Gjetja e vlerave të arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit. Arksina, formula, grafiku i funksionit të harksinës, mësimi dhe prezantimi Zgjerimi i serisë

Arksine (y = harku x) është funksioni i anasjelltë i sinusit (x = mëkatar -1 ≤ x ≤ 1 dhe grupi i vlerave -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
harksin(sin x) = x

Arksina nganjëherë shënohet si më poshtë:
.

Grafiku i funksionit të arksinës

Grafiku i funksionit y = harku x

Grafiku i harkut fitohet nga grafiku sinus nëse këmbehen boshtet e abshisave dhe të ordinatave. Për të eliminuar paqartësinë, diapazoni i vlerave është i kufizuar në intervalin mbi të cilin funksioni është monoton. Ky përkufizim quhet vlera kryesore e arksinës.

Arccosine, arccos

Kosinusi i harkut (y = arccos x) është funksioni i anasjelltë i kosinusit (x = cos y). Ka një shtrirje -1 ≤ x ≤ 1 dhe shumë kuptime 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Arkcozina nganjëherë shënohet si më poshtë:
.

Grafiku i funksionit të kosinusit të harkut

Grafiku i funksionit y = arccos x

Grafiku i kosinusit të harkut merret nga grafiku i kosinusit nëse këmbehen boshtet e abshisave dhe të ordinatave. Për të eliminuar paqartësinë, diapazoni i vlerave është i kufizuar në intervalin mbi të cilin funksioni është monoton. Ky përkufizim quhet vlera kryesore e kosinusit të harkut.

Barazi

Funksioni i harkut është i çuditshëm:
harksin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - harku x

Funksioni i kosinusit të harkut nuk është çift ose tek:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Vetitë - ekstreme, rritje, ulje

Funksionet arksina dhe arkozina janë të vazhdueshme në fushën e tyre të përkufizimit (shih vërtetimin e vazhdimësisë). Vetitë kryesore të arksinës dhe arkkosinës janë paraqitur në tabelë.

	y= harku x	y= arccos x
Shtrirja dhe vazhdimësia	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Gama e vlerave
Duke u ngjitur, duke zbritur	rritet në mënyrë monotone	zvogëlohet në mënyrë monotone
Lartësitë
Minimumet
Zero, y = 0	x = 0	x = 1
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabela e arksineve dhe arkosinave

Kjo tabelë paraqet vlerat e arksineve dhe arkosinave, në gradë dhe radianë, për vlera të caktuara të argumentit.

x	harku x		arccos x
	breshër	i gëzuar.	breshër	i gëzuar.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulat

Formulat e shumës dhe diferencës

në ose

në dhe

në dhe

në

në

Shprehjet përmes logaritmeve, numrave kompleksë

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

Derivatet

;
.
Shihni Derivimi i arksinës dhe derivateve të arkosinës > > >

Derivatet e rendit më të lartë:
,
ku është një polinom i shkallës . Përcaktohet nga formula:
;
;
.

Shihni Derivimi i derivateve të rendit më të lartë të arksinës dhe arkosinës > > >

Integrale

Bëjmë zëvendësimin x = sint. Ne integrojmë me pjesë, duke marrë parasysh që -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, kosto t ≥ 0:
.

Le të shprehim kosinusin e harkut përmes sinusit të harkut:
.

Zgjerimi i serisë

Kur |x|< 1 ndodh dekompozimi i mëposhtëm:
;
.

Funksionet e anasjellta

Anasjellta e arksinës dhe arkkosinës janë përkatësisht sinusi dhe kosinusi.

Formulat e mëposhtme janë të vlefshme në të gjithë fushën e përkufizimit:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Formulat e mëposhtme janë të vlefshme vetëm për grupin e vlerave të arksinës dhe arkosinës:
harksin(sin x) = x në
arccos(cos x) = x në .

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Çfarë është arksina, arkozina? Çfarë është arktangjenti, arkotangjenti?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Tek konceptet arksine, arkozine, arktangjente, arkotangjente Popullata studentore është e kujdesshme. Ai nuk i kupton këto terma dhe, për rrjedhojë, nuk i beson kësaj familjeje të këndshme.) Por më kot. Këto janë koncepte shumë të thjeshta. E cila, nga rruga, e bën jetën jashtëzakonisht të lehtë për një person të ditur kur zgjidh ekuacionet trigonometrike!

Dyshime për thjeshtësinë? Më kot.) Pikërisht këtu dhe tani do ta shihni këtë.

Natyrisht, për të kuptuar, do të ishte mirë të dinim se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjenta. Po, vlerat e tyre tabelare për disa kënde... Të paktën në termat më të përgjithshëm. Atëherë as këtu nuk do të ketë probleme.

Pra, ne jemi të befasuar, por mbani mend: arksina, arkozina, arktangjenti dhe arkotangjenti janë vetëm disa kënde. Jo me shume Jo me pak. Ka një kënd, le të themi 30°. Dhe ka një qoshe harku 0.4. Ose arctg(-1.3). Ka të gjitha llojet e këndeve.) Ju thjesht mund t'i shkruani këndet në mënyra të ndryshme. Ju mund ta shkruani këndin në gradë ose radianë. Ose mundeni - përmes sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së tij...

Çfarë do të thotë shprehja

arcsin 0.4 ?

Ky është këndi, sinusi i të cilit është 0.4! Po Po. Ky është kuptimi i arksinës. Unë do të përsëris në mënyrë specifike: harku 0.4 është një kënd sinusi i të cilit është i barabartë me 0.4.

Kjo eshte e gjitha.

Për ta mbajtur këtë mendim të thjeshtë në kokën tuaj për një kohë të gjatë, madje do të jap një përmbledhje të këtij termi të tmerrshëm - arksina:

hark mëkat 0,4
qoshe, sinusi i të cilit e barabartë me 0.4

Ashtu siç është shkruar, ashtu dëgjohet.) Pothuajse. Konsol hark do të thotë hark(fjalë hark a e dini?), sepse Njerëzit e lashtë përdornin harqe në vend të këndeve, por kjo nuk e ndryshon thelbin e çështjes. Mos harroni këtë dekodim elementar të një termi matematikor! Për më tepër, për arkozinën, arktangjentin dhe arkotangjentin, dekodimi ndryshon vetëm në emër të funksionit.

Çfarë është arccos 0.8?
Ky është një kënd kosinusi i të cilit është 0.8.

Çfarë është arctg(-1,3)?
Ky është një kënd tangjenta e të cilit është -1.3.

Çfarë është arcctg 12?
Ky është një kënd, kotangjentja e të cilit është 12.

Një dekodim i tillë elementar lejon, meqë ra fjala, të shmangen gabimet epike.) Për shembull, shprehja arccos1,8 duket mjaft e respektueshme. Le të fillojmë dekodimin: arccos1.8 është një kënd kosinusi i të cilit është i barabartë me 1.8... Kërce-kërcim!? 1.8!? Kosinusi nuk mund të jetë më i madh se një!!!

E drejta. Shprehja arccos1,8 nuk ka kuptim. Dhe shkrimi i një shprehjeje të tillë në një përgjigje do ta argëtojë shumë inspektorin.)

Elementare, siç mund ta shihni.) Çdo kënd ka sinusin dhe kosinusin e vet personal. Dhe pothuajse të gjithë kanë tangjenten dhe kotangjenten e tyre. Prandaj, duke ditur funksionin trigonometrik, ne mund të shkruajmë vetë këndin. Kjo është ajo për të cilën synohen arksinet, arkozinat, arktangentët dhe arkotangjentët. Tani e tutje do ta quaj gjithë këtë familje me një emër të vogël - harqe. Për të shtypur më pak.)

Kujdes! Fjalore elementare dhe i ndërgjegjshëm deshifrimi i harqeve ju lejon të zgjidhni me qetësi dhe besim një sërë detyrash. Dhe ne e pazakontë Vetëm ajo ruan detyrat.

A është e mundur të kaloni nga harqet në shkallët ose radianët e zakonshëm?- Dëgjoj një pyetje të kujdesshme.)

Pse jo!? Lehtësisht. Mund të shkoni atje dhe të ktheheni. Për më tepër, ndonjëherë kjo duhet të bëhet. Harqet janë një gjë e thjeshtë, por është disi më e qetë pa to, apo jo?)

Për shembull: çfarë është arcsin 0.5?

Le të kujtojmë dekodimin: harku 0,5 është këndi sinusi i të cilit është 0,5. Tani ndizni kokën (ose Google)) dhe mbani mend se cili kënd ka një sinus 0.5? Sinusi është i barabartë me 0,5 y Këndi 30 gradë. Kjo eshte: harku 0.5 është një kënd prej 30°. Ju mund të shkruani me siguri:

harku 0,5 = 30°

Ose, më formalisht, për sa i përket radianeve:

Kjo është e gjitha, ju mund të harroni për arksinën dhe të vazhdoni të punoni me shkallët ose radianët e zakonshëm.

Nëse e kuptove cfare eshte arksina, arkozina... Cfare eshte arktangjente, arkotangjente... Ju mund të merreni lehtësisht, për shembull, me një përbindësh të tillë.)

Një injorant do të tërhiqet nga tmerri, po...) Por një person i informuar mbani mend dekodimin: harku është këndi sinusi i të cilit... E kështu me radhë. Nëse një njeri i ditur e njeh edhe tabelën e sinuseve... Tabela e kosinuseve. Tabela e tangjentave dhe kotangjentave, atëherë nuk ka fare probleme!

Mjafton të kuptojmë se:

Do ta deshifroj, d.m.th. Më lejoni ta përkthej formulën me fjalë: kënd tangjenta e të cilit është 1 (arctg1)- ky është një kënd prej 45°. Ose, e cila është e njëjtë, Pi / 4. Po kështu:

dhe kaq... I zevendesojme te gjitha harqet me vlera ne radiane, cdo gje eshte reduktuar, mbetet te llogarisim sa eshte 1+1. Do të jetë 2.) Cila është përgjigjja e saktë.

Kjo është mënyra se si ju mund (dhe duhet) të lëvizni nga arksinat, arkozinat, arktangentët dhe arkotangjentët në shkallë dhe radianë të zakonshëm. Kjo thjeshton shumë shembuj të frikshëm!

Shpesh, në shembuj të tillë, brenda harqeve ka negativ kuptimet. Si, arctg(-1.3), ose, për shembull, arccos(-0.8)... Ky nuk është problem. Këtu janë formula të thjeshta për kalimin nga vlerat negative në ato pozitive:

Ju duhet, të themi, të përcaktoni vlerën e shprehjes:

Kjo mund të zgjidhet duke përdorur rrethin trigonometrik, por ju nuk dëshironi ta vizatoni atë. Epo, në rregull. Ne lëvizim nga negativ vlerat brenda kosinusit të harkut të k pozitive sipas formulës së dytë:

Brenda kosinusit të harkut në të djathtë është tashmë pozitive kuptimi. Çfarë

thjesht duhet ta dini. Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë radianët në vend të kosinusit të harkut dhe të llogarisim përgjigjen:

Kjo eshte e gjitha.

Kufizimet në arksine, arccosine, arctangent, arccotangent.

A ka ndonjë problem me shembujt 7 - 9? Epo, po, ka një mashtrim atje.)

Të gjithë këta shembuj, nga 1 deri në 9, janë analizuar me kujdes në Seksionin 555. Çfarë, si dhe pse. Me të gjitha kurthet dhe truket sekrete. Plus mënyra për të thjeshtuar në mënyrë dramatike zgjidhjen. Nga rruga, ky seksion përmban shumë informacione të dobishme dhe këshilla praktike mbi trigonometrinë në përgjithësi. Dhe jo vetëm në trigonometri. Ndihmon shumë.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Funksionet sin, cos, tg dhe ctg shoqërohen gjithmonë nga arksina, arkozina, arktangjenti dhe arkotangjenti. Njëra është pasojë e tjetrës dhe çiftet e funksioneve janë po aq të rëndësishme për të punuar me shprehjet trigonometrike.

Konsideroni një vizatim të një rrethi njësi, i cili tregon grafikisht vlerat e funksioneve trigonometrike.

Nëse llogarisim harqet OA, arcos OC, arctg DE dhe arcctg MK, atëherë të gjithë do të jenë të barabartë me vlerën e këndit α. Formulat e mëposhtme pasqyrojnë marrëdhënien midis funksioneve bazë trigonometrike dhe harqeve të tyre përkatëse.

Për të kuptuar më shumë për vetitë e arksinës, është e nevojshme të merret parasysh funksioni i tij. Orari ka formën e një lakore asimetrike që kalon nga qendra koordinative.

Karakteristikat e arksinës:

Nëse krahasojmë grafikët mëkat Dhe harku, dy funksione trigonometrike mund të kenë modele të përbashkëta.

kosinusi i harkut

Arccos e një numri është vlera e këndit α, kosinusi i të cilit është i barabartë me a.

Kurbë y = arcos x pasqyron grafikun e harkut x, me ndryshimin e vetëm që ai kalon nëpër pikën π/2 në boshtin OY.

Le të shohim më në detaje funksionin e kosinusit të harkut:

Funksioni përcaktohet në intervalin [-1; 1].
ODZ për harqe - .
Grafiku ndodhet tërësisht në tremujorin e parë dhe të dytë, dhe vetë funksioni nuk është as çift dhe as tek.
Y = 0 në x = 1.
Kurba zvogëlohet përgjatë gjithë gjatësisë së saj. Disa veti të kosinusit të harkut përkojnë me funksionin e kosinusit.

Disa veti të kosinusit të harkut përkojnë me funksionin e kosinusit.

Ndoshta nxënësve të shkollës do t'u duket i panevojshëm një studim i tillë "i hollësishëm" i "harqeve". Megjithatë, përndryshe, disa detyra elementare standarde të provimit mund t'i çojnë studentët në një rrugë pa krye.

Ushtrimi 1. Tregoni funksionet e paraqitura në figurë.

Përgjigje: oriz. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

Në këtë shembull, theksi vihet në gjërat e vogla. Në mënyrë tipike, studentët janë shumë të pavëmendshëm ndaj ndërtimit të grafikëve dhe paraqitjes së funksioneve. Në të vërtetë, pse të mbani mend llojin e kurbës nëse gjithmonë mund të vizatohet duke përdorur pikat e llogaritura. Mos harroni se në kushtet e provës, koha e kaluar për vizatimin për një detyrë të thjeshtë do të kërkohet për të zgjidhur detyra më komplekse.

Arktangjent

Arctg numrat a janë vlera e këndit α të tillë që tangjentja e tij të jetë e barabartë me a.

Nëse marrim parasysh grafikun arktangjent, mund të theksojmë vetitë e mëposhtme:

Grafiku është i pafund dhe i përcaktuar në intervalin (- ∞; + ∞).
Arktangjenti është një funksion tek, prandaj, arctan (- x) = - arctan x.
Y = 0 në x = 0.
Kurba rritet në të gjithë diapazonin e përkufizimit.

Le të paraqesim një analizë të shkurtër krahasuese të tg x dhe arctg x në formën e një tabele.

Arkotangjente

Arcctg i një numri - merr një vlerë α nga intervali (0; π) të tillë që kotangjentja e tij të jetë e barabartë me a.

Vetitë e funksionit kotangjent të harkut:

Intervali i përcaktimit të funksionit është pafundësi.
Gama e vlerave të pranueshme është intervali (0; π).
F(x) nuk është as çift dhe as tek.
Gjatë gjithë gjatësisë së tij, grafiku i funksionit zvogëlohet.

Është shumë e thjeshtë të krahasosh ctg x dhe arctg x; ju vetëm duhet të bëni dy vizatime dhe të përshkruani sjelljen e kthesave.

Detyra 2. Përputhni grafikun dhe formën e shënimit të funksionit.

Nëse mendojmë logjikisht, nga grafikët duket qartë se të dy funksionet janë në rritje. Prandaj, të dy figurat shfaqin një funksion të caktuar arctan. Nga vetitë e arktangjentes dihet se y=0 në x = 0,

Përgjigje: oriz. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Identitetet trigonometrike arcsin, arcos, arctg dhe arcctg

Më parë, ne kemi identifikuar tashmë marrëdhëniet midis harqeve dhe funksioneve themelore të trigonometrisë. Kjo varësi mund të shprehet me një sërë formulash që e lejojnë njeriun të shprehë, për shembull, sinusin e një argumenti përmes arksines, arkosinës ose anasjelltas. Njohja e identiteteve të tilla mund të jetë e dobishme kur zgjidhen shembuj të veçantë.

Ekzistojnë gjithashtu marrëdhënie për arctg dhe arcctg:

Një çift tjetër i dobishëm formulash vendos vlerën për shumën e arcsin dhe arcos, si dhe arcctg dhe arcctg të të njëjtit kënd.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Detyrat e trigonometrisë mund të ndahen në katër grupe: llogaritni vlerën numerike të një shprehjeje specifike, ndërtoni një grafik të një funksioni të caktuar, gjeni domenin e tij të përkufizimit ose ODZ dhe kryeni transformime analitike për të zgjidhur shembullin.

Kur zgjidhni llojin e parë të problemit, duhet t'i përmbaheni planit të mëposhtëm të veprimit:

Kur punoni me grafikët e funksioneve, gjëja kryesore është njohja e vetive të tyre dhe pamja e kurbës. Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike kërkon tabela identiteti. Sa më shumë formula të kujtojë një student, aq më e lehtë është të gjejë përgjigjen e detyrës.

Le të themi në Provimin e Unifikuar të Shtetit ju duhet të gjeni përgjigjen për një ekuacion si:

Nëse e transformoni saktë shprehjen dhe e sillni në formën e dëshiruar, atëherë zgjidhja e saj është shumë e thjeshtë dhe e shpejtë. Së pari, le të lëvizim arcsin x në anën e djathtë të barazisë.

Nëse e mbani mend formulën harksin (sin α) = α, atëherë mund të zvogëlojmë kërkimin e përgjigjeve në zgjidhjen e një sistemi prej dy ekuacionesh:

Kufizimi në modelin x u ngrit përsëri nga vetitë e arksinës: ODZ për x [-1; 1]. Kur a ≠0, pjesë e sistemit është një ekuacion kuadratik me rrënjë x1 = 1 dhe x2 = - 1/a. Kur a = 0, x do të jetë e barabartë me 1.

Më herët gjatë programit, studentët fituan një ide për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, u njohën me konceptet e kosinusit të harkut dhe sinusit të harkut, si dhe shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve cos t = a dhe sin t = a. Në këtë video tutorial do të shikojmë zgjidhjen e ekuacioneve tg x = a dhe ctg x = a.

Për të filluar studimin e kësaj teme, merrni parasysh ekuacionet tg x = 3 dhe tg x = - 3. Nëse e zgjidhim ekuacionin tg x = 3 duke përdorur një grafik, do të shohim se kryqëzimi i grafikëve të funksioneve y = tg x dhe y = 3 ka një numër të pafund zgjidhjesh, ku x = x 1 + πk. Vlera x 1 është koordinata x e pikës së prerjes së grafikëve të funksioneve y = tan x dhe y = 3. Autori prezanton konceptin e arktangjentes: arctan 3 është një numër i cili tan është i barabartë me 3, dhe ky numër i përket intervalit nga -π/2 deri në π/2. Duke përdorur konceptin e arktangjentes, zgjidhja e ekuacionit tan x = 3 mund të shkruhet si x = arctan 3 + πk.

Për analogji, zgjidhet ekuacioni tg x = - 3. Nga grafikët e ndërtuar të funksioneve y = tg x dhe y = - 3, është e qartë se pikat e kryqëzimit të grafikëve, dhe për rrjedhojë edhe zgjidhjet e ekuacioneve, do të të jetë x = x 2 + πk. Duke përdorur arktangjenten, zgjidhja mund të shkruhet si x = arctan (- 3) + πk. Në figurën tjetër shohim se arctg (- 3) = - arctg 3.

Përkufizimi i përgjithshëm i arktangjentes është si vijon: arktangjentja a është një numër nga intervali nga -π/2 në π/2 tangjentja e të cilit është e barabartë me a. Atëherë zgjidhja e ekuacionit tan x = a është x = arctan a + πk.

Autori jep shembullin 1. Gjeni një zgjidhje për shprehjen arctan Le të prezantojmë shënimin: arktangjentja e një numri është e barabartë me x, atëherë tg x do të jetë e barabartë me numrin e dhënë, ku x i përket segmentit nga -π. /2 deri në π/2. Ashtu si në shembujt në temat e mëparshme, ne do të përdorim një tabelë vlerash. Sipas kësaj tabele, tangjentja e këtij numri i përgjigjet vlerës x = π/3. Le të shkruajmë zgjidhjen e ekuacionit: arktangjentja e një numri të caktuar është e barabartë me π/3, π/3 gjithashtu i përket intervalit nga -π/2 në π/2.

Shembulli 2 - llogaritni arktangjenten e një numri negativ. Duke përdorur barazinë arctg (- a) = - arctg a, futim vlerën e x. Ngjashëm me shembullin 2, shkruajmë vlerën e x, e cila i përket segmentit nga -π/2 në π/2. Nga tabela e vlerave gjejmë se x = π/3, pra, -- tg x = - π/3. Përgjigja e ekuacionit është - π/3.

Le të shqyrtojmë shembullin 3. Të zgjidhet ekuacioni tg x = 1. Shkruaj se x = arctan 1 + πk. Në tabelë, vlera tg 1 korrespondon me vlerën x = π/4, pra, arctg 1 = π/4. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në formulën origjinale x dhe të shkruajmë përgjigjen x = π/4 + πk.

Shembulli 4: llogaritni tan x = - 4.1. Në këtë rast x = arctan (- 4.1) + πk. Sepse Nuk është e mundur të gjesh vlerën e arctg në këtë rast; përgjigja do të duket si x = arctg (- 4.1) + πk.

Në shembullin 5 merret parasysh zgjidhja e pabarazisë tg x > 1. Për ta zgjidhur atë ndërtojmë grafikët e funksioneve y = tan x dhe y = 1. Siç shihet në figurë, këta grafikë priten në pikat x = π/4 + πk. Sepse në këtë rast tg x > 1, në grafik nxjerrim në pah rajonin tangentoid, i cili ndodhet mbi grafikun y = 1, ku x i përket intervalit nga π/4 në π/2. Përgjigjen e shkruajmë si π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Më pas, merrni parasysh ekuacionin cot x = a. Figura tregon grafikët e funksioneve y = cot x, y = a, y = - a, të cilët kanë shumë pika kryqëzimi. Zgjidhjet mund të shkruhen si x = x 1 + πk, ku x 1 = arcctg a dhe x = x 2 + πk, ku x 2 = arcctg (- a). Vihet re se x 2 = π - x 1 . Kjo nënkupton barazinë arcctg (- a) = π - arcctg a. Më poshtë është përkufizimi i kotangjentes harkore: kotangjentja e harkut a është një numër nga intervali nga 0 në π, kotangjentja e të cilit është e barabartë me a. Zgjidhja e ekuacionit сtg x = a shkruhet si: x = arcctg a + πk.

Në fund të mësimit video, bëhet një përfundim tjetër i rëndësishëm - shprehja ctg x = a mund të shkruhet si tg x = 1/a, me kusht që a të mos jetë e barabartë me zero.

DEKODIMI I TEKSTIT:

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve tg x = 3 dhe tg x = - 3. Duke zgjidhur grafikisht ekuacionin e parë, shohim se grafikët e funksioneve y = tg x dhe y = 3 kanë pafundësisht shumë pika kryqëzimi, abshisat e të cilave shkruajmë. në formën

x = x 1 + πk, ku x 1 është abshisa e pikës së kryqëzimit të drejtëzës y = 3 me degën kryesore të tangentoidit (Fig. 1), për të cilën u shpik emërtimi

arctan 3 (tangjent hark prej tre).

Si ta kuptoni arctg 3?

Ky është një numër tangjentja e të cilit është 3 dhe ky numër i përket intervalit (- ;). Atëherë të gjitha rrënjët e ekuacionit tg x = 3 mund të shkruhen me formulën x = arctan 3+πk.

Në mënyrë të ngjashme, zgjidhja e ekuacionit tg x = - 3 mund të shkruhet në formën x = x 2 + πk, ku x 2 është abshisa e pikës së prerjes së drejtëzës y = - 3 me degën kryesore të tangentoid (Fig. 1), për të cilin emërtimi arctg(- 3) (tangjent hark minus tre). Atëherë të gjitha rrënjët e ekuacionit mund të shkruhen me formulën: x = arctan(-3)+ πk. Figura tregon se arctg(- 3)= - arctg 3.

Le të formulojmë përkufizimin e arktangjentit. Arktangjentja a është një numër nga intervali (-;) tangjentja e të cilit është e barabartë me a.

Shpesh përdoret barazia: arctg(-a) = -arctg a, e cila vlen për çdo a.

Duke ditur përkufizimin e arktangjentit, mund të nxjerrim një përfundim të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacionit

tg x= a: ekuacioni tg x = a ka një zgjidhje x = arctan a + πk.

Le të shohim shembuj.

SHEMBULL 1. Llogaritni arctan.

Zgjidhje. Le të arctg = x, pastaj tgх = dhe xϵ (- ;). Trego tabelën e vlerave Prandaj, x =, pasi tg = dhe ϵ (- ;).

Pra, arctan =.

SHEMBULL 2. Llogaritni arctan (-).

Zgjidhje. Duke përdorur barazinë arctg(- a) = - arctg a, shkruajmë:

arctg(-) = - arctg . Le të - arctg = x, pastaj - tgх = dhe xϵ (- ;). Prandaj, x =, pasi tg = dhe ϵ (- ;). Trego tabelën e vlerave

Kjo do të thotë - arctg=- tgх= - .

SHEMBULL 3. Zgjidheni ekuacionin tgх = 1.

1. Shkruani formulën e zgjidhjes: x = arktan 1 + πk.

2. Gjeni vlerën e arktangjentes

pasi tg = . Trego tabelën e vlerave

Pra arctan1= .

3. Vendosni vlerën e gjetur në formulën e zgjidhjes:

SHEMBULL 4. Zgjidhet ekuacioni tgх = - 4.1 (tangjentja x është e barabartë me minus katër pikë një).

Zgjidhje. Le të shkruajmë formulën e zgjidhjes: x = arctan (- 4.1) + πk.

Ne nuk mund të llogarisim vlerën e arktangjentes, kështu që zgjidhjen do t'ia lëmë ekuacionit në formën e marrë.

SHEMBULL 5. Zgjidhet pabarazia tgх 1.

Zgjidhje. Do ta zgjidhim grafikisht.

Le të ndërtojmë një tangjente

y = tgx dhe drejtëz y = 1 (Fig. 2). Ato kryqëzohen në pika si x = + πk.

2. Le të zgjedhim intervalin e boshtit x në të cilin dega kryesore e tangentoidit ndodhet mbi drejtëzën y = 1, pasi sipas kushtit tgх 1. Ky është intervali (;).

3. Përdorim periodicitetin e funksionit.

Vetia 2. y=tg x është funksion periodik me periodën kryesore π.

Duke marrë parasysh periodicitetin e funksionit y = tgх, shkruajmë përgjigjen:

(;). Përgjigja mund të shkruhet si një pabarazi e dyfishtë:

Le të kalojmë te ekuacioni ctg x = a. Le të paraqesim një ilustrim grafik të zgjidhjes së ekuacionit për pozitiv dhe negativ a (Fig. 3).

Grafikët e funksioneve y = ctg x dhe y = a dhe gjithashtu

y=ctg x dhe y=-a

kanë pafundësisht shumë pika të përbashkëta, abshisat e të cilave duken si:

x = x 1 +, ku x 1 është abshisa e pikës së prerjes së drejtëzës y = a me degën kryesore të tangentoidit dhe

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, ku x 2 është abshisa e pikës së kryqëzimit të drejtëzës

y = - a me degën kryesore të tangentoidit dhe x 2 = harkсtg (- a).

Vini re se x 2 = π - x 1. Pra, le të shkruajmë një barazi të rëndësishme:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Le të formulojmë përkufizimin: kotangjentja e harkut a është një numër nga intervali (0;π) kotangjentja e të cilit është e barabartë me a.

Zgjidhja e ekuacionit ctg x = a shkruhet në formën: x = arcctg a + .

Ju lutemi vini re se ekuacioni ctg x = a mund të shndërrohet në formë

tg x = , përveç rastit kur a = 0.

Ky artikull ka të bëjë me gjetja e vlerave të arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit numri i dhënë. Fillimisht do të sqarojmë se çfarë quhet kuptimi i arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit. Më pas, do të marrim vlerat kryesore të këtyre funksioneve të harkut, pas së cilës do të kuptojmë se si gjenden vlerat e sinusit të harkut, kosinusit të harkut, tangjentës së harkut dhe kotangjentës së harkut duke përdorur tabelat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe Bradis. kotangjentët. Së fundi, le të flasim për gjetjen e harksinës së një numri kur dihet arkozina, arktangjentja ose arkotangjentja e këtij numri etj.

Navigimi i faqes.

Vlerat e arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit

Para së gjithash, ia vlen të kuptoni se çfarë është në të vërtetë "kjo". kuptimi i arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit».

Tabelat e sinuseve dhe kosinuseve Bradis, si dhe tangjentet dhe kotangjentët, ju lejojnë të gjeni vlerën e arksinës, arkozinës, arktangjentit dhe arkotangjentit të një numri pozitiv në gradë me një saktësi prej një minutë. Këtu vlen të përmendet se gjetja e vlerave të arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit të numrave negativ mund të reduktohet në gjetjen e vlerave të harkut përkatës të numrave pozitivë duke iu drejtuar formulave arcsin, arccos, arctg dhe arcctg të numrave të kundërt të formës arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a dhe arcctg(−a)=π−arcctg a .

Le të kuptojmë se si të gjejmë vlerat e arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit duke përdorur tabelat Bradis. Këtë do ta bëjmë me shembuj.

Na duhet të gjejmë vlerën e arksinës 0.2857. Këtë vlerë e gjejmë në tabelën e sinuseve (rastet kur kjo vlerë nuk është në tabelë do të diskutohen më poshtë). Ajo korrespondon me sinusin 16 gradë 36 minuta. Prandaj, vlera e dëshiruar e harkut të numrit 0,2857 është një kënd prej 16 gradë 36 minuta.

Shpesh është e nevojshme të merren parasysh korrigjimet nga tre kolonat në të djathtë të tabelës. Për shembull, nëse duhet të gjejmë harkun e 0.2863. Sipas tabelës së sinuseve, kjo vlerë fitohet si 0,2857 plus një korrigjim prej 0,0006, domethënë, vlera 0,2863 korrespondon me një sinus prej 16 gradë 38 minuta (16 gradë 36 minuta plus 2 minuta korrigjim).

Nëse numri i të cilit na intereson arksina nuk është në tabelë dhe as nuk mund të merret duke marrë parasysh korrigjimet, atëherë në tabelë duhet të gjejmë dy vlerat e sinuseve më të afërta me të, midis të cilave ky numër është i mbyllur. Për shembull, ne jemi duke kërkuar për vlerën e arksinës prej 0.2861573. Ky numër nuk është në tabelë dhe ky numër nuk mund të merret as duke përdorur ndryshime. Pastaj gjejmë dy vlerat më të afërta 0,2860 dhe 0,2863, midis të cilave është mbyllur numri origjinal; këta numra korrespondojnë me sinuset 16 gradë 37 minuta dhe 16 gradë 38 minuta. Vlera e dëshiruar e arksinës prej 0,2861573 shtrihet midis tyre, domethënë, ndonjë nga këto vlera të këndit mund të merret si një vlerë e përafërt e harkut me një saktësi prej 1 minutë.

Vlerat e kosinusit të harkut, vlerat e tangjentës së harkut dhe vlerat e kotangjentës së harkut gjenden absolutisht në të njëjtën mënyrë (në këtë rast, natyrisht, përdoren përkatësisht tabelat e kosinusit, tangjentëve dhe kotangjentëve).

Gjetja e vlerës së arcsin duke përdorur arccos, arctg, arcctg, etj.

Për shembull, na tregoni se arcsin a=−π/12, dhe ne duhet të gjejmë vlerën e arccos a. Ne llogarisim vlerën e kosinusit të harkut që na nevojitet: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Situata është shumë më interesante kur, duke përdorur vlerën e njohur të arksinës ose arkosinës së një numri a, duhet të gjesh vlerën e arktangjentit ose arkotangjentës së këtij numri a ose anasjelltas. Fatkeqësisht, ne nuk i dimë formulat që përcaktojnë lidhje të tilla. Si të jesh? Le ta kuptojmë këtë me një shembull.

Na tregoni se arkkosina e një numri a është e barabartë me π/10, dhe ne duhet të llogarisim arktangjenten e këtij numri a. Ju mund ta zgjidhni problemin si më poshtë: duke përdorur vlerën e njohur të kosinusit të harkut, gjeni numrin a dhe më pas gjeni tangjentën e harkut të këtij numri. Për ta bërë këtë, së pari na duhet një tabelë kosinusesh dhe më pas një tabelë tangjente.

Këndi π/10 radian është një kënd prej 18 gradësh; nga tabela e kosinusit gjejmë se kosinusi 18 gradë është afërsisht i barabartë me 0,9511, atëherë numri a në shembullin tonë është 0,9511.

Mbetet t'i drejtohemi tabelës së tangjentëve dhe me ndihmën e saj gjejmë vlerën e arktangjentës që na nevojitet 0.9511, është afërsisht e barabartë me 43 gradë 34 minuta.

Kjo temë vazhdon logjikisht nga materiali në artikull. vlerësimi i vlerave të shprehjeve që përmbajnë arcsin, arccos, arctg dhe arcctg.

Bibliografi.

Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. mesatare shkolla/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Arsimi, 1990. - 272 f.: i sëmurë - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algjebra dhe fillimet e analizës: Teksti mësimor. për klasat 10-11. mesatare shkolla - botimi i 3-të. - M.: Arsimi, 1993. - 351 f.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
I. V. Bojkov, L. D. Romanova. Mbledhja e problemeve për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit, pjesa 1, Penza 2003.
Bradis V. M. Tabelat katërshifrore të matematikës: Për arsimin e përgjithshëm. teksti shkollor ndërmarrjet. - botimi i 2-të. - M.: Bustard, 1999.- 96 f.: ill. ISBN 5-7107-2667-2