Denne artikkelen fortsetter temaet transformasjon algebraiske brøker: vurdere en slik handling som å redusere algebraiske brøker. La oss definere selve begrepet, formulere en reduksjonsregel og analysere praktiske eksempler.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Betydningen av å redusere en algebraisk brøk
I materialer om vanlige brøker så vi på reduksjonen. Vi definerte å redusere en brøk som å dele telleren og nevneren med en felles faktor.
Å redusere en algebraisk brøk er en lignende operasjon.
Definisjon 1
Redusere en algebraisk brøk er delingen av telleren og nevneren med en felles faktor. I dette tilfellet, i motsetning til reduksjonen av en ordinær brøk (fellesnevneren kan bare være et tall), kan fellesfaktoren til telleren og nevneren til en algebraisk brøk være et polynom, spesielt et monomial eller et tall.
For eksempel kan den algebraiske brøken 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduseres med tallet 3, noe som resulterer i: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Vi kan redusere den samme brøken med variabelen x, og dette vil gi oss uttrykket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Det er også mulig å redusere en gitt fraksjon med et monomial 3 x eller noen av polynomene x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.
Det endelige målet med å redusere en algebraisk brøk er en brøk større enn enkel type, i beste fall en irreduserbar brøkdel.
Er alle algebraiske brøker gjenstand for reduksjon?
Igjen, fra materialer på vanlige fraksjoner, vet vi at det finnes reduserbare og irreduserbare fraksjoner. Irreduserbare brøker er brøker som ikke har andre felles teller- og nevnerfaktorer enn 1.
Det er det samme med algebraiske brøker: de kan ha felles faktorer i telleren og nevneren, eller de kan ikke. Tilstedeværelsen av vanlige faktorer lar deg forenkle den opprinnelige brøken gjennom reduksjon. Når det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å optimalisere en gitt brøk ved å bruke reduksjonsmetoden.
I generelle tilfeller, gitt brøktypen, er det ganske vanskelig å forstå om den kan reduseres. Selvfølgelig er tilstedeværelsen av en felles faktor mellom telleren og nevneren åpenbar i noen tilfeller. For eksempel, i den algebraiske brøken 3 x 2 3 y er det ganske tydelig at den felles faktoren er tallet 3.
I brøken - x · y 5 · x · y · z 3 forstår vi også umiddelbart at den kan reduseres med x, eller y, eller x · y. Og likevel, mye oftere er det eksempler på algebraiske brøker, når den felles faktoren til telleren og nevneren ikke er så lett å se, og enda oftere er den ganske enkelt fraværende.
For eksempel kan vi redusere brøken x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, mens den angitte fellesfaktoren ikke er til stede i oppføringen. Men brøken x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kan ikke reduseres, siden telleren og nevneren ikke har en felles faktor.
Spørsmålet om å bestemme reduserbarheten til en algebraisk brøk er altså ikke så enkelt, og det er ofte lettere å arbeide med en brøkdel av en gitt form enn å prøve å finne ut om den er reduserbar. I dette tilfellet skjer slike transformasjoner som i spesielle tilfeller gjør det mulig å bestemme fellesfaktoren til telleren og nevneren eller å trekke en konklusjon om irreducerbarheten til en brøk. Vi vil undersøke dette problemet i detalj i neste avsnitt av artikkelen.
Regel for å redusere algebraiske brøker
Regel for å redusere algebraiske brøker består av to sekvensielle handlinger:
- finne felles faktorer for telleren og nevneren;
- hvis noen blir funnet, utføres handlingen med å redusere fraksjonen direkte.
Den mest praktiske metoden for å finne fellesnevnere er å faktorisere polynomene som er tilstede i telleren og nevneren til en gitt algebraisk brøk. Dette lar deg umiddelbart tydelig se tilstedeværelsen eller fraværet av vanlige faktorer.
Selve handlingen med å redusere en algebraisk brøk er basert på hovedegenskapen til en algebraisk brøk, uttrykt ved likheten udefinert, der a, b, c er noen polynomer, og b og c er ikke-null. Det første trinnet er å redusere brøken til formen a · c b · c, der vi umiddelbart legger merke til fellesfaktoren c. Det andre trinnet er å utføre en reduksjon, dvs. overgang til en brøkdel av formen a b .
Typiske eksempler
Til tross for en viss åpenhet, la oss avklare det spesielle tilfellet når telleren og nevneren til en algebraisk brøk er like. Lignende brøker er identisk lik 1 på hele ODZ av variablene til denne brøken:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Siden vanlige brøker er et spesialtilfelle av algebraiske brøker, la oss huske hvordan de reduseres. De naturlige tallene skrevet i telleren og nevneren blir faktorisert inn i primfaktorer, deretter annulleres de felles faktorene (hvis noen).
For eksempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Produktet av enkle identiske faktorer kan skrives som potenser, og i prosessen med å redusere en brøk, bruk egenskapen til å dele potenser med identiske baser. Da vil løsningen ovenfor være:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(teller og nevner delt på en felles faktor 2 2 3). Eller for klarhet, basert på egenskapene til multiplikasjon og divisjon, gir vi løsningen følgende form:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analogt utføres reduksjonen av algebraiske brøker, der telleren og nevneren har monomer med heltallskoeffisienter.
Eksempel 1
Den algebraiske brøken er gitt - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Det må reduseres.
Løsning
Det er mulig å skrive telleren og nevneren til en gitt brøk som et produkt av enkle faktorer og variabler, og deretter utføre reduksjonen:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
En mer rasjonell måte ville imidlertid være å skrive løsningen som et uttrykk med krefter:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Svar:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Når telleren og nevneren til en algebraisk brøk inneholder numeriske brøkkoeffisienter, er det to mulige måter å gjøre videre på: enten dele disse brøkkoeffisientene separat, eller først kvitte seg med brøkkoeffisientene ved å multiplisere telleren og nevneren med en viss naturlig tall. Den siste transformasjonen utføres på grunn av den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk (du kan lese om den i artikkelen "Redusere en algebraisk brøk til en ny nevner").
Eksempel 2
Den gitte brøken er 2 5 x 0, 3 x 3. Det må reduseres.
Løsning
Det er mulig å redusere brøken på denne måten:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
La oss prøve å løse problemet annerledes, etter først å ha blitt kvitt brøkkoeffisienter - multipliser telleren og nevneren med det minste felles multiplum av nevnerne til disse koeffisientene, dvs. på LCM (5, 10) = 10. Da får vi:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Når vi reduserer algebraiske brøker generelt syn, der tellerne og nevnerne kan være enten monomer eller polynomer, kan det være et problem når fellesfaktoren ikke alltid er umiddelbart synlig. Eller dessuten eksisterer den rett og slett ikke. Deretter, for å bestemme fellesfaktoren eller registrere fraværet, blir telleren og nevneren til den algebraiske brøken faktorisert.
Eksempel 3
Den rasjonelle brøken 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 er gitt. Det må reduseres.
Løsning
La oss faktorisere polynomene i telleren og nevneren. La oss ta det ut av parentes:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vi ser at uttrykket i parentes kan konverteres ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Man ser tydelig at det er mulig å redusere en brøk med en felles faktor b 2 (a + 7). La oss gjøre en reduksjon:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
La oss skrive en kort løsning uten forklaring som en kjede av likheter:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Svar: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Det hender at vanlige faktorer er skjult av numeriske koeffisienter. Deretter, når du reduserer brøker, er det optimalt å sette de numeriske faktorene ved høyere potenser av telleren og nevneren utenfor parentes.
Eksempel 4
Gitt den algebraiske brøken 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Det er nødvendig å redusere det hvis mulig.
Løsning
Ved første øyekast eksisterer ikke telleren og nevneren fellesnevner. La oss imidlertid prøve å konvertere den gitte brøken. La oss ta ut faktoren x i telleren:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Nå kan du se en viss likhet mellom uttrykket i parentes og uttrykket i nevneren på grunn av x 2 y . La oss ta ut de numeriske koeffisientene til de høyere potensene til disse polynomene:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Nå blir fellesfaktoren synlig, vi gjennomfører reduksjonen:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Svar: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
La oss understreke at ferdigheten til å redusere rasjonelle brøker avhenger av evnen til å faktorisere polynomer.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
I denne artikkelen skal vi se på grunnleggende operasjoner med algebraiske brøker:
- reduserende fraksjoner
- multiplisere brøker
- dele brøker
La oss begynne med reduksjon av algebraiske brøker.
Det ser ut til at algoritmeåpenbart.
Til redusere algebraiske brøker, trenger å
1. Faktor telleren og nevneren til brøken.
2. Reduser like faktorer.
Imidlertid gjør skolebarn ofte feilen med å "redusere" ikke faktorene, men vilkårene. For eksempel er det amatører som "reduserer" brøker med og får som et resultat, noe som selvfølgelig ikke er sant.
La oss se på eksempler:
1.
Reduser fraksjon: 
1. La oss faktorisere telleren ved å bruke formelen for kvadratet av summen, og nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen
2. Del teller og nevner med
2.
Reduser fraksjon: 
1. La oss faktorisere telleren. Siden telleren inneholder fire termer, bruker vi gruppering.
2. La oss faktorisere nevneren. Vi kan også bruke gruppering.
3. La oss skrive ned brøken vi fikk og redusere de samme faktorene:
Multiplisere algebraiske brøker.
Når vi multipliserer algebraiske brøker, multipliserer vi telleren med telleren, og multipliserer nevneren med nevneren.
Viktig! Det er ikke nødvendig å skynde seg å multiplisere telleren og nevneren til en brøk. Etter at vi har skrevet ned produktet av tellerne av brøkene i telleren, og produktet av nevnerne i nevneren, må vi faktorisere hver faktor og redusere brøken.
La oss se på eksempler:
3. Forenkle uttrykket:
1. La oss skrive produktet av brøker: i telleren produktet av tellerne, og i nevneren produktet av nevnerne:
2. La oss faktorisere hver parentes:
Nå må vi redusere de samme faktorene. Legg merke til at uttrykkene og bare avviker i tegn: 
og som et resultat av å dele det første uttrykket med det andre får vi -1.
Så, 
Vi deler algebraiske brøker i henhold til følgende regel:
Det er For å dele på en brøk, må du multiplisere med den "inverterte".
Vi ser at å dele brøker kommer ned til å multiplisere, og multiplikasjon kommer til syvende og sist ned på å redusere brøker.
La oss se på et eksempel:
4. Forenkle uttrykket:
Barn på skolen lærer reglene for brøkredusering i 6. klasse. I denne artikkelen vil vi først fortelle deg hva denne handlingen betyr, deretter vil vi forklare hvordan du konverterer en reduserbar brøk til en irreduserbar brøk. Neste punkt blir reglene for brøkredusering, og så kommer vi etter hvert til eksemplene.
Hva betyr det å "redusere en brøkdel"?
Så det vet vi alle vanlige brøker deles inn i to grupper: reduserbare og irreduserbare. Allerede ut fra navnene kan man forstå at de som er kontrakterbare er kontrahert, og de som er irreduserbare er ikke kontrahert.
- Å redusere en brøk betyr å dele dens nevner og teller med deres (annet enn én) positive divisor. Resultatet er selvfølgelig en ny brøk med en mindre nevner og teller. Den resulterende brøken vil være lik den opprinnelige brøken.
Det er verdt å merke seg at i matematikkbøker med oppgaven "reduser en brøk", betyr dette at du må redusere den opprinnelige brøken til denne irreduserbare formen. Hvis vi snakker med enkle ord, del deretter nevneren og telleren med deres største felles deler og det er en reduksjon.
Hvordan redusere en brøkdel. Regler for reduksjon av brøker (grad 6)
Så det er bare to regler her.
- Den første regelen for å redusere brøker er å først finne den største felles faktoren for nevneren og telleren til brøken din.
- Den andre regelen: del nevneren og telleren med den største felles divisor, og oppnå en irreduserbar brøk.
Hvordan redusere en upassende brøkdel?
Reglene for reduksjon av brøker er identiske med reglene for reduksjon av uekte brøker.
For å redusere en uekte brøk, må du først faktorisere nevneren og telleren til primfaktorer, og først deretter redusere fellesfaktorene.
Redusere blandede fraksjoner
Reglene for reduksjon av fraksjoner gjelder også for reduksjon av blandede fraksjoner. Det er bare en liten forskjell: vi kan ikke berøre hele delen, men redusere brøken eller konvertere den blandede brøken til en uekte brøk, deretter redusere den og igjen konvertere den til en riktig brøkdel.
Redusere blandede fraksjoner mulig på to måter.
Først: skriv brøkdelen inn i primfaktorer og la deretter hele delen stå.
Den andre måten: konverter den først til en uekte brøk, skriv den inn i vanlige faktorer, og reduser deretter brøken. Konverter den allerede oppnådde uekte brøken til en riktig.
Eksempler kan sees på bildet ovenfor.
Vi håper virkelig at vi kunne hjelpe deg og barna dine. De er tross alt ofte uoppmerksomme i timene, så de må studere mer intensivt hjemme på egenhånd.
For å forstå hvordan man reduserer brøker, la oss først se på et eksempel.
Å redusere en brøk betyr å dele telleren og nevneren med det samme. Både 360 og 420 ender på et tall, så vi kan redusere denne brøkdelen med 2. B ny brøkdel Både 180 og 210 er også delelig med 2, så vi reduserer denne brøken med 2. I tallene 90 og 105 er summen av sifrene delelig med 3, så begge disse tallene er delbare med 3, vi reduserer brøken med 3. I den nye brøken ender 30 og 35 på 0 og 5, som betyr at begge tallene er delbare med 5, så vi reduserer brøken med 5. Den resulterende brøken seks syvendedeler er irreduserbar. Dette er det endelige svaret.
Vi kan komme frem til det samme svaret på en annen måte.
Både 360 og 420 ender på null, som betyr at de er delbare med 10. Vi reduserer brøken med 10. I den nye brøken deles både telleren 36 og nevneren 42 på 2. Vi reduserer brøken med 2. I den nye brøken deles både telleren 36 og nevneren 42 på 2. neste brøk, er både telleren 18 og nevneren 21 delt på 3, noe som betyr at vi reduserer brøken med 3. Vi kom til resultatet - seks syvendedeler.
Og enda en løsning.
Neste gang skal vi se på eksempler på å redusere brøker.
Mange elever gjør de samme feilene når de jobber med brøker. Og alt fordi de glemmer grunnleggende regler aritmetikk. I dag skal vi gjenta disse reglene på spesifikke oppgaver som jeg gir i timene mine.
Her er oppgaven jeg tilbyr til alle som forbereder seg til Unified State Exam i matematikk:
Oppgave. En nise spiser 150 gram mat per dag. Men hun vokste opp og begynte å spise 20 % mer. Hvor mange gram fôr spiser grisen nå?
Ikke riktig løsning. Dette er et prosentproblem som koker ned til ligningen:
Mange (veldig mange) reduserer tallet 100 i telleren og nevneren til en brøk:
Dette er feilen min elev gjorde akkurat den dagen da han skrev denne artikkelen. Tall som er avkortet er merket med rødt.
Unødvendig å si var svaret feil. Døm selv: grisen spiste 150 gram, men begynte å spise 3150 gram. Økningen er ikke 20 %, men 21 ganger, d.v.s. med 2000 %.
For å unngå slike misforståelser, husk den grunnleggende regelen:
Bare multiplikatorer kan reduseres. Vilkårene kan ikke reduseres!
Dermed ser den riktige løsningen på det forrige problemet slik ut:
Tall som er forkortet i teller og nevner er markert med rødt. Som du kan se, er telleren produktet, nevneren er det ordinært nummer. Derfor er reduksjonen helt lovlig.
Arbeid med proporsjoner
Et annet problemområde er proporsjoner. Spesielt når variabelen er på begge sider. For eksempel:
Oppgave. Løs ligningen:
Feil løsning - noen mennesker bokstavelig talt klør etter å forkorte alt med m:
Reduserte variabler vises i rødt. Uttrykket 1/4 = 1/5 viser seg å være fullstendig tull, disse tallene er aldri like.
Og nå - den riktige avgjørelsen. I hovedsak er det vanlig lineær ligning. Det kan løses enten ved å flytte alle elementene til én side, eller ved den grunnleggende proporsjonsegenskapen:
Mange lesere vil innvende: "Hvor er feilen i den første løsningen?" Vel, la oss finne ut av det. La oss huske regelen for å jobbe med ligninger:
Enhver ligning kan deles og multipliseres med et hvilket som helst tall, ikke-null.
Gikk du glipp av trikset? Du kan bare dele på tall ikke-null. Spesielt kan du dele med en variabel m bare hvis m != 0. Men hva om, tross alt, m = 0? La oss erstatte og sjekke:
Vi fikk riktig numerisk likhet, dvs. m = 0 er roten til ligningen. For de resterende m != 0 får vi et uttrykk på formen 1/4 = 1/5, som naturligvis er feil. Dermed er det ingen ikke-null røtter.
Konklusjon: å sette det hele sammen
Så for å løse rasjonelle brøklikninger, husk tre regler:
- Bare multiplikatorer kan reduseres. Tillegg er ikke tillatt. Lær derfor å faktorisere telleren og nevneren;
- Hovedegenskapen til proporsjon: produktet av de ekstreme elementene er lik produktet av de midterste;
- Ligninger kan bare multipliseres og divideres med andre tall k enn null. Saken k = 0 må kontrolleres separat.
Husk disse reglene og ikke gjør feil.
