig materiale.
Hvis siden viste seg å være nyttig for deg, doner siden til prosjektet bare 2 ₽ og vi vil vite at vi beveger oss i riktig retning.

Takk for at du tok turen innom!

I. Prosedyre for å redusere en algebraisk brøk ved å bruke en online kalkulator:

1. For å redusere en algebraisk brøk, skriv inn verdiene til telleren og nevneren til brøken i de aktuelle feltene. Hvis brøken er blandet, fyll også ut feltet som tilsvarer hele delen av brøken. Hvis brøken er enkel, la hele delfeltet stå tomt.
2. For å spesifisere en negativ brøk, sett et minustegn på hele delen av brøken.
3. Avhengig av den angitte algebraiske brøken, utføres følgende handlingssekvens automatisk:

• bestemme den største felles divisor (GCD) for telleren og nevneren til en brøk;
• redusere telleren og nevneren for en brøk med gcd;
• fremheve hele delen av en brøkdel, hvis telleren til den endelige brøken er større enn nevneren.
• konvertere den siste algebraiske brøken til en desimalbrøk avrundet til nærmeste hundredel.

II. For referanse:

En brøk er et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. Vanlig brøk(enkel brøk) skrives som to tall (brøkens teller og brøkens nevner) atskilt med en horisontal strek (brøkstreken) som indikerer divisjonstegnet. Telleren til en brøk er tallet over brøklinjen. Telleren viser hvor mange aksjer som ble tatt fra helheten. Nevneren til en brøk er tallet under brøklinjen. Nevneren viser hvor mange like deler helheten er delt inn i. En enkel brøk er en brøk som ikke har en hel del. En enkel brøk kan være riktig eller upassende. egenbrøk - en brøk hvis teller er mindre enn nevneren, så en egenbrøk er alltid mindre enn én. Eksempel på egenbrøk: 8/7, 11/19, 16/17.

uekte brøk - en brøk der telleren er større enn eller lik nevneren, derfor er en uekte brøk alltid

1. mer enn én eller lik det. Eksempel på uekte brøker: 7/6, 8/7, 13/13. , blandet brøk er et tall som inneholder et helt tall og en egenbrøk, og angir summen av det hele tallet og egenbrøken. Enhver blandet fraksjon kan konverteres til en uekte fraksjon, enkel brøk.
2. . Eksempel på blandede fraksjoner: 1¼, 2½, 4¾.

III. Note:

Kildedatablokk uthevet

gul blokken med mellomberegninger er uthevet i blått løsningsblokken er uthevet i grønt

• For å addere, subtrahere, multiplisere og dele vanlige eller blandede brøker, bruk den elektroniske brøkkalkulatoren med detaljerte løsninger. Barn på skolen lærer reglene for brøkredusering i 6. klasse. I denne artikkelen vil vi først fortelle deg hva denne handlingen betyr, deretter vil vi forklare hvordan du konverterer en reduserbar brøk til en irreduserbar brøk. Neste punkt blir reglene for brøkredusering, og så kommer vi etter hvert til eksemplene. Hva betyr det å "redusere en brøkdel"?

Det er verdt å merke seg at i matematikkbøker med oppgaven "reduser en brøk", betyr dette at du må redusere den opprinnelige brøken til denne irreduserbare formen. Hvis vi snakker med enkle ord, så er det å dele nevneren og telleren med deres største felles divisor en reduksjon.

Hvordan redusere en brøkdel. Regler for reduksjon av brøker (grad 6)

Så det er bare to regler her.

1. Den første regelen for å redusere brøker er å først finne den største felles faktoren for nevneren og telleren til brøken din.
2. Den andre regelen: del nevneren og telleren med den største felles divisor, og oppnå en irreduserbar brøk.

Hvordan redusere en upassende brøkdel?

Reglene for reduksjon av brøker er identiske med reglene for reduksjon av uekte brøker.

For å redusere feil brøkdel, først må du skrive nevneren og telleren inn i enkle faktorer, og først deretter redusere fellesfaktorene.

Redusere blandede fraksjoner

Reglene for reduksjon av fraksjoner gjelder også for reduksjon av blandede fraksjoner. Det er bare en liten forskjell: vi kan ikke røre hele delen, men redusere brøken eller konvertere den blandede brøken til en uekte brøk, deretter redusere den og igjen konvertere den til en riktig brøkdel.

Redusere blandede fraksjoner mulig på to måter.

Først: skriv brøkdelen inn i primfaktorer og la deretter hele delen stå.

Den andre måten: konverter den først til en uekte brøk, skriv den inn i vanlige faktorer, og reduser deretter brøken. Konverter den allerede oppnådde uekte brøken til en riktig brøk.

Eksempler kan sees på bildet ovenfor.

Vi håper virkelig at vi kunne hjelpe deg og barna dine. Tross alt er de ofte uoppmerksomme i timene, så de må studere mer intensivt hjemme på egenhånd.