Funksionet me logaritme (vlera më e madhe dhe më e vogël). Ky artikull do të fokusohet në problemet e gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Ekziston një grup problemesh të përfshira në Provimin e Unifikuar të Shtetit - këto janë probleme me logaritmet. Detyrat që lidhen me funksionet e kërkimit janë të ndryshme. Përveç funksioneve logaritmike mund të ketë: funksione me funksione trigonometrike, funksione thyesore-racionale e të tjera.
Në çdo rast, unë rekomandoj të rishikoni edhe një herë teorinë e përshkruar në artikullin "". Nëse e kuptoni këtë material dhe keni një aftësi të mirë në gjetjen e derivateve, atëherë mund të zgjidhni çdo problem në këtë temë pa vështirësi.
Më lejoni t'ju kujtoj algoritmin për gjetjen e vlerës më të madhe ose më të vogël të një funksioni në një segment të caktuar:
1. Njehsoni derivatin.
2. E barazojmë me zero dhe zgjidhim ekuacionin.
3. Përcaktoni nëse rrënjët që rezultojnë (zero të derivatit) i përkasin këtij segmenti. Ne shënojmë ato që i përkasin.
4. Ne llogarisim vlerat e funksionit në kufijtë e segmentit dhe në pikat (të marra në paragrafin e mëparshëm) që i përkasin këtij segmenti.
Le të shqyrtojmë detyrat:
Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y=5x–ln (x+5) 5 në segmentin [–4.5;0].
Është e nevojshme të llogaritet vlera e funksionit në skajet e intervalit dhe në pikat ekstreme, nëse ka në këtë interval, dhe të zgjidhet më i vogli prej tyre.
Ne llogarisim derivatin, e barazojmë me zero dhe zgjidhim ekuacionin.
Le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë:
Le të gjejmë zerot e derivatit në një segment të caktuar:
*Një thyesë është e barabartë me zero kur numëruesi është i barabartë me zero.
Pika x= – 4 i përket intervalit të dhënë.
Kështu, llogarisim vlerën e funksionit në pikat: – 4.5; - 4; 0.
Vlerat me logaritme që kemi marrë mund të llogariten (ose analizohen). Dhe do të shihni se vlera më e vogël e funksionit në këtë segment është "– 20".
Por llogaritja e tyre nuk është e nevojshme. Pse? Ne e dimë se përgjigja duhet të jetë ose një numër i plotë ose një thyesë dhjetore e fundme (ky është kushti i Provimit të Unifikuar të Shtetit në Pjesën B). Por vlerat me logaritme: – 22.5 – ln 0.5 5 dhe – ln3125 nuk do të japin një përgjigje të tillë.
x=–4 funksioni merr një vlerë minimale, ju mund të përcaktoni shenjat e derivatit në intervale nga (– 5: – 4) dhe (– 4; + ∞ ).
Tani informacion për ata që nuk kanë vështirësi me derivatet dhe të kuptojnë se si të zgjidhin probleme të tilla. Si mund të bëni pa llogaritur derivatin dhe pa llogaritje të panevojshme?
Pra, nëse marrim parasysh se përgjigja duhet të jetë një numër i plotë ose një thyesë dhjetore e fundme, atëherë mund të marrim një vlerë të tillë vetëm kur x është një numër i plotë ose një numër i plotë me një të fundme. dhjetore dhe në të njëjtën kohë, nën shenjën e logaritmit në kllapa do të kemi një njësi ose numrin e. Përndryshe, nuk do të mund të marrim vlerën e dakorduar. Dhe kjo është e mundur vetëm në x = – 4.
Kjo do të thotë që në këtë pikë vlera e funksionit do të jetë më e vogla, le ta llogarisim atë:
Përgjigje: - 20
Vendosni vetë:
Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y=3x– ln (x+3) 3 në segmentin [–2.5;0].
Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=ln (x+5) 5 - 5x në segmentin [–4.5;0].
Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=x 2 –13x+11∙lnx+12 në segment.
Për të gjetur vlerën më të vogël të një funksioni në një segment, është e nevojshme të llogaritet vlera e funksionit në skajet e tij dhe në pikat ekstreme, nëse ka, në këtë interval.
Le të llogarisim derivatin, ta barazojmë me zero dhe të zgjidhim ekuacionin që rezulton:
Duke vendosur ekuacioni kuadratik, marrim
Pika x = 1 i përket një intervali të caktuar.
Pika x = 22/4 nuk i përket atij.
Kështu, ne llogarisim vlerën e funksionit në pikat:
Ne e dimë se përgjigja është një numër i plotë ose një thyesë dhjetore e fundme, që do të thotë se vlera më e madhe e funksionit është 0. Në rastin e parë dhe të tretë, nuk do të marrim një vlerë të tillë, pasi logaritmi natyror i këtyre thyesave nuk do të japin një rezultat të tillë.
Përveç kësaj, sigurohuni që në pikënx = 1 funksioni fiton vlerën e tij maksimale, ju mund të përcaktoni shenjat e derivatit në intervale nga (0:1) dhe (1; + ∞ ).
Si të zgjidhet ky lloj problemi pa llogaritur derivatin?
Nëse marrim parasysh se përgjigja duhet të jetë një numër i plotë ose një thyesë dhjetore e fundme, atëherë ky kusht sigurohet vetëm kur x është një numër i plotë ose një numër i plotë me një thyesë dhjetore të fundme dhe në të njëjtën kohë kemi një njësi ose numrin e. nën shenjën e logaritmit.
Kjo është e mundur vetëm kur x = 1.
Kjo do të thotë që në pikën x = 1 (ose 14/14) vlera e funksionit do të jetë më e madhja, le ta llogarisim atë:
Përgjigje: 0
Vendosni vetë:
Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 në segment.
Vërej se metoda e zgjidhjes së detyrave të tilla pa gjetur derivate mund të përdoret vetëm për të kursyer kohë gjatë llogaritjes së detyrës në vetë Provimin e Unifikuar të Shtetit. Dhe vetëm nëse e kuptoni në mënyrë të përsosur se si t'i zgjidhni probleme të tilla duke gjetur derivatin (duke përdorur një algoritëm) dhe jeni të mirë për ta bërë atë. Nuk ka dyshim se kur zgjidhni pa një derivat, duhet të keni një përvojë në analitikë.
Ka shumë teknika "të ndërlikuara" që ndonjëherë ndihmojnë në detyra specifike dhe është e pamundur t'i mbani mend të gjitha. Është e rëndësishme të kuptohen parimet e zgjidhjes dhe vetitë. Nëse i lidhni shpresat në ndonjë teknikë, atëherë thjesht mund të mos funksionojë për një arsye të thjeshtë: thjesht do ta harroni ose do të merrni një lloj detyre në Provimin e Shtetit të Unifikuar që e shihni për herë të parë.
Ne do të vazhdojmë të shqyrtojmë detyrat në këtë seksion, mos e humbisni!
Kjo eshte e gjitha. Ju uroj suksese!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Me këtë shërbim mundeni gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni një ndryshore f(x) me zgjidhjen e formatuar në Word. Nëse është dhënë funksioni f(x,y), atëherë është e nevojshme të gjendet ekstremi i një funksioni të dy ndryshoreve. Ju gjithashtu mund të gjeni intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese.
Rregullat për futjen e funksioneve:
Kusht i domosdoshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje
Ekuacioni f" 0 (x *) = 0 është kusht i nevojshëm ekstremi i një funksioni të një ndryshoreje, d.m.th. në pikën x * derivati i parë i funksionit duhet të zhduket. Ai identifikon pikat stacionare x c në të cilat funksioni nuk rritet ose ulet.Kusht i mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni të një ndryshoreje
Le të jetë f 0 (x) dy herë i diferencueshëm në lidhje me x që i përket bashkësisë D. Nëse në pikën x * plotësohet kushti:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Atëherë pika x * është pika minimale lokale (globale) e funksionit.
Nëse në pikën x * plotësohet kushti:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Atëherë pika x * është një maksimum lokal (global).
Shembulli nr. 1. Gjeni më të mëdhenjtë dhe vlera më e vogël funksionet: në segmentin .
Zgjidhje. 
Pika kritike është një x 1 = 2 (f’(x)=0). Kjo pikë i përket segmentit. (Pika x=0 nuk është kritike, pasi 0∉).
Ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në pikën kritike.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Përgjigje: f min = 5 / 2 në x=2; f max =9 në x=1
Shembulli nr. 2. Duke përdorur derivate të rendit më të lartë, gjeni ekstremin e funksionit y=x-2sin(x) .
Zgjidhje.
Gjeni derivatin e funksionit: y’=1-2cos(x) . Le të gjejmë pikat kritike: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Gjejmë y’’=2sin(x), njehso , që do të thotë x= π / 3 +2πk, k∈Z janë pikat minimale të funksionit; 
, që do të thotë x=- π / 3 +2πk, k∈Z janë pikat maksimale të funksionit.
Shembulli nr. 3. Hulumtoni funksionin ekstrem në afërsi të pikës x=0.
Zgjidhje. Këtu është e nevojshme të gjesh ekstremin e funksionit. Nëse ekstremi x=0, atëherë zbuloni llojin e tij (minimumi ose maksimal). Nëse midis pikave të gjetura nuk ka x = 0, atëherë llogaritni vlerën e funksionit f(x=0).
Duhet të theksohet se kur derivati në secilën anë të një pike të caktuar nuk ndryshon shenjën e tij, the situatat e mundshme edhe për funksionet e diferencueshme: mund të ndodhë që për një lagje të vogël arbitrarisht në njërën anë të pikës x 0 ose në të dy anët, derivati të ndryshojë shenjën. Në këto pika është e nevojshme të përdoren metoda të tjera për të studiuar funksionet në një ekstrem.
1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit dhe kontrolloni nëse ai përmban të gjithë segmentin.
2. Përcaktoni të gjitha pikat e palëvizshme që bien brenda segmentit. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e funksionit, e barazojmë me zero, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe zgjedhim rrënjët e përshtatshme.
3. Nëse nuk ka pika të palëvizshme ose asnjëra prej tyre nuk bie në segment, atëherë kaloni në pikën tjetër.
4. Ne llogarisim vlerat e funksionit në pikat e zgjedhura stacionare (nëse ka), si dhe në x = a dhe x = b.
5. Nga vlerat e fituara të funksionit, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin - do të jenë ato që kërkojmë.
10) Kusht i mjaftueshëm për konveksitet (konkavitet). Nëse derivati i dytë i një funksioni dy herë të diferencueshëm është pozitiv (negativ) në një bashkësi X, atëherë funksioni është konveks poshtë (lart) në këtë grup.
11) Kusht i domosdoshëm për pikat e lakimit. Derivati i dytë f""(x) i një funksioni dy herë vazhdimisht të diferencueshëm në pikën e lakimit x0 është i barabartë me zero, d.m.th. f""(x0) = 0.
12) Kusht i mjaftueshëm për pikat e lakimit. Nëse derivati i dytë i një funksioni dy herë të diferencueshëm ndryshon shenjën e tij kur kalon nëpër pikën x0 në të cilën f""(x0) = 0, atëherë x0 është pika e lakimit të grafikut të tij.
6.Njehsimi diferencial i funksioneve të disa variablave.
Derivatet e pjesshme të funksioneve z = f(x,y) quhen kufijtë e raportit të rritjeve të funksionit z = z(x,y) në shtimin e argumentit përkatës në drejtime Oh ose OU në Δx → 0 Dhe Δу → 0 përkatësisht:
Derivat i pjesshëm në lidhje me x:
Kur llogaritni, merrni parasysh y = konst.
Derivat i pjesshëm në lidhje me y:
Kur llogaritni, merrni parasysh x = konst.
Bashkësia G e të gjitha çifteve të vlerave të argumenteve të një funksioni të caktuar të dy ndryshoreve quhet fusha e përcaktimit të këtij funksioni.
Funksioni z = f(x,y) thirret të vazhdueshme në pikën M0(x0,y0), nëse është përcaktuar në këtë pikë dhe në lagjen e saj dhe plotëson
Numri A quhet kufiri i funksionit z = f(x,y) në pikën M0(x0,y0):
Pjesa lineare (në lidhje me deltën x dhe delta ig) e rritjes totale të funksionit quhet diferencial i plotë dhe shënohet me dz:
ku deix dhe deigric janë diferenciale të ndryshoreve të pavarura, të cilat, sipas përkufizimit, janë të barabarta me rritjet përkatëse
Pika (x 0; y 0) quajtur një pikë funksioni maksimal z = f(x; y) (x 0; y 0) Për
= <δ f(x; y)≤ f (x 0; y 0).
Pika (x 0; y 0) quajtur një pikë funksioni minimal z = f(x; y) , nëse kudo në lagjen e pikës (x 0; y 0) Për
= <δ f(x; y) ≥ f (x 0; y 0).
Le të jetë një sipërfaqe e dhënë nga ekuacioni 
. Rrafshi në të cilin ndodhen të gjitha linjat tangjente me vijat në sipërfaqe që kalojnë nëpër një pikë të caktuar 
, thirri rrafshi tangjent në sipërfaqe në pikën M0.
Një vijë e drejtë e tërhequr përmes një pike sipërfaqeve , pingul me rrafshin tangjente quhet normale në sipërfaqe.
Nëse sipërfaqja jepet me barazimin , atëherë ekuacioni i rrafshit tangjent me këtë sipërfaqe në pikë shkruhet në formën: , dhe ekuacioni i normales me sipërfaqen në të njëjtën pikë është në formën:
Kushtet e nevojshme për diferencim: nëse një funksion f është i diferencueshëm në një pikë x0, atëherë në këtë pikë ai ka derivate të pjesshëm në lidhje me të gjitha ndryshoret, nëse një funksion f është i diferencueshëm në një pikë x0, atëherë ai është i vazhdueshëm në këtë pikë.
Kushtet e mjaftueshme për diferencim: Le të përcaktohet funksioni f() në ndonjë fqinjësi të pikës x0. Le të ketë një funksion në këtë fqinjësi derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me të gjitha ndryshoret, atëherë funksioni f është i diferencueshëm në këtë pikë.
Kushtet e nevojshme ekzistenca e një ekstremi
: ose të paktën një derivat i pjesshëm nuk ekziston.
Kushtet e mjaftueshme ekzistenca e një ekstremi
funksionet e dy variablave:Nëse > 0
pastaj për a) > 0
funksioni ka një minimum ( min)
NË) < 0 funksioni ka një maksimum ( maksimumi)
Nëse<0 Se asnjë ekstrem.
Nëse= 0, atëherë nevojiten kërkime shtesë duke përdorur derivate të rendit më të lartë.
Numrat kompleks
Përkufizimet:
1) Numri kompleks- zgjerimi i bashkësisë së numrave realë, që zakonisht shënohet me . Çdo numër kompleks mund të përfaqësohet si një shumë formale, ku dhe janë numra realë dhe është njësia imagjinare.
2) Shkrimi i një numri kompleks në formën , , quhet formë algjebrike numër kompleks.
3) Këndi (në radianë) i vektorit të rrezes së pikës që i përgjigjet numrit quhet argument numrat dhe shënohet me .
4) Moduli i një numri kompleks është gjatësia e vektorit të rrezes së pikës përkatëse të planit kompleks (ose, çfarë është e njëjta, distanca midis pikës së planit kompleks që i korrespondon këtij numri dhe origjinës së koordinatave).
Moduli i një numri kompleks shënohet dhe përcaktohet me shprehjen 
. Shpesh shënohet me shkronja ose . Nëse është një numër real, atëherë ai përkon me vlerën absolute të këtij numri real.
5) Nëse është një numër kompleks, atëherë thirret numri konjuguar(ose konjuguar kompleks) me (e shënuar edhe me ). Në planin kompleks, numrat e konjuguar fitohen si imazhe pasqyre të njëri-tjetrit në lidhje me boshtin real. Moduli i numrit të konjuguar është i njëjtë me atë origjinal dhe argumentet e tyre ndryshojnë në shenjë.
6) Nëse pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks shprehen përmes modulit dhe argumentit ( , ), atëherë çdo numër kompleks përveç zeros mund të shkruhet në forma trigonometrike e
7) Përkufizim prodhimet e numrave kompleks vendoset në atë mënyrë që numrat a + b·i dhe a′ + b′·i mund të shumëzohen si binome algjebrike dhe që numri i të ketë vetinë i 2 =−1.
8) Le të jetë një numër natyror arbitrar . Rrënja e n-të e një numri kompleks z është një numër kompleks i tillë që .
9) Forma eksponenciale e shkrimit të numrave kompleksë
Ku është zgjerimi i eksponencialit për rastin e një eksponenti kompleks.
Vetitë dhe teoremat:
1) Prodhimi i dy numrave kompleks në formë algjebrikeështë një numër kompleks moduli i të cilit është i barabartë me produktin e moduleve të faktorëve dhe argumenti i të cilit është i barabartë me shumën e argumenteve të faktorëve.
2) Në mënyrë që të shumëzojnë dy numra kompleksë në formë trigonometrike të dhënat duhet të shumëzohen me modulet e tyre dhe të shtohen argumentet. Le , Ku dhe Ku janë dy numra kompleks arbitrar të shkruar në formë trigonometrike. Pastaj .
3) formula e Moivre për numrat kompleks pohon se për çdo
4) Në mënyrë që të pjesëtoni një numër kompleks (a 1 + b 1 i) në një numër tjetër kompleks ( a 2 + b 2 i), domethënë gjeni 
, duhet të shumëzoni si numëruesin ashtu edhe emëruesin me numrin e konjuguar me emëruesin.
5) 
8.Njehsimi integral i funksioneve të një ndryshoreje.
1) Antiderivativ
Një funksion F(x) që është i diferencueshëm në një interval të caktuar (a,b) quhet antiderivativ për funksionin f(x) në këtë interval nëse për çdo x (a,b) barazia është e vërtetë.
2) Integrali i pacaktuar
Nëse F(x) është antiderivativ për funksionin f(x) në një interval të caktuar, atëherë shprehja F(x)+C quhet integral i pacaktuar i funksionit f(x) dhe shënohet
3) Integrali i caktuar
Me një integral të caktuar të një funksioni të caktuar f(x) në një segment të caktuar nënkuptojmë rritjen përkatëse të antiderivativit të tij, d.m.th.
4) Integrali jo i duhur i një funksioni të ndërprerë
Le të jetë funksioni f(x) i vazhdueshëm a ≤x≤b dhe të ketë një pikë ndërprerjeje në x=b. Pastaj integrali i papërshtatshëm përkatës i funksionit të ndërprerë përcaktohet nga formula
dhe quhet konvergjent ose divergjent në varësi të faktit nëse kufiri në anën e djathtë të barazisë ekziston apo nuk ekziston
5) Integrali i papërshtatshëm me interval të pafund integrimi
Le të jetë funksioni f(x) i vazhdueshëm për a≤x≤b+∞. Pastaj sipas përkufizimit
Nëse kufiri ekziston, atëherë integrali në anën e majtë të barazisë quhet konvergjent dhe vlera e tij përcaktohet nga formula; përndryshe barazia humbet kuptimin e saj, integrali në të majtë quhet divergjent dhe nuk i është caktuar asnjë vlerë numerike.
Vetitë dhe teoremat
6) Formula e integrimit sipas pjesëve në integralin e pacaktuar
7) Formuloni rregullat për integrimin e funksioneve thyesore-racionale
1. Ndani numëruesin me emëruesin
2. Q(x) =(x-)(x-)…
3. Thyesin e zgjerojmë në shumën e thyesave të thjeshta; ; ; ;
Integrali i thyesave të llojeve 1 dhe 2 llogaritet duke futur funksionin nën shenjën e diferencialit, 3 dhe 4, së pari, në emërues zgjidhet një katror i plotë.
8) Formuloni rregullin për integrimin e funksioneve trigonometrike
9) Formuloni vetitë e një integrali të caktuar
1. Vlera e integralit të caktuar nuk varet nga përcaktimi i ndryshores së integrimit, d.m.th.
2. Integrali i caktuar me kufij të njëjtë është i barabartë me zero
3. Gjatë rirregullimit të kufijve të integrimit, integrali i caktuar ndryshon shenjën e tij në të kundërtën. 
4. Nëse intervali i integrimit ndahet në një numër të kufizuar intervalesh të pjesshme, atëherë integrali i caktuar i marrë mbi intervalin është i barabartë me shumën e integraleve të caktuar të marra në të gjitha intervalet e tij të pjesshme.
5. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e integralit të caktuar
6. Integrali i caktuar i një shume algjebrike të një numri të fundëm funksionesh të vazhdueshme është i barabartë me të njëjtën shumë algjebrike të integraleve të përcaktuara të këtyre funksioneve.
10) Formula Njuton-Leibniz
Nëse f është e vazhdueshme në një interval dhe F është çdo antiderivativ i tij në këtë interval, atëherë barazia vlen
11) Formula për integrimin sipas pjesëve në një integral të caktuar
Për shkurtësi, ne përdorim shënimin
2) Formuloni vetitë e integralit të pacaktuar
1. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integranin dhe derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin.
2. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni vazhdimisht të diferencueshëm është i barabartë me vetë këtë funksion deri në një term konstant
3. Një faktor konstant jozero mund të nxirret nga shenja e integralit të pacaktuar
4. Integrali i pacaktuar i shumës algjebrike të një numri të caktuar funksionesh të vazhdueshme është i barabartë me të njëjtën shumë algjebrike të integraleve të pacaktuara të këtyre funksioneve.
5) Ndryshimi i ndryshores në integralin e pacaktuar
Supozoni se duhet të gjejmë integralin. Le të prezantojmë një ndryshore të re t, duke vendosur x= (t), ku (t) është një funksion i vazhdueshëm me një derivat të vazhdueshëm, i cili ka një funksion të anasjelltë t=Ψ(t). Pastaj, në anën e djathtë pas integrimit, duhet të bëhet zëvendësimi t=Ψ(x)
3) Tabela e integraleve
Logaritmet
Funksionet eksponenciale
Funksionet irracionale
Funksionet trigonometrike
12) Ndryshimi i ndryshores në një integral të caktuar
Funksioni f(x) është i vazhdueshëm në interval, funksioni x= (t) ka një derivat të vazhdueshëm në intervalin [, me a≤ (t)≤b dhe =a, =b
13) Llogaritja e sipërfaqes së një figure të sheshtë
Le të jetë funksioni f(x) i vazhdueshëm në interval. Nëse f(x)≥0 në , atëherë zona e trapezit lakor të kufizuar nga vijat y=f(x), y=0, x=a, x=b, do të shprehet duke përdorur integralin:
Nëse f(x)≤0 në , atëherë –f(x)≥0 në . Prandaj, zona S e trapezit lakor përkatës gjendet me formulën
Në koordinatat polare
PLAN MËSIMOR Nr.100
Disiplina Matematikë
Specialiteti
Kursi 1 grupi C 153
Tema e mësimit: Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve
Lloji i mësimit: mësim për konsolidimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive
Lloji i mësimit: mësim praktik
Golat:
– arsimore: Krijoni një algoritëm për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment. Kryen konsolidimin fillestar dhe kontrollin fillestar të asimilimit të algoritmit;
– zhvillimi: Zhvilloni të menduarit logjik, aftësitë llogaritëse;
– edukative: për të nxitur pavarësinë, vetënjohjen, vetëkrijimin dhe vetërealizimin te nxënësit.
Detyrat:
Duhet të dihet: Gjetja e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni
Duhet të jetë i aftë: të zbatojë njohuritë e marra në praktikë
Kompetencat e formuara:
– e përgjithshme: OK 1-9
– profesionale: PC 1.1. - PC 4.3.
Ofrimi i klasave: letra, në rregull
Lidhjet ndërdisiplinore: mësimi me temën "Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni" shoqërohet me tema të tilla si: "Përkufizimi i derivatit, kuptimi i tij gjeometrik dhe fizik", "Derivatet e funksioneve themelore elementare", "Derivati i dytë, i tij kuptimi fizik", "Gjetja e shpejtësisë dhe nxitimit duke përdorur derivatin "," Diferencimi i funksioneve komplekse ", " Shenja e qëndrueshmërisë, rritja dhe zvogëlimi i një funksioni ", " Ekstreme e një funksioni. Studimi i një funksioni në ekstrem", "Studimi i një funksioni duke përdorur derivatin", "Zbatimi i derivatit në ndërtimin e grafikëve", "Zbatimi i derivatit në studimin dhe ndërtimin e funksioneve", "Konveksiteti i grafikut". të një funksioni, pikat e lakimit", "Zgjidhja e ushtrimeve me temë: "Derivati dhe zbatimi i saj"
Metodat e mësimdhënies: aktive: verbale, vizuale
Ecuria e mësimit
Organizimi i orës së mësimit (3 min.).
Komunikoni temën dhe objektivat e mësimit. (4 min.)
Përditësimi i njohurive bazë si një kalim në zotërimin e njohurive të reja. (7 min.)
Për të studiuar një temë të re, duhet të përsërisim materialin që kemi trajtuar. Këtë do ta bëni duke i kryer me gojë detyrat e mëposhtme. Në fletoren tuaj, shkruani vetëm përgjigjet për çdo artikull. (3 min.)
Duke përdorur grafikun e funksionit y=f(x), gjeni:
1.Domeni i përkufizimit të një funksioni.
2. Abshisa pikash në të cilat f`(x)=0
3. Abshisa e pikave në të cilat f`(x) nuk ekziston.
4. Vlera më e madhe e funksionit. (Unaib.).
5. Vlera më e vogël e funksionit (Unaim.).
Mësues: Cilat pika quhen stacionare?
Studenti: Pikat në të cilat derivati i funksionit f / (x) = 0 quhen stacionare.
Mësues: Për të gjetur pika të palëvizshme ju duhet: të gjeni derivatin e funksionit f / (x) dhe të zgjidhni ekuacionin f / (x)= 0
Komunikimi dhe asimilimi i njohurive të reja me konsolidimin e njohurive të fituara. (41 min.)
Algoritmi për gjetjen e vlerave më të vogla dhe më të mëdha të funksionit të vazhdueshëm y=f(x) në segmentin [a; b]
gjeni f "(x);
gjeni pikat në të cilat f "(x)=0 ose f "(x) nuk ekziston dhe zgjidhni prej tyre ato që shtrihen brenda segmentit;
llogaritni vlerat e funksionit y=f "(x) në pikat e marra në hapin 2 dhe në skajet e segmentit dhe zgjidhni më të madhin dhe më të voglin prej tyre; ato do të jenë, përkatësisht, vlerat më të mëdha dhe më të vogla i funksionit y=f(x) në segment, i cili mund të shënohet si më poshtë: max y(x) dhe min y(x).
Shembull.
Le të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në segment.
Le të gjejmë pikat kritike.
Meqenëse derivati i një funksioni është përcaktuar për çdo X, le të zgjidhim ekuacionin
Konsolidimi i materialit të ri. Zgjidhja e problemeve.
Opsioni 1.
Gjeni U max. dhe emri U. Funksionet y=2-8x+6 në segmentin [-1;4]
Zgjidh pikat që i përkasin segmentit [-1;4]
3. Gjeni y(-1)
Opsioni 2.
Gjeni U max. dhe emri U. Funksionet y=+4x-3 në një segment
Gjeni pika të palëvizshme duke zgjidhur ekuacionin y´=0
Zgjidh pikat që i përkasin segmentit [-3;2]
3. Gjeni y(-3)
Dhe në pikat e zgjedhura në hapin e dytë
Zgjidhni vlerat më të mëdha dhe më të vogla midis vlerave të gjetura.
Zgjidhja e një detyre nga një tekst shkollor
Punë e pavarur
Opsioni 1. Përcaktoni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit y = x 2 + 4x në segmentin [-3;6].
Opsionet e përgjigjes:
a) min y(x)= -12, max y(x)= -5; b) min y(x)= -4, max y(x)= 60; c) min y(x)= -12, max y(x)= 4
[-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6] [-3;6]
Opsioni 2. Përcaktoni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit y = x 2 -2x në segment.
Opsionet e përgjigjes:
a) min y(x)= -1, max y(x)= -3/4; b) min y(x)= -1, max y(x)= 8; c) min y(x)= -3/4, max y(x)= -1
Opsioni 3. Përcaktoni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit y = 3x 2 + 6x në segmentin [-2;2].
Opsionet e përgjigjes:
a) min y(x)= -4, max y(x)= 0; b) min y(x)= -20, max y(x)= 0; c) min y(x)= -3, max y(x)= 24
[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]
Opsioni 4. Përcaktoni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit y = 2x 2 - 2x në segmentin [-1;3].
Opsionet e përgjigjes:
a) min y(x)= -0.5, max y(x)= 12; b) min y(x)= 4, max y(x)= 5; c) min y(x)= 0, max y(x)= 5
[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]
Duke përmbledhur mësimin. (5 minuta.)
Çfarë bëmë sot në klasë?
Çfarë ju pëlqeu, çfarë lloj aktivitetesh?
Analiza e punës së nxënësve, notimi
Reflektimi i mësimit. (5 minuta.)
Vazhdo fjalitë:
Sot e mora vesh...
Unë isha i interesuar për detyrën ...
Detyra më e vështirë për mua ishte...
Më pëlqeu mësimi ...
Nuk më pëlqeu puna...
Detyrë për punë të pavarur jashtëshkollore. (5 minuta.)
