วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ
ความเกี่ยวข้อง ในอดีต สมการตรีโกณมิติและอสมการได้รับความสนใจมากที่สุด สถานที่พิเศษในหลักสูตรของโรงเรียน เราสามารถพูดได้ว่าตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในส่วนที่สำคัญที่สุดของหลักสูตรของโรงเรียนและวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป
สมการตรีโกณมิติและอสมการครอบครองหนึ่งในศูนย์กลางในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาทั้งในแง่ของเนื้อหาของสื่อการศึกษาและวิธีการของกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจที่สามารถและควรเกิดขึ้นระหว่างการศึกษาและนำไปใช้กับการแก้ปัญหา จำนวนมากปัญหาทางทฤษฎีและลักษณะประยุกต์
สารละลาย สมการตรีโกณมิติและความไม่เท่าเทียมกันทำให้เกิดข้อกำหนดเบื้องต้นในการจัดระบบความรู้ของนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับทุกสิ่ง สื่อการศึกษาในวิชาตรีโกณมิติ (เช่น คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วิธีการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ ฯลฯ) และทำให้สามารถสร้างการเชื่อมต่อที่มีประสิทธิภาพกับเนื้อหาที่ศึกษาในพีชคณิต (สมการ ความเท่าเทียมกันของสมการ อสมการ การแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน ฯลฯ .)
กล่าวอีกนัยหนึ่ง การพิจารณาเทคนิคในการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการเกี่ยวข้องกับการถ่ายทอดทักษะเหล่านี้ไปยังเนื้อหาใหม่
ความสำคัญของทฤษฎีและการประยุกต์มากมายเป็นข้อพิสูจน์ถึงความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่เลือก ซึ่งจะช่วยให้คุณกำหนดเป้าหมาย วัตถุประสงค์ และหัวข้อการวิจัยของงานในหลักสูตรได้
วัตถุประสงค์ของการศึกษา: สรุปประเภทอสมการตรีโกณมิติที่มีอยู่วิธีการพื้นฐานและพิเศษในการแก้ปัญหาเลือกชุดปัญหาสำหรับการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติโดยเด็กนักเรียน
วัตถุประสงค์ของการวิจัย:
1. จากการวิเคราะห์วรรณกรรมที่มีอยู่ในหัวข้อการวิจัย จัดระบบเนื้อหา
2. จัดเตรียมชุดงานที่จำเป็นในการรวมหัวข้อ “อสมการตรีโกณมิติ”
วัตถุประสงค์ของการศึกษา เป็นอสมการตรีโกณมิติในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน
หัวข้อการศึกษา: ประเภทของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้ไข
นัยสำคัญทางทฤษฎี คือการจัดระบบวัสดุ
นัยสำคัญในทางปฏิบัติ: การประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในการแก้ปัญหา การวิเคราะห์วิธีการทั่วไปหลักในการแก้อสมการตรีโกณมิติ
วิธีการวิจัย : การวิเคราะห์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ การสังเคราะห์และสรุปความรู้ที่ได้รับ การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหางาน การค้นหา วิธีการที่เหมาะสมที่สุดการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
§1. ประเภทของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหา
1.1. อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
นิพจน์ตรีโกณมิติสองนิพจน์ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายหรือ > เรียกว่าอสมการตรีโกณมิติ
การแก้อสมการตรีโกณมิติหมายถึงการค้นหาชุดของค่าที่ไม่รู้จักซึ่งรวมอยู่ในอสมการที่ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ
ส่วนหลักของอสมการตรีโกณมิติได้รับการแก้ไขโดยการลดให้เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด:
นี่อาจเป็นวิธีการแยกตัวประกอบ การเปลี่ยนแปลงตัวแปร ( 
, 
ฯลฯ) โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันตามปกติได้รับการแก้ไขก่อน จากนั้นจึงแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม 
ฯลฯ หรือวิธีการอื่นๆ
อสมการที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้สองวิธี: การใช้วงกลมหนึ่งหน่วยหรือแบบกราฟิก
อนุญาตฉ(x
– หนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 
ก็เพียงพอที่จะค้นหาวิธีแก้ปัญหาในช่วงเวลาหนึ่งนั่นคือ บนส่วนใดๆ ที่มีความยาวเท่ากับคาบของฟังก์ชันฉ
x
- จากนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันแบบเดิมทั้งหมดx
เช่นเดียวกับค่าเหล่านั้นที่แตกต่างจากค่าที่พบตามจำนวนงวดของฟังก์ชันจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ จะสะดวกในการใช้วิธีการแบบกราฟิก
ให้เรายกตัวอย่างอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการ 
(
) และ 
.
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการ (
).
1. กำหนดนิยามของไซน์ของตัวเลขx บนวงกลมหน่วย
3. บนแกนกำหนด ให้ทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัดก .
4. ลากเส้นขนานกับแกน OX ผ่านจุดนี้และทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยวงกลม
5. เลือกส่วนโค้งของวงกลม โดยทุกจุดจะมีพิกัดน้อยกว่าก .
6. ระบุทิศทางของวงกลม (ทวนเข็มนาฬิกา) แล้วเขียนคำตอบโดยบวกคาบของฟังก์ชันที่ปลายช่วงเวลา2πn
,
.
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการ .
1. กำหนดนิยามแทนเจนต์ของตัวเลขx บนวงกลมหน่วย
2. วาดวงกลมหนึ่งหน่วย
3. วาดเส้นแทนเจนต์และทำเครื่องหมายจุดที่มีการกำหนดไว้ก .
4. เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดเริ่มต้นและทำเครื่องหมายจุดตัดของส่วนผลลัพธ์ด้วยวงกลมหน่วย
5. เลือกส่วนโค้งของวงกลม โดยทุกจุดจะมีพิกัดบนเส้นสัมผัสกันน้อยกว่าก .
6. ระบุทิศทางของการเคลื่อนที่และเขียนคำตอบโดยคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันโดยเพิ่มจุดπn
,
(ตัวเลขด้านซ้ายในรายการจะเป็นเสมอ จำนวนน้อยลงยืนทางขวา)
การตีความแบบกราฟิกของการแก้สมการและสูตรอย่างง่ายสำหรับการแก้อสมการ ปริทัศน์ระบุไว้ในภาคผนวก (ภาคผนวก 1 และ 2)
ตัวอย่างที่ 1
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 
.
ลากเส้นตรงบนวงกลมหนึ่งหน่วย 
ซึ่งตัดวงกลมที่จุด A และ B
ความหมายทั้งหมดย
ในช่วงเวลา NM มีค่ามากกว่า
ทุกจุดของส่วนโค้ง AMB เป็นไปตามอสมการนี้ ทุกมุมการหมุนขนาดใหญ่ 
แต่เล็กกว่า 
,
จะรับเอาคุณค่าที่มากขึ้น
(แต่ไม่เกินหนึ่ง)
รูปที่ 1
ดังนั้นการแก้อสมการจะเป็นค่าทั้งหมดในช่วงเวลานั้น 
, เช่น. 
- เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดสำหรับอสมการนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกเข้ากับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลานี้ 
, ที่ไหน 
, เช่น. 
,
.
โปรดทราบว่าค่าต่างๆ 
และ 
คือรากของสมการ 
,
เหล่านั้น. 
;
.
คำตอบ: 
, .
1.2. วิธีการแบบกราฟิก
ในทางปฏิบัติ วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติแบบกราฟิกมักจะมีประโยชน์ ให้เราพิจารณาสาระสำคัญของวิธีการโดยใช้ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกัน 
:
1. ถ้าข้อโต้แย้งมีความซับซ้อน (แตกต่างจากเอ็กซ์ ) จากนั้นแทนที่ด้วยที .
2. เราสร้างในระนาบพิกัดเดียวของเล่น
กราฟฟังก์ชัน 
และ 
.
3. เราพบสิ่งนี้จุดตัดกันสองจุดที่อยู่ติดกันของกราฟซึ่งระหว่างนั้นคลื่นไซน์ตั้งอยู่สูงกว่า
ตรง - เราพบจุดขาดของจุดเหล่านี้
4. เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับการโต้แย้งที โดยคำนึงถึงคาบโคไซน์ (ที จะอยู่ระหว่างฝีที่พบ)
5. ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ (กลับไปที่อาร์กิวเมนต์ดั้งเดิม) และแสดงค่าเอ็กซ์ จากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เราเขียนคำตอบในรูปของช่วงตัวเลข
ตัวอย่างที่ 2 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: .
เมื่อแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันให้แม่นยำที่สุด มาแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบ:
เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเดียวกันดีกว่า 
และ 
(รูปที่ 2)
รูปที่ 2
กราฟของฟังก์ชันตัดกันที่จุดก
พร้อมพิกัด 
; 
- ในระหว่าง 
จุดกราฟ 
ใต้จุดกราฟ 
- และเมื่อ ค่าฟังก์ชันจะเหมือนกัน นั่นเป็นเหตุผล ที่ 
.
คำตอบ: 
.
1.3. วิธีพีชคณิต
บ่อยครั้ง อสมการตรีโกณมิติดั้งเดิมสามารถลดลงเป็นอสมการเชิงพีชคณิต (เชิงตรรกศาสตร์หรืออตรรกยะ) ผ่านการแทนที่ที่เลือกมาอย่างดี วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกัน การแนะนำการทดแทน หรือการแทนที่ตัวแปร
ลองดูตัวอย่างเฉพาะของการประยุกต์ใช้วิธีนี้
ตัวอย่างที่ 3
ลดขนาดให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด 
.
(รูปที่ 3)
รูปที่ 3
, 
.
คำตอบ: 
,
ตัวอย่างที่ 4 แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
ODZ: 
, 
.
การใช้สูตร: 
, 
ลองเขียนอสมการในรูปแบบ: 
.
หรือเชื่อ 
หลังจากการแปลงอย่างง่าย ๆ ที่เราได้รับ
,
,
.
เราได้รับสมการแก้อสมการสุดท้ายโดยใช้วิธีช่วงเวลา:
รูปที่ 4
ตามลำดับ 
- แล้วจากรูป.. 4 ตามมา 
, ที่ไหน 
.
รูปที่ 5
คำตอบ: 
, 
.
1.4. วิธีช่วงเวลา
โครงการทั่วไปการแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วิธีช่วงเวลา:
แยกตัวประกอบโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ
ค้นหาจุดไม่ต่อเนื่องและศูนย์ของฟังก์ชันแล้ววางลงบนวงกลม
เอาจุดไหนก็ได้ถึง (แต่ไม่พบก่อนหน้านี้) และค้นหาสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ หากผลคูณเป็นบวก ให้วางจุดนอกวงกลมหน่วยบนรังสีที่สอดคล้องกับมุม มิฉะนั้นให้วางจุดนั้นไว้ภายในวงกลม
หากจุดหนึ่งเกิดขึ้นเป็นจำนวนคู่ เราจะเรียกมันว่าจุดของการคูณเลขคู่ หากเป็นจำนวนคี่ เราจะเรียกมันว่าจุดของการคูณเลขคี่ วาดส่วนโค้งดังนี้: เริ่มจากจุดถึง ถ้าจุดถัดไปมีหลายหลากเป็นเลขคี่ ส่วนโค้งจะตัดวงกลมที่จุดนี้ แต่ถ้าจุดนั้นมีหลายหลากคู่ ส่วนโค้งจะไม่ตัดกัน
ส่วนโค้งด้านหลังวงกลมเป็นช่วงที่เป็นบวก ภายในวงกลมมีช่องว่างเชิงลบ
ตัวอย่างที่ 5 แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
, 
.
ประเด็นของซีรีส์แรก: 
.
ประเด็นของซีรีส์ที่สอง: 
.
แต่ละจุดเกิดขึ้นเป็นจำนวนคี่ กล่าวคือ ทุกจุดมีหลายหลากเป็นคี่
ให้เราค้นหาสัญลักษณ์ของสินค้าได้ที่ 
- ทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดบนวงกลมหน่วย (รูปที่ 6):
ข้าว. 6
คำตอบ: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
ตัวอย่างที่ 6 - แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน.
สารละลาย:
ลองหาศูนย์ของนิพจน์กัน .
รับเอ้ม :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
บนค่าอนุกรมหน่วยวงกลมเอ็กซ์
1
แสดงด้วยจุด 
- ชุดเอ็กซ์
2
ให้คะแนน 
- ชุดเอ็กซ์
3
เราได้สองแต้ม 
- ในที่สุดก็มีซีรีส์เอ็กซ์
4
จะเป็นตัวแทนของคะแนน 
- ลองพลอตจุดทั้งหมดเหล่านี้บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยระบุความหลายหลากในวงเล็บถัดจากแต่ละจุด
ตอนนี้ให้หมายเลข 
จะเท่ากัน ลองประมาณตามสัญลักษณ์:
งั้นก็หยุดให้เต็มที่ก
ควรเลือกบนรังสีที่สร้างมุม 
ด้วยลำแสงโอ้,
นอกวงกลมหน่วย (โปรดทราบว่าลำแสงเสริมเกี่ยวกับ
ก
ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องบรรยายเป็นภาพ จุดก
จะถูกเลือกโดยประมาณ)
ตอนนี้จากจุดก
ลากเส้นหยักอย่างต่อเนื่องตามลำดับไปยังจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด และตามจุดต่างๆ เส้นของเราไปจากพื้นที่หนึ่งไปอีกพื้นที่หนึ่ง: ถ้าอยู่นอกวงกลมหน่วยก็จะเข้าไปข้างใน เข้าใกล้จุด 
เส้นจะย้อนกลับไปยังบริเวณด้านใน เนื่องจากจุดหลายหลากของจุดนี้เป็นเลขคู่ ในทำนองเดียวกัน ณ จุดนั้น 
(ที่มีหลายหลากคู่) จะต้องหมุนเส้นไปทางด้านนอก ดังนั้นเราจึงวาดภาพบางอย่างที่แสดงในรูปที่. 7. ช่วยเน้นบริเวณที่ต้องการบนวงกลมหน่วย มีเครื่องหมาย "+" กำกับไว้
รูปที่ 7
คำตอบสุดท้าย:
บันทึก. หากเส้นหยักหลังจากข้ามจุดทั้งหมดที่ระบุไว้ในวงกลมหน่วยแล้ว ไม่สามารถกลับไปยังจุดนั้นได้ก , โดยไม่ต้องข้ามวงกลมในตำแหน่งที่ "ผิดกฎหมาย" ซึ่งหมายความว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการแก้ปัญหา กล่าวคือ พลาดรากจำนวนคี่
คำตอบ: .
§2 ชุดปัญหาสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ
ในกระบวนการพัฒนาความสามารถของเด็กนักเรียนในการแก้อสมการตรีโกณมิติสามารถแยกแยะได้ 3 ขั้นตอน
1. เตรียมความพร้อม
2. การพัฒนาความสามารถในการแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
3. การแนะนำอสมการตรีโกณมิติประเภทอื่น
วัตถุประสงค์ของขั้นตอนการเตรียมการคือจำเป็นต้องพัฒนาความสามารถในการใช้วงกลมหรือกราฟตรีโกณมิติในเด็กนักเรียนเพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันกล่าวคือ:
ความสามารถในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มอย่างง่าย ,
, ,
,
การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ความสามารถในการสร้างอสมการสองเท่าสำหรับส่วนโค้งของวงกลมจำนวนหรือส่วนโค้งของกราฟของฟังก์ชัน
ความสามารถในการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติต่างๆ
ขอแนะนำให้ดำเนินการขั้นตอนนี้ในกระบวนการจัดระบบความรู้ของเด็กนักเรียนเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วิธีการหลักอาจเป็นงานที่เสนอให้กับนักเรียนและดำเนินการภายใต้คำแนะนำของครูหรือโดยอิสระตลอดจนทักษะที่พัฒนาในการแก้สมการตรีโกณมิติ
นี่คือตัวอย่างของงานดังกล่าว:
1
- ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมหน่วย 
, ถ้า
.
2.
จุดนั้นอยู่ที่ไตรมาสใดของระนาบพิกัด? , ถ้า 
เท่ากับ: 
3.
ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ , ถ้า:
4. แปลงนิพจน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติฉันไตรมาส
ก) 
,
ข) 
,
วี) 
5. MR ส่วนโค้งจะได้รับม - กลางฉัน-ไตรมาสที่ 1ร - กลางครั้งที่สองไตรมาสที่ 3 จำกัดค่าของตัวแปรที สำหรับ: (สร้างความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า) a) arc MR; b) ส่วนโค้ง RM
6. เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับส่วนที่เลือกของกราฟ:
ข้าว. 1
7.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 
, 
, 
, 
.
8. แปลงนิพจน์ .
ในขั้นตอนที่สองของการเรียนรู้เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติเราสามารถเสนอคำแนะนำต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับระเบียบวิธีในการจัดกิจกรรมของนักเรียน ในกรณีนี้ มีความจำเป็นต้องมุ่งเน้นไปที่ทักษะที่มีอยู่ของนักเรียนในการทำงานกับวงกลมหรือกราฟตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นพร้อมกับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ประการแรก กระตุ้นความเป็นไปได้ในการได้รับ การรับเข้าเรียนทั่วไปวิธีแก้ปัญหาของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนค่าอสมการของแบบฟอร์ม เช่น 
.
โดยใช้ความรู้และทักษะที่ได้รับจาก ขั้นตอนการเตรียมการนักศึกษาจะลดความไม่เท่าเทียมกันที่เสนอให้อยู่ในรูปแบบ 
แต่อาจพบว่าเป็นการยากที่จะหาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเพราะว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้มันโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์เท่านั้น ความยากลำบากนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยหันไปใช้ภาพประกอบที่เหมาะสม (การแก้สมการแบบกราฟิกหรือใช้วงกลมหน่วย)
ประการที่สอง ครูควรดึงดูดความสนใจของนักเรียน วิธีต่างๆทำงานให้เสร็จยกตัวอย่างที่เหมาะสมในการแก้ไขอสมการทั้งแบบกราฟิกและการใช้วงกลมตรีโกณมิติ
ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ .
1. แก้อสมการโดยใช้วงกลมหน่วย
ในบทเรียนแรกเกี่ยวกับการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราจะเสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหาโดยละเอียดแก่นักเรียน ซึ่งในการนำเสนอทีละขั้นตอนจะสะท้อนถึงทักษะพื้นฐานทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน
ขั้นตอนที่ 1.ลองวาดวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วทำเครื่องหมายจุดบนแกนกำหนด 
แล้วลากเส้นตรงผ่านมันขนานกับแกน x เส้นนี้จะตัดวงกลมหน่วยที่จุดสองจุด แต่ละจุดเหล่านี้แสดงถึงตัวเลขที่มีไซน์เท่ากับ .
ขั้นตอนที่ 2.เส้นตรงนี้แบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนโค้ง ให้เราเลือกอันที่แสดงตัวเลขที่มีไซน์มากกว่า - โดยธรรมชาติแล้วส่วนโค้งนี้จะอยู่เหนือเส้นตรงที่วาดไว้
ข้าว. 2
ขั้นตอนที่ 3เลือกปลายด้านหนึ่งของส่วนโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ ลองเขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งที่แสดงโดยจุดนี้ของวงกลมหน่วย 
.
ขั้นตอนที่ 4ในการเลือกหมายเลขที่ตรงกับปลายที่สองของส่วนโค้งที่เลือก เราจะ "เดิน" ไปตามส่วนโค้งนี้จากปลายที่มีชื่อไปยังอีกด้านหนึ่ง ในขณะเดียวกัน ให้จำไว้ว่าเวลาเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ตัวเลขที่เราผ่านจะเพิ่มขึ้น (เมื่อเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม ตัวเลขจะลดลง) ลองเขียนตัวเลขที่ปรากฎบนวงกลมหน่วยตรงปลายที่สองของส่วนโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ 
.
ดังนั้นเราจึงเห็นความไม่เท่าเทียมกันนั้น ตอบสนองตัวเลขที่อสมการเป็นจริง 
- เราแก้ไขอสมการของตัวเลขที่อยู่ในคาบเดียวกันของฟังก์ชันไซน์ ดังนั้นคำตอบทั้งหมดของอสมการจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบ 
ควรขอให้นักเรียนตรวจสอบภาพวาดอย่างรอบคอบ และหาคำตอบว่าเหตุใดจึงแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดได้ สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้ 
, 
.
ข้าว. 3
จำเป็นต้องดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ความจริงที่ว่าเมื่อแก้ไขอสมการของฟังก์ชันโคไซน์เราจะวาดเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด
วิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการ
เราสร้างกราฟ 
และ 
เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนั้นแล้ว 
.
ข้าว. 4
จากนั้นเราก็เขียนสมการ 
และการตัดสินใจของเขา 
, 
, 
พบว่าใช้สูตร 
, 
, 
.
(การให้n
ค่า 0, 1, 2 เราจะพบรากทั้งสามของสมการที่คอมไพล์แล้ว) ค่านิยม 
คือจุดตัดกันสามจุดติดต่อกันของจุดตัดของกราฟ และ - แน่นอนว่าต้องเว้นระยะห่างเสมอ 
ความไม่เท่าเทียมกันถือ 
และตามช่วงเวลา 
– ความไม่เท่าเทียมกัน 
- เราสนใจในกรณีแรก แล้วบวกเข้ากับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลานี้ด้วยตัวเลขที่เป็นผลคูณของคาบของไซน์ เราจะได้คำตอบของอสมการ เช่น: 
, .
ข้าว. 5
สรุป. เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน คุณต้องสร้างสมการที่เกี่ยวข้องแล้วแก้สมการนั้น ค้นหารากจากสูตรผลลัพธ์ 
และ 
และเขียนคำตอบของอสมการในรูปแบบ: , .
ประการที่สาม ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับชุดรากของอสมการตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันนั้นได้รับการยืนยันอย่างชัดเจนมากเมื่อทำการแก้ไขแบบกราฟิก
ข้าว. 6
จำเป็นต้องแสดงให้นักเรียนเห็นว่าการเลี้ยวซึ่งเป็นคำตอบของอสมการนั้นเกิดขึ้นซ้ำๆ ในช่วงเวลาเดียวกัน ซึ่งเท่ากับคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณยังสามารถพิจารณาภาพประกอบที่คล้ายกันสำหรับกราฟของฟังก์ชันไซน์ได้
ประการที่สี่ ขอแนะนำให้ดำเนินการอัปเดตเทคนิคของนักเรียนในการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลิตภัณฑ์ และเพื่อดึงความสนใจของนักเรียนไปยังบทบาทของเทคนิคเหล่านี้ในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ
งานดังกล่าวสามารถจัดระเบียบได้โดยการทำงานที่ครูเสนอโดยอิสระโดยอิสระของนักเรียน โดยที่เราเน้นสิ่งต่อไปนี้:
ประการที่ห้า นักเรียนจะต้องแสดงวิธีแก้ปัญหาของอสมการตรีโกณมิติอย่างง่ายแต่ละอย่างโดยใช้กราฟหรือวงกลมตรีโกณมิติ คุณควรใส่ใจกับความได้เปรียบของมันอย่างแน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้วงกลม เนื่องจากเมื่อแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ ภาพประกอบที่เกี่ยวข้องจะทำหน้าที่ได้ดีมาก วิธีที่สะดวกการแก้ไขชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด
ขอแนะนำให้นักเรียนรู้จักวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดตามรูปแบบต่อไปนี้: เปลี่ยนเป็นอสมการตรีโกณมิติเฉพาะหันไปใช้สมการตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน ค้นหาร่วม (ครู - นักเรียน) เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา วิธีที่พบกับอสมการอื่นที่เป็นประเภทเดียวกัน
เพื่อจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตรีโกณมิติ เราขอแนะนำให้เลือกความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวเป็นพิเศษ ซึ่งการแก้ปัญหานั้นจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ที่สามารถนำไปใช้ในกระบวนการแก้ปัญหาได้ และเน้นความสนใจของนักเรียนไปที่คุณลักษณะของพวกเขา
เนื่องจากความไม่เท่าเทียมทางประสิทธิผลดังกล่าว เราสามารถเสนอได้ เช่น ต่อไปนี้:
โดยสรุป เรายกตัวอย่างชุดปัญหาสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ
1. แก้อสมการ:
2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: 3. ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาอสมการทั้งหมด: 4. ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาอสมการทั้งหมด:ก) 
, เป็นไปตามเงื่อนไข 
;
ข) 
, เป็นไปตามเงื่อนไข 
.
5. ค้นหาวิธีแก้ไขอสมการทั้งหมด:
ก) ;
ข) ;
วี) 
;
ช) 
;
ง) 
.
6. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) ;
ข) ;
วี) ;
ช) 
;
ง) ;
จ) ;
และ) 
.
7. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) 
;
ข) ;
วี) ;
ช) .
8. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) ;
ข) ;
วี) ;
ช) 
;
ง) 
;
จ) ;
และ) 
;
ชม) .
ขอแนะนำให้เสนองานที่ 6 และ 7 ให้กับนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์ในระดับสูง งานที่ 8 ให้กับนักเรียนในชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง
§3 วิธีการพิเศษคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ
วิธีพิเศษในการแก้สมการตรีโกณมิติ - นั่นคือวิธีการเหล่านั้นที่สามารถใช้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น วิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตลอดจนการใช้สูตรและอัตลักษณ์ตรีโกณมิติต่างๆ
3.1. วิธีการภาค
ลองพิจารณาวิธีการเซกเตอร์สำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม 
, ที่ไหนป
(
x
)
และถาม
(
x
)
– ฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงตรรกยะ (ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์รวมอยู่ในเหตุผลแล้ว) คล้ายกับการแก้อสมการเชิงตรรกยะ สะดวกในการแก้อสมการเชิงตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลาบนเส้นจำนวน อะนาล็อกในการแก้อสมการตรีโกณมิติเชิงตรรกยะคือวิธีการของเซกเตอร์ในวงกลมตรีโกณมิติสำหรับบาป
และคอกซ์
(
) หรือครึ่งวงกลมตรีโกณมิติสำหรับทีจีเอ็กซ์
และซีทีจีเอ็กซ์
(
).
ในวิธีช่วงเวลา แต่ละปัจจัยเชิงเส้นของตัวเศษและส่วนของแบบฟอร์ม 
บนแกนตัวเลขตรงกับจุด 
และเมื่อผ่านจุดนี้ไปแล้ว เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง ในวิธีการเซกเตอร์แต่ละแฟคเตอร์จะมีรูปแบบ 
, ที่ไหน 
- หนึ่งในฟังก์ชั่นบาป
หรือคอกซ์
และ 
ในวงกลมตรีโกณมิติจะมีมุมสองมุมตรงกัน 
และ 
ซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน เมื่อผ่าน และ การทำงาน เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง
ต้องจำสิ่งต่อไปนี้:
ก) ปัจจัยของรูปแบบ 
และ 
, ที่ไหน 
, คงเครื่องหมายไว้ทุกค่า 
- ตัวประกอบของตัวเศษและส่วนดังกล่าวจะถูกยกเลิกโดยการเปลี่ยน (ถ้า 
) ในการปฏิเสธแต่ละครั้ง เครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันจะกลับกัน
b) ปัจจัยของรูปแบบ 
และ 
ก็ถูกทิ้งเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น หากสิ่งเหล่านี้เป็นตัวประกอบของตัวส่วน อสมการในรูปแบบนี้จะถูกบวกเข้ากับระบบอสมการที่เทียบเท่ากัน 
และ 
- หากสิ่งเหล่านี้เป็นปัจจัยของตัวเศษ ในระบบข้อจำกัดที่เทียบเท่า ค่าเหล่านี้จะสอดคล้องกับอสมการ และ ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันเริ่มต้นที่เข้มงวดและความเท่าเทียมกัน 
และ 
ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันเริ่มต้นที่ไม่เข้มงวด เมื่อละทิ้งตัวคูณ 
หรือ 
เครื่องหมายอสมการกลับด้าน
ตัวอย่างที่ 1
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) 
, ข) 
.
เรามีฟังก์ชัน b) . แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เรามี
3.2. วิธีวงกลมศูนย์กลาง
วิธีนี้เป็นอะนาล็อกของวิธีแกนจำนวนขนานสำหรับการแก้ระบบอสมการเชิงตรรกยะ
ลองพิจารณาตัวอย่างของระบบความไม่เท่าเทียมกัน
ตัวอย่างที่ 5
แก้ระบบอสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย 
ขั้นแรก เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน (รูปที่ 5) ที่มุมขวาบนของรูป เราจะระบุว่ากำลังพิจารณาอาร์กิวเมนต์ใดที่วงกลมตรีโกณมิติกำลังพิจารณา
รูปที่ 5
ต่อไป เราจะสร้างระบบวงกลมศูนย์กลางสำหรับการโต้แย้งเอ็กซ์ - เราวาดวงกลมและแรเงาตามวิธีแก้ปัญหาของอสมการแรก จากนั้นเราวาดวงกลมที่มีรัศมีใหญ่กว่าและแรเงาตามวิธีแก้ปัญหาของอสมการที่สอง จากนั้นเราสร้างวงกลมสำหรับอสมการที่สามและวงกลมฐาน เราวาดรังสีจากศูนย์กลางของระบบผ่านปลายส่วนโค้งเพื่อให้พวกมันตัดกันวงกลมทั้งหมด เราสร้างวิธีแก้ปัญหาบนวงกลมฐาน (รูปที่ 6)
รูปที่ 6
คำตอบ:
, 
.
บทสรุป
งานทั้งหมด การวิจัยหลักสูตรเสร็จสมบูรณ์ เนื้อหาทางทฤษฎีได้รับการจัดระบบ: ประเภทหลักของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการหลักในการแก้ปัญหาจะได้รับ (กราฟิก, พีชคณิต, วิธีช่วงเวลา, เซกเตอร์และวิธีการวงกลมศูนย์กลาง) มีตัวอย่างการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันสำหรับแต่ละวิธี ภาคทฤษฎีตามมาด้วยภาคปฏิบัติ ประกอบด้วยชุดงานสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ
นักเรียนสามารถใช้รายวิชานี้เพื่อ งานอิสระ- เด็กนักเรียนสามารถตรวจสอบระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อนี้และฝึกฝนการทำงานที่มีความซับซ้อนต่างกันให้สำเร็จ
เมื่อศึกษาวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องในประเด็นนี้แล้ว เราสามารถสรุปได้ชัดเจนว่าความสามารถและทักษะในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติในหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นมีความสำคัญมากการพัฒนาซึ่งต้องใช้ความพยายามอย่างมากในส่วนของครูคณิตศาสตร์
นั่นเป็นเหตุผล งานนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับครูคณิตศาสตร์เนื่องจากสามารถจัดฝึกอบรมนักเรียนในหัวข้อ “อสมการตรีโกณมิติ” ได้อย่างมีประสิทธิภาพ
การวิจัยสามารถดำเนินต่อไปได้โดยการขยายไปสู่งานที่มีคุณสมบัติครบถ้วนขั้นสุดท้าย.
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว
โบโกโมลอฟ, N.V. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / N.V. โบโกโมลอฟ. – อ.: อีแร้ง, 2552. – 206 น.
Vygodsky, M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา [ข้อความ] / ม.ย. วีก็อดสกี้ – อ.: อีแร้ง, 2549. – 509 น.
Zhurbenko, L.N. คณิตศาสตร์ในตัวอย่างและโจทย์ [ข้อความ] / L.N. ซูร์เบนโก. – อ.: อินฟรา-เอ็ม, 2552. – 373 หน้า
อีวานอฟ โอ.เอ. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา สำหรับ เด็กนักเรียน นักเรียน และครู [ข้อความ] / O.A. อีวานอฟ. – อ.: MTsNMO, 2009. – 384 หน้า
คาร์ป, เอ.พี. การมอบหมายพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เพื่อจัดการการทำซ้ำขั้นสุดท้ายและการรับรองในระดับ 11 [ข้อความ] / A.P. ปลาคาร์พ – อ.: การศึกษา, 2548. – 79 น.
นพ. กุลานิน โจทย์การแข่งขันคณิตศาสตร์ 3,000 ข้อ [ข้อความ] / E.D. กุลานิน. – อ.: Iris-press, 2550. – 624 หน้า
ไลบ์สัน, เค.แอล. รวบรวมงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / K.L. ไลบ์สัน. – อ.: อีแร้ง, 2010. – 182 น.
ข้อศอก, V.V. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์และแนวทางแก้ไข ตรีโกณมิติ: สมการ อสมการ ระบบ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 [ข้อความ] / V.V. ข้อศอก. – อ.: ARKTI, 2551. – 64 หน้า
มาโนวา, A.N. คณิตศาสตร์. ครูสอนพิเศษด่วนสำหรับการเตรียมตัวสอบ Unified State: นักเรียน คู่มือ [ข้อความ] / A.N. มาโนวา. – Rostov-on-Don: ฟีนิกซ์, 2012. – 541 หน้า
มอร์ดโควิช, เอ.จี. พีชคณิตและจุดเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- เกรด 10-11 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป [ข้อความ] / A.G. มอร์ดโควิช. – อ.: Iris-press, 2552. – 201 น.
Novikov, A.I. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมการ และอสมการ [ข้อความ] / A.I. โนวิคอฟ – อ.: FIZMATLIT, 2010. – 260 น.
โอกาเนเซียน เวอร์จิเนีย วิธีการสอนคณิตศาสตร์ ป มัธยม: วิธีการทั่วไป. หนังสือเรียน คู่มือสำหรับนักศึกษาฟิสิกส์ - เสื่อ ปลอม เท้า. สถาบัน [ข้อความ] / วี.เอ. โอกาเนเซียน. – อ.: การศึกษา, 2549 – 368 หน้า
Olehnik, S.N. สมการและอสมการ วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานโซลูชั่น [ข้อความ] / S.N. โอเลห์นิค. – อ.: สำนักพิมพ์แฟคทอเรียล, 1997. – 219 น.
เซฟริวคอฟ, P.F. ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และ สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน [ข้อความ] / P.F. เซฟริวคอฟ – อ.: การศึกษาสาธารณะ, 2551. – 352 น.
Sergeev, I.N. การสอบ Unified State: 1,000 ปัญหาพร้อมคำตอบและคำตอบทางคณิตศาสตร์ งานทั้งหมดของกลุ่ม C [ข้อความ] / I.N. เซอร์เกฟ. – อ.: สอบ พ.ศ. 2555 – 301 น.
โซโบเลฟ, เอ.บี. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา [ข้อความ] / A.B. โซโบเลฟ. – เอคาเทรินเบิร์ก: สถาบันการศึกษาของรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพขั้นสูง USTU-UPI, 2548. – 81 หน้า
เฟนโก, แอล.เอ็ม. วิธีหาช่วงเวลาในการแก้อสมการและศึกษาฟังก์ชัน [ข้อความ] / ล.ม. เฟนโก. – อ.: อีแร้ง, 2548. – 124 น.
ฟรีดแมน, แอล.เอ็ม. พื้นฐานทางทฤษฎีวิธีสอนคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / ล.ม. ฟรีดแมน. – อ.: บ้านหนังสือ “LIBROKOM”, 2552. – 248 หน้า
ภาคผนวก 1
การตีความแบบกราฟิกของการแก้อสมการเชิงง่าย
ข้าว. 1
ข้าว. 2
รูปที่ 3
รูปที่ 4
รูปที่ 5
รูปที่ 6
รูปที่ 7
รูปที่ 8
ภาคผนวก 2
คำตอบของอสมการง่ายๆ
อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดและจดจำวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ
ครูที่มีคุณวุฒิสูงสุดประเภท:
เชอร์โกะ เอฟ.เอ็ม. หน้า ความคืบหน้า MOBU-SOSH หมายเลข 6
ซันคินา แอล.เอส. Armavir โรงเรียนมัธยมเอกชน "วิถีใหม่"
ไม่มีวิธีการสากลในการสอนสาขาวิชาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ครูแต่ละคนพบวิธีการสอนของตนเองซึ่งเป็นที่ยอมรับเฉพาะตัวเขาเท่านั้น
ประสบการณ์การสอนหลายปีของเราแสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถเรียนรู้สื่อที่ต้องใช้สมาธิและการเก็บรักษาข้อมูลจำนวนมากในหน่วยความจำได้ง่ายขึ้น หากพวกเขาได้รับการสอนให้ใช้อัลกอริทึมในกิจกรรมของพวกเขาในระยะเริ่มแรกของการเรียนรู้หัวข้อที่ซับซ้อน ในความเห็นของเรา หัวข้อดังกล่าวเป็นหัวข้อของการแก้อสมการตรีโกณมิติ
ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มต้นกับนักเรียนเพื่อระบุเทคนิคและวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราฝึกฝนและรวบรวมอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
ทำเครื่องหมายจุดบนแกนที่สอดคล้องกัน ( สำหรับ บาป x– แกน OA สำหรับเพราะ x– แกน OX)
เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนที่จะตัดวงกลมที่จุดสองจุด
จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงฟังก์ชันส่วนโค้งตามคำจำกัดความ
เริ่มจากจุดที่มีป้ายกำกับ แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน
โปรดทราบ ความสนใจเป็นพิเศษไปสู่ทางเบี่ยง หากการเคลื่อนที่เสร็จสิ้นตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) จุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ หากทวนเข็มนาฬิกาจะเป็นค่าบวก
เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน
ลองดูการทำงานของอัลกอริทึมโดยใช้ตัวอย่าง
1) บาป ≥ 1/2;
สารละลาย:
เราพรรณนาถึงวงกลมหนึ่งหน่วย;
เราทำเครื่องหมายจุด ½ บนแกน OU
เราคืนค่าตั้งฉากกับแกน
ซึ่งตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด
ตามคำจำกัดความของอาร์คไซน์ เราทราบก่อน
จุด π/6
แรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับ
เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน เหนือจุด ½
แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน
การเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา เราได้จุด 5π/6
เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน
คำตอบ:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.
อสมการที่ง่ายที่สุดแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกันหากบันทึกคำตอบไม่มีค่าตาราง
เมื่อนักเรียนแก้ไขความไม่เท่าเทียมบนกระดานในบทเรียนแรก ให้ท่องอัลกอริธึมแต่ละขั้นตอนออกมาดังๆ
2) 5 เพราะ x – 1 ≥ 0;
ร 
สารละลาย:ที่
5 เพราะ x – 1 ≥ 0;
เพราะ x ≥ 1/5;
วาดวงกลมหนึ่งหน่วย
เราทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด 1/5 บนแกน OX
เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนซึ่ง
ตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด
จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงโคไซน์ส่วนโค้งตามคำจำกัดความ (0;π)
เราแรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้
เริ่มจากจุดที่ลงนาม อาร์คคอส 1/5 แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน
การเคลื่อนที่จะกระทำตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) ซึ่งหมายความว่าจุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ - อาร์คคอส 1/5.
เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันตั้งแต่ค่าที่น้อยกว่าไปจนถึงค่าที่มากขึ้น
คำตอบ: x [-อาร์คคอส 1/5 + 2π n, อาร์คคอส 1/5 + 2π n], n Z.
การปรับปรุงความสามารถในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติได้รับการอำนวยความสะดวกโดยคำถามต่อไปนี้: "เราจะแก้ไขกลุ่มความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร"; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งแตกต่างจากที่อื่นอย่างไร?”; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งมีความคล้ายคลึงกับอีกประการหนึ่งอย่างไร?”; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด"; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้าแทนที่จะเป็นเครื่องหมาย "" มีเครื่องหมาย "
งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้
นักเรียนจะได้รับความไม่เท่าเทียมที่ต้องแก้ไขในชั้นเรียน
คำถาม:เน้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องใช้การแปลงที่เท่ากันเมื่อลดความไม่เท่าเทียมกันทางตรีโกณมิติให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดหรือไม่
คำตอบ 1, 3, 5.
คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่คุณต้องพิจารณาข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนให้เป็นเรื่องง่าย?
คำตอบ: 1, 2, 3, 5, 6.
คำถาม:ตั้งชื่อความไม่เท่าเทียมกันที่สามารถนำไปใช้ได้ สูตรตรีโกณมิติ?
คำตอบ: 2, 3, 6.
คำถาม:ตั้งชื่ออสมการที่สามารถนำวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่มาใช้ได้?
คำตอบ: 6.
งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้ เมื่อพัฒนาทักษะสิ่งสำคัญคือต้องระบุขั้นตอนของการนำไปปฏิบัติและกำหนดในรูปแบบทั่วไปซึ่งนำเสนอในอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ในระหว่างบทเรียนเชิงปฏิบัติเราจะทำซ้ำงานประเภทหลักจากหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" และวิเคราะห์ปัญหาเพิ่มเติม เพิ่มความซับซ้อนและพิจารณาตัวอย่างการแก้อสมการตรีโกณมิติและระบบต่างๆ
บทเรียนนี้จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับงานประเภท B5, B7, C1 และ C3 ประเภทใดประเภทหนึ่ง
เริ่มต้นด้วยการทบทวนงานประเภทหลักที่เรากล่าวถึงในหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" และแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานหลายประการ
ภารกิจที่ 1- แปลงมุมเป็นเรเดียนและองศา: a); ข) .
ก) ลองใช้สูตรแปลงองศาเป็นเรเดียน
ลองแทนค่าที่ระบุลงไป
b) ใช้สูตรแปลงเรเดียนเป็นองศา
มาดำเนินการแทนกัน 
.
คำตอบ. ก) ; ข) .
ภารกิจที่ 2- คำนวณ: ก) ; ข) .
ก) เนื่องจากมุมนั้นไปไกลกว่าโต๊ะ เราจะลดมันลงด้วยการลบคาบไซน์ เพราะ มุมจะแสดงเป็นเรเดียน จากนั้นเราจะพิจารณาคาบเป็น
b) ในกรณีนี้สถานการณ์จะคล้ายกัน เนื่องจากมุมมีหน่วยเป็นองศา เราจะพิจารณาคาบของแทนเจนต์เป็น
มุมที่ได้แม้จะเล็กกว่าช่วง แต่ก็มีขนาดใหญ่กว่า ซึ่งหมายความว่ามันไม่ได้หมายถึงมุมหลักอีกต่อไป แต่หมายถึงส่วนที่ขยายของตาราง เพื่อไม่ให้ฝึกความจำของคุณอีกครั้งด้วยการจำตารางขยายของค่าตรีโกฟังก์ชัน ให้ลบคาบแทนเจนต์อีกครั้ง:
เราใช้ประโยชน์จากความคี่ของฟังก์ชันแทนเจนต์
คำตอบ. ก) 1; ข) .
ภารกิจที่ 3- คำนวณ 
, ถ้า .
ให้เราลดนิพจน์ทั้งหมดให้เป็นแทนเจนต์โดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย ขณะเดียวกันเราก็ไม่สามารถที่จะกลัวได้เพราะว่า ในกรณีนี้ จะไม่มีค่าแทนเจนต์อยู่
ภารกิจที่ 4- ลดความซับซ้อนของนิพจน์
นิพจน์ที่ระบุจะถูกแปลงโดยใช้สูตรการลดขนาด พวกเขาเขียนโดยใช้องศาอย่างผิดปกติ โดยทั่วไปนิพจน์แรกจะแสดงถึงตัวเลข มาลดความซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดทีละรายการ:
เพราะ จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็น cofunction เช่น โคแทนเจนต์ และมุมตกไปอยู่ในควอเตอร์ที่สอง ซึ่งแทนเจนต์เดิมมีเครื่องหมายลบ
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับนิพจน์ก่อนหน้า ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน กล่าวคือ โคแทนเจนต์ และมุมตกลงไปในไตรมาสแรก ซึ่งแทนเจนต์ดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก
ลองแทนที่ทุกอย่างเป็นนิพจน์แบบง่าย:
ปัญหา #5- ลดความซับซ้อนของนิพจน์
ให้เราเขียนแทนเจนต์ของมุมคู่โดยใช้สูตรที่เหมาะสมและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:
ข้อมูลประจำตัวสุดท้ายเป็นหนึ่งในสูตรการแทนที่สากลสำหรับโคไซน์
ปัญหา #6- คำนวณ.
สิ่งสำคัญคืออย่าทำผิดพลาดมาตรฐานโดยไม่ให้คำตอบว่านิพจน์นั้นเท่ากับ . คุณไม่สามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของอาร์กแทนเจนต์ได้ตราบใดที่มีตัวประกอบในรูปของสองอยู่ข้างๆ เพื่อกำจัดมัน เราจะเขียนนิพจน์ตามสูตรแทนเจนต์ของมุมคู่ในขณะที่ถือว่า เป็นอาร์กิวเมนต์ธรรมดา
ตอนนี้เราสามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของอาร์กแทนเจนต์ได้ โปรดจำไว้ว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงตัวเลข
ปัญหาหมายเลข 7- แก้สมการ
เมื่อแก้สมการเศษส่วนที่เท่ากับศูนย์ จะต้องระบุเสมอว่าตัวเศษเท่ากับศูนย์ แต่ตัวส่วนไม่ใช่เพราะ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
สมการแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ จำวิธีแก้ปัญหานี้ไว้ด้วยตัวเอง อสมการที่สองแก้ไขได้ด้วยสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับรากของแทนเจนต์ แต่มีเครื่องหมายไม่เท่ากันเท่านั้น
ดังที่เราเห็น รากตระกูลหนึ่งไม่รวมอีกตระกูลหนึ่งที่มีรากประเภทเดียวกันทุกประการซึ่งไม่เป็นไปตามสมการ เหล่านั้น. ไม่มีราก
คำตอบ. ไม่มีราก
ปัญหาหมายเลข 8- แก้สมการ
สังเกตทันทีว่าเราสามารถนำตัวประกอบร่วมออกมาแล้วลองทำดู:
สมการได้ลดลงมาเป็นรูปแบบมาตรฐานรูปแบบหนึ่ง โดยที่ผลคูณของหลายปัจจัยเท่ากับศูนย์ เรารู้อยู่แล้วว่าในกรณีนี้ อันใดอันหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออีกอัน หรืออันที่สาม ลองเขียนสิ่งนี้ในรูปแบบของชุดสมการ:
สมการสองอันแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุด เราเคยเจอสมการที่คล้ายกันหลายครั้งแล้ว ดังนั้นเราจะระบุวิธีแก้ปัญหาทันที เราลดสมการที่สามให้เหลือหนึ่งฟังก์ชันโดยใช้สูตรไซน์มุมคู่
มาแก้สมการสุดท้ายแยกกัน:
สมการนี้ไม่มีราก เพราะ ค่าไซน์ไม่สามารถไปไกลกว่านั้นได้ 
.
ดังนั้น คำตอบจึงเป็นเพียงสองตระกูลแรกเท่านั้นที่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ ซึ่งง่ายต่อการแสดงบนวงกลมตรีโกณมิติ:
 |
นี่คือครอบครัวของทุกซีกเช่น
มาดูการแก้อสมการตรีโกณมิติกันดีกว่า อันดับแรก มาดูแนวทางแก้ตัวอย่างโดยไม่ต้องใช้สูตรกันก่อน โซลูชั่นทั่วไปแต่ใช้วงกลมตรีโกณมิติ
ปัญหาหมายเลข 9- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
ให้เราวาดเส้นเสริมบนวงกลมตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับค่าไซน์เท่ากับ และแสดงช่วงของมุมที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
 |
มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าจะระบุช่วงเวลาผลลัพธ์ของมุมได้อย่างไรเช่น อะไรคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมันคืออะไร จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาจะเป็นมุมที่สอดคล้องกับจุดที่เราจะเข้าไปที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาหากเราเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ในกรณีของเรา นี่คือจุดที่อยู่ทางซ้าย เพราะว่า เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาและผ่านจุดที่ถูกต้องในทางกลับกันเราจะออกจากช่วงมุมที่ต้องการ จุดที่ถูกต้องจึงตรงกับจุดสิ้นสุดของช่องว่าง
ตอนนี้เราต้องเข้าใจมุมของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงการแก้ปัญหาอสมการของเรา ข้อผิดพลาดทั่วไป- ให้ระบุทันทีว่าจุดขวาตรงกับมุมซ้ายแล้วให้คำตอบ นี่ไม่เป็นความจริง! โปรดทราบว่าเราเพิ่งระบุช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วนบนของวงกลม แม้ว่าเราจะสนใจส่วนล่าง หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ เราได้ผสมจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงการแก้ปัญหาที่เราต้องการ
สำหรับช่วงเริ่มต้นที่มุมของจุดขวาและสิ้นสุดที่มุมของจุดซ้าย จำเป็นต้องกำหนดมุมแรกไว้ น้อยกว่าสอง- ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องวัดมุมของจุดที่ถูกต้องในทิศทางลบของการอ้างอิง เช่น ตามเข็มนาฬิกาก็จะเท่ากับ จากนั้น เริ่มเคลื่อนที่จากจุดนั้นในทิศทางบวกตามเข็มนาฬิกา เราจะไปยังจุดที่ถูกต้องหลังจากจุดซ้าย และรับค่ามุมของมัน ตอนนี้จุดเริ่มต้นของช่วงของมุมน้อยกว่าจุดสิ้นสุด และเราสามารถเขียนช่วงของการแก้ปัญหาโดยไม่ต้องคำนึงถึงระยะเวลา:
เมื่อพิจารณาว่าช่วงเวลาดังกล่าวจะถูกทำซ้ำด้วยจำนวนอนันต์หลังจากการหมุนจำนวนเต็มใดๆ เราจะได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงคาบไซน์:
เราใส่วงเล็บเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด และเราเลือกจุดบนวงกลมที่ตรงกับจุดสิ้นสุดของช่วง
เปรียบเทียบคำตอบที่ได้รับกับสูตรเฉลยทั่วไปที่เราให้ไปในการบรรยาย
คำตอบ. 
.
วิธีนี้ดีสำหรับการทำความเข้าใจว่าสูตรสำหรับคำตอบทั่วไปของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมาจากไหน นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่ขี้เกียจเกินไปที่จะเรียนรู้สูตรที่ยุ่งยากเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม วิธีการนั้นก็ไม่ใช่เรื่องง่ายเช่นกัน เลือกวิธีการแก้ปัญหาที่สะดวกที่สุดสำหรับคุณ
เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติ คุณยังสามารถใช้กราฟของฟังก์ชันที่มีการสร้างเส้นเสริมได้ คล้ายกับวิธีที่แสดงโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย หากคุณสนใจ ลองคิดหาแนวทางแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง ในอนาคตเราจะใช้ สูตรทั่วไปสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
ปัญหาหมายเลข 10- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
ขอให้เราใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด:
ในกรณีของเราเราได้รับ:
คำตอบ. 
ปัญหาหมายเลข 11- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
ให้เราใช้สูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัดที่สอดคล้องกัน:
คำตอบ. 
.
ปัญหาหมายเลข 12- แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ; ข) .
ในความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปหรือวงกลมตรีโกณมิติเพียงจำช่วงของค่าไซน์และโคไซน์ก็เพียงพอแล้ว
ก) ตั้งแต่ 
แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ข) เพราะ ในทำนองเดียวกัน ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ใดๆ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขเสมอ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจึงเป็นไปตามคุณค่าที่แท้จริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์
คำตอบ. ก) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ข) .
ปัญหาที่ 13- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 
.
อสมการคือความสัมพันธ์ในรูปแบบ a › b โดยที่ a และ b คือนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว อสมการสามารถเข้มงวดได้ - ‹, › และไม่เข้มงวด - ≥, ≤
อสมการตรีโกณมิติคือการแสดงออกของรูปแบบ: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a โดยที่ F(x) จะแสดงด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันขึ้นไป .
ตัวอย่างของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ: sin x ‹ 1/2 เป็นเรื่องปกติที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวแบบกราฟิกสองวิธีได้รับการพัฒนาสำหรับสิ่งนี้
วิธีที่ 1 - การแก้ไขอสมการโดยการสร้างกราฟฟังก์ชัน
หากต้องการค้นหาช่วงเวลาที่เป็นไปตามเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกัน sin x ‹ 1/2 คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
- บนแกนพิกัด สร้างไซน์ซอยด์ y = sin x
- บนแกนเดียวกัน ให้วาดกราฟของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขของความไม่เท่าเทียมกัน เช่น เส้นตรงที่ลากผ่านจุด ½ ของพิกัด OY
- ทำเครื่องหมายจุดตัดกันของกราฟทั้งสอง
- แรเงาส่วนที่เป็นวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่าง
เมื่อมีสัญลักษณ์ที่เข้มงวดในนิพจน์ จุดตัดกันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากคาบบวกที่น้อยที่สุดของไซนัสอยด์คือ 2π เราจึงเขียนคำตอบได้ดังนี้:
หากสัญญาณของนิพจน์ไม่เข้มงวด ช่วงเวลาการแก้ปัญหาจะต้องอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม - . คำตอบของปัญหายังสามารถเขียนเป็นอสมการต่อไปนี้: 
วิธีที่ 2 - การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย
ปัญหาที่คล้ายกันสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ อัลกอริทึมในการค้นหาคำตอบนั้นง่ายมาก:
- ก่อนอื่นคุณต้องวาดวงกลมหนึ่งหน่วย
- จากนั้นคุณจะต้องสังเกตค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งของอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาของอสมการในส่วนโค้งของวงกลม
- จำเป็นต้องวาดเส้นตรงที่ผ่านค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งขนานกับแกน abscissa (OX)
- หลังจากนั้น สิ่งที่เหลืออยู่คือการเลือกส่วนโค้งของวงกลมซึ่งเป็นชุดคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ
- เขียนคำตอบลงในแบบฟอร์มที่ต้องการ
ให้เราวิเคราะห์ขั้นตอนของการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างของอสมการ sin x › 1/2 จุดαและβถูกทำเครื่องหมายบนวงกลม - ค่า
จุดของส่วนโค้งที่อยู่เหนือ α และ β คือช่วงเวลาในการแก้อสมการที่กำหนด
หากคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับ cos ส่วนโค้งของคำตอบจะอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรกับแกน OX ไม่ใช่ OY คุณสามารถพิจารณาความแตกต่างระหว่างช่วงการแก้ปัญหาของ sin และ cos ได้ในแผนภาพด้านล่างในข้อความ
คำตอบแบบกราฟิกสำหรับอสมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะแตกต่างจากทั้งไซน์และโคไซน์ นี่เป็นเพราะคุณสมบัติของฟังก์ชัน
อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์เป็นเส้นสัมผัสกันของวงกลมตรีโกณมิติ และคาบบวกขั้นต่ำสำหรับฟังก์ชันทั้งสองคือ π หากต้องการใช้วิธีที่สองอย่างรวดเร็วและถูกต้องคุณต้องจำไว้ว่าค่าของ sin, cos, tg และ ctg ถูกพล็อตบนแกนใด
แทนเจนต์แทนเจนต์วิ่งขนานกับแกน OY หากเราพล็อตค่าของอาร์คแทน a บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ต้องการที่สองจะอยู่ในควอเตอร์แนวทแยง มุม
พวกมันเป็นจุดพักสำหรับฟังก์ชัน เนื่องจากกราฟมีแนวโน้มไปหาพวกมัน แต่ไม่เคยไปถึงพวกมันเลย
ในกรณีของโคแทนเจนต์ แทนเจนต์จะขนานกับแกน OX และฟังก์ชันถูกขัดจังหวะที่จุด π และ 2π
อสมการตรีโกณมิติเชิงซ้อน
หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอสมการไม่ได้แสดงด้วยตัวแปรเท่านั้น แต่แสดงด้วยนิพจน์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ แสดงว่าเรากำลังพูดถึงอสมการที่ซับซ้อน กระบวนการและขั้นตอนในการแก้ปัญหาค่อนข้างแตกต่างจากวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาของอสมการต่อไปนี้:
วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกเกี่ยวข้องกับการสร้างไซน์ซอยด์ธรรมดา y = sin x โดยใช้ค่า x ที่เลือกโดยพลการ มาคำนวณตารางที่มีพิกัดสำหรับจุดควบคุมของกราฟกัน:
ผลลัพธ์ที่ได้ควรเป็นเส้นโค้งที่สวยงาม
เพื่อให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้น เรามาแทนที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า
1. ถ้าข้อโต้แย้งมีความซับซ้อน (แตกต่างจาก เอ็กซ์) จากนั้นแทนที่ด้วย ที.
2. เราสร้างในระนาบพิกัดเดียว ของเล่นกราฟฟังก์ชัน y=ต้นทุนและ ย=ก.
3. เราพบสิ่งนี้ จุดตัดกันสองจุดที่อยู่ติดกันของกราฟซึ่งอยู่ระหว่างนั้นตั้งอยู่ เหนือเส้นตรง y=a- เราพบจุดขาดของจุดเหล่านี้
4. เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับการโต้แย้ง ทีโดยคำนึงถึงคาบโคไซน์ ( ทีจะอยู่ระหว่างฝีที่พบ)
5. ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ (กลับไปที่อาร์กิวเมนต์ดั้งเดิม) และแสดงค่า เอ็กซ์จากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เราเขียนคำตอบในรูปของช่วงตัวเลข
ตัวอย่างที่ 1
ต่อไปตามอัลกอริทึมเราจะกำหนดค่าของการโต้แย้งเหล่านั้น ทีซึ่งไซนัสอยด์ตั้งอยู่ สูงกว่า ตรง. ลองเขียนค่าเหล่านี้เป็นอสมการสองเท่าโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันโคไซน์แล้วกลับไปที่อาร์กิวเมนต์ดั้งเดิม เอ็กซ์.
ตัวอย่างที่ 2
การเลือกช่วงของค่า ทีโดยไซนัสอยด์จะอยู่เหนือเส้นตรง
เราเขียนค่าในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เสื้อเป็นไปตามเงื่อนไข อย่าลืมว่าคาบที่เล็กที่สุดของฟังก์ชัน y=ต้นทุนเท่ากับ 2π- กลับไปสู่ตัวแปร เอ็กซ์ค่อย ๆ ลดความซับซ้อนทุกส่วนของอสมการสองเท่า
เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงตัวเลขปิด เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด
ตัวอย่างที่ 3
เราจะสนใจในช่วงของค่านิยม ทีโดยที่จุดของไซนัสอยด์จะอยู่เหนือเส้นตรง
ค่านิยม ทีเขียนในรูปของอสมการสองเท่า แล้วเขียนค่าเดิมใหม่ 2xและแสดงออก เอ็กซ์- ลองเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงตัวเลข
และอีกครั้ง สูตร ต้นทุน>ก.
ถ้า ต้นทุน>ก, (-1≤ก≤1) จากนั้น - อาร์คคอส a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
ใช้สูตรเพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติและคุณจะประหยัดเวลาในการทดสอบ
และตอนนี้ สูตร
ซึ่งคุณควรใช้กับ UNT หรือ Unified State Examination เมื่อแก้อสมการตรีโกณมิติของแบบฟอร์ม ค่าใช้จ่าย
ถ้า ค่าใช้จ่าย , (-1≤ก≤1) จากนั้น อาร์คคอส a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
ใช้สูตรนี้เพื่อแก้อสมการที่กล่าวถึงในบทความนี้ แล้วคุณจะได้คำตอบเร็วขึ้นมากโดยไม่ต้องใช้กราฟ!
เมื่อคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันไซน์เราจะเขียนค่าความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับค่าของอาร์กิวเมนต์ ทีตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย ลองกลับไปสู่ตัวแปรเดิม ให้เราแปลงผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าและแสดงตัวแปร เอ็กซ์ลองเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลา
มาแก้อสมการที่สองกัน:
เมื่อแก้ไขอสมการที่สอง เราต้องแปลงด้านซ้ายของอสมการนี้โดยใช้สูตรไซน์อาร์กิวเมนต์คู่เพื่อให้ได้อสมการในรูปแบบ: ซิน≥aต่อไปเราปฏิบัติตามอัลกอริทึม
เราแก้ไขอสมการที่สาม:
เรียนผู้สำเร็จการศึกษาและผู้สมัคร! โปรดทราบว่าวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ เช่น วิธีกราฟิกที่ให้ไว้ข้างต้น และอาจทราบกันดีอยู่แล้วว่าวิธีการแก้โดยใช้หน่วยวงกลมตรีโกณมิติ (วงกลมตรีโกณมิติ) ใช้ได้เฉพาะในขั้นตอนแรกของการศึกษาวิชาตรีโกณมิติเท่านั้น “การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ” ฉันคิดว่าคุณคงจำได้ว่าในตอนแรกคุณแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดโดยใช้กราฟหรือวงกลม อย่างไรก็ตาม ตอนนี้คุณคงไม่คิดจะแก้สมการตรีโกณมิติด้วยวิธีนี้ คุณจะแก้ปัญหาได้อย่างไร? ถูกต้องตามสูตร ดังนั้นอสมการตรีโกณมิติควรได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตร โดยเฉพาะในระหว่างการทดสอบ เมื่อใด ทุกนาทีมีค่า- ดังนั้น จงแก้อสมการทั้งสามของบทเรียนนี้โดยใช้สูตรที่เหมาะสม
ถ้า บาป>กโดยที่ -1≤ ก≤1 แล้ว อาร์คซิน a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, ไม่ใช่Z.
เรียนรู้สูตร!
และสุดท้าย คุณรู้ไหมว่าคณิตศาสตร์คือคำจำกัดความ กฎเกณฑ์ และสูตรคำนวณ!
แน่นอนคุณทำ! และคนที่อยากรู้อยากเห็นมากที่สุดเมื่อศึกษาบทความนี้และดูวิดีโอก็อุทานว่า:“ นานแค่ไหนและยากแค่ไหน! มีสูตรที่ช่วยให้คุณแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยไม่ต้องมีกราฟหรือวงกลมหรือไม่” ใช่แล้ว แน่นอนว่ามี!
เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม: บาป (-1≤ก≤1) สูตรนี้ใช้ได้:
— π — อาร์คซิน a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
นำไปใช้กับตัวอย่างที่กล่าวถึงแล้วคุณจะได้รับคำตอบเร็วขึ้นมาก!
บทสรุป: เรียนรู้สูตรเพื่อน!
หน้า 1 จาก 1 1
