อาร์คไซน์ (y = อาร์คซิน x) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ (x = บาป -1 ≤ x ≤ 1และเซตของค่า -π /2 ≤ y ≤ π/2.
บาป(อาร์กซิน x) = x
อาร์คซิน(บาป x) = x

อาร์คไซน์บางครั้งแสดงดังนี้:
.

กราฟของฟังก์ชันอาร์คไซน์

กราฟของฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

กราฟอาร์คไซน์จะได้มาจากกราฟไซน์ถ้าสลับแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด เพื่อขจัดความคลุมเครือ ช่วงของค่าจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก คำจำกัดความนี้เรียกว่าค่าหลักของอาร์คไซน์

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

อาร์คโคไซน์ (y = อาร์คคอส x) คือฟังก์ชันผกผันของโคไซน์ (x = อบอุ่นสบาย). มันมีขอบเขต -1 ≤ x ≤ 1และความหมายมากมาย 0 ≤ y ≤ π.
cos(อาร์คคอส x) = x
ส่วนโค้ง(cos x) = x

อาร์คโคซีนบางครั้งแสดงดังนี้:
.

กราฟของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์

กราฟของฟังก์ชัน y = อาร์คคอส x

กราฟอาร์คโคไซน์จะได้มาจากกราฟโคไซน์ ถ้าสลับแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด เพื่อขจัดความคลุมเครือ ช่วงของค่าจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก คำจำกัดความนี้เรียกว่าค่าหลักของอาร์คโคไซน์

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันอาร์คไซน์เป็นเลขคี่:
อาร์คซิน(- x) = อาร์คซิน(-ซิน อาร์คซิน x) = อาร์คซิน(บาป(-อาร์คซิน x)) = - อาร์คซิน x

ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ไม่เป็นคู่หรือคี่:
อาร์คคอส(- x) = อาร์คคอส(-cos อาร์คคอส x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - ส่วนโค้ง x ≠ ± ส่วนโค้ง x

คุณสมบัติ - สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันอาร์กไซน์และอาร์กโคไซน์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของอาร์คไซน์และอาร์คโคซีนแสดงอยู่ในตาราง

	ย = อาร์คซิน x	ย = อาร์คคอส x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
ช่วงของค่า
จากน้อยไปมากจากมากไปน้อย	เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ	ลดลงอย่างน่าเบื่อ
เสียงสูง
ขั้นต่ำ
ศูนย์, y = 0	x= 0	x= 1
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	ย = π/ 2

ตารางอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์

ตารางนี้แสดงค่าของอาร์กไซน์และอาร์กโคไซน์ในหน่วยองศาและเรเดียนสำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์

x	อาร์คซิน x		อาร์คคอส x
	ลูกเห็บ	ยินดี.	ลูกเห็บ	ยินดี.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

สูตร

สูตรผลรวมและผลต่าง

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่

ที่

ที่

ที่

นิพจน์ผ่านลอการิทึม จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

อนุพันธ์

;
.
ดูที่มาของอาร์คไซน์และอนุพันธ์อาร์คโคไซน์ > > >

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น:
,
พหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน . ถูกกำหนดโดยสูตร:
;
;
.

ดูที่มาของอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์ > > >

ปริพันธ์

เราทำการทดแทน x = บาป. เราอินทิเกรตทีละส่วน โดยคำนึงถึงว่า -π/ 2 ≤ เสื้อ ≤ π/2, เพราะเสื้อ ≥ 0:
.

ลองแสดงอาร์คโคไซน์ผ่านอาร์คไซน์:
.

การขยายซีรีส์

เมื่อ |x|< 1 การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:
;
.

ฟังก์ชันผกผัน

ส่วนผกผันของอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์คือไซน์และโคไซน์ตามลำดับ

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ:
บาป(อาร์กซิน x) = x
cos(อาร์คคอส x) = x .

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้เฉพาะกับชุดของค่าอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์เท่านั้น:
อาร์คซิน(บาป x) = xที่
ส่วนโค้ง(cos x) = xที่ .

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ คืออะไร? อาร์กแทนเจนต์ อาร์กโคแทนเจนต์ คืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

สู่แนวความคิด อาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์, อาร์กแทนเจนต์, อาร์กโคแทนเจนต์ ประชากรนักศึกษาระมัดระวัง เขาไม่เข้าใจข้อกำหนดเหล่านี้ดังนั้นจึงไม่ไว้วางใจครอบครัวที่น่ารักนี้) แต่ก็เปล่าประโยชน์ นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ซึ่งทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมากสำหรับผู้ที่มีความรู้เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ!

สงสัยเรื่องความเรียบง่าย? เปล่าประโยชน์) ที่นี่และตอนนี้คุณจะเห็นสิ่งนี้

แน่นอนว่า เพื่อความเข้าใจ คงจะดีถ้ารู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร ใช่ ค่าแบบตารางสำหรับบางมุม... อย่างน้อยก็ในแง่ทั่วไปที่สุด จากนั้นจะไม่มีปัญหาที่นี่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงแปลกใจ แต่จำไว้ว่า: อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์เป็นเพียงบางมุมไม่มากไม่น้อย. มีมุมพูดว่า 30° และมีมุมหนึ่ง อาร์คซิน0.4. หรือ อาร์คจี(-1.3) มุมมีหลายประเภท) คุณสามารถเขียนมุมได้หลายวิธี คุณสามารถเขียนมุมเป็นองศาหรือเรเดียนได้ หรือคุณสามารถ - ผ่านไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมัน...

การแสดงออกหมายถึงอะไร

อาร์คซิน 0.4 ?

นี่คือมุมที่มีไซน์เป็น 0.4! ใช่ ๆ. นี่คือความหมายของอาร์คซีน ฉันจะทำซ้ำโดยเฉพาะ: อาร์คซิน 0.4 คือมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.4

นั่นคือทั้งหมดที่

เพื่อให้ความคิดง่ายๆ นี้อยู่ในหัวของคุณเป็นเวลานาน ฉันจะแจกแจงคำศัพท์ที่น่ากลัวนี้ - อาร์คไซน์:

ส่วนโค้ง บาป 0,4
มุม, ไซน์ของสิ่งนั้น เท่ากับ 0.4

ตามที่เขียนไว้ก็ได้ยินอย่างนั้น) เกือบแล้ว คอนโซล ส่วนโค้งวิธี ส่วนโค้ง(คำ โค้งคุณรู้ไหม?) เพราะ คนโบราณใช้ส่วนโค้งแทนมุม แต่ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของเรื่อง จำการถอดรหัสคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์เบื้องต้นนี้ไว้! นอกจากนี้ สำหรับอาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ การถอดรหัสจะแตกต่างกันเฉพาะในชื่อของฟังก์ชันเท่านั้น

อาร์คคอส 0.8 คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีโคไซน์เป็น 0.8

arctg(-1,3) คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีแทนเจนต์เป็น -1.3

arcctg 12 คืออะไร?
นี่คือมุมที่มีโคแทนเจนต์เป็น 12

การถอดรหัสเบื้องต้นดังกล่าวช่วยให้สามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดครั้งใหญ่ได้) ตัวอย่างเช่นนิพจน์ arccos1,8 ดูค่อนข้างมั่นคง มาเริ่มถอดรหัสกัน: arccos1.8 คือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 1.8... Jump-jump!? 1.8!? โคไซน์ต้องมากกว่าหนึ่งไม่ได้!!!

ขวา. นิพจน์ arccos1,8 ไม่สมเหตุสมผล และการเขียนสำนวนเช่นนี้ในคำตอบบางข้อจะทำให้ผู้ตรวจสอบสนุกสนานอย่างมาก)

อย่างที่คุณเห็นในระดับประถมศึกษา) แต่ละมุมมีไซน์และโคไซน์ส่วนตัวของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นของตัวเอง ดังนั้นเมื่อทราบฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เราก็สามารถเขียนมุมลงไปได้ นี่คือสิ่งที่อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์มีไว้สำหรับ ต่อไปนี้ฉันจะเรียกทั้งครอบครัวนี้ด้วยชื่อจิ๋ว - ส่วนโค้งให้พิมพ์น้อยลง)

ความสนใจ! วาจาเบื้องต้นและ มีสติการถอดรหัสส่วนโค้งช่วยให้คุณแก้ไขงานต่างๆได้อย่างใจเย็นและมั่นใจ และใน ผิดปกติมีเพียงเธอเท่านั้นที่บันทึกงาน

เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนจากส่วนโค้งเป็นองศาหรือเรเดียนธรรมดา?- ฉันได้ยินคำถามที่ระมัดระวัง)

ทำไมจะไม่ล่ะ!? อย่างง่ายดาย. คุณสามารถไปที่นั่นและกลับได้ นอกจากนี้บางครั้งก็ต้องทำสิ่งนี้ ส่วนโค้งเป็นสิ่งที่เรียบง่าย แต่ถ้าไม่มีมันก็จะสงบกว่าใช่ไหม?)

ตัวอย่างเช่น: arcsin 0.5 คืออะไร?

จำการถอดรหัส: อาร์คซิน 0.5 คือมุมที่มีไซน์เท่ากับ 0.5ตอนนี้เปิดหัวของคุณ (หรือ Google)) แล้วจำได้ไหมว่ามุมใดมีไซน์เท่ากับ 0.5? ไซน์เท่ากับ 0.5 y มุม 30 องศา. แค่นั้นแหละ: อาร์คซิน 0.5 คือมุม 30°คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

อาร์คซิน 0.5 = 30°

หรืออย่างเป็นทางการมากขึ้นในแง่ของเรเดียน:

เพียงเท่านี้ คุณก็สามารถลืมอาร์คไซน์แล้วทำงานต่อโดยใช้องศาหรือเรเดียนตามปกติได้

ถ้าคุณตระหนัก อาร์คไซน์คืออะไร อาร์คโคไซน์... อาร์กแทนเจนต์คืออะไร อาร์คโคแทนเจนต์...คุณสามารถจัดการกับสัตว์ประหลาดเช่นนี้ได้อย่างง่ายดาย)

คนโง่จะถอยกลับด้วยความสยดสยอง ใช่...) แต่คนมีความรู้ จำการถอดรหัส:อาร์คไซน์คือมุมที่มีไซน์... และอื่นๆ ถ้าผู้มีความรู้รู้ตารางไซน์ด้วย... ตารางโคไซน์ ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ก็ไม่มีปัญหาแต่อย่างใด!

ก็เพียงพอที่จะตระหนักว่า:

ฉันจะถอดรหัสมันนั่นคือ ให้ฉันแปลสูตรเป็นคำ: มุมที่มีแทนเจนต์เป็น 1 (arctg1)- นี่คือมุม 45° หรือซึ่งเหมือนกันคือ ไพ/4 เช่นเดียวกัน:

เท่านี้ก็เรียบร้อย... เราแทนที่ส่วนโค้งทั้งหมดด้วยค่าเรเดียน ทุกอย่างลดลง ที่เหลือก็แค่คำนวณว่า 1+1 เป็นเท่าใด จะเป็น 2.) ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

นี่คือวิธีที่คุณสามารถ (และควร) ย้ายจากอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ไปเป็นองศาและเรเดียนธรรมดา สิ่งนี้ทำให้ตัวอย่างที่น่ากลัวง่ายขึ้นมาก!

บ่อยครั้งในตัวอย่างนี้จะมีอยู่ภายในส่วนโค้ง เชิงลบความหมาย เช่น arctg(-1.3) หรือ เช่น arccos(-0.8)... นี่ไม่ใช่ปัญหา ต่อไปนี้เป็นสูตรง่ายๆ ในการย้ายจากค่าลบไปเป็นค่าบวก:

คุณต้องพูดเพื่อกำหนดค่าของนิพจน์:

ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ แต่คุณคงไม่อยากวาดมัน โอเค. เราย้ายจาก เชิงลบค่าภายในโคไซน์ส่วนโค้งของ k เชิงบวกตามสูตรที่สอง:

ภายในอาร์คโคไซน์ทางขวาอยู่แล้ว เชิงบวกความหมาย. อะไร

คุณก็ต้องรู้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่เรเดียนแทนอาร์คโคไซน์แล้วคำนวณคำตอบ:

นั่นคือทั้งหมดที่

ข้อจำกัดของอาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์, อาร์กแทนเจนต์, อาร์กโคแทนเจนต์

มีปัญหากับตัวอย่างที่ 7 - 9 หรือไม่? ใช่แล้ว มีเคล็ดลับบางอย่างอยู่ที่นั่น)

ตัวอย่างทั้งหมดนี้ตั้งแต่ข้อ 1 ถึงข้อ 9 มีการวิเคราะห์อย่างละเอียดในมาตรา 555 อะไร อย่างไร และเพราะเหตุใด ด้วยกับดักและลูกเล่นที่เป็นความลับทั้งหมด พร้อมวิธีอื่นๆ ที่ทำให้โซลูชันง่ายขึ้นอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ในส่วนนี้ประกอบด้วยข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมายและเคล็ดลับเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับตรีโกณมิติโดยทั่วไป และไม่ใช่แค่ในตรีโกณมิติเท่านั้น ช่วยได้มาก.

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชัน sin, cos, tg และ ctg มักจะมาพร้อมกับอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันหนึ่งเป็นผลมาจากอีกฟังก์ชันหนึ่ง และคู่ของฟังก์ชันก็มีความสำคัญพอๆ กันสำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ

พิจารณาการวาดวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบกราฟิก

หากเราคำนวณส่วนโค้ง OA, arcos OC, arctg DE และ arcctg MK แล้วพวกมันทั้งหมดจะเท่ากับค่าของมุม α สูตรด้านล่างสะท้อนถึงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานกับส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน

เพื่อให้เข้าใจถึงคุณสมบัติของอาร์คไซน์มากขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาหน้าที่ของมันด้วย กำหนดการ มีรูปแบบเส้นโค้งไม่สมมาตรผ่านจุดศูนย์กลางพิกัด

คุณสมบัติของอาร์คซีน:

หากเราเปรียบเทียบกราฟ บาปและ อาร์คซินฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันสามารถมีรูปแบบที่เหมือนกันได้

โคไซน์ส่วนโค้ง

ส่วนโค้งของตัวเลขคือค่าของมุม α ซึ่งมีโคไซน์เท่ากับ a

เส้นโค้ง y = ส่วนโค้ง xสะท้อนกราฟอาร์คซิน x โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือกราฟนี้ผ่านจุด π/2 บนแกน OY

ลองดูฟังก์ชันอาร์คโคไซน์โดยละเอียด:

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [-1; 1].
2. ODZ สำหรับ arccos - .
3. กราฟจะอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งและไตรมาสที่สองทั้งหมด และฟังก์ชันนั้นไม่เป็นคู่หรือคี่
4. Y = 0 ที่ x = 1
5. เส้นโค้งจะลดลงตามความยาวทั้งหมด คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์ตรงกับฟังก์ชันโคไซน์

คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์ตรงกับฟังก์ชันโคไซน์

บางทีเด็กนักเรียนอาจพบว่าการศึกษา "ส่วนโค้ง" แบบ "ละเอียด" เช่นนี้ไม่จำเป็น อย่างไรก็ตาม ไม่เช่นนั้น งานสอบมาตรฐานระดับประถมศึกษาบางงานอาจทำให้นักเรียนเข้าสู่ทางตันได้

แบบฝึกหัดที่ 1ระบุฟังก์ชั่นที่แสดงในภาพ

คำตอบ:ข้าว. 1 – 4, รูปที่ 2 – 1.

ในตัวอย่างนี้ เน้นที่สิ่งเล็กๆ น้อยๆ โดยปกติแล้ว นักเรียนจะไม่สนใจการสร้างกราฟและรูปลักษณ์ของฟังก์ชันมากนัก เหตุใดจึงต้องจำประเภทของเส้นโค้งหากสามารถพล็อตโดยใช้จุดที่คำนวณได้เสมอ อย่าลืมว่าภายใต้เงื่อนไขการทดสอบจะต้องใช้เวลาในการวาดภาพสำหรับงานง่ายๆ เพื่อแก้ไขงานที่ซับซ้อนมากขึ้น

อาร์คแทนเจนต์

อาร์คท์จีตัวเลข a คือค่าของมุม α โดยที่แทนเจนต์ของมุมนั้นเท่ากับ a

หากเราพิจารณากราฟอาร์กแทนเจนต์ เราสามารถเน้นคุณสมบัติต่อไปนี้:

1. กราฟไม่มีที่สิ้นสุดและกำหนดไว้ในช่วงเวลา (- ∞; + ∞)
2. อาร์กแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น อาร์กแทน (- x) = - อาร์กแทน x
3. Y = 0 ที่ x = 0
4. เส้นโค้งจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

ให้เรานำเสนอการวิเคราะห์เปรียบเทียบโดยย่อของ tg x และ arctg x ในรูปแบบของตาราง

อาร์คโคแทนเจนต์

ส่วนโค้งของตัวเลข - รับค่า α จากช่วง (0; π) โดยที่โคแทนเจนต์ของมันเท่ากับ a

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์:

1. ช่วงคำจำกัดความของฟังก์ชันคืออนันต์
2. ช่วงของค่าที่ยอมรับได้คือช่วง (0; π)
3. F(x) ไม่เป็นคู่หรือคี่
4. กราฟของฟังก์ชันจะลดลงตลอดความยาวทั้งหมด

การเปรียบเทียบ ctg x และ arctg x นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องสร้างภาพวาดสองภาพและอธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้ง

ภารกิจที่ 2จับคู่กราฟและรูปแบบสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน

หากเราคิดอย่างมีเหตุผล จากกราฟจะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันทั้งสองเพิ่มขึ้น ดังนั้นตัวเลขทั้งสองจึงแสดงฟังก์ชันอาร์คแทนที่แน่นอน จากคุณสมบัติของอาร์กแทนเจนต์ เป็นที่ทราบกันว่า y=0 ที่ x = 0

คำตอบ:ข้าว. 1 – 1, รูปที่. 2 – 4.

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ arcsin, arcos, arctg และ arcctg

ก่อนหน้านี้ เราได้ระบุความสัมพันธ์ระหว่างส่วนโค้งและฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติแล้ว การพึ่งพานี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตรจำนวนหนึ่งที่อนุญาตให้แสดงได้ เช่น ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ผ่านอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ หรือในทางกลับกัน ความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ดังกล่าวจะมีประโยชน์เมื่อแก้ไขตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์สำหรับ arctg และ arcctg:

สูตรที่มีประโยชน์อีกคู่หนึ่งจะตั้งค่าสำหรับผลรวมของอาร์คซินและอาร์คอส รวมถึงค่าอาร์คต์จีและอาร์ซีทีจีที่มีมุมเดียวกัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งานตรีโกณมิติสามารถแบ่งออกเป็นสี่กลุ่ม: คำนวณค่าตัวเลขของนิพจน์เฉพาะ สร้างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความหรือ ODZ และดำเนินการแปลงเชิงวิเคราะห์เพื่อแก้ตัวอย่าง

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทแรก คุณต้องปฏิบัติตามแผนปฏิบัติการต่อไปนี้:

เมื่อทำงานกับกราฟฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติและลักษณะของกราฟ การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการต้องใช้ตารางข้อมูลประจำตัว ยิ่งนักเรียนจำสูตรได้มากเท่าใด ก็จะยิ่งค้นหาคำตอบของงานได้ง่ายขึ้นเท่านั้น

สมมติว่าใน Unified State Examination คุณต้องค้นหาคำตอบสำหรับสมการ เช่น:

หากคุณแปลงนิพจน์ได้อย่างถูกต้องและนำไปเป็นรูปแบบที่ต้องการการแก้ไขจะง่ายและรวดเร็วมาก ก่อนอื่น ลองย้ายอาร์คซิน x ไปทางด้านขวาของค่าเท่ากัน

หากจำสูตรได้ อาร์คซิน (บาป α) = αจากนั้นเราสามารถลดการค้นหาคำตอบในการแก้ระบบสมการสองสมการได้:

ข้อจำกัดของโมเดล x เกิดขึ้นอีกครั้งจากคุณสมบัติของอาร์กซิน: ODZ สำหรับ x [-1; 1]. เมื่อ ≠0 ส่วนหนึ่งของระบบคือสมการกำลังสองที่มีราก x1 = 1 และ x2 = - 1/a เมื่อ a = 0 x จะเท่ากับ 1

ในช่วงต้นของโปรแกรม นักเรียนมีแนวคิดในการแก้สมการตรีโกณมิติ ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอาร์คโคไซน์และอาร์กไซน์ และตัวอย่างการแก้สมการ cos t = a และ sin t = a ในวิดีโอสอนนี้ เราจะดูการแก้สมการ tg x = a และ ctg x = a

เพื่อเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ ให้พิจารณาสมการ tg x = 3 และ tg x = - 3 ถ้าเราแก้สมการ tg x = 3 โดยใช้กราฟ เราจะเห็นว่าจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = tg x และ y = 3 มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด โดยที่ x = x 1 + πk ค่า x 1 คือพิกัด x ของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน y = tan x และ y = 3 ผู้เขียนแนะนำแนวคิดของอาร์กแทนเจนต์: arctan 3 คือตัวเลขที่มี tan เท่ากับ 3 และตัวเลขนี้ อยู่ในช่วงตั้งแต่ -π/2 ถึง π/2 เมื่อใช้แนวคิดเรื่องอาร์กแทนเจนต์ การแก้สมการ tan x = 3 สามารถเขียนเป็น x = arctan 3 + πk

โดยการเปรียบเทียบสมการ tg x = - 3 ได้รับการแก้ไขแล้ว จากกราฟที่สร้างขึ้นของฟังก์ชัน y = tg x และ y = - 3 เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดของกราฟและดังนั้นการแก้สมการจะ เป็น x = x 2 + πk เมื่อใช้อาร์กแทนเจนต์ สามารถเขียนคำตอบได้เป็น x = อาร์กแทน (- 3) + πk ในรูปถัดไป เราจะเห็นว่า arctg (- 3) = - arctg 3

คำจำกัดความทั่วไปของอาร์กแทนเจนต์มีดังต่อไปนี้ อาร์กแทนเจนต์ a คือตัวเลขจากช่วงตั้งแต่ -π/2 ถึง π/2 ซึ่งแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ a จากนั้นคำตอบของสมการ tan x = a คือ x = อาร์กแทน a + πk

ผู้เขียนยกตัวอย่างที่ 1 ค้นหาวิธีแก้ไขนิพจน์ arctan ให้เราแนะนำสัญกรณ์: อาร์กแทนเจนต์ของตัวเลขเท่ากับ x จากนั้น tg x จะเท่ากับตัวเลขที่กำหนดโดยที่ x อยู่ในส่วนจาก -π /2 ถึง π/2 เช่นเดียวกับตัวอย่างในหัวข้อก่อนหน้า เราจะใช้ตารางค่า จากตารางนี้ ค่าแทนเจนต์ของจำนวนนี้สอดคล้องกับค่า x = π/3 ให้เราเขียนคำตอบของสมการลงไป: อาร์กแทนเจนต์ของจำนวนที่กำหนดจะเท่ากับ π/3 ส่วน π/3 ก็อยู่ในช่วงตั้งแต่ -π/2 ถึง π/2 เช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าอาร์กแทนเจนต์ของจำนวนลบ การใช้ความเท่าเทียมกัน arctg (- a) = - arctg a เราจะป้อนค่าของ x คล้ายกับตัวอย่างที่ 2 เราเขียนค่า x ซึ่งอยู่ในเซ็กเมนต์ตั้งแต่ -π/2 ถึง π/2 จากตารางค่า เราพบว่า x = π/3 ดังนั้น -- tg x = - π/3 คำตอบของสมการคือ - π/3

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ tg x = 1 เขียนว่า x = อาร์คแทน 1 + πk ในตาราง ค่า tg 1 สอดคล้องกับค่า x = π/4 ดังนั้น ส่วนโค้ง 1 = π/4 ลองแทนค่านี้ลงในสูตรเดิม x แล้วเขียนคำตอบ x = π/4 + πk

ตัวอย่างที่ 4: คำนวณ tan x = - 4.1 ในกรณีนี้ x = อาร์คแทน (- 4.1) + πk เพราะ ในกรณีนี้ ไม่สามารถหาค่าของ arctg ได้ คำตอบจะมีลักษณะดังนี้ x = arctg (- 4.1) + πk

ในตัวอย่างที่ 5 เราจะพิจารณาคำตอบของอสมการ tg x > 1 เพื่อแก้ปัญหา เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = tan x และ y = 1 ดังที่เห็นในรูป กราฟเหล่านี้ตัดกันที่จุด x = π/4 + πk เพราะ ในกรณีนี้ tg x > 1 บนกราฟ เราเน้นบริเวณแทนเจนตอยด์ ซึ่งอยู่เหนือกราฟ y = 1 โดยที่ x อยู่ในช่วงตั้งแต่ π/4 ถึง π/2 เราเขียนคำตอบเป็น π/4 + πk< x < π/2 + πk.

ต่อไป พิจารณาสมการ cot x = a รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = cot x, y = a, y = - a ซึ่งมีจุดตัดกันหลายจุด ผลเฉลยสามารถเขียนเป็น x = x 1 + πk โดยที่ x 1 = ส่วนโค้ง a และ x = x 2 + πk โดยที่ x 2 = ส่วนโค้ง (- a) มีข้อสังเกตว่า x 2 = π - x 1 . นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกัน arcctg (- a) = π - arcctg a ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความของอาร์คโคแทนเจนต์: อาร์คโคแทนเจนต์ a คือตัวเลขจากช่วงตั้งแต่ 0 ถึง π ซึ่งโคแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ a การแก้สมการ сtg x = a เขียนเป็น: x = arcctg a + πk

ในตอนท้ายของบทเรียนวิดีโอ มีการสรุปที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือนิพจน์ ctg x = a สามารถเขียนเป็น tg x = 1/a โดยมีเงื่อนไขว่า a ไม่เท่ากับศูนย์

การถอดรหัสข้อความ:

ลองพิจารณาแก้สมการ tg x = 3 และ tg x = - 3 การแก้สมการแรกแบบกราฟิก เราจะเห็นว่ากราฟของฟังก์ชัน y = tg x และ y = 3 มีจุดตัดกันมากมายอนันต์ ซึ่งเป็นจุดหักล้างที่เราเขียน ในรูปแบบ

x = x 1 + πk โดยที่ x 1 คือ abscissa ของจุดตัดของเส้นตรง y = 3 โดยมีกิ่งก้านหลักของแทนเจนตอยด์ (รูปที่ 1) ซึ่งมีการประดิษฐ์การกำหนดชื่อไว้

อาร์คแทน 3 (ส่วนโค้งแทนเจนต์ของสาม)

จะเข้าใจ actg 3 ได้อย่างไร?

นี่คือตัวเลขที่มีแทนเจนต์เป็น 3 และตัวเลขนี้อยู่ในช่วง (- ;) จากนั้นรากทั้งหมดของสมการ tg x = 3 สามารถเขียนได้ด้วยสูตร x = arctan 3+πk

ในทำนองเดียวกัน การแก้สมการ tg x = - 3 สามารถเขียนได้ในรูปแบบ x = x 2 + πk โดยที่ x 2 คือจุดหักล้างของจุดตัดของเส้นตรง y = - 3 โดยมีสาขาหลักของ แทนเจนต์อยด์ (รูปที่ 1) ซึ่งมีการกำหนด arctg(- 3) (ส่วนโค้งแทนเจนต์ลบสาม) จากนั้นรากทั้งหมดของสมการสามารถเขียนได้ด้วยสูตร: x = arctan(-3)+ πk รูปนี้แสดงให้เห็นว่า arctg(- 3)= - arctg 3

ให้เรากำหนดคำจำกัดความของอาร์กแทนเจนต์ อาร์กแทนเจนต์ a คือตัวเลขจากช่วง (-;) ซึ่งแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ a

ความเท่าเทียมกันมักใช้: arctg(-a) = -arctg a ซึ่งใช้ได้กับ a ใดๆ

เมื่อรู้คำจำกัดความของอาร์กแทนเจนต์แล้ว เราก็สามารถสรุปทั่วไปเกี่ยวกับการแก้สมการได้

tg x= a: สมการ tg x = a มีคำตอบ x = อาร์คแทน a + πk

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณอาร์คแทน

สารละลาย. ให้ arctg = x จากนั้น tgх = และ xϵ (- ;) แสดงตารางค่า ดังนั้น x = เนื่องจาก tg = และ ϵ (- ;)

ดังนั้น อาร์คแทน =.

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณอาร์คแทน (-)

สารละลาย. การใช้ความเท่าเทียมกัน arctg(- a) = - arctg a เราเขียนว่า:

arctg(-) = - arctg ให้ - arctg = x จากนั้น - tgх = และ xϵ (- ;) ดังนั้น x = เนื่องจาก tg = และ ϵ (- ;) แสดงตารางค่า

ซึ่งหมายความว่า - arctg=- tgх= -

ตัวอย่าง 3. แก้สมการ tgх = 1

1. เขียนสูตรการแก้ปัญหา: x = อาร์คแทน 1 + πk

2. ค้นหาค่าของอาร์กแทนเจนต์

เนื่องจาก tg = . แสดงตารางค่า

ดังนั้น อาร์คแทน1= .

3. ใส่ค่าที่พบลงในสูตรการแก้ปัญหา:

ตัวอย่าง 4. แก้สมการ tgх = - 4.1 (แทนเจนต์ x เท่ากับลบสี่จุดหนึ่ง)

สารละลาย. ลองเขียนสูตรแก้โจทย์: x = อาร์คแทน (- 4.1) + πk

เราไม่สามารถคำนวณค่าของอาร์กแทนเจนต์ได้ ดังนั้นเราจะปล่อยให้คำตอบอยู่ในสมการในรูปแบบที่ได้รับ

ตัวอย่าง 5. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน tgх 1

สารละลาย. เราจะแก้มันแบบกราฟิก

1. มาสร้างแทนเจนต์กัน

y = tgx และเส้นตรง y = 1 (รูปที่ 2) พวกมันตัดกันที่จุดเช่น x = + πk

2. ให้เราเลือกช่วงเวลาของแกน x ซึ่งกิ่งก้านหลักของแทนเจนต์อยด์อยู่เหนือเส้นตรง y = 1 เนื่องจากตามเงื่อนไข tgх 1 นี่คือช่วงเวลา (;)

3. เราใช้คาบของฟังก์ชัน

คุณสมบัติ 2 y=tg x เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบหลัก π

เมื่อคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน y = tgх เราเขียนคำตอบ:

(;) คำตอบสามารถเขียนเป็นอสมการสองเท่าได้:

มาดูสมการ ctg x = a กันดีกว่า ให้เรานำเสนอภาพประกอบแบบกราฟิกของการแก้สมการบวกและลบ a (รูปที่ 3)

กราฟของฟังก์ชัน y = ctg x และ y = a และเช่นกัน

y=ctg x และ y=-a

มีจุดร่วมกันมากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งจุดขาดจะมีลักษณะดังนี้:

x = x 1 + โดยที่ x 1 คือจุดหักมุมของจุดตัดของเส้นตรง y = a โดยมีกิ่งก้านหลักของแทนเจนต์อยด์ และ

x 1 = ส่วนโค้ง ก;

x = x 2 + โดยที่ x 2 คือจุดตัดของเส้นตรง

y = - a โดยมีกิ่งก้านหลักของแทนเจนต์อยด์ และ x 2 = ส่วนโค้ง (- a)

โปรดทราบว่า x 2 = π - x 1 ดังนั้น มาเขียนความเท่าเทียมกันที่สำคัญกัน:

ส่วนโค้ง (-a) = π - ส่วนโค้งа

ให้เรากำหนดคำจำกัดความ: ส่วนโค้งโคแทนเจนต์ a คือตัวเลขจากช่วง (0;π) ซึ่งโคแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ a

การแก้สมการ ctg x = a เขียนในรูปแบบ: x ​​= arcctg a +

โปรดทราบว่าสมการ ctg x = a สามารถแปลงเป็นรูปแบบได้

tg x = ยกเว้นเมื่อ a = 0

บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ การค้นหาค่าของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์หมายเลขที่กำหนด ก่อนอื่นเราจะอธิบายสิ่งที่เรียกว่าความหมายของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ต่อไปเราจะรับค่าหลักของฟังก์ชันส่วนโค้งเหล่านี้หลังจากนั้นเราจะเข้าใจว่าค่าของอาร์กไซน์, โคไซน์อาร์ค, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์นั้นพบได้อย่างไรโดยใช้ตารางของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และแบรดิส โคแทนเจนต์ สุดท้ายนี้ เรามาพูดถึงการค้นหาอาร์คไซน์ของตัวเลขเมื่อทราบอาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ หรืออาร์คโคแทนเจนต์ของตัวเลขนี้ ฯลฯ

การนำทางหน้า

ค่าอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์

ก่อนอื่น ควรทำความเข้าใจก่อนว่า "สิ่งนี้" แท้จริงแล้วคืออะไร ความหมายของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์».

ตารางไซน์และโคไซน์ของ Bradis รวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณค้นหาค่าของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ของจำนวนบวกในหน่วยองศาด้วยความแม่นยำหนึ่งนาที ที่นี่เป็นที่น่าสังเกตว่าการค้นหาค่าของอาร์กไซน์, อาร์กโคซีน, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ของจำนวนลบสามารถลดลงเพื่อค้นหาค่าของอาร์กฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของจำนวนบวกโดยหันไปใช้สูตร arcsin, arccos, arctg และ arcctg ของจำนวนตรงข้ามของรูปแบบ arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a และ arcctg(−a)=π−arcctg a

เรามาดูวิธีการค้นหาค่าของอาร์กไซน์, อาร์คโคซีน, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์โดยใช้ตาราง Bradis เราจะทำเช่นนี้ด้วยตัวอย่าง

ให้เราต้องหาค่าอาร์คไซน์ 0.2857 เราพบค่านี้ในตารางไซน์ (กรณีที่ค่านี้ไม่ได้อยู่ในตารางจะมีการหารือด้านล่าง) สอดคล้องกับไซน์ 16 องศา 36 นาที ดังนั้น ค่าอาร์คไซน์ที่ต้องการของเลข 0.2857 จึงเป็นมุม 16 องศา 36 นาที

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องคำนึงถึงการแก้ไขจากสามคอลัมน์ทางด้านขวาของตาราง เช่น หากเราต้องการหาอาร์คไซน์ของ 0.2863 ตามตารางไซน์ ค่านี้ได้เป็น 0.2857 บวกการแก้ไข 0.0006 นั่นคือค่า 0.2863 สอดคล้องกับไซน์ 16 องศา 38 นาที (16 องศา 36 นาทีบวกการแก้ไข 2 นาที)

หากตัวเลขที่เราสนใจอาร์กไซน์ไม่ได้อยู่ในตารางและไม่สามารถรับได้โดยคำนึงถึงการแก้ไขด้วยซ้ำในตารางเราจำเป็นต้องค้นหาค่าสองค่าของไซน์ที่ใกล้เคียงที่สุดซึ่งระหว่างนั้นตัวเลขนี้จะถูกล้อมรอบ ตัวอย่างเช่น เรากำลังมองหาค่าอาร์คไซน์เท่ากับ 0.2861573 หมายเลขนี้ไม่ได้อยู่ในตาราง และไม่สามารถรับหมายเลขนี้ได้โดยใช้การแก้ไขเช่นกัน จากนั้นเราจะพบค่าที่ใกล้เคียงที่สุดสองค่า 0.2860 และ 0.2863 ซึ่งอยู่ระหว่างนั้นโดยปิดหมายเลขเดิมไว้ ตัวเลขเหล่านี้สอดคล้องกับไซน์ของ 16 องศา 37 นาที และ 16 องศา 38 นาที ค่าอาร์กไซน์ที่ต้องการคือ 0.2861573 อยู่ระหว่างค่าเหล่านั้น นั่นคือค่ามุมใดๆ เหล่านี้สามารถใช้เป็นค่าอาร์กไซน์โดยประมาณด้วยความแม่นยำ 1 นาที

ค่าโคไซน์ส่วนโค้งค่าส่วนโค้งแทนเจนต์และค่าส่วนโค้งโคแทนเจนต์นั้นพบในลักษณะเดียวกันอย่างแน่นอน (ในกรณีนี้แน่นอนว่าจะใช้ตารางโคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามลำดับ)

ค้นหาค่าของ arcsin โดยใช้ arccos, arctg, arcctg ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น บอกให้เราทราบว่า arcsin a=−π/12 และเราต้องค้นหาค่าของ arccos a เราคำนวณค่าอาร์คโคไซน์ที่เราต้องการ: ส่วนโค้ง a=π/2−ส่วนโค้ง a=π/2−(−π/12)=7π/12.

สถานการณ์จะน่าสนใจกว่ามาก เมื่อต้องใช้ค่าที่ทราบของอาร์คไซน์หรืออาร์คโคไซน์ของตัวเลข a คุณจำเป็นต้องค้นหาค่าของอาร์กแทนเจนต์หรืออาร์กโคแทนเจนต์ของตัวเลข a หรือในทางกลับกัน ขออภัย เราไม่ทราบสูตรที่กำหนดการเชื่อมต่อดังกล่าว จะเป็นอย่างไร? มาทำความเข้าใจเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

บอกให้เราทราบว่าอาร์คโคไซน์ของจำนวน a เท่ากับ π/10 และเราต้องคำนวณค่าอาร์กแทนเจนต์ของจำนวน a นี้ คุณสามารถแก้ปัญหาได้ดังนี้: ใช้ค่าที่ทราบของโคไซน์ส่วนโค้ง หาตัวเลข a แล้วหาค่าแทนเจนต์ส่วนโค้งของตัวเลขนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องมีตารางโคไซน์ก่อน แล้วตามด้วยตารางแทนเจนต์

มุม π/10 เรเดียนคือมุม 18 องศา จากตารางโคไซน์ เราพบว่าโคไซน์ของ 18 องศามีค่าประมาณเท่ากับ 0.9511 จากนั้นตัวเลข a ในตัวอย่างของเราคือ 0.9511

ยังคงต้องหันไปที่ตารางแทนเจนต์ และด้วยความช่วยเหลือในการหาค่าอาร์แทนเจนต์ที่เราต้องการ 0.9511 จะเท่ากับประมาณ 43 องศา 34 นาที

หัวข้อนี้ต่อเนื่องจากเนื้อหาในบทความ การประเมินค่าของนิพจน์ที่มี arcsin, arccos, arctg และ arcctg.

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - M.: การศึกษา, 1990. - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• I.V. Boykov, L.D. Romanova รวบรวมปัญหาการเตรียมตัวสอบ Unified State ตอนที่ 1 Penza 2003
• แบรดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: เพื่อการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ฉบับที่ 2 - อ.: อีแร้ง, 2542.- 96 หน้า: ป่วย ไอ 5-7107-2667-2