Limitler tüm matematik öğrencilerine pek çok sorun yaşatır. Bir limiti çözmek için bazen çok sayıda hile kullanmanız ve çeşitli çözüm yöntemleri arasından tam olarak belirli bir örnek için uygun olanı seçmeniz gerekir.

Bu yazıda yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını anlamanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu yanıtlamaya çalışacağız: Yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu nedenle aynı zamanda açıklamalarla birlikte limit çözme konusunda birkaç ayrıntılı örnek vereceğiz.

Matematikte limit kavramı

İlk soru şu: Bu sınır nedir ve neyin sınırı? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey bu. Ama önce limitin en genel tanımı:

Diyelim ki bazı değişken değerler var. Değişim sürecindeki bu değer sınırsız olarak belirli bir sayıya yaklaşıyorsa A , O A – bu değerin sınırı.

Belirli bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için f(x)=y böyle bir sayıya limit denir A , işlevin ne zaman yöneldiği X belli bir noktaya doğru yönelen A . Nokta A fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir.

Kulağa hantal gelebilir ama çok basit bir şekilde yazılmıştır:

Lim- İngilizceden sınır- sınır.

Limitin belirlenmesine ilişkin geometrik bir açıklama da var ancak konunun teorik yönünden ziyade pratik tarafıyla ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X bir değere eğilimlidir; bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz derecede yaklaştığı anlamına gelir.

Spesifik bir örnek verelim. Görev sınırı bulmaktır.

Bu örneği çözmek için değeri yerine koyarız x=3 bir fonksiyona dönüşür. Şunu elde ederiz:

Bu arada, eğer ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun.

Örneklerde X herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuz olabilir. İşte bir örnek: X sonsuza doğru yönelir:

Sezgisel olarak paydadaki sayı ne kadar büyük olursa fonksiyonun alacağı değer o kadar küçük olur. Yani sınırsız büyümeyle X Anlam 1/x azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır.

Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, çaba göstereceğiniz değeri fonksiyona koymanız yeterlidir. X . Ancak bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar açık değildir. Sınırlar dahilinde türde belirsizlikler var 0/0 veya sonsuzluk/sonsuzluk . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hilelere başvur!

İçerideki belirsizlikler

Sonsuzluk/sonsuzluk formunun belirsizliği

Bir sınır olsun:

Fonksiyonun yerine sonsuzu koymaya çalışırsak hem payda hem de paydada sonsuzluk elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmenin belli bir sanat unsurunun olduğunu söylemekte fayda var: işlevi belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde nasıl dönüştürebileceğinize dikkat etmeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda pay ve paydayı şuna böleriz: X son sınıfta. Ne olacak?

Yukarıda tartışılan örnekten, paydasında x bulunan terimlerin sıfıra yöneleceğini biliyoruz. O halde limitin çözümü:

Tür belirsizliklerini çözmek için sonsuzluk/sonsuzluk pay ve paydayı şuna böl: X en yüksek derecede.

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Başka bir belirsizlik türü: 0/0

Her zaman olduğu gibi, değerleri fonksiyona koymak x=-1 verir 0 pay ve paydada. Biraz daha yakından baktığınızda payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım:

Azaltalım ve elde edelim:

Dolayısıyla, tür belirsizliğiyle karşı karşıya kalırsanız 0/0 – pay ve paydayı çarpanlarına ayırın.

Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için bazı fonksiyonların limitlerini içeren bir tablo sunuyoruz:

L'Hopital'in kuralı içeride

Her iki belirsizlik türünü de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir?

Limitte belirsizlik varsa belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alın.

L'Hopital kuralı şuna benzer:

Önemli nokta : Pay ve payda yerine pay ve paydanın türevlerinin bulunması gereken limit.

Ve şimdi - gerçek bir örnek:

Tipik bir belirsizlik var 0/0 . Pay ve paydanın türevlerini alalım:

Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde çözülür.

Bu bilgiyi pratikte yararlı bir şekilde uygulayabileceğinizi ve "yüksek matematikte limitlerin nasıl çözüleceği" sorusunun cevabını bulabileceğinizi umuyoruz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ve bu iş için kesinlikle zamanınız yoksa, hızlı ve ayrıntılı bir çözüm için profesyonel bir öğrenci servisiyle iletişime geçin.

Herkesin farklı bir “inciri” olduğunu bilin,
Herkesin farklı bir “korkutuculuğu” olduğunu bilin.
Çan kulenizden yargılamayın
Kaç katlı olduğu bilinmiyor.

Sınırlara bakmayın
Beyniniz ile sınırlar icat etmeyin.
Bir kabusta asla neyi hayal etmezsin?
Bazıları için bu yaygın bir şeydir.

Herkesin farklı bir “zorunluluğu” olduğunu bilin,
Herkesin “zorluğunun” farklı olduğunu bilin.
Ancak cehennem fikri
Genellemek ve karşılaştırmak imkansızdır.

Gerçeğin farklı olduğunu bilin,
Ve tabakta servis edilenlerden değil.
Kaderleri korkutucu olanlara daha yakından bakın,
Bunlar en güçlü insanlardır.

Seni hatırlamadığımı söyleme...
Her şeyi günde birçok kez hatırlıyorum
Telefon numarasını tekrarlıyorum
Ama seni asla aramayacağım.
Kalbim kırılacakmış gibi hissettim
Ve yalnız günlerin sınırında

Ruhumdaki ufkun ötesine geçtiler.
Aşk vardı, aşk vardı, vardı!
Ve bu ifadeye eklenecek hiçbir şey yok.
Sihirli kalemiz yerle bir oldu
Ve hatırlamamız için kül bırakmadı.
Her şeyi hatırlıyorum ve çiçek açan bahçeyi hatırlıyorum.
Ve yeşilliklerin arasından - her taraftan gelen ışınlar,
Sanki beyaz, beyaz bir çan kulesinden geliyormuş gibi
Ruhunuza - duyuyorsunuz - sessiz bir çınlama yağıyor.
Aşk gitti ve bir daha geri gelmeyecek
Ve onu sonsuza kadar özlemememek için,
Gözlerin iki hüzünlü güneş gibi
Ruhumdaki ufkun ötesine geçtiler.

Mutluluk arayışı yine başarısızlıkla sonuçlandı...
Ve yağmurlu bir akşam, dışarısı kasvetli...
Ve çocukken... Çöreğin üzerine reçel sürerdim
Ve kesinlikle mutlu, aptalca mutlu...

Cazibe, görgü kuralları, elmaslar, jakuzi...
Artık mutluluğun yanı sıra “Herşey Dahil”in kaderinde,
Çocukken ayçiçeği çekirdeği yerdim,
Ve mutluluğun hiçbir sınırı yokmuş gibi görünüyordu...

Palyaçolara çok benzedik...
Herkes dışarıdan gülen makyajlar yapıyor...
Ve çocuklukta... gökten yalnızca güneş sızdı
Ve mutlu kalp o kadar gülümsedi ki...

Cinderella'daki karabuğday gibi insanları seçiyoruz...
İhtiyacınız olan herkesle iletişime geçin... Kazanamayanlar sobaya gider...
Ve çocukluğumuzda berrak gökler bize inandı...
Taze ekmek kokusunun neşesi nerede?

Artık dostluk da satın alınabiliyor...
Başardık... Kürk ve deriden oluşan bir dünyada yaşıyoruz...
Ve çocuklukta melezi yağmurdan kurtardılar...
Ve mutluluk vererek onu aldılar.

Yıllar geçtikçe samimiyeti, duyarlılığı kaybettik...
Sınırları ve çerçeveleri kendimiz belirledik...
Çöreğiniz ve bir kavanoz kiraz reçeliniz var mı?
Öyleyse cehennem gibi mutlu ol!

Sana bakıyorum ve seni hâlâ sevdiğimi anlıyorum. Bu aşk son yılların kronik bir hastalığıdır. O kadar dayanılmaz bir acı veriyor ki, kendimi tamamen yabancıların önüne atıyorum, onlar tarafından kandırılmaya çalışıyorum, onlarla birlikte aniden bu kucaklaşmalarda, kırışık kalplerin sahiplerine göre hiç var olmayan ağrı kesiciyi bulacağım. Aldatıldığımı anlıyorum ama yine de sarılmaya devam ediyorum - Aksi halde kendimi öldüremem, acıtıyor, eziyet ediyor, geceleri uyumama izin vermiyor, bu yüzden pencere kenarında oturuyorum ve, bir dakika sonra illüzyonların işkencesinden yürek parçalayıcı bir şekilde çığlık atacağım. Yardım için sizinle iletişime geçmeli miyim? Kullanışsız. Aşkımı biliyorsun ama buna ihtiyacın yok, "ağzın ifade edilmemiş duygularla dolu." Aynı sorumsuzluk ağının içindeyiz ama birbirimize yardım edemiyoruz. Ellerinizi ince beyaz ipliklere ve çubuklara doluyor ve gerçekliğin sınırlarının ötesinde bir yere bakıyorsunuz ve Tanrı bilir kimin yardımını umuyorsunuz. Ve aramızda tek bir fark var: Sana olan aşkım neredeyse ayaklarımı yerden kesiyordu ve senin birine olan aşkın seni aldatıcı da olsa beklentiyle besliyor ve canlandırıyor. Artık sana bakmak istemiyorum, sen olma ihtimalini kalbimden uzaklaştırıyorum ama bu daha da acı veriyor. Böylece acı çekme sürecini fısıltıyla yaşıyor ve aynı zamanda Tanrı bilir kimin yardımını umuyor. Zaman?..

Hayatınız tam bir yalan, porno, gündelik yaşam, internet bağımlılığı ve cep telefonu köleliği. Peki, haksız mıyım? Söylesene, hiç gerçekten sıra dışı bir şey yaptın mı? Asla. Ve yapamazsın. Neden biliyor musun? Çünkü bunların hepsi konfor alanınızın dışında. Sen onun içine sıkışıp kalmışsın. Polipropilen torbadaki gibi. Sizler günlük yaşamın ve işin sınırları tarafından sıkıştırılmış et parçalarısınız. Yoksa yanılıyor muyum? Belki de ben hatalıyım? Beni düzelt.
Örneğin ilk tanıştığınız kişiye cep telefonunuzu verebilir misiniz? A? Zor bir soru. Bilgisayarınızdaki vidayı hemen formatlayabilir misiniz? Sersem? Kendine sıçtın mı? Bunu neden yapmadığını biliyor musun? Çünkü bu intiharla eşdeğerdir. O olmadan var olamazsın.

Yirmi sekiz uzun yıl geçirdi, üstelik yirmi sekiz kış geçirdi,

Bir sırrını sakladı ve ailede örnek bir kocaydı.
Her şey her zamanki gibi görünüyordu: Eşim akşam yemeğini hazırlıyordu...
Ama aniden kötü bir şey oldu: sırrı hatırladı.
Lahana çorbasının gürültüsüne ve ekşi kokusuna, sabah nişanlımın homurdanmasına,
Sanki dün olmuş gibi her şeyi en ince ayrıntısına kadar hatırlıyordu...
...Pencerenin yanında oturuyordu ve yumuşak, harika ay ışığı
Güzel silüetini soluk tonlara boyadı...
Teller omuzların üzerinden aktı, yılanlar gibi göğsün üzerine kaydı...
Ve aceleyle düşündü: "Bir gün onunla evleneceğim!"
Her şeyi en ince ayrıntısına kadar hatırlıyordu: Çizgilerin kıvrımları, dudakların yumuşaklığı...
Ve basit konuşmalarının sıcaklığı ve pencerenin dışındaki devasa meşe ağacı.
Bir avuç el... Bir bedenlerin birleşmesi... Bir çağlayan kahverengi saç...
Ve onun çılgına dönmesini, gözyaşlarına boğulmasını nasıl da istiyordu!
Bir dizi titrek itiraf, bunları kulağıma nasıl da fısıldamıştı!
Kulağının üstünde nefes alırken titreyen komik bir kıvrım...
Gece gibi ıslak gözlerle ona baktı.
Sözler şarap gibi sarhoş ediciydi: "Seni seviyorum... Bana bir kız ver..."
Sabah huzurunu kaybetti: telaşlandı, sonra sıkıldı...
Daha sonra eliyle yüzünü kapatarak bir sandalyeye oturdu ve sessiz kaldı.
Karısı her zamanki gibi homurdandı. Kaçak çorbayı azarladı...
Ve yaşlandıkça yılların ona yakışmadığını kaydetti.
Tıpkı beyaz rengin ve boyalı saç tellerinin ona yakışmadığı gibi.
Ve yirmi sekiz yıl boyunca her şey bir şekilde ciddi değildi...
Aniden ayağa fırladı, ceketini aldı ve şapkasını ve çoraplarını unuttu.
Yirmi sekiz yılın hepsi aynı değil... Yirmi sekiz kışın hepsi melankoliktir.
O evi buldum. Evin meşe ağacı var. Ok gibi merdivenlerden yukarı koştu...
Keşke soğuk dudakların titremesini ve o iğrenç korkaklığı durdurabilseydim!
Muhtemelen çay içiyor ve şalına sarınıyor...
Ve güzel gözlerinden sessiz bir hüzün akıyor...
Ya da belki örgü örmeye başladı? Ya da dantel örebilir miyiz?
Ona anlatacak o kadar çok şey var ki! Ve asıl önemli olan şunu söylemek: Üzgünüm...
Kapıyı açtı... Gözlerinde bir soru vardı. Yine yirmi yaşındaydı...
Bir çağlayan kahverengi saç... Yüreğe tanıdık gelen bir silüet...
Kulağın üstünde hafif bir kıvrılma var... Tıpkı yıllar önce olduğu gibi - tamamen aynı...
"Yanılmıyor musun?" “Hayır, yapamam... Sen Anya mısın?” Vera. Onun kızı…"
“Ya Anya?” - “Annem artık yok... Sen kimsin?” Arkasını döndü:
“Yirmi sekiz yıl onun yanına gittim…” - Seni bekliyordu… Yirmi beş…
Ne kadar başım dönüyor... Kalbim nasıl da göğsüme batıyor!
Ve onun sözlerini bir duayla hatırladı: "Gitme!"
Eğildi. Yürüyerek uzaklaştı. Ellerin birbirine geçmesi... Bedenlerin birleşmesi...
Seni seviyorum... Bana bir kız ver... Ama o gerçekten bir kız istiyordu.
Ne garip. Anya artık yok... Ağladım... Sessizliğe attım: "Seni çok, çok uzun yıllar seveceğim... Yalnız sen..."

Not: SEVGİYE DİKKAT EDİN; mutluluğunuzun temelidir...