Dersin Hedefleri:

Didaktik:

• Seviye 1 – logaritmanın tanımını ve logaritmanın özelliklerini kullanarak en basit logaritmik eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini öğretmek;
• Seviye 2 – kendi çözüm yönteminizi seçerek logaritmik eşitsizlikleri çözün;
• Seviye 3 – standart dışı durumlarda bilgi ve becerileri uygulayabilme.

Eğitici: hafızayı, dikkati geliştirmek, mantıksal düşünme, karşılaştırma becerileri, genelleme ve sonuç çıkarma yeteneği

Eğitici: Doğruluğu, gerçekleştirilen görevin sorumluluğunu ve karşılıklı yardımlaşmayı geliştirin.

Öğretme teknikleri: sözlü , görsel , pratik , kısmi arama , özyönetim , kontrol.

Organizasyon biçimleri bilişsel aktiviteöğrenciler: önden , bireysel , çiftler halinde çalışın.

Teçhizat: bir dizi test görevi, referans özeti, çözümler için boş sayfalar.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı. Dersin konusu ve hedefleri, ders planı duyurulur: her öğrenciye ders sırasında dolduracağı bir değerlendirme sayfası verilir; her öğrenci çifti için - görevleri olan basılı materyaller çiftler halinde tamamlanmalıdır; boş çözüm sayfaları; destek sayfaları: logaritmanın tanımı; logaritmik bir fonksiyonun grafiği, özellikleri; logaritmanın özellikleri; çözüm algoritması logaritmik eşitsizlikler.

Öz değerlendirme sonrasında alınan tüm kararlar öğretmene sunulur.

Öğrencinin puan tablosu

2. Bilginin güncellenmesi.

Öğretmenin talimatları. Logaritmanın tanımını, logaritmik fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini hatırlayın. Bunu yapmak için, Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin ve diğerleri tarafından düzenlenen “Cebir ve analizin başlangıcı 10–11” ders kitabının 88–90, 98–101. sayfalarındaki metni okuyun.

Öğrencilere üzerinde aşağıdakilerin yazılı olduğu sayfalar verilir: logaritmanın tanımı; logaritmik bir fonksiyonun ve özelliklerinin grafiğini gösterir; logaritmanın özellikleri; logaritmik eşitsizlikleri çözmek için algoritma, ikinci dereceden bir logaritmik eşitsizliği çözme örneği.

3. Yeni materyalin incelenmesi.

Logaritmik eşitsizliklerin çözümü, logaritmik fonksiyonun monotonluğuna dayanır.

Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için algoritma:

A) Eşitsizliğin tanım tanım kümesini bulun (sublogaritmik ifade sıfırdan büyüktür).
B) Eşitsizliğin sol ve sağ taraflarını (mümkünse) aynı tabana göre logaritma olarak temsil edin.
C) Logaritmik fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirleyin: t>1 ise artıyor demektir; eğer 0 ise 1, sonra azalıyor.
D) Daha fazlasına git basit eşitsizlik(alt logaritmik ifadeler), fonksiyonun artması durumunda eşitsizlik işaretinin kalacağı, azalması durumunda ise değişeceği dikkate alınarak.

Öğrenme öğesi #1.

Amaç: çözümü en basit logaritmik eşitsizliklere göre pekiştirmek

Öğrencilerin bilişsel aktivitesinin organizasyon şekli: bireysel çalışma.

Şunun için görevler: bağımsız iş 10 dakika boyunca. Her eşitsizliğin birkaç olası cevabı vardır; doğru olanı seçip tuşunu kullanarak kontrol etmeniz gerekir.

ANAHTAR: 13321, maksimum puan sayısı – 6 puan.

Öğrenme öğesi #2.

Amaç: logaritmanın özelliklerini kullanarak logaritmik eşitsizliklerin çözümünü pekiştirmek.

Öğretmenin talimatları. Logaritmanın temel özelliklerini hatırlayın. Bunu yapmak için ders kitabının 92, 103-104. sayfalarındaki metnini okuyun.

10 dakika boyunca bağımsız çalışma görevleri.

ANAHTAR: 2113, maksimum puan sayısı – 8 puan.

Öğrenme öğesi #3.

Amaç: Logaritmik eşitsizliklerin çözümünü ikinci dereceden indirgeme yöntemiyle incelemek.

Öğretmenin talimatları: Bir eşitsizliği ikinci dereceden bir sayıya indirmenin yöntemi, eşitsizliği belirli bir logaritmik fonksiyonun yeni bir değişkenle gösterileceği bir forma dönüştürmek, böylece bu değişkene göre ikinci dereceden bir eşitsizlik elde etmektir.

Aralık yöntemini kullanalım.

Malzemeye hakim olmanın ilk seviyesini geçtiniz. Artık kendi çözüm yönteminizi seçmelisiniz logaritmik denklemler tüm bilgi ve yeteneklerinizi kullanarak.

Öğrenme öğesi #4.

Amaç: bağımsız olarak rasyonel bir çözüm yöntemi seçerek logaritmik eşitsizliklerin çözümünü pekiştirmek.

10 dakika boyunca bağımsız çalışma görevleri

Öğrenme öğesi #5.

Öğretmenin talimatları. Tebrikler! İkinci karmaşıklık düzeyindeki denklemleri çözmede ustalaştınız. Daha sonraki çalışmanızın amacı, bilgi ve becerilerinizi daha karmaşık ve standart dışı durumlarda uygulamaktır.

Bağımsız çözüm için görevler:

Öğretmenin talimatları. Görevin tamamını tamamlamanız harika. Tebrikler!

Tüm dersin notu, tüm eğitim öğelerinden alınan puanların sayısına bağlıdır:

• N ≥ 20 ise “5” notu alırsınız,
• 16 ≤ N ≤ 19 için – “4” puan,
• 8 ≤ N ≤ 15 için – puan “3”,
• N'de< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Değerlendirme kağıtlarını öğretmene teslim edin.

5. Ödev: 15'ten fazla puan almadıysanız, hatalarınız üzerinde çalışın (öğretmeninizden çözümler alabilirsiniz), 15'ten fazla puan aldıysanız, "Logaritmik eşitsizlikler" konulu yaratıcı bir görevi tamamlayın.

Çoğu zaman logaritmik eşitsizlikleri çözerken değişken logaritma tabanıyla ilgili problemler vardır. Böylece formun eşitsizliği

standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, bunu çözmek için eşdeğer bir sistem grubuna geçiş kullanılır:

Dezavantaj Bu method iki sistemi ve bir popülasyonu hesaba katmadan yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Zaten bu ikinci dereceden fonksiyonlarla popülasyonu çözmek çok zaman alabiliyor.

Bu standart eşitsizliği çözmek için alternatif, daha az zaman harcayan bir yol önermek mümkündür. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.

Teorem 1. Bir X kümesi üzerinde sürekli artan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, bu kümede fonksiyonun artış işareti, argümanın artış işareti ile çakışacaktır; , Nerede .

Not: Bir X kümesi üzerinde sürekli azalan bir fonksiyon varsa, o zaman .

Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya geçelim (sabit bir tabana sahip herhangi birine geçebilirsiniz) birden fazla).

Artık paydaki fonksiyonların artışını fark ederek teoremi kullanabilirsiniz. ve paydada. Yani bu doğru

Sonuç olarak, cevaba yol açan hesaplamaların sayısı yaklaşık olarak yarı yarıya azalır, bu da yalnızca zamandan tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve dikkatsiz hata yapmanıza da olanak tanır.

Örnek 1.

(1) ile karşılaştırarak şunu buluruz: , , .

(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:

Örnek 2.

(1) ile karşılaştırarak , , , buluruz.

(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:

Örnek 3.

Eşitsizliğin sol tarafı artan bir fonksiyon olduğundan ve , o zaman cevap çok olacaktır.

Tema 1'in uygulanabileceği birçok örnek, Tema 2 dikkate alınarak kolaylıkla genişletilebilir.

Sete çıkalım X, , , fonksiyonları tanımlanır ve bu kümede ve işaretleri çakışır, yani. , o zaman adil olacak.

Örnek 4.

Örnek 5.

Standart yaklaşımla örnek aşağıdaki şemaya göre çözülür: faktörler farklı işaretlere sahip olduğunda ürün sıfırdan küçüktür. Onlar. Başlangıçta belirtildiği gibi her eşitsizliğin yedi eşitsizliğe daha bölündüğü iki eşitsizlik sistemi dikkate alınır.

Teorem 2'yi hesaba katarsak, o zaman (2)'yi hesaba katan faktörlerin her biri, bu örnekte O.D.Z.'de aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.

Teorem 2'yi dikkate alarak bir fonksiyonun artışını argüman artışıyla değiştirme yönteminin çözerken çok uygun olduğu ortaya çıkıyor tipik görevler C3 Birleşik Devlet Sınavı.

Örnek 6.

Örnek 7.

. belirtelim. Aldık

. Değiştirmenin şunu ifade ettiğini unutmayın: . Denkleme dönersek şunu elde ederiz: .

Örnek 8.

Kullandığımız teoremlerde fonksiyon sınıflarına ilişkin herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede örnek olarak logaritmik eşitsizliklerin çözümüne teoremler uygulanmıştır. Aşağıdaki birkaç örnek, yöntemin diğer eşitsizlik türlerini çözme vaadini gösterecektir.

Bir eşitsizlik, logaritmik bir fonksiyon içeriyorsa logaritmik olarak adlandırılır.

Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri iki şey dışında farklı değildir.

İlk olarak, logaritmik eşitsizlikten sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken, ortaya çıkan eşitsizliğin işaretini takip edin. Aşağıdaki kurala uyar.

Logaritmik fonksiyonun tabanı $1$'dan büyükse, logaritmik eşitsizlikten alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizliğin işareti korunur, ancak $1$'dan küçükse ters yönde değişir. .

İkincisi, herhangi bir eşitsizliğin çözümü bir aralıktır ve bu nedenle alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliğinin çözülmesinin sonunda iki eşitsizlikten oluşan bir sistem oluşturmak gerekir: Bu sistemin ilk eşitsizliği, alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliği olacaktır, ikincisi ise logaritmik eşitsizliğin içerdiği logaritmik fonksiyonların tanım kümesinin aralığı olacaktır.

Pratik.

Eşitsizlikleri çözelim:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logaritmanın tabanı $2>1$ olduğundan işaret değişmez. Logaritmanın tanımını kullanarak şunu elde ederiz:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\inç)