Αρχικά ήθελα να συμπεριλάβω τεχνικές κοινού παρονομαστή στην ενότητα Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων. Αλλά αποδείχτηκε ότι υπήρχαν τόσες πολλές πληροφορίες και η σημασία τους είναι τόσο μεγάλη (εξάλλου, όχι μόνο τα αριθμητικά κλάσματα έχουν κοινούς παρονομαστές), που είναι καλύτερο να μελετήσουμε αυτό το θέμα ξεχωριστά.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Και θέλουμε να διασφαλίσουμε ότι οι παρονομαστές θα γίνουν οι ίδιοι. Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος έρχεται στη διάσωση, η οποία, να σας υπενθυμίσω, ακούγεται ως εξής:
Ένα κλάσμα δεν θα αλλάξει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν.
Έτσι, εάν επιλέξετε σωστά τους παράγοντες, οι παρονομαστές των κλασμάτων θα γίνουν ίσοι - αυτή η διαδικασία ονομάζεται αναγωγή σε κοινό παρονομαστή. Και οι απαιτούμενοι αριθμοί, «εξισορροπώντας» τους παρονομαστές, ονομάζονται πρόσθετοι παράγοντες.
Γιατί πρέπει να ανάγουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή; Εδώ είναι μόνο μερικοί λόγοι:
- Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
- Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
- Επίλυση προβλημάτων που αφορούν κλάσματα και ποσοστά. Τα ποσοστά είναι ουσιαστικά συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να βρείτε αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν με αυτούς, θα κάνουν τους παρονομαστές των κλασμάτων ίσους. Θα εξετάσουμε μόνο τρία από αυτά - με σειρά αυξανόμενης πολυπλοκότητας και, κατά μία έννοια, αποτελεσματικότητας.
Σταυρός πολλαπλασιασμός
Το πιο απλό και αξιόπιστο τρόπο, το οποίο εγγυάται την εξίσωση των παρονομαστών. Θα ενεργήσουμε «με τρόπο ακραίο»: πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσοι με το γινόμενο των αρχικών παρονομαστών. Ρίχνω μιά ματιά:
Ως πρόσθετους παράγοντες, λάβετε υπόψη τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:
Ναι, είναι τόσο απλό. Εάν μόλις αρχίζετε να μελετάτε τα κλάσματα, είναι καλύτερο να εργαστείτε χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο - με αυτόν τον τρόπο θα ασφαλιστείτε από πολλά λάθη και θα έχετε εγγυημένα το αποτέλεσμα.
Το μόνο μειονέκτημα αυτή τη μέθοδο- πρέπει να μετρήσετε πολύ, επειδή οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται "σε όλη τη διάρκεια" και το αποτέλεσμα μπορεί να είναι πολύ μεγάλους αριθμούς. Αυτό είναι το τίμημα που πρέπει να πληρώσετε για την αξιοπιστία.
Μέθοδος Κοινού Διαιρέτη
Αυτή η τεχνική βοηθά στη σημαντική μείωση των υπολογισμών, αλλά, δυστυχώς, χρησιμοποιείται αρκετά σπάνια. Η μέθοδος είναι η εξής:
- Πριν προχωρήσετε ευθεία (δηλαδή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σταυρωτής), ρίξτε μια ματιά στους παρονομαστές. Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) χωρίζεται στο άλλο.
- Ο αριθμός που προκύπτει από αυτή τη διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
- Σε αυτήν την περίπτωση, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - εδώ βρίσκεται η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Σημειώστε ότι 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Εφόσον και στις δύο περιπτώσεις ο ένας παρονομαστής διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με τον άλλο, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των κοινών παραγόντων. Έχουμε:
Σημειώστε ότι το δεύτερο κλάσμα δεν πολλαπλασιάστηκε με τίποτα απολύτως. Στην πραγματικότητα, μειώσαμε τον υπολογισμό στο μισό!
Παρεμπιπτόντως, δεν πήρα τα κλάσματα σε αυτό το παράδειγμα τυχαία. Αν σας ενδιαφέρει, δοκιμάστε να τα μετρήσετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διασταύρωσης. Μετά τη μείωση, οι απαντήσεις θα είναι οι ίδιες, αλλά θα υπάρχει πολύ περισσότερη δουλειά.
Αυτή είναι η δύναμη της μεθόδου κοινούς διαιρέτες, αλλά, επαναλαμβάνω, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στην περίπτωση που ο ένας από τους παρονομαστές διαιρείται με τον άλλο χωρίς υπόλοιπο. Κάτι που συμβαίνει αρκετά σπάνια.
Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος
Όταν ανάγουμε κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, ουσιαστικά προσπαθούμε να βρούμε έναν αριθμό που να διαιρείται με κάθε παρονομαστή. Στη συνέχεια φέρνουμε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων σε αυτόν τον αριθμό.
Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί και ο μικρότερος από αυτούς δεν θα είναι απαραιτήτως ίσος με το άμεσο γινόμενο των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων, όπως υποτίθεται στη μέθοδο «διασταυρούμενη».
Για παράδειγμα, για τους παρονομαστές 8 και 12, ο αριθμός 24 είναι αρκετά κατάλληλος, αφού 24: 8 = 3. 24: 12 = 2. Αυτός ο αριθμός είναι πολύ μικρότερος από το γινόμενο 8 · 12 = 96.
Ο μικρότερος αριθμός, που διαιρείται με καθέναν από τους παρονομαστές, ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους (LCM).
Σημείωση: Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a και b συμβολίζεται με LCM(a ; b) . Για παράδειγμα, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8, 12) = 24 .
Εάν καταφέρετε να βρείτε έναν τέτοιο αριθμό, το συνολικό ποσό των υπολογισμών θα είναι ελάχιστο. Δείτε τα παραδείγματα:
Εργο. Βρείτε τις έννοιες των εκφράσεων:
Σημειώστε ότι 234 = 117 2; 351 = 117 3. Οι παράγοντες 2 και 3 είναι συμπρωτάρηδες (δεν έχουν κοινούς παράγοντες εκτός από το 1) και ο παράγοντας 117 είναι κοινός. Επομένως LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Ομοίως, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Οι παράγοντες 3 και 4 είναι συνπρώτοι και ο παράγοντας 5 είναι κοινός. Επομένως LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:
Παρατηρήστε πόσο χρήσιμο ήταν να παραγοντοποιήσετε τους αρχικούς παρονομαστές:
- Έχοντας ανακαλύψει πανομοιότυπους παράγοντες, φτάσαμε αμέσως στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
- Από την επέκταση που προκύπτει μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" σε κάθε κλάσμα. Για παράδειγμα, 234 · 3 = 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.
Για να εκτιμήσετε πόση διαφορά κάνει η λιγότερο κοινή πολλαπλή μέθοδος, δοκιμάστε να υπολογίσετε αυτά τα ίδια παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη διασταυρούμενη μέθοδο. Φυσικά, χωρίς αριθμομηχανή. Νομίζω ότι μετά από αυτό τα σχόλια θα είναι περιττά.
Μην νομίζετε ότι δεν θα υπάρχουν τόσο σύνθετα κλάσματα στα πραγματικά παραδείγματα. Συναντιούνται συνεχώς, και οι παραπάνω εργασίες δεν είναι το όριο!
Το μόνο πρόβλημα είναι πώς να βρείτε αυτό ακριβώς το NOC. Μερικές φορές τα πάντα μπορούν να βρεθούν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, κυριολεκτικά "με το μάτι", αλλά γενικά αυτό είναι ένα πολύπλοκο υπολογιστικό έργο που απαιτεί ξεχωριστή εξέταση. Δεν θα το θίξουμε εδώ.
Για να αναγάγετε τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, πρέπει: 1) να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων, θα είναι ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής. 2) βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα διαιρώντας τον νέο παρονομαστή με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. 3) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.
Παραδείγματα. Να μειώσετε τα παρακάτω κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή.
Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: LCM(5; 4) = 20, αφού το 20 είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και με το 5 και με το 4. Βρείτε για το 1ο κλάσμα έναν επιπλέον παράγοντα 4 (20 : 5=4). Για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 5 (20 : 4=5). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 4 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 20 ).
Ελάχιστα κοινός παρονομαστήςαπό αυτά τα κλάσματα είναι ο αριθμός 8, αφού το 8 διαιρείται με το 4 και τον εαυτό του. Δεν θα υπάρχει πρόσθετος παράγοντας για το 1ο κλάσμα (ή μπορούμε να πούμε ότι είναι ίσος με ένα), για το 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 2 (8 : 4=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος επί 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 8 ).
Αυτά τα κλάσματα δεν είναι μη αναγώγιμα.
Ας μειώσουμε το 1ο κλάσμα κατά 4 και ας μειώσουμε το 2ο κλάσμα κατά 2. ( δείτε παραδείγματα για τη μείωση των συνηθισμένων κλασμάτων: Χάρτης ιστότοπου → 5.4.2. Παραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων). Βρείτε το LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το 1ο κλάσμα είναι 5 (80 : 16=5). Ο πρόσθετος παράγοντας για το 2ο κλάσμα είναι 4 (80 : 20=4). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 5 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 4. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 80 ).
Βρίσκουμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή NCD(5 ; 6 και 15)=NOK(5 ; 6 και 15)=30. Ο πρόσθετος παράγοντας στο 1ο κλάσμα είναι 6 (30 : 5=6), ο πρόσθετος παράγοντας στο 2ο κλάσμα είναι 5 (30 : 6=5), ο πρόσθετος παράγοντας στο 3ο κλάσμα είναι 2 (30 : 15=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 6, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 3ου κλάσματος με το 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 30 ).
Σελίδα 1 από 1 1
Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε τη μείωση των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή και θα λύσουμε προβλήματα σχετικά με αυτό το θέμα. Ας ορίσουμε την έννοια του κοινού παρονομαστή και ενός πρόσθετου παράγοντα και ας θυμηθούμε σχετικά πρώτους αριθμούς. Ας ορίσουμε την έννοια του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή (LCD) και ας λύσουμε μια σειρά προβλημάτων για να τον βρούμε.
Θέμα: Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Μάθημα: Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή
Επανάληψη. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.
Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικός αριθμός, τότε παίρνετε ένα κλάσμα ίσο με αυτό.
Για παράδειγμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος μπορούν να διαιρεθούν με το 2. Παίρνουμε το κλάσμα. Αυτή η πράξη ονομάζεται μείωση κλασμάτων. Μπορείτε επίσης να εκτελέσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος επί 2. Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι έχουμε αναγάγει το κλάσμα σε νέο παρονομαστή. Ο αριθμός 2 ονομάζεται πρόσθετος παράγοντας.
Σύναψη.Ένα κλάσμα μπορεί να αναχθεί σε οποιονδήποτε παρονομαστή που είναι πολλαπλάσιο του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος. Για να φέρουμε ένα κλάσμα σε έναν νέο παρονομαστή, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιάζονται με έναν πρόσθετο παράγοντα.
1. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 35.
Ο αριθμός 35 είναι πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή το 35 διαιρείται με το 7 χωρίς υπόλοιπο. Αυτό σημαίνει ότι αυτός ο μετασχηματισμός είναι δυνατός. Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το 35 με το 7. Παίρνουμε 5. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με το 5.
2. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 18.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον νέο παρονομαστή με τον αρχικό. Παίρνουμε 3. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος επί 3.
3. Μειώσε το κλάσμα σε παρονομαστή 60.
Η διαίρεση του 60 με το 15 δίνει έναν επιπλέον παράγοντα. Είναι ίσο με 4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 4.
4. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 24
Σε απλές περιπτώσεις, η αναγωγή σε νέο παρονομαστή γίνεται διανοητικά. Συνηθίζεται μόνο να υποδεικνύεται ο πρόσθετος παράγοντας πίσω από μια αγκύλη ελαφρώς προς τα δεξιά και πάνω από το αρχικό κλάσμα.
Ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε παρονομαστή 15 και ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε παρονομαστή 15. Τα κλάσματα έχουν επίσης κοινό παρονομαστή το 15.
Ο κοινός παρονομαστής των κλασμάτων μπορεί να είναι οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών τους. Για απλότητα, τα κλάσματα μειώνονται στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή. Είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δοσμένων κλασμάτων.
Παράδειγμα. Μείωση των κλασμάτων και στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή.
Αρχικά, ας βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων. Αυτός ο αριθμός είναι 12. Ας βρούμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το πρώτο και το δεύτερο κλάσματα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το 12 με το 4 και το 6. Τρεις είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα και δύο είναι για το δεύτερο. Ας φέρουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 12.
Φέραμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, βρήκαμε δηλαδή ίσα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
Κανόνας.Για να μειώσετε τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό τους παρονομαστή, πρέπει
Πρώτα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων, θα είναι ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής τους.
Δεύτερον, διαιρέστε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή με τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων, δηλ. βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
Τρίτον, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.
α) Να σμικρύνετε τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή.
Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι 12. Ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα είναι 4, για το δεύτερο - 3. Μειώνουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 24.
β) Να μειωθούν τα κλάσματα και σε κοινό παρονομαστή.
Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής είναι το 45. Διαιρώντας το 45 με το 9 δίνουμε το 5 και το 3, αντίστοιχα, ανάγουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 45.
γ) Να μειωθούν τα κλάσματα και σε κοινό παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής είναι 24. Οι πρόσθετοι παράγοντες είναι 2 και 3, αντίστοιχα.
Μερικές φορές μπορεί να είναι δύσκολο να βρούμε λεκτικά το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των δεδομένων κλασμάτων. Στη συνέχεια, ο κοινός παρονομαστής και οι πρόσθετοι παράγοντες βρίσκονται με χρήση πρώτων παραγοντοποίησης.
Μείωση των κλασμάτων και σε κοινό παρονομαστή.
Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 60 και 168 σε πρώτους παράγοντες. Ας γράψουμε την επέκταση του αριθμού 60 και ας προσθέσουμε τους παράγοντες που λείπουν 2 και 7 από τη δεύτερη επέκταση. Ας πολλαπλασιάσουμε το 60 με το 14 και πάρουμε κοινό παρονομαστή 840. Ο πρόσθετος παράγοντας για το πρώτο κλάσμα είναι 14. Ο πρόσθετος παράγοντας για το δεύτερο κλάσμα είναι 5. Ας φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή 840.
Αναφορές
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. και άλλα Μαθηματικά 6. - Μ.: Μνημοσύνη, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Μαθηματικά ΣΤ τάξης. - Γυμνάσιο, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών. - Διαφωτισμός, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Εργασίες για το μάθημα των μαθηματικών, τάξεις 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Μαθηματικά 5-6. Εγχειρίδιο για μαθητές της 6ης τάξης στο σχολείο αλληλογραφίας MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. και άλλα Μαθηματικά: Βιβλίο-συνομιλητής για τις τάξεις 5-6 γυμνάσιο. Βιβλιοθήκη δασκάλου μαθηματικών. - Διαφωτισμός, 1989.
Μπορείτε να κατεβάσετε τα βιβλία που καθορίζονται στην ενότητα 1.2. αυτού του μαθήματος.
Σχολική εργασία στο σπίτι
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. και άλλα Μαθηματικά 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (σύνδεσμος βλ. 1.2)
Εργασία για το σπίτι: Νο 297, Νο 298, Νο 300.
Άλλες εργασίες: Νο. 270, Νο. 290
Όταν προσθέτουμε και αφαιρούμε αλγεβρικά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τα κλάσματα οδηγούν πρώτα σε κοινός παρονομαστής. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκουν έναν παρονομαστή που διαιρείται με τον αρχικό παρονομαστή κάθε αλγεβρικού κλάσματος που περιλαμβάνεται στη δεδομένη έκφραση.
Όπως γνωρίζετε, εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Επομένως, όταν τα κλάσματα ανάγονται σε κοινό παρονομαστή, ουσιαστικά πολλαπλασιάζουν τον αρχικό παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον παράγοντα που λείπει για να ληφθεί ένας κοινός παρονομαστής. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον παράγοντα (είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα).
Για παράδειγμα, δίνεται το ακόλουθο άθροισμα αλγεβρικών κλασμάτων:
Απαιτείται η απλοποίηση της έκφρασης, δηλαδή η προσθήκη δύο αλγεβρικών κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, πρώτα απ 'όλα, πρέπει να φέρετε τους όρους του κλάσματος σε έναν κοινό παρονομαστή. Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε ένα μονώνυμο που να διαιρείται με το 3x και το 2y. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επιθυμητό να είναι το μικρότερο, δηλαδή να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) για 3x και 2y.
Για αριθμητικούς συντελεστές και μεταβλητές, το LCM αναζητείται χωριστά. LCM(3, 2) = 6, και LCM(x, y) = xy. Στη συνέχεια, οι τιμές που βρέθηκαν πολλαπλασιάζονται: 6xy.
Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε με ποιον παράγοντα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε 3x για να πάρουμε 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Αυτό σημαίνει ότι όταν ανάγεται το πρώτο αλγεβρικό κλάσμα σε κοινό παρονομαστή, ο αριθμητής του πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2y (ο παρονομαστής έχει ήδη πολλαπλασιαστεί όταν ανάγεται σε κοινό παρονομαστή). Ο πολλαπλασιαστής για τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος αναζητείται με παρόμοιο τρόπο. Θα είναι ίσο με 3x.
Έτσι παίρνουμε: 
Στη συνέχεια, μπορείτε να προχωρήσετε όπως με τα κλάσματα με ίδιοι παρονομαστές: προστίθενται οι αριθμητές και γράφεται ένας κοινός παρονομαστής: 
Μετά από μετασχηματισμούς, προκύπτει μια απλοποιημένη έκφραση, η οποία είναι μία αλγεβρικό κλάσμα, που είναι το άθροισμα δύο αρχικών: 
Τα αλγεβρικά κλάσματα στην αρχική έκφραση μπορεί να περιέχουν παρονομαστές που είναι πολυώνυμα και όχι μονώνυμα (όπως στο παραπάνω παράδειγμα). Σε αυτήν την περίπτωση, πριν αναζητήσετε έναν κοινό παρονομαστή, θα πρέπει να συνυπολογίσετε τους παρονομαστές (αν είναι δυνατόν). Στη συνέχεια, ο κοινός παρονομαστής συλλέγεται από διαφορετικούς παράγοντες. Εάν ο πολλαπλασιαστής είναι σε πολλούς αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται μία φορά. Εάν ο πολλαπλασιαστής έχει διαφορετικές δυνάμεις στους αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται με τον μεγαλύτερο. Για παράδειγμα: 
Εδώ το πολυώνυμο a 2 – b 2 μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο (a – b)(a + b). Ο παράγοντας 2a – 2b διευρύνεται ως 2(a – b). Έτσι, ο κοινός παρονομαστής θα είναι 2(a – b)(a + b).
